7/15專題01集合與常用邏輯用語(yǔ)（6知識(shí)&9題型&2易錯(cuò)&1方法清單）【清單01】集合的概念與表示一、集合的概念★1.元素:一般地,把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素,常用小寫拉丁字母a,b,c,…表示.2.集合:把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱為集),常用大寫拉丁字母A,B,C,…表示.3.集合相等:構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的.4.集合與元素的關(guān)系：關(guān)系概念記法讀法屬于如果a是集合A的元素,就說(shuō)a屬于集合Aa∈

Aa屬于集合A不屬于如果a不是集合A中的元素,就說(shuō)a不屬于集合Aa

?

Aa不屬于集合A二、集合中元素的特征★★★(1)確定性——對(duì)于一個(gè)給定的集合,它的元素必須是確定的.也就是說(shuō),如果給定

一個(gè)集合,那么一個(gè)元素在或不在這個(gè)集合中就確定了.(2)互異性——對(duì)于一個(gè)給定的集合,它的元素一定是互不相同的.也就是說(shuō),集合

中的任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象,相同的對(duì)象歸入同一個(gè)集合時(shí)只能算為一個(gè)

元素.(3)無(wú)序性——對(duì)于一個(gè)給定的集合,它的元素并無(wú)先后順序,即任何兩個(gè)元素都

是可以交換順序的.三、集合的表示★★★★1.列舉法把集合的所有元素一一列舉出來(lái),并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.2.描述法(1)定義:一般地,設(shè)A是一個(gè)集合,我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)},這種表示集合的方法稱為描述法.(2)寫法:在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍,再

畫一條豎線,在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.特別提醒：用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含義,再看元素的限制條件,明確集合類型,是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型的集合．如集合表示函數(shù)的定義域；集合表示函數(shù)的值域；集合表示函數(shù)的點(diǎn)集；集合表示方程的解集.3.常見數(shù)集的表示★★常用的數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN*或N+ZQR【清單02】集合之間的關(guān)系一、子集、真子集、集合相等★★★★概念圖示性質(zhì)子集一般地,對(duì)于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素,就稱集合A為集合B的子集

,記作

A?B

(或

B?A

),讀作“A包含于B”(或“B包含A”)?任何一個(gè)集合是它本身的子集,即A?

A;對(duì)于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么A?

C集合相等一般地,如果集合A的任何一元素都是集合B的元素,同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素,那么集合A與集合B相等,記作

A=B

?A?B,且B?A?A=B;A=B,且B=C,則A=C真子集如果集合

A?B

,但存在元素x∈B,且x?A

,就稱集合A是集合B的真子集,記作A?B(或B?A)?A?B,且B?C,則A?C;A?B,且A≠B,則A?B二、空集★★定義不含任何元素的集合叫做空集符號(hào)?

?

規(guī)定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集二級(jí)結(jié)論：若集合A中有n個(gè)元素,則集合A的所有子集的個(gè)數(shù)為2n,真子集個(gè)數(shù)為2n－1,非空子集個(gè)數(shù)2n－1,非空真子集個(gè)數(shù)為2n－2.三、Venn圖★★在數(shù)學(xué)中,經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為Venn圖.Venn圖可以直觀地表示集合間的關(guān)系.常見數(shù)集間的關(guān)系如圖所示.【清單03】集合的交集、并集及補(bǔ)集運(yùn)算一、集合的并集與交集★★★★★文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言運(yùn)算性質(zhì)并集一般地,由所有屬于集合A或

屬于集合B的元素組成的集合,稱為集合A與B的并集,記作

A∪B

(讀作“A并B”)A∪B={x|x∈

A,或x∈B}

?A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪?=?∪A=A,A?(A∪B),B?(A∪B),A?B?A∪B=B文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言運(yùn)算性質(zhì)交集一般地,由所有屬于集合A且

屬于集合B的元素

組成的集合,稱為集合A與B的交集,記作A∩B

(讀作“A交B”)A∩B={x|x∈

A,且x∈B}

?A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩?=?∩A=?,(A∩B)?A,(A∩B)?B,A?B?A∩B=A二、集合的全集與補(bǔ)集★★★★1.全集一般地,如果一個(gè)集合含有所研究問(wèn)題中涉及的所有元素,那么就稱這個(gè)集合為全集,通常記作U.2.補(bǔ)集文字語(yǔ)言對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集,簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集,記作

