專題2.1等式與不等式考點清單【清單01】等式的性質(zhì)（1）等式的兩邊同時加上一個數(shù)或代數(shù)式，等式仍然成立.（2）等式的兩邊同時乘以一個不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍然成立.【清單02】恒等式1.一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實數(shù)時等式都成立．則稱其為恒等式，也稱兩邊恒等.注意：恒等式是進行代數(shù)式變形的依據(jù)之一.2.恒等式：（x+a)(x+b）=x2+(a+b)x+ab；（ax+b)(cx+d）=acx2+(ad+bc)x+bd【清單03】方程的解集方程的解（或根）是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，一般地，把一個方程所有解組成的集合稱為這個方程的解集.【清單04】一元二次方程的解集1.配方法解方程（1）配方（2）一元二次方程的解集：（3）一元二次方程的判別式：Δ=b2-4ac【清單05】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的兩根記作x1，x2則【清單06】方程組的解集1.一般地，將多個方程聯(lián)立，就能得到方程組，方程組中，由每個方程的解集得到的交集稱為這個方程組的解集2.方程組的解法：代入消元法、加減消元法.發(fā)現(xiàn)：當方程組中未知數(shù)的個數(shù)大于方程的個數(shù)時，方程組的解集可能含有無窮多個元素.此時，如果講其中一些未知數(shù)看成常數(shù)，那么其它未知數(shù)往往能用這些未知數(shù)表示出來.【清單07】不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1：a>b?a＋c>b＋c性質(zhì)2：a>b，c>0?ac>bc性質(zhì)3：a>b，c<0?ac<bc性質(zhì)4：a>b?b<a；a<b?b>a（不等式的傳遞性）性質(zhì)5：a>b?b<a；a<b?b>a推論1：a+b>c?a>c-b（移項法則）推論2：a>b，c>d?a＋c>b＋d（同向可加，不等號方向不變.可推廣）推論3：a>b>0，c>d>0?ac>bd推論4：a>b>0，n∈N*?an>bn（n∈N,n>1）推論5:a>b>0，n∈N，n≥2?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)【清單08】證明不等式的方法1.作差法：一般步驟：①作差；②變形；③定號；④結(jié)論．其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當兩個式子都為正數(shù)時，有時也可以先平方再作差．2.綜合法：從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，逐步推導最后得到結(jié)論的方法.3.反證法：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立.4.分析法：推理形式是“要證（結(jié)論）p,只需證明q”，可以表示為p?=q5.作商法：當明確比較內(nèi)容均為正時，可利用作商法，一般步驟：①作商；②變形；③與1比較；④結(jié)論．【清單09】不等式的重要結(jié)論1．倒數(shù)性質(zhì)的幾個必備結(jié)論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).2．兩個重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．【清單10】不等式的解集與不等式組的解集1.能夠使不等式成立的未知數(shù)的值稱為不等式的解，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集.2.不等式組中各個不等式解集的交集稱為不等式組的解集.【清單11】絕對值不等式1.絕對值的概念：．2.含有絕對值的不等式稱為絕對值不等式．3.常見絕對值不等式的解（1）形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解．（2）形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式①絕對值不等式|x|>a與|x|<a的解集②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．4.如果實數(shù)a,b在數(shù)軸上對應的點分別為A,B，即A（a）,B(b)，線段AB的中點M（x）則(1)數(shù)軸上兩點之間的距離公式:AB=|a-b|(2)數(shù)軸上的中點坐標公式:5.拓廣：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法：利用絕對值號內(nèi)式子對應方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設(shè)a<b)三個部分，在每個部分上去掉絕對值號分別列出對應的不等式求解，然后取各個不等式解集的并集．(2)幾何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的幾何意義：數(shù)軸上到點x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結(jié)合圖象求解．【清單12】一元二次不等式的解法1.概念：我們把只含有一個未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．2.形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3.一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集.4.一元二次不等式的常見解法（1）因式分解法；（2）配方法；（3）解一元二次不等式的一般步驟①化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標準形式．②判：計算對應方程的判別式．③求：求出對應的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實根．④寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．【清單13】分式不等式的解法1.定義：分母中含有未知數(shù)，且分子、分母都是關(guān)于x的多項式的不等式稱為分式不等式.2.常見類型：eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)>0，eq\f(fx,gx)<0?f(x)·g(x)<0.eq\f(fx,gx)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))?f(x)·g(x)>0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0)).eq\f(fx,gx)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0))?f(x)·g(x)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0.))【清單14】均值不等式1.設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為2.均值不等式：（1）當a>0，b>0時有，當且僅當a=b時，等號成立．（2）基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．（3）幾何意義：①如果矩形的長、寬分別為a,b，那么矩形的面積是ab,可以看成與矩形周長相等的正方形的面積，均值不等式的幾何意義為：所有周長一定的矩形中，正方形面積最大.②如圖所示的半圓中，AB為直徑，O為圓心，AC=a，BC=b,D在半圓上，DC⊥AB，計算可得OD=，CD=,a≠b時，>a=b時，=【清單15】均值不等式與最值1.已知x、y都是正數(shù)．(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當x＝y(tǒng)時，積xy取得最大值（簡記：和定積最大）．(2)若xy＝p(積為定值)，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y取得最小值（簡記：積定和最小）．特別提醒：應用條件：一正、二定、三相等，缺乏一條都不行！2.常用推論：（1）（）（2）（，）；（3）【考點題型一】已知一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系問題【例1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知方程的兩個根為、，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4).【變式1-1】（24-25高一上·上海黃浦·期中）已知方程的兩個根為，，則．【變式1-2】（24-25高三上·上?！るA段練習）已知方程的兩個根為，則．【變式1-3】（24-25高一上·上?！るA段練習）設(shè)是方程的兩個實數(shù)根，則.【變式1-4】（24-25高一上·福建廈門·階段練習）已知，是方程的兩個不等實根，則.【考點題型二】含參數(shù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系問題【例2】（24-25高一上·云南保山·階段練習）已知關(guān)于的一元二次方程.(1)若方程有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；(2)若方程有兩實根，，且滿足，求實數(shù)的值.【變式2-1】（24-25高一上·河北邯鄲·期中）小張、小胡兩位同學解關(guān)于的方程，小張同學寫錯了常數(shù)，得到的根為或，小胡同學寫錯了常數(shù)，得到的根為或，則的值為（

