2/24專題03基本不等式及其應用題型1基本不等式求積的最大值（重點）題型7條件等式變形求最值（難點）題型2基本不等式求和的最小值（重點）題型8基本不等式鏈的應用題型3基本不等式“1”的妙用求最值（重點）題型9利用基本不等式在恒成立問題中求參數(shù)的范圍（重點）題型4二次與二次(或一次)的商式的最值題型10利用基本不等式證明不等式題型5換元法求最值（常考點）（難點）題型11基本不等式的實際應用（?？键c）題型6兩次應用基本不等式求最值（難點）題型12權(quán)方和不等式（拓展）（重點）題型一基本不等式求積的最大值（共5小題）1．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，則函數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式，可得答案.【詳解】當時，，當且僅當，即時等號成立，所以時，的最大值為，故選：A.2．（24-25高一上·甘肅天水·期末）已知一個直角三角形的斜邊長為8，則其面積的最大值是（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【分析】應用基本不等式求面積最大值即可.【詳解】設(shè)直角三角形兩直角邊分別為，則，當且僅當時取等號，故其面積的最大值是.故選：C3．（22-23高一上·陜西商洛·期末）已知，且，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．5 D．10【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷兩數(shù)均為正數(shù)，再由基本不等式計算可求得結(jié)果.【詳解】由可得，所以可得，當且僅當時等號成立；所以的最大值為1.故選：A4．（24-25高一上·河南鄭州·期末）已知，且，則的最大值為.【答案】/【分析】利用基本不等式可求乘積的最大值.【詳解】由基本不等式可得，即，當且僅當時等號成立，故的最大值為，故答案為：.5．（24-25高一上·吉林四平·期末）用一根長度為2的繩子圍成一個扇形，當扇形面積最大時，其圓心角的弧度數(shù)為.【答案】【分析】根據(jù)已知條件及基本不等式，利用弧長公式及扇形的面積公式即可求解.【詳解】設(shè)扇形的弧長為，半徑為，則，，則，當且僅當時，等號成立，所以扇形面積，當時，扇形面積取得最大為.所以圓心角的弧度數(shù)為.故答案為:.題型二基本不等式求和的最小值（共3小題）6．（24-25高一下·內(nèi)蒙古·期末）的最小值為（

）A． B． C．6 D．24【答案】B【分析】將變形為，再利用基本不等式求其最小值即可.【詳解】因為，當且僅當，即時，等號成立．所以的最小值為，故選：B.7．（24-25高一下·廣東汕頭·期末）已知，的最小值為（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】C【分析】由題意有，利用均值不等式即可求解.【詳解】由，所以，當且僅當時等號成立，所以的最小值為.故選：C.8．（24-25高一上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期末）已知，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．3 D．2【答案】C【分析】應用基本不等式求最小值，注意取值條件即可.【詳解】由題設(shè)，當且僅當時取等號，故原式的最小值為3.故選：C9．（24-25高一上·山西大同·期末）函數(shù)的最小值是（

）A．7 B．1 C．5 D．【答案】A【分析】先將變?yōu)椋缓罄没静坏仁角蠼庾钚≈导纯?【詳解】因為，所以，所以．當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是7．故選：A10．（24-25高一上·河南周口·期末）若，則的最大值為.【答案】【分析】變形得到，由基本不等式求出最值.【詳解】，，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，故.故答案為：題型三基本不等式“1”的妙用求最值（共10小題）11．（24-25高一上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】利用等量關(guān)系和基本不等式可求答案.【詳解】由得，故，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：B．12．（24-25高一上·貴州遵義·期末）已知任意正實數(shù)x，y滿足，則的最小值是（

）A． B． C．5 D．【答案】A【分析】利用“1”的妙用，根據(jù)基本不等式即可求最值.【詳解】因為，所以，又，所以，則由基本不等式可得：，當且僅當，即時，等號成立.因此，的最小值是.故選：A.13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，且，則的最小值是（

