2026屆河北省廊坊市名校數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A.直線與曲線相切B.函數(shù)只有極大值，無極小值C.若與互為相反數(shù)，則的極值與的極值互為相反數(shù)D.若與互為倒數(shù)，則的極值與的極值互為倒數(shù)2．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是4，則數(shù)據(jù)的方差是（）A.3.4 B.3.6C.3.8 D.43．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱為三角形的歐拉線已知的頂點(diǎn)，則的歐拉線方程為（）A. B.C. D.4．在平面上給定相異兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線的虛軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.5．已知，則下列說法中一定正確的是（）A. B.C. D.6．已知圓的圓心在軸上，半徑為2，且與直線相切，則圓的方程為A. B.或C. D.或7．已知直線與直線平行，且直線在軸上的截距比在軸上的截距大，則直線的方程為（）A. B.C. D.8．在等腰中，在線段斜邊上任取一點(diǎn)，則線段的長度大于的長度的概率（）A. B.C. D.9．入冬以來，梁老師準(zhǔn)備了4個(gè)不同的烤火爐，全部分發(fā)給樓的三個(gè)辦公室（每層樓各有一個(gè)辦公室）.1，2樓的老師反映辦公室有點(diǎn)冷，所以1，2樓的每個(gè)辦公室至少需要1個(gè)烤火隊(duì)，3樓老師表示不要也可以.則梁老師共有多少種分發(fā)烤火爐的方法（）A.108 B.36C.50 D.8610．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．若點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為（）A. B.2C. D.412．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，，，，則點(diǎn)B到平面PCD的距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．總書記在“十九大”報(bào)告中指出：堅(jiān)定文化自信，推動(dòng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化．“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年．“楊輝三角”是中國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛好者的探究欲望．如圖所示，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角中，第10行第8個(gè)數(shù)是______14．若圓的一條直徑的端點(diǎn)是、，則此圓的方程是_______15．已知函數(shù)f(x)=x3－3x2+2，則函數(shù)f(x)的極大值為______16．已知，，若x，a，b，y成等比數(shù)列，x，c，d，y成等差數(shù)列，則的最小值為_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)圖象恒在函數(shù)的圖象的下方；（2）討論方程的根的個(gè)數(shù).18．（12分）已知命題p：直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，命題q：直線與直線平行.（1）若，判斷命題“”的真假；（2）若命題“”為真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.19．（12分）已知等差數(shù)列滿足，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，，求滿足的n的最大值20．（12分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和21．（12分）已知拋物線的方程為，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)（1）求△OAB面積的最小值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（2）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，傾斜角為45°的直線m過點(diǎn)F，若此拋物線上存在3個(gè)不同的點(diǎn)到m的距離為，求此拋物線的準(zhǔn)線方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為該點(diǎn)處切線的斜率，求出切線方程，并且判斷出極值，通過結(jié)合與互為相反數(shù)，若與互為倒數(shù)，分別判斷的極值與的極值是否互為相反數(shù)，以及是否互為倒數(shù).【詳解】，，令，得，所以，因?yàn)?，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，存在使，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即有極小值，無極大值，故B錯(cuò)誤；設(shè)為的極值點(diǎn)，則，且，所以，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故C正確，D錯(cuò)誤.2、B【解析】利用方差的定義即可解得.【詳解】由方差的定義，，則，所以數(shù)據(jù)的方差為：.故選：B3、D【解析】根據(jù)題意得出的歐拉線即為線段的垂直平分線，然后求出線段的垂直平分線的方程即可.【詳解】因?yàn)?，所以線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，線段所在直線的斜率，則線段的垂直平分線的方程為，即，因?yàn)?，所以的外心、重心、垂心都在線段的垂直平分線上，所以的歐拉線方程為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考走查直線的方程，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出歐拉線，屬于中檔題.4、C【解析】先求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)面積的最大值求得，根據(jù)的面積最小值求，由此可求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，，,依題意得,即,兩邊平方化簡得,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓心為,半徑的圓，當(dāng)位于圓的最高點(diǎn)時(shí)的面積最大，所以,解得；當(dāng)位于圓的最左端時(shí)的面積最小，所以,解得,故雙曲線的離心率為.故選:C.5、B【解析】AD選項(xiàng)，舉出反例即可；BC選項(xiàng)，利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷.【詳解】當(dāng)，時(shí)，滿足，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；因，所以，，，B正確；因?yàn)?，所以，，故，C錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，滿足，，，所以，D錯(cuò)誤.故選：B6、D【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線距離公式可得或，進(jìn)而求得答案【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)，因?yàn)閳A與直線相切，所以由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得或.因此圓的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查利用直線與圓的位置關(guān)系求圓的方程，屬于一般題7、A【解析】分析可知直線不過原點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為，其中且，利用斜率關(guān)系可求得實(shí)數(shù)的值，化簡可得直線的方程.