）A．17 B．7 C． D．【變式2-2】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．若方程的兩根為，且滿足，則m的值為【變式2-3】（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知一元二次方程的兩個實根分別為、，且，求實數(shù)的值.【變式2-4】（24-25高一上·黑龍江大慶·階段練習）已知關(guān)于的一元二次方程.(1)當時，設(shè)方程的兩個實根分別為，求代數(shù)式的值；(2)若該方程有兩個異號實根，求實數(shù)的取值范圍.【考點題型三】不等式性質(zhì)及其應用【例3】（多選）（24-25高一上·甘肅嘉峪關(guān)·期中）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，則【變式3-1】（多選）（24-25高一上·重慶·階段練習）下列說法中，正確的是（

）A．若，，則B．若，則C．若，，則D．若，，則【變式3-2】（2024高三·全國·專題練習）若，則的取值范圍是．【變式3-3】（2024高三·全國·專題練習）已知，比較大小：．【變式3-4】（2024高三·全國·專題練習），，則，的大小關(guān)系為．【考點題型四】簡單不等式（組）的解法【例4】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）解不等式．【變式4-1】（24-25高一上·遼寧·階段練習）不等式的最小整數(shù)解為（

）A． B． C． D．【變式4-2】（24-25高一上·山西·階段練習）不等式的解集為（

）A． B．C．或} D．或}【變式4-3】（24-25高一上·上?！て谥校┦共坏仁街械忍柍闪⒌膞的取值范圍是.【變式4-4】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）解下列不等式（組）：(1)；(2).【考點題型五】一元二次不等式的解法【例5】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知二次函數(shù)滿足且，函數(shù)(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值；(3)解關(guān)于的不等式.【變式5-1】（24-25高一上·廣東珠?！て谥校┮阎坏仁降慕饧癁椋?1)求的值；(2)解不等式．【變式5-2】（23-24高一上·北京·期中）已知關(guān)于的不等式的解集為.(1)求實數(shù)，的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集.【變式5-3】（24-25高一上·湖南永州·期中）設(shè)函數(shù)，求不等式的解集；【變式5-4】（24-25高一上·山東·期中）已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集為.(1)求b，c的值；(2)解關(guān)于x的不等式.【考點題型六】由不等式（組）的解（集）求參數(shù)（范圍）【例6】（24-25高一上·河北衡水·階段練習）已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集為.(1)求b，c的值；(2)若為非負實數(shù)，解關(guān)于的不等式.【變式6-1】（24-25高一上·山東濱州·階段練習）若不等式組的解集是，則m的取值范圍（）A． B．C． D．無法確定【變式6-2】（多選）（24-25高一上·四川瀘州·期中）已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．關(guān)于的不等式的解集為D．若，則的最大值為1【變式6-3】（24-25高一上·安徽·期中）已知，的解集中的整數(shù)恰有4個，則實數(shù)的取值范圍為.【變式6-4】（22-23高一上·天津濱海新·期中）設(shè)函數(shù)(1)若不等式的解集為求的值；(2)若求不等式的解集；【考點題型七】不等式的判斷與證明【例7】（多選）（2024高三·全國·專題練習）已知，，，且滿足，則（