）A．49 B．50 C．51 D．52【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用方法計算可得.【詳解】因為，且，所以，當且僅當，即，時取等號.故選：A14．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）已知，則的最小值是（

）A． B．9 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式求最值即可得解.【詳解】因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，故選：A15．（24-25高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知函數(shù)，若，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則為奇函數(shù)且是增函數(shù)，由可得，即，再利用基本不等式可得答案.【詳解】設(shè)，定義域為，關(guān)于原點對稱，且，故為奇函數(shù)；則，，故；因為為增函數(shù)，故，即，，故與同號，顯然它們都是正數(shù)；當且僅當，即時等號成立；故選：D.16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為．【答案】6【分析】應用“1”的代換及基本不等式求的最小值，注意取值條件.【詳解】由題設(shè)，當且僅當時取等號，即的最小值為6.故答案為：617．（24-25高一上·湖北武漢·期末）已知，則的最小值為.【答案】/4.5【分析】根據(jù)“1”的變形技巧，利用基本不等式得解.【詳解】由可得，所以，當且僅當，即時等號成立，故答案為：18．（24-25高一上·上海金山·期中）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為.【答案】【分析】化簡可得，結(jié)合基本不等式求其最小值.【詳解】因為正實數(shù)，滿足，當且僅當且時，即時取等號.故答案為：.19．（23-24高一上·天津·期末）若實數(shù)，，且滿足，則的最小值為.【答案】/【分析】將式子變形，利用常數(shù)代換，結(jié)合基本不等式即可求得最小值.【詳解】因為，所以，又實數(shù)，，所以所以，當且僅當，即時，等號成立，故答案為：.20．（23-24高一上·天津·期末）函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，若點在函數(shù)的圖象上，，則的最小值為．【答案】【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，確定定點坐標，再代入三角函數(shù)，可得，再利用基本不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)（且）橫過定點，由題意可知，，即，，則，當時，即，得，時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：題型四二次與二次(或一次)的商式的最值（共3小題）21．（24-25高一上·廣東江門·期末）若，則的最小值是.【答案】/【分析】依題意利用基本不等式計算可得.【詳解】因為，所以，當且僅當，即時取等號，故答案為：22．（25-26高一上·江西·月考）已知，則的最大值是（

）．A． B． C．5 D．8【答案】A【分析】化簡變形利用基本不等式計算即可．【詳解】易知．因為，所以，所以，則，當且僅當，即時，等號成立，故，則的最大值是．故選：A23．（23-24高一下·重慶沙坪壩·月考）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將目標式整理為齊次式，再結(jié)合均值不等式即可求得結(jié)果.【詳解】，因為，故，則，當且僅當，也即取得等號，故的最小值為.故選：D.題型五換元法求最值（共8小題）24．（23-24高二下·浙江麗水·期末）已知，，則的最小值為.【答案】【分析】設(shè)，，再根據(jù)結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】設(shè)，，則，因為，故，則.故，，當且僅當，即，結(jié)合可得，，即，，，時取等號.故答案為：25．（25-26高一上·重慶·期中）已知正實數(shù)滿足，則的最小值是.【答案】【分析】先對已知條件變形因式分解，令，解出然后換元化簡利用基本不等式求其最值.【詳解】對已知變形有因式分解得，設(shè)，則，因為都是正實數(shù)，所以，聯(lián)立方程組，解得，因為所以，故，所以，當且僅當，時取最小值.故答案為:26．（2025·浙江·一模）已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是..【答案】【分析】由題干中的等量關(guān)系化簡所求代數(shù)式，根據(jù)參數(shù)的取值范圍，可得答案.