【詳解】若直線過原點(diǎn)，則直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，其中且，則直線的斜率為，解得，所以，直線的方程為，即.故選：A.8、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計(jì)算.【詳解】設(shè)直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C9、C【解析】運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)定義進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)3樓不要烤火爐時(shí)，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：；當(dāng)3樓需要1個(gè)烤火爐時(shí)，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：；當(dāng)3樓需要2個(gè)烤火爐時(shí)，不同的分發(fā)烤火爐的方法為：，所以分發(fā)烤火爐的方法總數(shù)為：，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理是解題的關(guān)鍵.10、C【解析】先求出方程表示雙曲線時(shí)滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”原則進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)榉匠虨殡p曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.11、A【解析】由方程確定曲線的形狀，然后轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值【詳解】由曲線方程為知曲線關(guān)于軸成軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形，在第一象限內(nèi)，方程化為，即，在第一象限內(nèi)，曲線是為圓心，為半徑的圓在第一象限的圓?。ê鴺?biāo)軸上的點(diǎn)），實(shí)際上整個(gè)曲線就是這段圓弧及其關(guān)于坐標(biāo)軸．原點(diǎn)對稱的圖形加上原點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，所以所求最大值為故選：A12、D【解析】為中點(diǎn)，連接，易得為平行四邊形，進(jìn)而可知B到平面PCD的距離即為到平面PCD的距離，再由線面垂直的性質(zhì)確定線線垂直，在直角三角形中應(yīng)用勾股定理求相關(guān)線段長，即可得△為直角三角形，最后應(yīng)用等體積法求點(diǎn)面距即可.【詳解】若為中點(diǎn)，連接，又E為PA的中點(diǎn)，所以，，又，，則且，所以為平行四邊形，即，又面，面，所以面，故B到平面PCD的距離，即為到平面PCD的距離，由底面ABCD，面ABCD，即，，，又，即，，則面，面，即，而，，，，易知：，在△中；在△中；在△中；綜上，，故，又，則.所以B到平面PCD的距離為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、120【解析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式系數(shù)的相關(guān)知識(shí)即可求解.【詳解】因?yàn)椋?xiàng)式展開式第項(xiàng)的系數(shù)為，所以，第10行第8個(gè)數(shù)是.故答案為：12014、【解析】先設(shè)圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用直徑對應(yīng)的圓周角為直角，再利用向量垂直建立方程即可【詳解】設(shè)圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為可得：，則有：，即解得：故答案為：15、2【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到極大值.【詳解】，令，解得：，00極大值極小值所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，即函數(shù)的極大值為.故答案為：16、4【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)把用表示，然后由基本不等式得最小值【詳解】由題意，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故答案為：4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，并求出函數(shù)的最大值小于零，即，即可得證；（2）將方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與交點(diǎn)的問題，大致畫出函數(shù)的圖象，即可求解.【小問1詳解】設(shè)，其中，則，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，又∵，即時(shí)，，∴，∴在區(qū)間上函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方.【小問2詳解】由得，即，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴在處取得最小值，∴，又∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，有零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，∴的大致圖象如圖所示，∴當(dāng)時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)或時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)為2.18、（1）命題“”為真命題（2）【解析】（1）先判斷命題p，命題q的真假，再利用復(fù)合命題的真假判斷；（2）根據(jù)命題“”真命題，由p為真命題，q為假命題求解.【小問1詳解】解：對于命題p，易知直線與雙曲線的左、右支各有一個(gè)交點(diǎn)，∴命題p為假命題；對于命題q，時(shí)，有與，顯然兩條直線垂直，∴命題q為假命題.∴命題“”為真命題.【小問2詳解】∵命題“”為真命題，∴p為真命題，q為假命題.對于命題p，由得，直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即此方程有兩個(gè)不同的正根，∴得.對于命題q，要使命題q為真，則，解得，∴命題q為假命題，即.∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為.19、（1）（2）10【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d，根據(jù)已知條件列關(guān)于和d的方程組即可求解；(2)設(shè)等比數(shù)列公比為q，根據(jù)已知條件求出和q，根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求出，再解關(guān)于n的不等式即可.【小問1詳解】由題意得，解得，∴【小問2詳解】∵，，又，∴，公比，∴，令，得，令，所以n的最大值為1020、（1）（2）【解析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算基本量從而得出的通項(xiàng)公式；（2）由(1)可得，再由裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，所以有，，聯(lián)立兩式解得或又因?yàn)閿?shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】∵，∴，∴21、（1）；（2）是，該定值.【解析】（1）根據(jù)弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】顯然直線存在斜率，設(shè)直線