符號(hào)語(yǔ)言={x|x∈U,且x?A}

圖形語(yǔ)言?運(yùn)算性質(zhì)?U,=?,=U,()=A,A∪()=U,A∩()=?二級(jí)結(jié)論：1.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?A∩()=?()∪B=U；2.德摩根律=1\*GB3①；=2\*GB3②【清單04】充分條件、必要條件及充要條件一、充分條件與必要條件★★★★★命題真假“若p,則q”是真命題“若p,則q”是假命題推出關(guān)系由p可以推出q,記作

p?q

由p不能推出q,記作

q?p

條件關(guān)系p是q的充分條件

p不是q的充分條件

q是p的必要條件

q不是p的必要條件

二、充要條件如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均是真命題,即既有p?q

,又有q?p,就記作

p?q

.此時(shí),p既是q的充分條件,也是q的必要條件,我們說(shuō)p是q的充分必要條件,簡(jiǎn)稱為充要條件.顯然,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.概括地說(shuō),如果p?q,那么p與q互為充要條件.【清單05】全稱量詞與存在量詞一、全稱量詞與全稱量詞命題★★全稱量詞全稱量詞命題全稱量詞命題的真假判斷短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞

,并用符號(hào)“?

”表示含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對(duì)M中任意一個(gè)x,p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M,p(x)

全真為真,一假為假二、存在量詞與存在量詞命題★★存在量詞存在量詞命題存在量詞命題的真假判斷短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞

,并用符號(hào)“

?

”表示含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M,p(x)

一真為真,全假為假【清單06】全稱量詞與存在量詞命題的否定★★★★命題的類型命題的符號(hào)表示命題的否定的符號(hào)表示命題的否定的類型全稱量詞命題p:?x∈M,p(x)?p:

?x∈M,?p(x)

存在量詞命題存在量詞命題p:?x∈M,p(x)?p:

?x∈M,?p(x)

全稱量詞命題【題型一】判斷集合之間的關(guān)系【例1】（2025-2026湖北武漢期中）已知集合,則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】,∵,∴表示所有奇數(shù),也表示所有奇數(shù),∴,故選D．【歸納總結(jié)】判斷兩個(gè)集合A、B之間是否有包含關(guān)系的步驟是:先明確集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之間的關(guān)系,當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B時(shí),有AB;當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B,且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A時(shí),有AB;當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B,且集合B中的元素也都屬于集合A時(shí),有A=B;當(dāng)集合A中至少有一個(gè)元素不屬于集合B,且集合B中至少有一個(gè)元素也不屬于集合A時(shí),有AB,且BA,即集合A、B互不包含.【變式1-1】（2025-2026陜西漢中期中）已知集合,則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方程的兩根分別為,所以集合,故,,,,故A,B,C錯(cuò)誤,D正確.故選D.【題型二】利用集合之間的關(guān)系求參數(shù)【例2】（2025-2026河北省五校聯(lián)合教研體期中）已知集合,,若,則m的值為（