【詳解】，則，又，得，設(shè)，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，由原式為，則所求范圍為.故答案為：.27．（25-26高一上·上?！て谥校┮阎獙θ我鈱崝?shù)，二次函數(shù)恒成立，且，則的最小值為．【答案】【分析】先由二次函數(shù)恒成立得到，再令，將所求分式變成關(guān)于的分式，然后利用基本不等式可求.【詳解】因為對任意實數(shù)，二次函數(shù)恒成立，則，且，令，則，當且僅當時取等號.故答案為：3．28．（25-26高一上·重慶·期中）已知正實數(shù)、滿足：，則的最大值為，若實數(shù)，則的最小值為．【答案】【分析】對于第一空，利用基本不等式，再利用換元法令，再解一元二次不等式即可得解；對于第二空，先將整理為，再利用換元法令，將整理為，再利用基本不等式求得該式的最小值為，再運用配湊法與基本不等式求得的最小值即可得解.【詳解】對于第一空：，當且僅當時等號成立.令，則可化為，解得，則，，當且僅當時等號成立，故的最大值為；對于第二空：可整理為，令，則.，當且僅當，即時，即時，等號成立，即最小值為，即.又因為，當且僅當，即時，等號成立.綜上，當且僅當時，取到最小值故答案為：①；②.29．（25-26高一上·江蘇揚州·期中）已知實數(shù)，則的最大值是，的最小值是．【答案】4【分析】空一：化簡，再利用“1”的代換結(jié)合基本不等式求解即可；空二：令，換元可得，再令，可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由，則，所以，當且僅當，即時等號成立，則的最大值是；由，令，則，所以，令，則，所以時，取得最小值4.故答案為：；4.30．（25-26高一上·安徽六安·期中）已知，則的最大值為.【答案】【分析】利用條件將變形為，令（），則原式可化為，利用對勾函數(shù)在上的單調(diào)性求出最小值，即可得解.【詳解】①．由得，則②，將②代入①可得③．令，則.因為（當且僅當時等號成立），所以.所以③可化為，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在時取到最小值，所以所以的最大值為．故答案為：31．（25-26高一上·湖北武漢·期中）已知，則的最大值為．【答案】【分析】消去后借助換元法可用表示，再對分類討論后利用基本不等式計算即可得解.【詳解】由，則，即，則，由，，故，即，令，則，有，當時，；當時，，當且僅當，即，時，等號成立；綜上可得，的最大值為.故答案為：.題型六兩次應用基本不等式求最值（共2小題）32．（25-26高一上·江蘇揚州·期中）若正實數(shù)x，y，z滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【分析】由條件可得，可以得到，再根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】由條件可得，所以，所以，所以，所以，所以，當且僅當，且，即，，等號成立.故選：B.33．（25-26高二上·陜西西安·期中）已知正數(shù)a，b滿足，，則的最小值為.【答案】【分析】由，，平方得到，代入目標式化簡變形通過兩次運用基本不等式計算即可求出最小值．【詳解】解：由，得，因為，，所以，當且僅當，即時取“等號”，所以當，，時，的最小值為故答案為：題型七條件等式變形求最值（共7小題）34．（25-26高一上·廣東深圳·期中）若正數(shù)滿足，則ab的最小值為（）A．9 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】由得到，直接利用基本不等式求解即可.【詳解】，，，，，，，，當且僅當時取等號，即，解得，的最小值為9.故選：A.35．（25-26高一上·遼寧沈陽·期中）已知，，且，則的最小值是（

）A． B．5 C． D．7【答案】D【分析】先根據(jù)已知條件得出的關(guān)系，代入后變形構(gòu)造基本不等式，最后利用基本不等式求和的最小值．【詳解】，，且，，，，當且僅當，即等號成立，的最小值為7．故選：D．36．（25-26高一上·河北邯鄲·期中）已知，且，則的最小值與最大值之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】應用基本不等式得求的范圍，注意端點值的取值條件，即可得.【詳解】由，有，有，得，當時，，當時，，所以的最小值為，最大值為2，所以的最小值與最大值之和為.故選：D37．（25-26高三上·安徽·月考）已知實數(shù)a，b，c滿足，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】靈活應用基本不等式即可求解.【詳解】由基本不等式可得：，當且僅當時等號成立，可取，所以的最大值為2．故選：B.38．（25-26高一上·遼寧·月考）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根據(jù)已知等式，將目標式化為，再應用基本不等式求最小值，注意取值條件.