2025～2026學年度第一學期第二次階段性聯(lián)合測試初二數(shù)學試題（考試時間120分鐘，總分150分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．在平面直角坐標系xOy中，點P(－2，3)關于x軸的對稱點的坐標為()A．(－2，3) B．(－2，－3) C．(－2，－3) D．(2，3)2．下列運算正確的是()A．a(chǎn)6÷a2＝a3 B．(－2a3)3＝－6a6 C．a(chǎn)3＋a3＝a6 D．a(chǎn)2?a3＝a53．在一些科學研究或工程實驗中，對測量結果的誤差分析是非常重要的．例如，某個測量值的誤差范圍是±0.00056，用科學記數(shù)法表示這個誤差值可以更直觀地看出誤差的大小和相對精度．0.00056用科學記數(shù)法表示應為()A．0.56×10－3 B．5.6×10－4 C．5.6×10－5 D．5.6×1044．已知等腰三角形的兩邊的長分別為3和6，則它的周長為()A．9 B．12 C．15 D．12或155．下面是“作一個角使其等于∠AOB”的尺規(guī)作圖方法．（1）如圖，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；（2）作射線O′A′，以點O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；以點C′為圓心，CD長為半徑畫弧，兩弧交于點D′；（3）過點D′作射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．上述方法通過判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依據(jù)是()A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS6．已知a－b＝5，b－c＝－6，則代數(shù)式a(a－c)－b(a－c)的值為()A．－30 B．30 C．－5 D．－67．下列分式變形正確的是()A．a(chǎn)2-b2a-b＝a-bB．2b8．數(shù)學家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問題：一組人平分10元錢，每人分得若干；若再加上6人，平分40元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求第一次分錢的人數(shù)．設第一次分錢的人數(shù)為x人，則可列方程()A．10x＝40x＋6 B．109．如圖，標號為①，②，③，④的長方形不重疊地圍成長方形PQMN，已知①和②能夠重合，③和④能夠重合，且這四個長方形的面積相等．若AE＝4DE，則S長方形A．35 B．925 C．34 第9題第10題第14題第16題10．如圖，BD為△ABC的角平分線，∠ABC＝2∠C，AH⊥BD于H，若AC＝4，則BH的長度為（） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5二、填空題（本大題共6小題，第11～12題每小題3分，第13～16題每小題4分，共22分.）11．計算：(1312．若x2－ax＋16是一個完全平方式，則a的值為．13．關于x的方程ax＋1＝1的解是非正數(shù)，則14．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC＝2，AB＝3，若AC平分∠BAD，則四邊形ABCD的面積為．15．已知實數(shù)m，n滿足m2＝2n＋7，n2＝2m＋7，且m≠n，則m＋n的值為__________．16．如圖，在四邊形ABEC中，∠BEC和∠BAC都是直角，且AB＝AC．現(xiàn)將△BEC沿BC翻折，點E的對應點為E′，BE'與AC邊相交于D點，恰好BE′是∠ABC的角平分線，則∠DCE′＝_______°，若CE＝1，則BD的長為．三、解答題(共98分)17．（8分）（1）因式分解：m2(n－2)＋25(2－n)； （2）計算：(2a－3b)(2a＋3b)＋(a－3b)2．18．（10分）（1）解分式方程：eq\f(x,x－2)＋2＝eq\f(1,2－x)；（2）先化簡(eq\f(4x＋5,x－1)＋x＋1)÷eq\f(x＋2,x－1)，從－2、－1、1中選一個合適的數(shù)作為x值代入，求出代數(shù)式的值．19．（9分）如圖，在所給正方形網(wǎng)格圖中完成下列各題，△ABC的三個頂點都在格點上(用無刻度的直尺畫圖)．（1）畫出△ABC的中線AD；（2）作出△ABC關于直線l對稱的△A1B1C1；（3）在直線l上找到一點Q，使QB＋QC的值最?。?/p>

