2/24專題07函數(shù)的應用（零點與方程的根、函數(shù)模型）題型1求函數(shù)的零點（?？键c）題型9求方程的根及根的個數(shù)（重點）題型2用零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間（常考點）題型10二分法的應用（重點）題型3零點存在性定理的概念判斷（重點）題型11函數(shù)零點與方程的根的綜合應用（難點）題型4根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍題型12函數(shù)零點及方程的根解答題（難點）題型5求函數(shù)的零點個數(shù)（?？键c）題型13指數(shù)函數(shù)模型（?？键c）題型6根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍（難點）題型14對數(shù)函數(shù)模型（?？键c）題型7比較零點的大小關(guān)系題型15建立擬合函數(shù)模型解決實際問題（重點）題型8求圖象的交點及交點個數(shù)（重點）題型一求函數(shù)的零點（共5小題）1．（24-25高一上·上海嘉定·期末）函數(shù)的零點是.【答案】6【分析】令，解方程求得答案.【詳解】令，即，則，，解得或（舍去），所以函數(shù)的零點為6.故答案為：6.2．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點是.【答案】1和4【分析】由方程，分段求解即可；【詳解】令，則，或，解得，或，則函數(shù)的零點是和.故答案為：1和43．（24-25高一上·廣東·期末）若函數(shù)有一個零點是1，則函數(shù)的零點是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的零點是1可得，代入令即可求得的零點.【詳解】由題意可得，可得；可得，令，因此，解得或或；因此函數(shù)的零點是.故選：D4．（24-25高一上·陜西榆林·期末）已知函數(shù)的零點為，的零點為，則.【答案】2【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化關(guān)系可得，再利用零點的意義，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案.【詳解】依題意，，而函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，即，因此，則，所以.故答案為：2【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用同構(gòu)的思想將函數(shù)化成是求解的關(guān)鍵.5．（23-24高一下·貴州畢節(jié)·期末）已知是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】將兩函數(shù)的零點分別轉(zhuǎn)化為函數(shù)與交點A的橫坐標以及函數(shù)與交點B的橫坐標，再由函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱和與的圖象關(guān)于直線對稱得關(guān)于直線對稱即可得解.【詳解】由題意可得的零點為函數(shù)與交點的橫坐標，因為和在上遞增，所以在上遞增，所以為唯一的零點，設(shè)函數(shù)與交點為A，的零點為函數(shù)與交點的橫坐標，因為和在上遞減，所以在上遞減，所以為唯一的零點，設(shè)函數(shù)與交點為，因為與的圖象關(guān)于直線對稱，與的圖象關(guān)于直線對稱，所以關(guān)于直線對稱，所以.故選：B.題型二用零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間（共4小題）6．（24-25高一上·河北唐山·期末）設(shè)函數(shù)，則的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由零點存在性定理逐一判斷即可.【詳解】因為和為增函數(shù)，所以也為增函數(shù)，因為，，所以根據(jù)零點存在性定理可知的零點一定位于區(qū)間內(nèi).故選：C.7．（24-25高一上·廣東廣州·期末）函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用初等基本函數(shù)的單調(diào)性得到的單調(diào)性，再利用零點存在定理，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因為與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，則，即，所以，，所以的零點有且只有一個，且所在的一個區(qū)間是.故選：D.8．（24-25高一上·山東泰安·期末）函數(shù)在上的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點存在性定理逐個分析判斷.【詳解】因為和在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，對于A，因為，所以在上無零點，所以A錯誤；對于B，因為，所以在上無零點，所以B錯誤；對于C，因為，所以在上有唯一零點，所以C正確；對于D，因為，所以在上無零點，所以D錯誤.故選：C9．（24-25高一上·云南昆明·期末）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)的定義域為，對任意的、且，則且，所以，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，則，由零點存在定理可知，函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：B.題型三零點存在性定理的概念判斷（共5小題）10．（24-25高一上·廣東茂名·期末）“函數(shù)滿足”是“函數(shù)在區(qū)間上有零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】運用充分條件，必要條件概念，結(jié)合零點存在性定理判斷即可.【詳解】若函數(shù)滿足，根據(jù)零點存在定理，如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點.但是這里并沒有說明函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的，比如函數(shù)，當，時，，但在上沒有零點.