試卷第=page22頁，總=sectionpages44頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat6頁2021屆廣東省揭陽市高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法可得集合，然后根據(jù)交集的運算可得結(jié)果.【詳解】.因為，所以.故選；A2．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A．2 B．-2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則簡單計算可得，然后簡單判斷可得結(jié)果.【詳解】因為，所以的虛部為.故選：B.3．某學(xué)校有東、南、西、北四個校門，受新冠肺炎疫情的影響，學(xué)校對進(jìn)入四個校門做出如下規(guī)定：學(xué)生只能從東門或西門進(jìn)入校園，教師只能從南門或北門進(jìn)入校園.現(xiàn)有2名教師和3名學(xué)生要進(jìn)入校園（不分先后順序），請問進(jìn)入校園的方式共有（）A．6種 B．12種 C．24種 D．32種【答案】D【分析】先分別確定學(xué)生進(jìn)入校園的方式和教師進(jìn)入校園的方式；再用分步乘法原理求得答案.【詳解】因為學(xué)生只能從東門或西門進(jìn)入校園，所以3名學(xué)生進(jìn)入校園的方式共種.因為教師只可以從南門或北門進(jìn)入校園，所以2名教師進(jìn)入校園的方式共有種.所以2名教師和3名學(xué)生要進(jìn)入校園的方式共有種情況.故選：D4．科赫曲線因形似雪花，又被稱為雪花曲線.其構(gòu)成方式如下：如圖1將線段等分為，，，如圖2以為底向外作等邊三角形，并去掉線段.在圖2的各條線段上重復(fù)上述操作，當(dāng)進(jìn)行三次操作后形成圖3的曲線.設(shè)線段的長度為1，則圖3曲線的長度為（）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】依據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得曲線長度組成的數(shù)列的前4項，最后可得結(jié)果.【詳解】據(jù)題目提供的條件列出曲線長度組成的數(shù)列的前4項，依題意得，，，.所以當(dāng)進(jìn)行三次操作后形成圖3的曲線時，曲線的長度.故選：C.5．中醫(yī)是中國傳統(tǒng)文化的瑰寶.中醫(yī)方劑不是藥物的任意組合，而是根據(jù)中藥配伍原則，總結(jié)臨床經(jīng)驗，用若干藥物配制組成的藥方，以達(dá)到取長補短、辨證論治的目的.中醫(yī)傳統(tǒng)名方“八珍湯”是由補氣名方“四君子湯”（由人參、白術(shù)、茯苓、炙甘草四味藥組成）和補血名方“四物湯”（由熟地黃、白芍、當(dāng)歸、川芎四味藥組成）兩個方共八味藥組合而成的主治氣血兩虛證方劑.現(xiàn)從“八珍湯”的八味藥中任取四味，取到的四味藥剛好組成“四君子湯”或“四物湯”的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)古典概型的概念以及組合的知識簡單計算可得結(jié)果.【詳解】記取到的四味藥剛好組成“四君子湯”或“四物湯”為事件.依題意得.故選:A.6．在新冠肺炎疫情期間，某學(xué)校定期對教室進(jìn)行藥熏消毒.教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（單位：毫克）隨時間（單位：小時）的變化情況如圖所示.在藥物釋放的過程中，與成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)）.據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.2毫克以下時，學(xué)生方可進(jìn)入教室.那么，從藥物釋放開始到學(xué)生能回到教室，至少在（）（參考數(shù)值）A．42分鐘后 B．48分鐘后C．50分鐘后 D．60分鐘后【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出時的函數(shù)解析式，即求出的值，再解不等式求得答案.【詳解】把點代入中，，解得.所以當(dāng)時，因為當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.2毫克以下時，學(xué)生方可進(jìn)入教室所以，解得.至少需要經(jīng)過分鐘后，學(xué)生才能回到教室.故選：B.7．在矩形中，，，，分別是，上的動點，且滿足，設(shè)，則的最小值為（）A．48 B．49 C．50 D．51【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，假設(shè)點坐標(biāo)，然后得到，然后代入并結(jié)合基本不等式進(jìn)行計算即可.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，因為，所以，，.因為，所以，，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.故選:B.8．已知函數(shù)定義域為，滿足，且對任意均有成立，則滿足的的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)得到函數(shù)關(guān)于直線對稱，對任意均有成立得函數(shù)在上單調(diào)遞減.再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式求得答案.【詳解】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，因為對任意均有成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.由對稱性可知在上單調(diào)遞增.因為，即，所以，即，解得.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)對稱性和單調(diào)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得出關(guān)于直線對稱，在上單調(diào)遞減.二、多選題9．已知一組直線為，則以該組直線為漸近線的雙曲線有（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再分別求四個選項中的雙曲線方程的漸近線方程，即可求得正確選項.