）A．1 B．2 C．0 D．1或2【答案】B【解析】集合,因?yàn)?,所以的值為2,故選B.【變式2-1】（2025-2026安徽鼎尖名校期中）已知集合,若,則滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榍?所以,又因?yàn)?所以或,當(dāng)時(shí),,此時(shí)滿足,該情況成立；當(dāng)時(shí),或：若,則,此時(shí)滿足,該情況成立；若,則,此時(shí)滿足,該情況成立；所以滿足條件的的個(gè)數(shù)為3個(gè).故選C.【變式2-2】（2025-2026湖北黃岡期中）已知集合,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合,解得,集合,解得,說(shuō)明集合中的元素都屬于集合,即.故選B【變式2-3】（2025-2026安徽六安期中）已知集合,若,則實(shí)數(shù)的取值集合為.【答案】【解析】由題意得,,當(dāng)時(shí),,滿足；當(dāng)時(shí),,則或,解得或.綜上,實(shí)數(shù)的取值集合為.【題型三】集合的基本運(yùn)算【例3】（2025-2026江蘇連云港期中）已知集合,,則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合,,所以.故選B【歸納總結(jié)】進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算注意三點(diǎn)：(1)意義化：分清集合的類型,是表示數(shù)集、點(diǎn)集還是圖形構(gòu)成的集合．(2)直觀化：借助數(shù)軸、Venn圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來(lái)．(3)求出有關(guān)集合中方程、不等式的解,不能具體求出的,也應(yīng)力求將相關(guān)集合轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)形式．運(yùn)算時(shí)還要注意：①勿忘對(duì)空集的討論；②勿忘集合中元素的互異性；③對(duì)于含參數(shù)的集合問(wèn)題,勿忘對(duì)所求數(shù)值進(jìn)行合理取舍．【變式3-1】（2025-2026福建莆田期中）已知集合,,則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?,所以.故選A．【變式3-2】（2025-2026安徽合肥期中）已知集合,則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】,或,則,則.故選D.【變式3-3】（2025-2026江蘇南京期中）已知全集,,,則圖中陰影部分表示的集合為．

【答案】【解析】由Venn圖可知,圖中陰影部分區(qū)域表示為,,,或,,或,【題型四】利用集合的運(yùn)算求參數(shù)【例4】（2025-2026內(nèi)蒙古赤峰期中）已知集合,若,則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?所以,又因?yàn)?所以,所以的取值范圍是.故選A.【變式4-1】（2025-2026江蘇南通期中）已知集合,集合,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由,則,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選B.【變式4-2】（2025-2026山東棗莊期中）已知集合,若,則【答案】2【解析】由,得,則或,當(dāng)時(shí),得,則,集合中元素不滿足互異性,舍去；當(dāng)時(shí),解得或,若,則,,合題意；若,則,集合中元素不滿足互異性,舍去；綜上,.【題型五】充分條件、必要條件的判定【例5】（2025-2026天津?yàn)I海新區(qū)期中）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】,得,因?yàn)榧鲜羌系恼孀蛹?所以“”是“”的必要不充分條件.故選B.【歸納總結(jié)】對(duì)充分條件與必要條件的理解充分條件:說(shuō)條件是充分的,也就是說(shuō)條件是充足的,條件是足夠的,條件是足以保證的.“有之必成立,無(wú)之未必不成立”.必要條件:必要就是必須,必不可少.“有之未必成立,無(wú)之必不成立”【變式5-1】（2025-2026四川省成都蓉城聯(lián)盟期中）已知命題,,則p是q的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若,則一定成立,故；若,則或,不一定有,故.因此,是的充分不必要條件.故選A.【變式5-2】（2025-2026山東省青島期中）“且”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【謝謝】由且,得；反之,由,得且,或者且,所以“且”是“”的充分不必要條件.故選A【題型六】充分條件、必要條件的應(yīng)用【例6】（2025-2026江蘇淮安市高中協(xié)作體期中）已知集合,.若“”是“”的必要條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件,所以,由,所以,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是,故選B【歸納總結(jié)】從集合角度理解充分條件與必要條件若p以集合A的形式出現(xiàn),q以集合B的形式出現(xiàn),即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},則關(guān)于充分條件、必要條件又可以敘述為：(1)若A?B,則p是q的充分條件；(2)若A?B,則p是q的必要條件；(3)若A＝B,則p是q的充要條件；(4)若AB,則p是q的充分不必要條件；(5)若AB,則p是q的必要不充分條件；(6)若AB且A?B,則p是q的既不充分也不必要條件．【變式6-1】（2025-2026上海市復(fù)旦大學(xué)附中期中）設(shè)α：,β：,若α是β的充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】.【解析】由α是β的充分條件,可得是的子集,即【變式6-2】（2025-2026陜西渭南期中）已知命題：“方程至少有一個(gè)解”,若的一個(gè)必要不充分條件為“”,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】對(duì)于命題：“方程至少有一個(gè)解”,若,則,解得,符合題意；若,則,解得且；綜上所述：.若的一個(gè)必要不充分條件為“”,可知集合是集合的真子集,則,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題型七】含量詞命題真假的判定【例7】（2025-2026浙江省錢塘聯(lián)盟期中）下列命題正確的是（