所以“函數(shù)滿足”不能推出“函數(shù)在區(qū)間上有零點”，充分性不成立.若函數(shù)在區(qū)間上有零點，比如函數(shù)在區(qū)間上有零點，此時.這說明“函數(shù)在區(qū)間上有零點”不能推出“函數(shù)滿足”，必要性不成立.“函數(shù)滿足”是“函數(shù)在區(qū)間上有零點”的既不充分也不必要條件.故選：D.11．（24-25高一上·上海·期末）已知函數(shù)在上連續(xù)，則“”是“方程在內(nèi)至少有兩個解”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．非充分非必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分必要條件的定義和零點存在性定理判斷.【詳解】根據(jù)題意，若，則中兩正一負，或者三負，只有當時，才能得到方程在和內(nèi)至少各有一個解，所以“”是“方程在內(nèi)至少有兩個解”的不充分條件；反之，若方程在內(nèi)至少有兩個解，無法確定的符號，所以“”是“方程在內(nèi)至少有兩個解”的不必要條件，所以“”是“方程在內(nèi)至少有兩個解”的非充分非必要條件.故選：D12．（24-25高一上·黑龍江大慶·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷地，設(shè)，在區(qū)間中至少存在一個零點，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用零點存在性定理及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】依題意，由，得函數(shù)在中至少存在一個零點，即，函數(shù)的零點為，而，即推不出，所以是的充分不必要條件.故選：A13．（24-25高一上·山西·月考）已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，則“”是“在區(qū)間（1，3）上有零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)零點存在性定理，及定理本身就是充分不必要條件，即可作出判斷.【詳解】因為函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，若，則在區(qū)間（1，3）上有零點，所以“”是“在區(qū)間（1，3）上有零點”的充分條件；若，滿足在區(qū)間（1，3）上有零點，但是，所以“”不是“在區(qū)間（1，3）上有零點”的必要條件，所以“”是“在區(qū)間（1，3）上有零點”的充分不必要條件．故選:A．14．（22-23高一上·北京海淀·期末）函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上沒有零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由零點存在性定理，及充分必要條件的判定即可得解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的，由零點存在性定理，可知由可得函數(shù)在區(qū)間上有零點，即由函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，可得，而由推不出函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，如，，函數(shù)在區(qū)間上有零點，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上沒有零點”的必要不充分條件.故選：B.題型四根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍（共4小題）15．（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知函數(shù)在內(nèi)有零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點存在性定理，即可列式求解.【詳解】是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以是上的增函數(shù).因為在內(nèi)有零點，所以，解得.故選：A16．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由零點存在定理求解．【詳解】易知在上是增函數(shù)，它的零點在區(qū)間上，則，解得，故選：C．17．（24-25高一上·河南開封·期末）已知是函數(shù)的零點，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在為增函數(shù)，因為，，，則，由零點存在定理可得，又因為，，故.故選：B.18．（23-24高一上·山西晉中·期末）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】分類討論和兩種情況，再利用判別式和零點存在性定理列不等式求解即可.【詳解】當時，，令得，符合題意；當時，是二次函數(shù)，對于方程，只需，即，解得，且，當時，，此時，得或，符合題意，當時，，此時，得或，符合題意，綜上，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】思路點睛：本題考查函數(shù)零點分布.討論和兩種情況，當時，可判斷判別式大于零，結(jié)合零點存在性定理運算求解.題型五求函數(shù)的零點個數(shù)（共5小題）19．（24-25高一上·新疆·期末）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】將的零點轉(zhuǎn)化為和的圖象的交點，結(jié)合圖象確定正確選項.【詳解】由，得，在同一坐標系中，作出和的圖象，觀察圖象知，兩個函數(shù)圖象有兩個交點，所以零點個數(shù)為.故選：C

