2/24專(zhuān)題02不等式的綜合問(wèn)題（恒成立、有解、最值等問(wèn)題）題型1由已知條件判斷所給不等式是否正確題型6恒成立問(wèn)題（重點(diǎn)）題型2解不含參數(shù)的一元二次不等式（常考點(diǎn)）題型7有解問(wèn)題（?？键c(diǎn)）題型3解含參數(shù)的一元二次不等式（重點(diǎn)）題型8整數(shù)解問(wèn)題題型4解分式不等式題型9最值問(wèn)題（?？键c(diǎn)）題型5一元二次方程根的分布問(wèn)題題型10實(shí)際應(yīng)用（?？键c(diǎn)）題型一由已知條件判斷所給不等式是否正確（共5小題）1．（24-25高一上·湖南衡陽(yáng)·期末）已知實(shí)數(shù)，且．下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知可得，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)，以及賦值法即可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，且，所以，所以，又，所以，所以，故D錯(cuò)誤．故選：B.2．（24-25高一上·北京豐臺(tái)·期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】AC可舉出反例；B選項(xiàng)，由不等式性質(zhì)判斷正確；D選項(xiàng)，作差法比較大小.【詳解】A選項(xiàng)，不妨設(shè)，滿足，但，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，由不等式性質(zhì)得，B正確；C選項(xiàng)，不妨設(shè)，此時(shí)滿足，但，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，因?yàn)?，所以，但不確定的正負(fù)，若，則，若，則，若，則，D錯(cuò)誤.故選：B3．（24-25高一上·河南商丘·期末）（多選）若，，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】取特殊值判斷A選項(xiàng)和D選項(xiàng)，由不等式的性質(zhì)判斷B選項(xiàng)，由作差法判斷C選項(xiàng).【詳解】當(dāng)，時(shí)，滿足，但是，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，又，所以，故B正確；因?yàn)?，又，所以，，所以，即，故C正確；當(dāng)，，，時(shí)，滿足，，但是，故D錯(cuò)誤.故選：BC.4．（24-25高一上·山西·期末）（多選）已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由不等式的性質(zhì)結(jié)合已知可得A正確、B正確；作差可得C錯(cuò)誤；舉反例可得D錯(cuò)誤；【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，兩邊同乘以，因?yàn)?，所以由不等式的性質(zhì)，得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，又，由不等式的性質(zhì)，得，所以，故B正確；對(duì)于C，，由題意知，且，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，此時(shí)，故D錯(cuò)誤．故選：AB．5．（24-25高一上·河北邯鄲·期末）（多選）下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，，則【答案】ACD【分析】作差比較即可判斷A的正誤，時(shí)即可判斷B的正誤，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷C的正誤，用和表示即可判斷D的正誤．【詳解】，，，，A正確；時(shí)，，B錯(cuò)誤；，，C正確；，且，，則，D正確．故選：.題型二解不含參數(shù)的一元二次不等式（共5小題）6．（24-25高一上·江蘇南通·期末）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分別求出兩個(gè)集合的解集，再根據(jù)集合的運(yùn)算可求出結(jié)果.【詳解】對(duì)于不等式，解得，所以，對(duì)于不等式，即，解得，所以，所以.故選：B.7．（24-25高一上·湖北武漢·期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式，根據(jù)交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，故選：A8．（24-25高一上·河北唐山·期末）若不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】利用三個(gè)二次的關(guān)系推得方程有兩根為和4，由韋達(dá)定理求出，代入所求不等式，求解即得.【詳解】由題意，方程有兩根為和4，故由韋達(dá)定理，，解得，則不等式即，解得或.故選：D.9．（24-25高一上·云南大理·期末）若關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式的解集是或，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式與方程的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理求得，，再代入不等式，即可求解.【詳解】∵關(guān)于的一元二次不等式的解集是或，∴，2是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴由韋達(dá)定理得：，，即，，不等式化為，即，解得，∴不等式的解集為.故選：D.10．（24-25高一上·湖北恩施·期末）已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由不等式的解集得出關(guān)系，再解分式不等式即可.【詳解】由不等式的解集為，可得，，即，所以不等式可化為，即，所以可得，解得或，所以不等式的解集為，故選：C題型三解含參數(shù)的一元二次不等式（共5小題）11．（24-25高一上·貴州黔西·期末）解下列關(guān)于x的不等式．(1)；(2)．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，求解即可；（2）因式分解，討論兩根大小即可求解；【詳解】（1）等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于且，由可得：，即，即，由可得：，即，或，所以，所以的解集為：（2），等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，即，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，即，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，即，不等式的解集為，綜上：時(shí)，不等式的解集為，時(shí)，不等式的解集為，時(shí)，不等式的解集為.12．