）A．B．是的充分不必要條件C．D．菱形的兩條對(duì)角線相等【答案】B【解析】選項(xiàng)A：對(duì)于方程,判別式,所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根,故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí),成立,充分性成立,當(dāng)時(shí),解得,必要性不成立,所以是的充分不必要條件,故B正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí),滿足條件,但此時(shí),故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：菱形的兩條對(duì)角線不一定相等,故D錯(cuò)誤.故選B【變式7-1】（2025-2026湖南岳陽(yáng)市平江縣期中）下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是（）A．,方程有實(shí)數(shù)根B．存在一條直線與已知直線不平行C．對(duì)任意實(shí)數(shù)若,則D．存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使等式成立【答案】C【解析】因?yàn)锽,D是存在量詞命題,故應(yīng)排除;對(duì)于A,當(dāng)時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根,故A錯(cuò)誤,由不等式性質(zhì)知,C是真命題.故選C.【題型八】含量詞命題的否定【例8】（2025-2026廣東深圳期中）命題“,使得”的否定為（

）A．,使得 B．,使得C．,使得 D．,使得【答案】C【解析】原命題是存在量詞命題,其否定是全稱量詞命題,所以命題“,使得”的否定為“,使得”.故選C【歸納總結(jié)】對(duì)全稱（存在）命題進(jìn)行否定的方法①找到命題所含的量詞,沒(méi)有量詞的要結(jié)合命題的含義先加上量詞,再改變量詞．②對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定．【變式8-1】（2025-2026廣東省惠州期中）,否定是（

）A．, B．,C．, D．,【答案】C【解析】因?yàn)?否定是,.故選C.【題型九】含量詞命題及否定的應(yīng)用【例9】（2024-2025山東省單縣調(diào)研）若命題“存在,”為假命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】由題意可知,任意,是真命題,當(dāng)時(shí),成立,當(dāng)時(shí),,得,綜上可知,的取值范圍是.【變式9-1】（2025-2026云南玉溪月考）若命題p:“”.使命題p為假命題的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】為真命題,故需滿足,解得,故使命題p為假命題的實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選C【變式9-2】（2025-2026河北省部分高9月聯(lián)合測(cè)評(píng)）若命題“任意”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】由于“任意”為假命題,所以“”為真命題,所以,在區(qū)間上,當(dāng)或4時(shí),取得最大值為,所以．【題型一】利用集合之間的關(guān)系求參數(shù),忽略元素的互異性致錯(cuò)【例1】（2024-2025云南昆明市期末）已知集合,,則（

）A．0 B．1 C．0或1 D．4【答案】B【解析】因?yàn)?,,所以,所以或,即或.當(dāng)時(shí),,集合中的元素不滿足互異性,舍去；當(dāng)時(shí),,滿足.綜上,.故選B【點(diǎn)評(píng)】本題求出,易忽略檢驗(yàn)是否滿足元素的互異性.【易錯(cuò)提醒】在判斷集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí),不少同學(xué)常因忽視互異性,疏于檢驗(yàn)而出錯(cuò)．一般地,在解集合中的未知元素時(shí),要將所得值回歸集合中,檢驗(yàn)集合是否滿足互異性,若不滿足互異性,則應(yīng)舍去.【變式1-1】（2025-2026上海市香山中學(xué)期中）已知集合,,且,則的值為.【答案】【解析】因?yàn)?,且,所以或,解得或或,根據(jù)集合的元素的互異性可得,且,所以,此時(shí),,滿足,所以.【題型二】利用或求參數(shù)忽略為空集致錯(cuò)【例2】（2025-2026黑龍江佳木斯市期中）已知集合滿足,則實(shí)數(shù)的值是（

）A．0或 B．1或 C．0或或1 D．0或【答案】C【解析】因?yàn)?且,當(dāng)時(shí),符合題意；當(dāng)時(shí),又,所以或,解得或,綜上可得實(shí)數(shù)的取值集合為.故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題時(shí)也滿足條件【易錯(cuò)提醒】涉及到“”