20．（24-25高一上·福建福州·期末）函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本題考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，可以將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為方程等于0的根的個數(shù)問題，進一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題.根據(jù)題意作出函數(shù)和函數(shù)的圖象，觀察圖象即可得出結(jié)論.【詳解】將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的圖象交點個數(shù)問題.如圖，作出函數(shù)和函數(shù)的圖象，由圖可得函數(shù)和函數(shù)的圖象有5個交點.∴函數(shù)的零點有5個.故選：C.21．（24-25高一上·云南昆明·期末）函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】先將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象的交點問題，再由兩函數(shù)的單調(diào)性分析得至多只有兩個零點，又由，得到的零點個數(shù)，從而得解.【詳解】要求的零點，即求與的圖象的交點，在同一坐標系中作出與的大致圖象，因為與在各自的定義域上都是單調(diào)遞增，且的增長速度相比的較慢，所以兩函數(shù)的圖象至多只有兩個交點，即至多只有兩個零點，又，，所以有且只有兩個零點.故選：C.22．（24-25高一上·江蘇無錫·期末）函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】先得到函數(shù)的單調(diào)性，由零點存在性定理得到存在唯一的，使得，又，故零點個數(shù)為2.【詳解】定義域為，由于在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，其中，，由零點存在性定值可知，存在唯一的，使得，又，故的零點個數(shù)為2.故選：C23．（24-25高一上·陜西·期末）當時，函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)零點的意義，結(jié)合函數(shù)圖象交點個數(shù)得解.【詳解】由，得，在同一坐標系內(nèi)作出，，的圖象，由圖知，兩函數(shù)的圖象的交點有4個，所以當時，函數(shù)的零點個數(shù)為4.故選：A題型六根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍（共8小題）24．（24-25高一上·四川·期末）已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及對應的函數(shù)值集合，再由零點個數(shù)列出不等式組求解即得答案.【詳解】當時，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值的集合為，當時，在是單調(diào)遞增，函數(shù)值的集合為，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值的集合為，而，由函數(shù)有兩個零點，得或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及用分段函數(shù)零點特性求參數(shù)范圍問題，可以先獨立分析各段上的零點，再綜合考查所有零點是解決問題的關(guān)鍵.25．（24-25高一下·貴州遵義·期末）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】借助分段函數(shù)性質(zhì)，分與進行討論，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性及其值域可得在上必有一零點，則可得有兩個不同非正根，結(jié)合根的判別式與韋達定理計算即可得解.【詳解】當時，在上單調(diào)遞增，且值域為，所以必有唯一解；所以當時，有兩個不同的根，即有兩個不同非正根，并設(shè)其兩根為，即，解得，由，則，解得，綜上所述：的取值范圍為，故B項正確.故選：B.26．（24-25高一上·陜西西安·期末）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作函數(shù)的圖象，令，條件可轉(zhuǎn)化為有兩個根，，，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列不等式就可得結(jié)論.【詳解】當時，；當時，．作函數(shù)的圖象可得，令，則．當時，方程沒有解，當時，方程有一個解，當時，方程有兩個解，當時，方程有三個解，因為恰有個零點，所以有兩個根（不妨設(shè)）．所以，由韋達定理可得．要使有個零點，則需滿足．設(shè)，則．解得，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：C.27．（24-25高一上·山西呂梁·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】當，是增函數(shù)，由函數(shù)零點存在定理得零點；當時，得且，進而可知零點為，進而可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，是增函數(shù)，又因為，由函數(shù)零點存在定理知，存在，使得.當時，由得，解得且.綜上，要使函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個零點，則零點為，所以，得.故選：B28．（24-25高一上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知函數(shù)，若有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出的圖象，根據(jù)與有個公共點求得的取值范圍.【詳解】畫出的圖象如下圖所示，有4個零點，即與有個公共點，所以的取值范圍是.故選：A29．（24-25高一上·四川綿陽·期末）已知函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，則轉(zhuǎn)化為，函數(shù)有三個不同的零點，轉(zhuǎn)化為有兩個根，一個根在另一根在，根據(jù)二次方程根的分布即可求解.【詳解】令，則，由函數(shù)有三個不同的零點，轉(zhuǎn)化為有兩個零點，一個零點或另一個零點，則，則一元二次方程的兩根為，即的一個根在另一根在，令，則有，即實數(shù)的取值范圍為，故選：B.30．