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)解不等式；(3)若恒成立，求的值．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由一元二次不等式的求法即可求解；（2）通過(guò)，，，，分類(lèi)討論即可；（3）通過(guò)和兩類(lèi)情況討論求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可得，即，解得或，即解集為；（2）由不等式若，不等式即為，解得；若，不等式可化為，此時(shí)方程的兩根分別為，當(dāng)時(shí)，即，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；綜上可得：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.（3）恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式為，得，不符合題意；當(dāng)時(shí)，恒成立，需滿足：解得：，綜上的值為.13．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)不等式恒成立，討論a是否為0，即可求得答案.（2）分三種情況討論，結(jié)合一元二次方程兩根的大小比較，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知不等式的解集為R，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，需滿足，解得，綜合可知實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）不等式，即，即，即；當(dāng)時(shí)，不等式即，解得；當(dāng)時(shí)，，解，得，當(dāng)時(shí)，，不等式即，解得或當(dāng)時(shí)，，不等式即，則；當(dāng)時(shí)，，不等式即，解得或，綜合上述，可得：當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.14．（25-26高一上·湖南長(zhǎng)沙·月考）已知函數(shù).(1)求關(guān)于的不等式的解集；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，，若，求的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，利用含參數(shù)的一元二次不等式的解法，分類(lèi)討論，即可求解；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.【詳解】（1）解：由不等式，若，不等式即為，解得，即不等式的解集為；若，不等式可化為，即，此時(shí)方程的兩根分別為，當(dāng)時(shí)，不等式即為，解得，解集為；當(dāng)時(shí)，不等式即為，若，可得，解得或，不等式的解集為或；若，可得，不等式即為，此時(shí)不等式的解集為；若，可得，解得或，不等式的解集為或，綜上可得：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.（2）解：由不等式，可得，即，因?yàn)闀r(shí)，集合，且，所以不等式在上恒成立，設(shè)，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.15．（24-25高一上·湖北·期末）已知關(guān)于實(shí)數(shù)的函數(shù)．(1)若的解集為，求的值；(2)解關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由不等式的解集求得參數(shù)值；（2）根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)分類(lèi)討論解不等式．【詳解】（1）若的解集為，則，，，，∴；（2）整理可得，配方得分以下情況討論：1．時(shí)，，解得或2．時(shí)，，解得3．時(shí)，，解得或綜上所述：當(dāng)時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)解集為題型四解分式不等式（共5小題）16．（24-25高一上·北京延慶·期末）不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】移項(xiàng)通分后轉(zhuǎn)化一元二次不等式即可求解.【詳解】原不等式即為即，故，故，故選：D.17．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知，若，，則是的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】解不等式求出命題、，再根據(jù)充分不必要條件定義判斷可得答案.【詳解】由得，解得，則，由得，則，所以若成立，則成立，但成立，但不一定成立，則是的充分不必要條件.故選：B.18．（24-25高一上·上海寶山·期末）不等式的解集為.【答案】【分析】利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集.【詳解】不等式等價(jià)于，解得或，故原不等式的解集為.故答案為：.19．（24-25高一上·廣東深圳·期末）設(shè)不等式的解集為，則．【答案】1【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，然后求解．【詳解】原不等式可化為,即，所以，解得，所以，.故答案為：120．（24-25高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集是.【答案】【分析】利用分式不等式解法即可求得結(jié)果.【詳解】等價(jià)于，即，得到,解得：，故不等式的解集為.故答案為：題型五一元二次方程根的分布問(wèn)題（共5小題）21．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知關(guān)于的方程至少有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】分與時(shí)討論，當(dāng)時(shí)，令判別式大于等于零即可；【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，解得；當(dāng)時(shí)，方程至少有一個(gè)實(shí)根，則，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.22．