）A． B．C． D．【變式7-1】（24-25高一上·四川遂寧·期中）已知a>0，，則，，，中最大的是（

）A． B． C． D．【變式7-2】（多選）（24-25高三上·湖南·期中）已知正數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【變式7-3】（多選）（24-25高三上·陜西渭南·期中）已知，，則下列式子正確的是（

）A． B．C． D．【變式7-4】（多選）（2024高三·全國·專題練習）已知，，且，則（

）A． B．C． D．【考點題型八】“配湊法”求最值【例8】（24-25高一上·河北衡水·階段練習）已知，，．(1)求的最小值和的最小值；(2)求的最小值．【變式8-1】（24-25高三上·廣東深圳·階段練習）已知都是正實數(shù)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式8-2】（24-25高一上·廣東揭陽·階段練習）已知，則有（

）A．最大值為 B．最大值為C．最小值為 D．最小值為【變式8-3】（24-25高一上·廣東·期中）若，則的最小值為．【變式8-4】（24-25高一上·山東菏澤·期中）已知，則的最大值為，取得最大值時的的值為.【考點題型九】“1”的代換求最值【例9】（24-25高一上·遼寧朝陽·階段練習）已知，.(1)求的最小值；(2)若，求的最小值.【變式9-1】（24-25高一上·廣西桂林·期中）已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式9-2】（多選）（24-25高一上·黑龍江雞西·期中）設(shè)正實數(shù)，滿足，則下列說法中正確的有（

）A．有最大值 B．有最大值4C．無最大值 D．有最小值【變式9-3】（2024高三·全國·專題練習）已知正實數(shù)滿足，則的最小值是．【變式9-4】（24-25高一上·廣東·期中）已知正數(shù)滿足.(1)求的最大值；(2)求的最小值.【考點題型十】“和”“積”共存式條件最值問題【例10】（24-25高一上·河北衡水·階段練習）設(shè)正數(shù)，滿足，則的最小值為．【變式10-1】（24-25高一上·貴州畢節(jié)·期中）已知正數(shù)、滿足，則的最小值等于（

）A．10 B． C． D．【變式10-2】（24-25高一上·山西·期中）已知，且，則的最小值為（

）A．12 B．10 C．9 D．8【變式10-3】（2024高三·全國·專題練習）已知實數(shù)滿足，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式10-4】（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知正實數(shù)，，滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【考點題型十一】均值不等式的實際應用【例11】（24-25高一上·重慶·階段練習）“守護碧水藍天，共治污水之源”，重慶市某自來水廠決定對污水進行凈化再利用，以降低自來水的使用量．經(jīng)測算，水廠擬安裝一種新的污水凈化設(shè)備．這種凈水設(shè)備的購置費（單位：萬元）與設(shè)備的占地面積（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.2，預計安裝后該水廠需繳納的總水費（單位：萬元）與設(shè)備占地面積之間的函數(shù)關(guān)系為，將該水廠的凈水設(shè)備購置費與安裝后需繳水費之和合計為（單位：萬元）．(1)要使不超過11.2萬元，求設(shè)備占地面積的取值范圍；(2)設(shè)備占地面積為多少平方米時，的值最小，并求出此最小值．【變式11-1】（24-25高一上·山東臨沂·期中）如圖所示的“大方圖”稱為“趙爽弦圖”，它是由中國數(shù)學家趙爽于公元3世紀在給《周髀算經(jīng)》"勾股網(wǎng)方圖"作注時給出的一種幾何平面圖，記載于趙爽“負薪余日，聊觀《周》”一書之中．他用數(shù)學符號語言將其表示為"若直角三角形兩直角邊為a、b，斜邊為c（a、b、c均為正數(shù)）．則，．某同學讀到此書中的“趙爽弦圖”時，出于好奇，想用軟鋼絲制作此圖，他用一段長8cm的軟鋼絲作為的長度（制作其它邊長的軟鋼絲足夠用），請你給他算一算，他能制作出來的“趙爽弦圖”的最小面積為（

）A．24 B．30 C．32 D．36【變式11-2】（24-25高三上·河北唐山·期中）為凈化水質(zhì)，向一個游泳池加入某種化學藥品，加藥后池水中該藥品的濃度（單位：）隨時間（單位：）的變化關(guān)系為，則經(jīng)過（

）后池水中藥品的濃度達到最大．A． B． C． D．【變式11-3】（24-25高一