（24-25高一上·湖北隨州·期末）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】依題意可得，的圖象與直線有3個公共點，因為函數(shù)所以當或時，；當或時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故的極小值為，極大值為.作出的大致圖象，如圖所示.由圖可知，實數(shù)m的取值范圍是.故選：A.31．（24-25高一上·吉林長春·期末）設(shè)函數(shù)有個不同零點，則正實數(shù)的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得在上有3個不同零點，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，解出正實數(shù)的范圍【詳解】當時，令，解得，即在上僅有一個零點，所以只需在上有3個不同零點即可，當時，，所以，即.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)列不等式，重點關(guān)注端點是否取等.題型七比較零點的大小關(guān)系（共3小題）32．（24-25高一下·廣東揭陽·期末）已知函數(shù)的零點分別為，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意分別作出函數(shù)及的圖象，即可求解.【詳解】在同一平面直角坐標系中分別作出函數(shù)及的圖象，如圖所示．

由圖象可知．故B正確.故選:B．33．（23-24高一上·山東日照·期末）若，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由可得，，，由，得，，在同一個平面直角坐標系作出，和的圖象，結(jié)合圖象可得結(jié)果.【詳解】因為，而當時，，當時，，所以，因為，而當時，，所以，因為，而當時，，所以，由，得，，所以為和圖象交點的橫坐標，為和圖象交點的橫坐標，在同一個平面直角坐標系作出，和的圖象，如圖所示，由圖可得綜上，故選：A34．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù)的零點分別為，則大小順序為.（按由小到大排列）【答案】【分析】根據(jù)零點的定義，令，，，據(jù)此分別討論的大致范圍，進而得到答案.【詳解】由題意，令，即，得，由，即，得，則，得，由，即，得，所以.故答案為：.題型八求圖象的交點及交點個數(shù)（共8小題）35．（23-24高一上·重慶·期末）函數(shù)的交點所在的一個區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)零點的存在性定理即可得解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因為函數(shù)都是增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，又，所以函數(shù)的零點在內(nèi)，即函數(shù)的交點所在的一個區(qū)間是.故選：B．36．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】在同一坐標系中，作出兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點個數(shù).【詳解】函數(shù)與都是偶函數(shù)，其中，，在同一坐標系中，作出函數(shù)與的圖象，如下圖，由圖可知，兩函數(shù)的交點個數(shù)為6.故選：D37．（24-25高一上·湖南衡陽·期末）函數(shù)的圖象與x軸的交點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用函數(shù)零點的意義，將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)求解.【詳解】函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標，即方程的解，亦即函數(shù)的圖象交點橫坐標，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖：觀察圖象知，函數(shù)的圖象有2個交點，所以函數(shù)的圖象與x軸的交點個數(shù)為2.故選：B38．（24-25高一上·云南玉溪·期末）當時，曲線與的交點個數(shù)為．【答案】20【分析】問題化為在上解的個數(shù)，結(jié)合其周期性確定解的個數(shù)，即可得答案.【詳解】當時，，即，故正切函數(shù)的每個周期內(nèi)都有一個解，結(jié)合正切函數(shù)的周期性知，曲線與的交點個數(shù)為20個．故答案為：2039．（24-25高一上·福建廈門·期末）設(shè)函數(shù)，，若曲線與恰有3個交點，則（

）．A． B．1 C．或1 D．2【答案】B【分析】結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知除對稱軸處以外兩偶函數(shù)圖象的交點成對出現(xiàn)，由即可得的值，并代入檢驗即可；【詳解】易知函數(shù)，均為偶函數(shù)，除對稱軸處以外兩偶函數(shù)圖象的交點成對出現(xiàn)，由曲線與恰有3個交點可知，，即，解得或1．當時，，，由圖象分析可知恰有1個交點，不符合題意；當，，，由圖象分析可知符合題意．故選：B．40．（24-25高一上·浙江寧波·期末）若函數(shù)與函數(shù)的圖象有交點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將函數(shù)有交點問題轉(zhuǎn)化為方程有解，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用基本不等式求解函數(shù)的值域即可得解.【詳解】因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有交點，所以方程有解，由，所以在上有解，記，則實數(shù)a的取值范圍是函數(shù)的值域，令，則，當時，；當時，，當且僅當即時，等號成立，又，所以，綜上，，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：B題型九求方程的根及根的個數(shù)（共7小題）41．（23-24高一上·江西吉安·期末）下列區(qū)間內(nèi)存在方程的根的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)與方程的實根個數(shù)的關(guān)系，利用零點存在定理結(jié)合圖形判斷即得.【詳解】令，顯然函數(shù)在R上連續(xù)，因，故在區(qū)間上存在零點，即方程在區(qū)間上有實數(shù)根．