（23-24高一上·河南南陽(yáng)·期末）一元二次方程有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根的充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出方程有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件，結(jié)合選項(xiàng)，判斷哪一個(gè)是該條件的真子集，即可得答案.【詳解】由題意知一元二次方程的兩根為，要使得方程有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根，需，結(jié)合選項(xiàng)知，只有，即一元二次方程有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根的充分不必要條件是，故選：C23．（23-24高一上·河北滄州·期中）已知關(guān)于x的方程，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和為B．方程無(wú)實(shí)數(shù)根的充分不必要條件是C．方程有兩個(gè)正根的充要條件是D．方程有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根的充要條件是【答案】B【分析】由判斷A；利用方程對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)列不等式組求參數(shù)范圍，結(jié)合充分、必要性定義判斷B、C、D.【詳解】A：由題設(shè)，顯然無(wú)解，錯(cuò)；B：若方程無(wú)實(shí)根，則，即，所以是方程無(wú)實(shí)數(shù)根的充分不必要條件，對(duì)；C：令，要使方程有兩個(gè)正根，所以，可得，故不是充要條件，錯(cuò)；D：同C分析，，可得，故不是充要條件，錯(cuò).故選：B24．（25-26高一上·陜西·月考）關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或C．或 D．或【答案】B【分析】按照、和分類(lèi)討論，按照二次方程根的分布列不等式組求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)根，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，解得，故或．故選：B25．（25-26高一上·廣西河池·月考）已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)若，求的值；(2)若，求的最小值；(3)若，是兩個(gè)不相等的正數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)－1．(2)3．(3)．【分析】（1）利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解；（2）先求出，再由基本不等式求解；（3）由進(jìn)行求解．【詳解】（1）由，可得，因?yàn)?，所以，解得或?（舍去），故的值為－1．（2）當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3．（3）因?yàn)槭莾蓚€(gè)不相等的正數(shù)，所以解得，所以或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．題型六恒成立問(wèn)題（共8小題）26．（24-25高一上·浙江寧波·期末）若不等式對(duì)任意的恒成立，則的最小值為（

）A．3 B． C．4 D．【答案】C【分析】由不等式恒成立，確定，且，再由基本不等式即可求解．【詳解】不等式可化為，當(dāng)時(shí)，不等式為，不滿足對(duì)任意的恒成立；當(dāng)時(shí)，，圖象開(kāi)口向下，不滿足題意，所以，且，所以，所以，且，；所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為4．故選：C27．（24-25高一上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期末）若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】討論、，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍.【詳解】當(dāng)，則，顯然對(duì)于都成立，滿足；當(dāng)，要使對(duì)恒成立，則，所以；綜上，.故答案為：.28．（24-25高一上·重慶·期末）若不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用一元二次不等式恒成立問(wèn)題求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，則；當(dāng)時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D29．（24-25高一上·廣東深圳·期末）已知，若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，則的最小值是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】結(jié)合函數(shù)函數(shù)性質(zhì)，得到函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)，由此建立等式得到的關(guān)系，然后借助基本不等式求出的最小值.【詳解】∵，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，要想關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴，則，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：B.30．（24-25高一上·吉林·期末）已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）依題意可得不等式的解集為，分與兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，即可求出參數(shù)的取值范圍；（2）依題意可得，再分、、、、五種情況討論，分別求出不等式的解集.