【詳解】由題知，所以，當且僅當，即時，取等號.故選：B39．（25-26高一上·河南鄭州·月考）已知，b為正實數(shù)，且，則的最小值為．【答案】/【分析】由條件可得，據(jù)此利用基本不等式求解即可.【詳解】因為，所以，，b為正實數(shù)，所以，，，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故答案為：題型八基本不等式鏈的應用（共2小題）40．（24-25高一上·四川遂寧·期中）已知，，則，，，中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式，先比較與，然后比較與，再比較與，由此確定出正確選項.【詳解】因為，所以，，，當且僅當時，等號成立，則.故選：A.41．（多選）若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)作差法結(jié)合條件可判斷AB，利用基本不等式可判斷CD.【詳解】，且，所以，即，故A錯誤，B正確；所以，即，故C錯誤，D正確.故選：BD.題型九利用基本不等式在恒成立問題中求參數(shù)的范圍（共4小題）42．（25-26高一上·天津南開·期中）已知，，若不等式恒成立，則的最大值為（

）.A． B． C．1 D．【答案】C【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式計算即可得.【詳解】，，恒成立，而，當且僅當時，等號成立，則，故的最大值為.故選：C.43．（25-26高一上·山東·期中）已知，為正實數(shù)，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得，則，再根據(jù)恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值即可．【詳解】即，（當且僅當時取等號），又不等式恒成立，所以．故選：C．44．（25-26高一上·天津·期中），，且滿足，若恒成立，則的取值范圍為【答案】【分析】利用基本不等式中“1”的代換求得，進而，解不等式即可.【詳解】，則，當且僅當，即時，等號成立，所以.又恒成立，所以，即，解得，所以k的取值范圍為.故答案為：45．（25-26高一上·湖南長沙·期中）設(shè)，，且，若恒成立，則實數(shù)的最大值為.【答案】27【分析】利用基本不等式和“1”的妙用求解即可.【詳解】，即，且，當且僅當時，等號成立，所以.故實數(shù)的最大值為27.故答案為：2746．（25-26高一上·江蘇南京·期中）已知不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】利用乘“1”的方法，根據(jù)基本不等式求得，則，求解即可.【詳解】因為，當且僅當，即當且僅當時，等號成立，所以，因為不等式對任意恒成立，可得，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.47．（25-26高一上·貴州遵義·期中）關(guān)于x的不等式，對滿足的任意正實數(shù)都成立，則實數(shù)x的最大值為．【答案】9【分析】應用基本不等式“1”的代換求的最小值，根據(jù)已知不等式恒成立有，求解即可得.【詳解】由題設(shè)，當且僅當時取等號，故，所以，故實數(shù)x的最大值為9.故答案為：9題型十利用基本不等式證明不等式（共4小題）48．（25-26高一上·湖北隨州·月考）已知且求證：(1)，；(2)；(3).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）從中解出和，分別代入得解；（2）將都乘以正數(shù)，得到，兩邊同加，得到，代入，得到，同理得到，從而得解；（3）先將兩邊平方整理后得到，再使用基本不等式得解.【詳解】（1），，，，，，，；（2），，，，，.同理，，則有，，，，綜上；（3），，，，，.49．（25-26高一上·青海海南·期中）（1）已知都是正數(shù)，求證：；（2）若，且，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）三次應用基本不等式結(jié)合不等式性質(zhì)證明即可；（2）應用基本不等式，再結(jié)合換元法求解一元二次不等式計算即可.【詳解】（1）因為都是正數(shù)，所以（當且僅當時等號成立），（當且僅當時等號成立），（當且僅當時等號成立），所以，當且僅當時，等號成立，故，得證；（2）因為，所以（當且僅當時等號成立），因為，移項，得，所以，設(shè)，則，解得（舍去）或，因為，所以，故的取值范圍為．50．（25-26高一上·江西贛州·月考）已知，且.求證：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）利用，對進行變形，再根據(jù)基本不等式求證即可；（2）先求的展開式，再利用進行變形，并根據(jù)基本不等式求得的取值范圍，從而證得.【詳解】（1），且，所以.