如圖，作出函數(shù)和的圖象，由圖可知和在有兩個交點，因，，即，所以在區(qū)間上存在零點，即方程在區(qū)間上有實數(shù)根，由選項可知只有C項符合題意.故選：C.42．（24-25高一上·廣東潮州·期末）方程的根的個數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】在同一坐標系中，畫出和的函數(shù)圖象求解.【詳解】畫出和的函數(shù)圖象，因為，，結(jié)合圖象可得函數(shù)與函數(shù)圖像的交點個數(shù)是5個.故選：A43．（24-25高一上·河南·期中）方程的根的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】將方程的根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)（），（）兩函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，畫圖分析即可.【詳解】由題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)（），（）兩函數(shù)圖象交點問題，在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖得兩個函數(shù)圖象有2個交點，故原方程根的個數(shù)為2．故選：B．44．（24-25高一上·上?！て谀┖瘮?shù)，其中是一個常數(shù)，計算知，則方程的根所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)零點存在性定理可求解.【詳解】由得，又函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且單調(diào)遞增根據(jù)零點存在性定理可知，函數(shù)f(x)的一個零點，且唯一，即方程的根所在的區(qū)間是，故選：B45．（24-25高一上·河南濮陽·期末）已知函數(shù)，若，且，則方程的根的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】分析可知為函數(shù)與的交點，結(jié)合函數(shù)對稱性即可得結(jié)果.【詳解】因為，，可知是圖象的一個對稱中心，是的圖象的上頂點，且點為函數(shù)與的交點，又是圖象的一個對稱中心，故關(guān)于的對稱點也在與的圖象上，結(jié)合圖象可知：方程的根的個數(shù)為3．故選：C．46．（23-24高一上·湖北·月考）已知函數(shù)，當時，方程的根的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫出函數(shù)的大致圖象，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點問題，結(jié)合圖象，即可得到結(jié)果.【詳解】

設(shè)，則，即，故，因為，故，畫出的大致圖象，由圖象可知與共有6個公共點，故原方程共有6個根.故選：D.47．（22-23高一上·浙江臺州·期中）設(shè)方程的根為，方程的根為，則的值為（

）A．4 B．2 C．0 D．【答案】A【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，解得直線的位置關(guān)系，建立方程，可得答案.【詳解】由題意，作圖如下：由方程的根為，則函數(shù)與的交點為；由方程的根為，則函數(shù)與的交點為.由函數(shù)與的圖象關(guān)于對稱，且直線與直線垂直，則與關(guān)于直線對稱，即，，由題意可得：，，則，，所以.故選：A.題型十二分法的應用（共6小題）48．（24-25高一上·安徽銅陵·期末）某同學用二分法求函數(shù)的零點時，用計算器算得部分函數(shù)值如下表所示：則該函數(shù)零點的近似值（精確度為0.1）可以是（

）A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32【答案】C【分析】觀察數(shù)據(jù)，由零點存在性定理得到區(qū)間內(nèi)存在零點，得到答案.【詳解】，，由零點存在性定理得，區(qū)間內(nèi)存在零點，由于，，故該函數(shù)零點的近似值（精確度為0.1）可以是1.27，其他選項不正確.故選：C49．（24-25高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知函數(shù)，現(xiàn)用二分法求函數(shù)在內(nèi)的零點的近似值，則使用兩次二分法后，零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應用零點存在定理結(jié)合二分法，不斷把區(qū)間一分為二計算求解.【詳解】由二分法可知，第一次計算，又，，由零點存在性定理知零點在區(qū)間上，所以第二次應該計算，又，所以零點在區(qū)間上．故選：A．50．（24-25高一上·湖南岳陽·期末）下列函數(shù)中，不能用二分法求其零點近似值的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二分法的概念，在零點兩側(cè)函數(shù)值異號進行逐一判定.【詳解】對于A，函數(shù)在上單調(diào)遞增，有唯一零點，所以函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，故可用二分法求零點；對于B，函數(shù)，故函數(shù)有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側(cè)同號，故不能用二分法求零點；對于C，當時，，當且僅當時，等號成立，無零點；當時，，當且僅當時，等號成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時有兩個零點，且函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，故可用二分法求零點；對于D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，有唯一零點，所以函數(shù)值在零點兩側(cè)異號，故可用二分法求零點.故選：B51．