【詳解】（1）因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）不等式，即，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得或，即不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式即，則；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，即不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，即不等式的解集為；綜上可得：當(dāng)或時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.31．（25-26高一上·甘肅蘭州·期中）已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，解不等式；(3)對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）當(dāng)時(shí)驗(yàn)證解集；當(dāng)時(shí)，由不等式解集分析相應(yīng)二次函數(shù)圖象和二次方程根的情況求解；（2）將不等式因式分解，分情況討論取值求解；（3）通過(guò)分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解.【詳解】（1）（1）當(dāng)，即時(shí)，不等式即，解集不是，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，若不等式的解集為，則二次函數(shù)開(kāi)口向上，且與軸至多一個(gè)交點(diǎn)，也即方程至多一個(gè)實(shí)根，所以，即，解得，即的取值范圍為.（2），即，亦即，當(dāng)時(shí)，，若，即，則，所以，所以，此時(shí)不等式的解集為；若，即，則不等式即，解集為；若，即，則，不等式解集為或.綜上，當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為或.（3）不等式，即，故，即，可化為.設(shè)，對(duì)稱(chēng)軸為，且對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)，離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)為左端點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，因?yàn)閷?duì)任意，不等式恒成立，所以，所以，即的取值范圍為.32．（24-25高一上·江蘇淮安·期中）已知函數(shù)解集為．(1)求的解析式；(2)用定義法證明函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)；(3)若在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解集、根與系數(shù)關(guān)系求得.（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，求得，從而證得的單調(diào)性.（3）利用分離常數(shù)法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求得的取值范圍.【詳解】（1）由函數(shù)解集為，可知方程的兩根為，，由，解得，所以.（2）設(shè)，由，∵，∴，∴即，∴函數(shù)在上為增函數(shù).（3）由題意得：，即對(duì)于任意的，有恒成立，則，當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)得取得最小值，則.33．（24-25高一上·北京西城·月考）已知關(guān)于的方程.(1)若該方程的解集中只有一個(gè)元素，求的值；(2)若，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，解關(guān)于的不等式.【答案】(1)或(2)(3)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，分當(dāng)和，兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，結(jié)合基本不等式，即可求解；（3）根據(jù)題意，不等式轉(zhuǎn)化為，分類(lèi)討論，即可求解.【詳解】（1）解：由關(guān)于的方程，當(dāng)時(shí)，方程即為，解得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，若該方程的解集中只有一個(gè)元素，則滿足，即，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的值為或.（2）解：當(dāng)時(shí)，不等式為，即，由時(shí)，恒成立，即為時(shí)，恒成立，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）解：由不等式，可化為，因?yàn)?，可得，即為，?dāng)時(shí)，即時(shí)，解得，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式為，此時(shí)不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，解得，不等式的解集為，綜上可得：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.題型七有解問(wèn)題（共8小題）34．（24-25高一上·山東濟(jì)南·期末）若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分，和三種情況分類(lèi)討論，其中當(dāng)時(shí)，利用判別式列不等式求解即可，最后求并集.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式為，即，顯然在有解，符合題意；，命題“”為真命題，當(dāng)時(shí)，對(duì)于拋物線，開(kāi)口向下，顯然在有解，符合題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)于拋物線，開(kāi)口向上，只需，解得或，又，所以或，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是或，即.故選：D35．（24-25高一上·江蘇蘇州·期末）若命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先寫(xiě)出命題的否定，再根據(jù)命題的否定為真命題，列不等式解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}“”是假命題，所以“”是真命題，因此即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.36．