【詳解】對于選項A：由可得的漸近線方程為，即，故選項A正確；對于選項B：由可得的漸近線方程為，即，故選項B正確；對于選項C：的漸近線方程為，即，故選項C不正確；對于選項D：的漸近線方程為，即，故選項D正確，故選：ABD.10．已知等比數(shù)列的公比為，且，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由等比數(shù)列的通項公式可得，，，，再代入四個選項，結(jié)合基本不等式和一元二次不等式的性質(zhì)得到答案.【詳解】因為等比數(shù)列的公比為，且所以，，，，因為，故A正確；因為，當(dāng)時式子為負(fù)數(shù)，故B錯誤；因為，故C正確；因為，存在使得，故D錯誤.故選：AC11．設(shè)函數(shù)，已知在上有且僅有1個極大值點，則下列四個結(jié)論中正確的有（）A．在內(nèi)有5個零點 B．在有2個極小值點C．在上單調(diào)遞增 D．可以取【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)求出函數(shù)的周期為，再結(jié)合在上有且僅有1個極大值點畫出函數(shù)圖象，由圖象可判斷ABC，求得的值及相關(guān)性質(zhì)可判斷D.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期，又因為在上有且僅有1個極大值點，所以函數(shù)的圖象如圖所示.所以在內(nèi)有4個零點，在有2個極小值點，在上單調(diào)遞減，由解得，.所以BD正確，AC錯誤.故選：BD.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵點是畫出函數(shù)的圖象，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.12．如圖，設(shè)正方體的棱長為2，為的中點，為上的一個動點，設(shè)由點，，構(gòu)成的平面為，則（）A．平面截正方體的截面可能是三角形B．當(dāng)點與點重合時，平面截正方體的截面面積為C．點到平面的距離的最大值為D．當(dāng)為的中點時，平面截正方體的截面為五邊形【答案】BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，平面擴展為平面可判斷A，B，D，然后計算點到直線的距離并使用等積法，計算即可知C的正誤.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，延長與軸交于點，連接與軸交于點，則平面由平面擴展為平面.由此模型可知A錯誤，B，D正確.設(shè)點的坐標(biāo)為，，，則可知點到直線的距離為，則可得的面積.，設(shè)點到平面的距離為，利用等體積法，即可得.則，由在單調(diào)遞增所以當(dāng)時，取到最大值為.故選：BCD【點睛】本題關(guān)鍵在于拓展平面以及建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，有利的積用向量，是復(fù)雜的問題簡單化三、填空題13．拋物線的焦點坐標(biāo)為________.【答案】【分析】先把拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用拋物線的焦點坐標(biāo)為，求出物線的焦點坐標(biāo)．【詳解】解：在拋物線，即，，，焦點坐標(biāo)是，故答案為：．【點睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)的應(yīng)用，用到拋物線的焦點坐標(biāo)．14．已知數(shù)列滿足：，則的前100項和為________________.【答案】1【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式求出數(shù)列的前幾項，即可得到數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，從而得解；【詳解】解：因為，所以，，，，，，……可知數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，且，所以故答案為：1.15．長為的圓柱形木材有一部分鑲嵌在墻體中，截面如圖所示（陰影為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分）.已知弦，弓形高，估算該木材鑲嵌在墻中的側(cè)面積約為______________.【答案】【分析】計算，，然后根據(jù)垂徑定理可得，進(jìn)一步得到弧，最后簡單計算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)截面圓的半徑為，點在線段上，，，根據(jù)垂徑定理可得，解得，所以，則有，故可得弧，結(jié)合木材長，可得答案為.故答案為：16．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足，，則的面積的最大值為_______________.【答案】【分析】利用余弦定理可得，然后可得，最后計算三角形面積并使用不等式進(jìn)行計算可得結(jié)果.【詳解】由余弦定理可得，化簡得，則，則的面積.故答案為：四、解答題17．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在，它的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，______________？【答案】答案見解析.【分析】利用正弦定理化簡可得的值.條件①借助輔助角公式可求得，再利用正弦定理解題.條件②可以利用二倍角公式計算的值，再利用正弦定理解題.條件③利用正弦定理求的值，再判斷三角形不存在.【詳解】解：由結(jié)合正弦定理可得，所以.因為，所以.[選擇條件①的答案]所以.由得，所以.因為，所以.所以.由正弦定理得.[選擇條件②的答案]所以.因為，所以.由正弦定理得.[選擇條件③的答案]所以.由得.因為，所以.所以三角形不存在.18．已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用可得是以為首項，公比為的等比數(shù)列，即可求出；（2）可得，再利用錯位相減法可求.【詳解】（1）令得，可得；當(dāng)時，與相減，可得.所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列.故.（2）利用對數(shù)的性質(zhì)可得，①.②兩式相減①—②可得.整理得.