20．（10分）如圖，∠ABC＝120°，AB＝BC，D是AC邊上一點，滿足AD＝3CD，連接BD并延長到點E，使得DE＝BD，連接CE．（1）用尺規(guī)作圖作出AC邊上的高BF(保留作圖痕跡，不寫作法)；（2）求證：BC＝2CE．21．（11分）如圖，聰明好學的小海同學看到課本第60頁第14題 經(jīng)過簡單的整理，小海同學由這道題，得出一個結論：三角形一個內(nèi)角平分線分對邊得到的兩線段的比，等于這個角的兩鄰邊的比．過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，過點A作AH⊥CD于H．∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB點E，DF⊥AC于點F，∴，∴eq\f(S△ABD,S△ACD)＝12×AB×圖1又∵eq\f(S△ABD,S△ACD)＝12×BD×AH12×CD×AH＝___________，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,CD)．圖1（1）請你補全小海同學的證明過程；圖222．（12分）若一個正整數(shù)x能表示成兩個正整數(shù)的平方差的形式，則稱這個數(shù)可“平方差表示”．每一種表示方法叫做一個平方差分解．例：∵15＝42－12，∴15可平方差表示，42－12是15的一個平方差分解．（1）請寫出15的另一個平方差分解；（2）試證明：若M＝x2＋6x，(其中x是正整數(shù))，則M可平方差表示；（3）已知N＝x2－y2＋6x－10y＋k(x，y是正整數(shù)，k是常數(shù)，且x＞y＋2)，要使N可平方差表示，試求出符合條件的一個k值，并說明理由．

23．（12分）海安是“中國麻蝦之鄉(xiāng)”，麻蝦醬是本地知名特產(chǎn)。小安為走訪親友購買了相同數(shù)量的甲、乙兩種麻蝦醬，分別花去210元和120元?；丶液笮“哺嬖V媽媽“每盒甲型麻蝦醬比乙型貴12元”，媽媽聽完后說“你肯定是搞錯了”。設每盒乙型麻蝦醬的單價為x元。（1）請通過計算分析，媽媽為什么說小安搞錯了？（2）小安核實賬單后，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩種麻蝦醬的單價均為整數(shù)，每盒甲型與乙型的單價差值算錯了，其他信息都正確。若每盒甲型麻蝦醬比乙型貴m（10<m<16且為整數(shù)）元，求每盒乙型麻蝦醬的單價。24．（12分）綜合與實踐：探究代數(shù)式x2＋eq\f(1,x2)的“奧秘”．x－3－2－1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,2)123x2＋eq\f(1,x2)eq\f(82,9)eq\f(17,4)2eq\f(17,4)eq\f(82,9)eq\f(82,9)觀察表格中的數(shù)據(jù)，探究規(guī)律，并解決以下問題：（1）補全上面表格中的數(shù)據(jù)；（2）已知當x＝2m和x＝m－9時，分式x2＋eq\f(1,x2)的值相等，則m2－9m＝___________．（3）試說明x2＋eq\f(1,x2)的值一定不小于2．25．（14分）【問題提出】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC延長線上的點．連接AD，以AD為邊作△ADE(E、D在AC同側)，使DA＝DE、∠ADE＝∠BAC，連CE．若∠BAC＝90°，判斷△ACE的形狀，并說明理由．（1）【問題探究】先將問題特殊化．如圖2，當D在線段BC上，∠BAC＝60°時，直接寫出∠ACE的度數(shù)；（2）再探究具體情形、如圖1，判斷△ACE的形狀，并說明理由．（3）如圖3，在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝BC，點D是AC的中點，點P是AB邊上的一個動點，連接PD，以PD為邊在PD的上方作等邊三角形PDQ，連接AQ，當AQ的最小值為1時，求AB的長．圖1圖2圖32025～2026學年度第一學期第二次階段性聯(lián)合測試初二數(shù)學答案一、選擇題1．B 2．D 3．B 4．C 5．A6．C 7．D 8．A 9．B 10．C二、填空題11．4 12．±8 13．a(chǎn)≤1且a≠0 14．5 15．－2 16．67.5°；2三、解答題(共98分)17．解：（1）(n－2)(m＋5)(m－5)． 4分（2）原式＝4a2－9b2＋(a2－6ab＋9b2) 6分＝5a2－6ab 8分18．(10分)解：（1）方程兩邊同乘(x－2)，得x＋2(x－2)＝－1，解得：x＝1， 3分檢驗：當x＝1時，x－2≠0，所以原方程的解是x＝1； 5分（2）原式＝(＝(x＋2)2∵x＝1或－2時分式無意義，∴x不能是1或－2，∴當x＝－1時，原式＝－1＋2＝1． 