（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】應(yīng)用分類(lèi)討論，結(jié)合對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍.【詳解】當(dāng)，則，在上顯然不成立，當(dāng)，則或，得或，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D37．（24-25高一上·河北廊坊·期末）函數(shù)在上有解的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】參變分離可得在上有解，利用基本不等式求出，即可求出參數(shù)的取值范圍，再根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷即可.【詳解】由在上有解，即在上有解，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以；因?yàn)檎姘?，結(jié)合選項(xiàng)可知函數(shù)在上有解的一個(gè)充分不必要條件是.故選：B38．（23-24高一上·重慶·期末）已知函數(shù)，若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)存在性的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)單調(diào)遞增，所以，因?yàn)榇嬖?，使得不等式成立，所以有，或，因此?shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：39．（24-25高一上·云南曲靖·月考）已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式有解，求的取值范圍；(2)求的取值范圍，使得總有實(shí)數(shù)解.【答案】(1)或；(2)或.【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系，結(jié)合分類(lèi)討論即可求解，（2）根據(jù)一元二次方程的根，利用判別式即可求解.【詳解】（1）若，則，不滿足題意；若，則必有解；若，解得，故的取值范圍為或；（2）①若，則，不滿足題意；②由，由知總有實(shí)數(shù)解，即，則或，由于，則或，綜上，或.40．（24-25高一上·四川德陽(yáng)·月考）已知函數(shù).(1)若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式；(3)，使得不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可；（2）因式分解得到，根據(jù)的不同取值范圍分類(lèi)討論即可；（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程在給定區(qū)間內(nèi)有解，根據(jù)的不同取值范圍分類(lèi)討論即可.【詳解】（1）不等式的解集為，即恒成立，當(dāng)時(shí)，的解集不為；當(dāng)時(shí)，恒成立，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（2）由題意得，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，是開(kāi)口向上的拋物線，兩根分別為和，當(dāng)，即時(shí)，的解為或，當(dāng)，即時(shí)，的解為，當(dāng)，即時(shí)，的解為或；當(dāng)時(shí)，是開(kāi)口向下的拋物線，兩根分別為和，且，此時(shí)的解為；綜上，當(dāng)時(shí)，的解集為，當(dāng)時(shí)，的解集為，當(dāng)時(shí)，的解集為，當(dāng)時(shí)，的解集為，當(dāng)時(shí)，的解集為.（3）由題意整理得，使得不等式有解，當(dāng)時(shí)，解得，故使得不等式有解，當(dāng)時(shí)，是開(kāi)口向上的拋物線，只需在上即可，因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸為，此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸，所以當(dāng)，即時(shí)，，整理得，結(jié)合可得此時(shí)；當(dāng)，即時(shí)，，結(jié)合可得此時(shí)；當(dāng)時(shí)，是開(kāi)口向下的拋物線，當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí)，，使得不等式有解，綜上的取值范圍為.41．（24-25高一上·河北張家口·月考）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若對(duì)，，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或；(2)；(3).【分析】（1）利用十字相乘的方法解二次不等式即可；（2）利用參變分離的方法解恒成立問(wèn)題，其中最值可由均值不等式求得；（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，分類(lèi)討論求出，再解范圍即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，即，所以，所以，所以或，所以不等式的解集為或.（2）“對(duì)任意，都有恒成立”等價(jià)于“對(duì)任意，都有恒成立”，因?yàn)闀r(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）因?yàn)閷?duì)，，使得不等式成立，所以不等式，因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞增，所以.因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，所以，則成立，故；當(dāng)，即時(shí)，，由得，所以；當(dāng)，即時(shí)，，由得，所以.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型八整數(shù)解問(wèn)題（共5小題）42．（23-24高一上·云南昆明·期末）（多選）已知，若關(guān)于的不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則的可能取值有（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】AD【分析】分類(lèi)討論k的取值范圍，結(jié)合不等式只有一個(gè)整數(shù)解，確定k的取值，即得答案.