江蘇省南京市燕子磯中學2026屆數(shù)學高二上期末經(jīng)典試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題“存在，使得”的否定為（）A.存在， B.對任意，C.對任意， D.對任意，2．已知直線與圓相交于，兩點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.3．等差數(shù)列中，已知，則（）A.36 B.27C.18 D.94．直線恒過定點（）A. B.C. D.5．若直線：與直線：平行，則a的值是（）A.1 B.C.或6 D.或76．從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù)m,從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)n,則向量=(m,n)與向量=(1,-1)垂直的概率為()A. B.C. D.7．南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，則第十層球的個數(shù)為（）A.45 B.55C.90 D.1108．函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內的圖像如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內有極小值點（）A.個 B.個C.個 D.個9．我國古代銅錢蘊含了“外圓內方”“天地合一”的思想．現(xiàn)有一銅錢如圖，其中圓的半徑為r，正方形的邊長為，若在圓內隨即取點，取自陰影部分的概率是p，則圓周率的值為（）A. B.C. D.10．已知是空間的一個基底，若，，若，則（）A. B.C.3 D.11．已知圓的圓心到直線的距離為，則圓與圓的位置關系是（）A.相交 B.內切C.外切 D.外離12．橢圓的左、右焦點分別為，過焦點的傾斜角為直線交橢圓于兩點，弦長，若三角形的內切圓的面積為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列的前n項和為，且滿足，則_____________14．函數(shù)滿足，且，則的最小值為___________.15．函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則a＝________.16．不等式的解集是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC上的動點，且.（1）求證：；（2）當時，求點A到平面的距離.18．（12分）已知；對任意的恒成立.（1）若是真命題，求m的取值范圍；（2）若是假命題，是真命題，求m的取值范圍.19．（12分）已知在時有極值0.（1）求常數(shù)，的值；（2）求在區(qū)間上的最值.20．（12分）已知是公差不為零等差數(shù)列，，且、、成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式：（2）設．數(shù)列{}的前項和為，求證：21．（12分）已知函數(shù)，當時，有極大值3（1）求的值；（2）求函數(shù)的極小值22．（10分）已知數(shù)列的首項，前n項和為，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設，求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)特稱命題否定的方法求解，改變量詞，否定結論.【詳解】由題意可知命題“存在，使得”的否定為“對任意，”.故選：D.2、C【解析】求得直線恒過的定點，找出弦長取得最值的狀態(tài)，利用弦長公式求解即可.【詳解】因直線方程為：，整理得，故該直線恒過定點，又，故點在圓內，又圓的圓心為則，此時直線過圓心；當直線與直線垂直時，取得最小值，此時.故的取值范圍為.故選：.3、B【解析】直接利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質求解.【詳解】解：由題得.故選：B4、A【解析】將直線方程變形得，再根據(jù)方程即可得答案.【詳解】解：由得到：，∴直線恒過定點故選：A5、D【解析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出【詳解】依題意可知，顯然，所以由可得，，解得或7故選：D6、A【解析】根據(jù)分步計數(shù)乘法原理求得所有的)共有12個，滿足兩個向量垂直的共有2個，利用古典概型公式可得結果.【詳解】集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù),有4種方法；從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)，有3種方法，所以，所有的共有個，由向量與向量垂直,可得，即,故滿足向量與向量垂直的共有2個：，所以向量與向量垂直的概率為，故選A.【點睛】本題主要考查分步計數(shù)乘法原理的應用、向量垂直的性質以及古典概型概率公式的應用，屬于中檔題.在解古典概型概率題時，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.7、B【解析】根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并將規(guī)律表達出來，第層有個球.