10分19．解：（1）如圖，AD即為所求． 3分（2）如圖，△A1B1C1即為所求． 6分（3）如圖，連接BC1，交直線l于點Q，連接CQ，此時QB＋QC的值最小，則點Q即為所求． 9分20．(10分)（1）解：如圖所示，線段BF即為所求． 4分（2）證明：∵∠ABC＝120°，AB＝AC，∴∠BAC＝∠ACB＝30°，∵AD＝3CD，∴CF＝2CD，∴FD＝CD，∵BF⊥AC，∴AF＝FC，在△BFD和△ECD中，BD＝ED∠BDF＝∠EDC∴△BFD≌ECD(SAS)，∴CE＝BF，∵∠BCF＝30°，∠BFC＝90°，∴BC＝2BF，∴BC＝2CE． 10分21．(11分)（1）DE＝DF；eq\f(AB,AC)；eq\f(BD,CD)． 3分（2）已知：如圖，在△ABC中，AD平分△ABC一個外角∠GAC，交BC所在直線于點D．求證：eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,CD)． 7分證明：過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，過點A作AH⊥CD于H．∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB點E，DF⊥AC于點F，∴DE＝DF，∴eq\f(S△ABD,S△ACD)＝12×AB×DE12×AC×DF=又∵eq\f(S△ABD,S△ACD)＝12×BD×AH12×CD×AH＝eq\f(∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,CD)． 11分22．(12分)解：（1）因為15＝82－72，所以15的另一個平方差分解是82－72； 4分（2）因為M＝x2＋6x，所以M＝x2＋6x＝(x＋3)2－9＝(x＋3)2－32，因為x為正整數(shù)，所以x＋3也是正整數(shù)，所以M可平方差表示． 8分（3）k＝－16，理由如下：N＝x2－y2＋6x－10y＋k＝(x＋3)2－(y＋5)2＋k＋16，若N可平方差表示，則k＋16＝0，所以k＝－16． 12分23．(12分)（1）解：設每盒乙型麻蝦醬的單價為x元，則每盒甲型麻蝦醬的單價為(x＋12)元，根據(jù)題意，得： eq\f(210,x＋12)＝eq\f(120,x)解得x＝16經(jīng)檢驗：x＝16是分式方程的解．由于eq\f(120,16)不是整數(shù)，所以小安搞錯了． 6分（2）根據(jù)題意，得：eq\f(210,x＋m)＝eq\f(120,x)，解得x＝eq\f(4,3)m．經(jīng)檢驗：x＝eq\f(4,3)m是分式方程的解．∵m為整數(shù)，eq\f(210,x＋m)、eq\f(120,x)也是整數(shù)，且10<m<16．∴m＝15．∴x＝20．答：每盒乙型麻蝦醬的單價為20元． 12分24．(12分)（1）eq\f(82,9)；eq\f(17,4)；2；eq\f(17,4) 4分（2）由表格中的規(guī)律可以看出，當2m和x＝m－9，相等、互為倒數(shù)，互為相反數(shù)、互為負倒數(shù)時，分式x2＋eq\f(1,x2)的值相等．所以2m＝m－9或2m(m－9)＝1或2m(m－9)＝－1或2m＋(m－9)＝0所以m2－9m＝162或－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)或－18． 8分（3）∵x2＋eq\f(1,x2)－2＝(x－eq\f(1,x))2≥0．∴x2＋eq\f(1,x2)≥2．即x2＋eq\f(1,x2)的值一定不小于2． 12分25．(14分)解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝60°∴△ABC為等邊三角形∴∠B＝60°∵∠ADE＝∠BAC∴∠ADE＝60°∵DA＝DE∴△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝60°∴∠DAE＝∠BAC∴∠BAD＝∠CAE又AB＝AC，DA＝DE∴△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°． 4分（2）答：△ACE是直角三角形理由：過D作DF⊥CD，交AC的延長線于F，如圖所示：則∠FDC＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∴∠FCD＝∠ACB＝45°，∴△FDC為等腰直角三角形，∴DC＝DF，∠CDF＝90°，∵DA＝DE，∠ADE＝∠BAC，∴△ADE為等腰直角三角形，∴∠ADE＝90°，∴∠ADE＋∠ADC＝∠CDF＋∠ADC，即∠ADF＝∠E