【詳解】關(guān)于的不等式即，即，當(dāng)時(shí)，即，解集為空集，不合題意；當(dāng)時(shí)，的解滿足，要使得關(guān)于的不等式只有一個(gè)整數(shù)解，需，由于，故；當(dāng)時(shí)，的解滿足，要使得關(guān)于的不等式只有一個(gè)整數(shù)解，需，由于，故，綜合得的可能取值，故選：AD43．（24-25高一上·浙江溫州·期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式有且僅有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是．【答案】【分析】分析可知，，由可得，分析可知，，不等式兩邊平方整理可得，然后分、兩種情況討論，解不等式，確定整數(shù)解，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)?，由可得，不等式兩邊平方可得，?dāng)時(shí)，，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，則，則原不等式可化為，解得或，此時(shí)，關(guān)于的不等式有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，則，則原不等式可化為，解得，由題意可知，關(guān)于的不等式有且僅有一個(gè)整數(shù)解，且這個(gè)整數(shù)解為，所以，，解得，又因?yàn)椋裕?因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次不等式，然后注意對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，并解出二次不等式，并確定整數(shù)解，然后列出關(guān)于參數(shù)的不等式求解.44．（24-25高一上·湖北·月考）關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)正整數(shù)解，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】原不等式即為，分、、三種情況討論，解原不等式，確定滿足不等式的三個(gè)正整數(shù)解，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由得，若時(shí)，原不等式即為，不合乎題意；若時(shí)，則原不等式的解為或，滿足條件的正整數(shù)解有無(wú)數(shù)個(gè)，不合乎題意；若時(shí)，則原不等式的解為，由題意可知，滿足條件的三個(gè)正整數(shù)解為、、，則，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.45．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知結(jié)合二次不等式的求法分別求出各不等式的解集，即可求解.【詳解】由，即，解得或，由，即，因?yàn)?，不等式的解集為，結(jié)合題意，此時(shí)原不等式組的解集為，且僅有一個(gè)整數(shù)解，所以.故選：B.46．（25-26高一上·陜西商洛·月考）已知關(guān)于的不等式的解集為.(1)求的值；(2)若關(guān)于的不等式恰有3個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由不等式的解集得到相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得；（2）根據(jù)（1）得到的關(guān)系，代入不等式求解，討論其解集的情況，并根據(jù)該不等式恰有3個(gè)整數(shù)解，確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以方程有兩根為-1和2，且，由韋達(dá)定理得解得，所以.（2）由（1）得，所以由，得.即，因?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，所以不等式的解集為，要使得關(guān)于的不等式恰有3個(gè)整數(shù)解，則這3個(gè)整數(shù)解是3，4，5.所以，解得.當(dāng)時(shí)，不等式化為，所以不等式解集為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以不等式的解集為，此時(shí)關(guān)于的不等式最多有1個(gè)整數(shù)解，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型九最值問(wèn)題（共5小題）47．（24-25高一上·上海長(zhǎng)寧·期末）偶函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)條件得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合條件，即可求解.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則，則，又在區(qū)間上的最大值為，且當(dāng)時(shí)，，所以，解得，故答案為：.48．（24-25高一上·陜西西安·期末）已知函數(shù)，且關(guān)于的不等式的解集為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，討論在區(qū)間上的最值.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）由不等式的解可確定的解，然后由韋達(dá)定理可得答案；（2）由（1），討論在區(qū)間上的單調(diào)性，據(jù)此可得答案.【詳解】（1）因的解集為，則的根為與.由韋達(dá)定理，可得，則；（2）由（1），，若，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，則；若，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，.綜上，.49．（24-25高一上·北京豐臺(tái)·期末）設(shè)函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值和最小值：(2)若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；(3)若在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)最小值為3，最大值為7．(2)(3)．