因為，當且僅當時，等號成立；，當且僅當時，等號成立；，當且僅當時，等號成立.所以，當且僅當時，等號成立.所以得證.（2），且，.因為，當且僅當時，等號成立；，當且僅當時，等號成立；，當且僅當時，等號成立.所以，當且僅當時，等號成立.所以，即，當且僅當時，等號成立.所以得證.51．（25-26高一上·海南?？凇ぴ驴迹?1)已知均為正實數(shù)，求證：；(2)已知，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）將，，三式相加再轉(zhuǎn)化即可證明；（2）由利用基本不等式求最值即可.【詳解】（1）因為均為正實數(shù)，所以（當且僅當時等號成立），（當且僅當時等號成立），（當且僅當時等號成立），以上三式相加，得（當且僅當時等號成立），所以（當且僅當時等號成立），即（當且僅當時等號成立）．（2）因為,則，因為，，由得當且僅當時等號成立.所以.題型十一基本不等式的實際應用（共5小題）52．（25-26高一上·重慶沙坪壩·期中）某大學生小王響應國家號召決定返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，振興鄉(xiāng)村.現(xiàn)有兩個不同項目A，B可以考慮投資，經(jīng)過市場調(diào)查統(tǒng)計，當投資額為萬元時，A，B兩個項目所獲得的收益分別為萬元和萬元，其中，，現(xiàn)小王準備將10萬元全部投入到這兩個項目中．(1)如果小王在A，B項目中分別投入6萬元和4萬元，求他能獲得的收益；(2)請制定一個資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出該最大收益．【答案】(1)萬元(2)萬元【分析】（1）結(jié)合題目中的收益函數(shù)，代入計算即可求解.（2）設(shè)小王投入B項目萬元，則投入項目萬元，然后根據(jù)的范圍，利用基本不等式求解最大值即可.【詳解】（1）小王在A，B項目中分別投入6萬元和4萬元，所以A，B兩個項目所獲得的收益分別為萬元，萬元，所以他能獲得的收益為萬元.（2）設(shè)小王投入B項目萬元，則投入項目萬元，.那么總收益為萬元，當且僅當時，即時，等號成立，故小王投入B項目萬元，投入項目萬元時，獲得最大總收益，總收益的最大值為萬元.53．（25-26高一上·江蘇淮安·期中）如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻足夠長）的矩形菜園.設(shè)菜園的長為米，寬為米.(1)若菜園面積為49平方米，則，為何值時，所用籬笆總長最??？最小值為多少？(2)若使用的籬笆總長為40米，當，為多少時，有最小值？并求出最小值.【答案】(1)為，為時，所用籬笆總長最小，最小值為(2)當時有最小值，最小值是【分析】（1）由題意可知，再根據(jù)基本不等式即可得解；（2）由題意可知，再根據(jù)基本不等式即可得解.【詳解】（1）由題意得，所用籬笆總長為.因為，當且僅當時，即，時等號成立，所以菜園的長為，寬為時，所用籬笆總長最小，最小值為；（2）由題意得，，當且僅當，即時等號成立，所以當時，有最小值，最小值是.答（1）菜園的長為，寬為時，所用籬笆總長最小，最小值為，（2）當時，有最小值，最小值是.54．（25-26高一上·江蘇宿遷·期中）如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構(gòu)成的面積為（四個陰影部分加中間小正方形）的十字形地域.計劃在正方形上建一座花壇，造價為4200元/；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為210元/；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為80元/.設(shè)總造價為（單位：元），長為（單位：m）.(1)試用表示的長，并求的取值范圍；(2)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，當為何值時，最??？并求出這個最小值.【答案】(1)；(2)，且時元.【分析】（1）設(shè)，根據(jù)十字形地域的面積得出的關(guān)系式，即可求解；（2）由（1）可求得，從而可求出各個圖形的面積，將花壇、地坪、草坪的各個區(qū)域造價相加，求得總造價，再利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】（1）設(shè)，由兩個相同的矩形和構(gòu)成的面積為，得，解得，由，得，所以.（2）由（1）知，則，矩形的面積為，正方形為，所以，由及，得，所以，則，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最小值118000元.題型十二權(quán)方和不等式（拓展）（共4小題）55．（24-25高一下·遼寧葫蘆島·月考）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設(shè)，，，，