2025~2026學(xué)年北京市通州區(qū)九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.已知，那么下列式子中一定成立的是（）

A．B．C．D．2.二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A．B．C．D．3.如圖，在中，，，，，則的長為（）

A．3B．4C．5D．64.若兩個相似三角形對應(yīng)邊的比為，則這兩個相似三角形的面積比為（）

A．B．C．D．無法確定5.下列關(guān)于拋物線的說法正確的是（）

A．圖象開口向下B．對稱軸是軸C．有最高點(diǎn)D．隨的增大而增大6.根據(jù)下列表格中的對應(yīng)值，判斷關(guān)于的方程（）的一個解的取值范圍是（）

A．B．C．D．7.函數(shù)y=ax2+ax+a（a≠0）的圖象可能是下列圖象中的（）

A．B．C．D．8.如圖，正方形的邊長是3．點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，連接、交于點(diǎn)，并分別與邊、交于點(diǎn)、，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，，正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A．1個B．2個C．3個D．4個二、填空題9.拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位，則平移后的拋物線表達(dá)式為______．10.《哪吒之魔童鬧?！飞嫌澈蠡鸨颍倪傅目蓯坌蜗蟊槐娙怂矏?，而其各部分結(jié)構(gòu)的長度設(shè)計(jì)都與黃金分割有關(guān)，如圖，點(diǎn)為的黃金分割點(diǎn)（），已知哪吒在劇中的身高設(shè)定為，則長為______（結(jié)果保留根號）．11.如圖，線段相交于點(diǎn)A，連接，請?zhí)砑右粋€條件，使，這個條件可以是______．（寫出一個條件即可）12.某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為軸，出水點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線的一部分，則水噴出的最大高度是______．13.（墨經(jīng)）中有：“景到，在午有端，與景長，說在端”．大約在兩千四百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個小孔成像的實(shí)驗(yàn)．如圖所示的實(shí)驗(yàn)中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是．則蠟燭火焰的高度是______．14.拋物線上有三點(diǎn)，，，則，，的大小關(guān)系是______．（用“＜”連接）15.如圖，在矩形中，若，，，則的長為______．16.已知某函數(shù)的圖象過．兩點(diǎn)，下面有四個推斷，所有合理推斷的序號是______．①若此函數(shù)的圖象為直線，則此函數(shù)的圖象經(jīng)過；②若此函數(shù)的圖象為拋物線、且經(jīng)過，則該拋物線開口向下；③若此函數(shù)的表達(dá)式為（），且圖象經(jīng)過，則；④若此函數(shù)的表達(dá)式為，拋物線開口向下，且，則的取值范圍是．三、解答題17.如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)為外一點(diǎn)，，連接，．求證：．18.已知二次函數(shù)．(1)求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個二次函數(shù)的圖象；(3)當(dāng)時，的取值范圍是______．19.如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，，，求的長．20.在數(shù)學(xué)探究活動中，小辰同學(xué)想利用影子測量旗桿的高度，他在某一時刻測得長的標(biāo)桿影長為，同時當(dāng)他測量教學(xué)樓前的旗桿的影長時，因旗桿靠近教學(xué)樓，有一部分影子在墻上，他測得旗桿到教學(xué)樓的距離，旗桿在教學(xué)樓墻上的影長，求旗桿的高．21.如圖，正方形中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)．求證：．22.已知二次函數(shù)．(1)將化成的形式：___________；(2)補(bǔ)全表格，則___________，___________；

x…0m2n4…y…0k0…(3)若關(guān)于x的方程在的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是___________．23.某公司以每件50元的價格購進(jìn)一種商品，規(guī)定銷售時的單價不低于成本價，且不高于每件70元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量（件）與每件的銷售單價（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系．(1)當(dāng)時，每件的利潤是______，總利潤為______．(2)若設(shè)總利潤為元，則與的函數(shù)表達(dá)式是__________________．自變量的取值范圍是__________________；(3)銷售單價定為多少元時，總利潤最大，最大總利潤是多少？24.如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫圓弧，與邊交于點(diǎn)．，，連接，．若，(1)求證：．(2)若，，求線段的長．25.籃球是大家平時接觸非常多的運(yùn)動之一，投籃時，球出手后籃球飛行的軌跡可以近似的看作一條拋物線的一部分，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，投球后，籃球的豎直高度（單位：）與水平距離（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系（）．(1)小雷同學(xué)想要研究自己的投籃情況：第一次投籃時，記錄了籃球的水平距離（單位：）與豎直高度（單位：）的幾組數(shù)據(jù)如下：

水平距離00.40.81.52.02.43.24.1……豎直高度（保留兩位小數(shù)）2.102.833.434.164.434.504.233.30……第一次的投籃軌跡近似滿足函數(shù)關(guān)系，投籃的出手點(diǎn)高度為______，當(dāng)籃球的水平距離為時，豎直高度為______；(2)已知籃筐中心位置在水平距離，豎直高度處．當(dāng)籃球的豎直高度為時對應(yīng)的水平距離與籃筐中心位置的水平距離相差以內(nèi)，籃球可以進(jìn)入籃筐．若小雷第二次的投籃軌跡近似滿足函數(shù)關(guān)系，已知兩次投籃只有一次投中，則______投中．（填寫“第一次”或“第二次”）（參考數(shù)據(jù)如下：，）26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）交軸于點(diǎn)，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是拋物線上的一動點(diǎn)，且在直線上方．過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，求長的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)．27.在中，，，為邊上的中線．在中，，，．連接，，分別為線段，的中點(diǎn)，連接．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)時，依題意補(bǔ)全圖，求證：；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在外時，連接，，判斷與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并加以證明．28.對于平面直角坐標(biāo)系中第一象限內(nèi)的點(diǎn)和圖形，給出如下定義：過點(diǎn)作軸和軸的垂線，垂足分別為，，若圖形中的任意一點(diǎn)滿足且，則稱四邊形是圖形的一個罩域，點(diǎn)為這個罩域的一個特征點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)，，