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.19．太陽能熱水器因節(jié)能環(huán)保而深受廣大消費者的青睞，但它也有缺點——持續(xù)陰天或雨天便無法正常使用.為了解決這一缺陷，現(xiàn)在的太陽能熱水器水箱上都安裝了輔助電加熱器，如果天氣不好或冬季水溫?zé)o法滿足需要時，就可以通過輔助電加熱器把水溫升高，方便用戶使用.某工廠響應(yīng)“節(jié)能減排”的號召，決定把原來給鍋爐加熱的電熱水器更換成電輔式太陽能熱水器.電輔式太陽能熱水器的耗電情況受當(dāng)天的日照時長和日均氣溫影響，假設(shè)每天的日照情況和日均氣溫相互獨立，該電輔式太陽能熱水器每日耗電情況如下表所示：日照情況日均氣溫不低于15℃日均氣溫低于15℃日照充足耗電0千瓦時耗電5千瓦時日照不足耗電5千瓦時耗電10千瓦時日照嚴(yán)重不足耗電15千瓦時耗電20千瓦時根據(jù)調(diào)查，當(dāng)?shù)孛刻烊照粘渥愕母怕蕿?，日照不足的概率為，日照?yán)重不足的概率為.2020年這一年的日均氣溫的頻率分布直方圖如圖所示，區(qū)間分組為，，，，，.（1）求圖中的值，并求一年中日均氣溫不低于15℃的頻率；（2）用頻率估計概率，已知該工廠原來的電熱水器平均每天耗電20千瓦時，試估計更換電輔式太陽能熱水器后這一年能省多少電？（一年以365天計算）【答案】（1），；（2）千瓦時.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中頻率和為1求出區(qū)間的頻率，再除以組距求得的值，再利用長方形面積等于頻率，求出不低于15℃的頻率；（2）由（1）知一年中日均氣溫不低于15℃的概率的估計值為，低于15℃的概率的估計值為，分析題意可知，使用電輔式太陽能熱水器日均耗電量的可能取值為0，5，10，15，20，分別算出事件對應(yīng)的概率，寫出分布列，即可得出期望，得到使用電輔式太陽能熱水器一天節(jié)省的電量，進(jìn)而得到一年可以節(jié)省的電量.【詳解】（1）依題意得.一年中日均氣溫不低于15℃的頻率為.（2）這一年中日均氣溫不低于15℃的概率的估計值為，一年中日均氣溫低于15℃的概率的估計值為，設(shè)使用電輔式太陽能熱水器日均耗電量為，的所有可能取值為0，5，10，15，20，，，，.所以的分布列為05101520所以的數(shù)學(xué)期望所以使用電輔式太陽能熱水器一天節(jié)省的電量為（千瓦時）所以使用電輔式太陽能熱水器一年節(jié)省的電量為（千瓦時）【點睛】方法點睛：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列，組合，概率知識求出X取各個值時對應(yīng)的概率，對應(yīng)服從某種特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出，考查學(xué)生邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題.20．如圖1，在梯形中，，，.將與分別繞，旋轉(zhuǎn)，使得點，相交于一點，設(shè)為點，形成圖2，且二面角與二面角都是45°.（1）證明：平面平面；（2）若，且梯形的面積為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）證明，，利用線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理即可證明.（2）由題意求出，，，以的中點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，取出平面的一個法向量以及平面的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積，結(jié)合圖象即可求解.【詳解】（1）∵，，∴，，∴.與分別繞，旋轉(zhuǎn)的過程中，，的角度保持不變，故有，.又由得，且，故可得平面.又由平面，所以平面平面.（2）根據(jù)翻折過程中角度的不變性可知，，.故為二面角的平面角，同理為二面角的平面角.由題意可知，所以為等腰直角三角形.依題意易求得，又求得，由此可得.即可得.結(jié)合梯形的面積公式可得.如圖，以的中點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則可得點，，，，.所以有，，由第（1）問可知是平面的一個法向量，取平面的一個法向量.設(shè)平面的一個法向量，則有即可得解得.令，可得.即.所以有，則有二面角的余弦值為.【點睛】思路點睛：解決二面角相關(guān)問題通常用向量法，具體步驟為：（1）建坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系的原則是盡可能的使得已知點在坐標(biāo)軸上或在坐標(biāo)平面內(nèi)；（2）根據(jù)題意寫出點的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)，注意坐標(biāo)不能出錯.（3）利用數(shù)量積驗證垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距離、線面角或二面角..21．已知函數(shù)，.（1）若直線是函數(shù)的切線，求的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明.【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增函數(shù)，證明見解析.【分析】（1）設(shè)切點的坐標(biāo)為，求出，根據(jù)直線與函數(shù)的圖象相切可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個未知數(shù)的值即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)證得，從而可得出，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為.對函數(shù)求導(dǎo)可得.設(shè)直線關(guān)于函數(shù)的切點為，則有，解方程組可得，，；（2）由第（1）問可得，令，則.可知當(dāng)時，；當(dāng)時，.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是有，即有恒成立.構(gòu)造函數(shù)，則.可知當(dāng)時，；當(dāng)時，.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是有，即