【詳解】根據(jù)規(guī)律，可以得知：第一層有個球；第二層有個球；第三層有個球，則根據(jù)規(guī)律可知：第層有個球設第層的小球個數(shù)為，則有：故第十層球的個數(shù)為：故選：8、A【解析】利用極小值的定義判斷可得出結論.【詳解】由導函數(shù)在區(qū)間內的圖象可知，函數(shù)在內的圖象與軸有四個公共點，在從左到右第一個點處導數(shù)左正右負，在從左到右第二個點處導數(shù)左負右正，在從左到右第三個點處導數(shù)左正右正，在從左到右第四個點處導數(shù)左正右負，所以函數(shù)在開區(qū)間內的極小值點有個，故選：A.9、B【解析】根據(jù)圓和正方形的面積公式結合幾何概型概率公式求解即可.【詳解】由可得故選：B10、C【解析】由，可得存在實數(shù)，使，然后將代入化簡可求得結果【詳解】，，因，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C11、B【解析】求出兩圓的圓心與半徑，根據(jù)兩圓的位置關系的判定即可求解.【詳解】已知圓的圓心到直線的距離，即，解得或,因為,所以,圓的圓心的坐標為，半徑，將圓化為標準方程為，其圓心的坐標為，半徑，圓心距，兩圓內切，故選：B12、C【解析】由題可得直線AB的方程，從而可表示出三角形面積，又利用焦點三角形及三角形內切圓的性質，也可表示出三角形面積，則橢圓的離心率即求.【詳解】由題知直線AB的方程為，即，∴到直線AB距離，又三角形的內切圓的面積為，則半徑為1，由等面積可得，.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##31.5【解析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式，求出，代入求和公式，即可得答案.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，又，所以，所以.故答案為：14、6【解析】化簡得出，由化簡后根據(jù)均值不等式建立不等式，求解二次不等式即可得解.【詳解】，由得：，（當且僅當時取等號），所以的最小值為6.故答案為：615、4【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴或當a＝－3，b＝3時，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝416、##【解析】將分式不等式等價轉化為不等式組，求解即得.【詳解】原不等式等價于，解得,故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】(1)如圖，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法分別求出和，再證明即可；(2)利用空間向量的數(shù)量積求出平面的法向量，結合求點到面距離的向量法即可得出結果.【小問1詳解】證明：如圖，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以，故，所以；【小問2詳解】當時，，，，，則，，，設是平面的法向量，則由，解得，取，得，設點A到平面的距離為，則，所以點A到平面的距離為.18、（1）（2）【解析】（1）為真命題，則都為真命題，求出為真命題時的m的取值范圍，并求交集，即為結果；（2）若是假命題，是真命題，則一真一假，分兩種情況進行求解，最后求并集即為結果.【小問1詳解】由題意得：為真命題，則要滿足，解得：，對任意的恒成立，結合開口向上，所以要滿足：，解得：，要保證是真命題，則與取交集，結果為【小問2詳解】是假命題，是真命題，則一真一假，結合（1）中所求，當真假時，與取交集，結果為；當假真時，與取交集，結果為，綜上：m的取值范圍是.19、（1），；（2）最小值為0，最大值為4.【解析】（1）對求導，根據(jù)在時有極值0，得到，再求出，的值；（2）由（1）知，，然后判斷的單調性，再求出的值域【詳解】解：（1），由題知：聯(lián)立（1）、（2）有(舍)或.當時在定義域上單調遞增，故舍去；所以，，經(jīng)檢驗，符合題意（2）當，時，故方程有根或由，得或由得，函數(shù)的單調增區(qū)間為：，，減區(qū)間為：.函數(shù)在取得極大值，在取極小值；經(jīng)計算，，，，所以最小值為0，最大值為4.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，則，根據(jù)題意可得出關于的方程，求出的值，利用等差數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用裂項相消法求出，即可證得結論成立.【小問1詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，則，由題意可得，即，整理可得，，解得，因此，.【小問2詳解】證明：，因此，，故原不等式得證.21、（1）；（2）0【解析】（1）由題意得，則可得到關于實數(shù)的方程組，求解方程組，即可求得的值；（2）結合（1）中的值得出函數(shù)的解析式，即可利用導數(shù)求得函數(shù)的極小值.【詳解】（1），當時，有極大值3，所以，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意，所以；（2）由（1）得，則，令，得或，列表得極小值極大值易知是函數(shù)的極小值點，所以當時，