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出最值；（2）根據(jù)函數(shù)不單調(diào)列不等式計(jì)算求參；（3）解法1：分及兩種情況分類(lèi)討論求零點(diǎn)或結(jié)合零點(diǎn)存在定理計(jì)算范圍；解法2：先計(jì)算對(duì)稱(chēng)軸為，再分，及，結(jié)合零點(diǎn)存在定理計(jì)算求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以的對(duì)稱(chēng)軸為，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為．（2）由已知，得的對(duì)稱(chēng)軸為．因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，所以．由，解得，故的取值范圍是（3）解法1：由已知，得．1）當(dāng)即，或時(shí)，由，得，此時(shí)的零點(diǎn)為3，不符合題意：由，得，此時(shí)的零點(diǎn)為，符合題意．2）當(dāng)即，或時(shí)，①若，此時(shí)的對(duì)稱(chēng)軸且所以在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，符合題意②若，此時(shí)的對(duì)稱(chēng)軸，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．又因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)只需滿足，解得．綜上，的取值范圍是．解法2：由已知，得的對(duì)稱(chēng)軸為，1）當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)為，符合題意．2）當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，不符合題意，3）當(dāng)即，且時(shí)，由在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，則有以下兩種情況：①，解得，或②解得．綜上，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是應(yīng)用零點(diǎn)存在定理列不等式關(guān)系計(jì)算求參.50．（24-25高一上·四川南充·期末）已知函數(shù)，不等式的解集為．(1)若時(shí)，的最大值為6，求的解析式；(2)若函數(shù)，解關(guān)于x的不等式．【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）由不等式的解集可得，，，再由二次函數(shù)的最大值求得，進(jìn)而可得函數(shù)解析式；（2）由題設(shè)有，應(yīng)用分類(lèi)討論求解一元二次不等式的解集即可.【詳解】（1）∵不等式的解集為，∴，且1和3是方程的兩根，∴，，即，，∴，∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴時(shí)，，∴，，，故函數(shù)解析式為.（2）由，得，即，由得：或，①當(dāng)時(shí)，即，則或，②當(dāng)時(shí)，即，則或，③當(dāng)時(shí)，即，則或，綜上，當(dāng)時(shí)，解集為或；當(dāng)時(shí)，解集為或；當(dāng)時(shí)，解集為或.51．（25-26高一上·陜西西安·期中）設(shè)函數(shù)（），.(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式：；(3)求函數(shù)在上的最小值.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)【分析】（1）轉(zhuǎn)化問(wèn)題為恒成立，進(jìn)而結(jié)合二次不等式恒成立問(wèn)題求解即可；（2）不等式化簡(jiǎn)為，進(jìn)而根據(jù)含參一元二次不等式的解法，分類(lèi)討論即可求解.（3）求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合圖像討論的范圍即可求解.【詳解】（1）對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，等價(jià)于恒成立.當(dāng)時(shí)，不等式可化為，不滿足題意.當(dāng)，有，即，解得，所以的取值范圍是.（2）依題意，等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式化為，此時(shí)，所以不等式的解集為當(dāng)時(shí)，不等式化為，當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.（3）函數(shù)是二次函數(shù)，函數(shù)圖象是拋物線，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線；當(dāng)，即時(shí)，在上的最小值為；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，最小值為；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，最小值為；綜上，在上的最小值為，題型十實(shí)際應(yīng)用（共5小題）52．（25-26高一上·天津河西·期中）某汽車(chē)租賃公司共有300輛汽車(chē)，在十一黃金周期間，若每輛汽車(chē)每天的租金為200元，則所有汽車(chē)均能被租賃出去；若將每輛汽車(chē)每天的租金在200元的基礎(chǔ)上提高元（，），則被租出去的汽車(chē)會(huì)減少輛.若要使該公司每天租賃汽車(chē)的收入超過(guò)萬(wàn)元，則該公司每輛汽車(chē)每天的租金定價(jià)為元.【答案】【分析】根據(jù)題意列出收入表達(dá)式，則得到一元二次不等式，解出即可.【詳解】依題意，每天有輛汽車(chē)被租出去，該汽車(chē)租賃公司每天租賃汽車(chē)的收入為元.因?yàn)橐乖撈?chē)租賃公司每天租賃汽車(chē)的收入超過(guò)萬(wàn)元，所以，即，解得，又因?yàn)榍?，所以，即該汽?chē)租賃公司每輛汽車(chē)每天的租金應(yīng)定為元.故答案為：.53．（25-26高一上·福建泉州·期中）為配制一種藥液，進(jìn)行了二次稀釋?zhuān)仍隗w積為10升的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出一部分溶液后用水補(bǔ)滿，再攪拌均勻，第二次倒出相同數(shù)量的溶液后用水補(bǔ)滿．若第二次稀釋后桶中藥液含量不超過(guò)容積的64%，則每次至少倒出升溶液．【答案】2【分析】求出第一次、第二次稀釋后的濃度，根據(jù)第二次稀釋后桶中藥液含量不超過(guò)容積的列式，解不等式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)每次倒出升溶液第一次