（23-24高一上·湖北·期末）下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，且已知其解析式，不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】由函數(shù)零點存在性定理和二分法概念對選項逐一判斷可得結(jié)論.【詳解】根據(jù)零點存在性定理可知，函數(shù)的圖象是一段連續(xù)不斷的曲線，若在區(qū)間上滿足，則函數(shù)在區(qū)間上存在零點；根據(jù)二分法概念可知，C選項中的圖象在零點附近不滿足，所以C選項不能用二分法求圖中函數(shù)零點.故選：C52．（24-25高一上·河南濮陽·期末）（多選）下列所給函數(shù)中，不能使用二分法求解其零點所在區(qū)間的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)二分法的定義結(jié)合零點存在性定理逐個分析判斷即可.【詳解】對于A，因為和在上連續(xù)且單調(diào)遞增，所以在上連續(xù)且單調(diào)遞增，所以，無零點，不能使用二分法，故A正確；對于B，，當且僅當時取等號，又零點左右函數(shù)值同號，不能使用二分法，故B正確；對于C，因為和在上連續(xù)且單調(diào)遞增，所以在上連續(xù)且單調(diào)遞增，因為，所以可以使用二分法，故C錯誤；對于D，，無零點，不能使用二分法，故D正確．故選：ABD．53．（24-25高一上·廣東惠州·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上有一個零點，如果用二分法求的近似值（精確度為），則應將區(qū)間至少等分的次數(shù)為.【答案】【分析】利用二分法的定義可得出，求出正整數(shù)的最小值，即可得解.【詳解】由于每等分一次，零點所在區(qū)間的長度變?yōu)樵瓉淼?，則等分次后的區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼?，由題意可得，可得，且，所以，正整數(shù)的最小值為，即至少等分的次數(shù)為.故答案為：.題型十一函數(shù)零點與方程的根的綜合應用（共10小題）單選題54．（24-25高一上·云南曲靖·期末）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個實根、、、，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫出函數(shù)圖象，結(jié)合方程的根的情況找出之間的關(guān)系，再據(jù)此求取值范圍.【詳解】根據(jù)分段函數(shù)可得如下圖象：因為方程有四個實根，所以與有四個交點，交點的橫坐標分別為，此時，由的性質(zhì)可知，因為，所以，根據(jù)對數(shù)運算法則得，即，對于二次函數(shù)，因為，且其圖象關(guān)于對稱，所以，即，其中，根據(jù)，當且僅當即時，等號成立，所以，當時，此時，則，此時，所以的取值范圍為.故選：C.55．（24-25高一上·河南周口·期末）已知函數(shù)，若方程有3個不同的實數(shù)根，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到，令，解得，由韋達定理得到，結(jié)合單調(diào)性求出，得到答案.【詳解】畫出的圖象，如下：有3個不同的實數(shù)根，，，故，令，解得，顯然為方程，即的兩個根，故，故，因為，在上單調(diào)遞減，所以.故選：A【點睛】方法點睛：將函數(shù)零點問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點之和問題，通常考慮圖象的對稱性進行解決.56．（24-25高一上·江蘇連云港·期末）已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得方程有個不同的實數(shù)根、、、，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出函數(shù)與的圖象，由圖可得出，分析可知關(guān)于的方程的兩根分別為、，利用韋達定理可得出關(guān)于的表達式，由可得出、關(guān)于的表達式，進而可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求得結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：

由圖可得，當時，，由題意可知，關(guān)于的方程的兩根分別為、，即關(guān)于的方程的兩根分別為、，由韋達定理可得，由圖可得，由得，則，可得，，所以，，所以，，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，故當時，，因此，的取值范圍為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解函數(shù)零點個數(shù)以及范圍的問題，關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象，根據(jù)題意分析交點間的關(guān)系，并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解，屬于難題.57．（24-25高一上·浙江嘉興·期末）已知函數(shù)，若存在實數(shù)、、且，使得，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形，利用正弦型函數(shù)的對稱性得出，可得出，求出的取值范圍，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的取值范圍.【詳解】如下圖所示：令，解得，故當時，對稱軸為直線，則，因為，所以，，又因為，，由可得，則，則，所以，.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于結(jié)合正弦型函數(shù)的對稱性以及函數(shù)解析式將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個量的函數(shù)，求出變量范圍后，轉(zhuǎn)化為值域問題求解.58．（24-25高一上·河南南陽·期末）設(shè)函數(shù)若恰有兩個零點，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出函數(shù)和的圖象，確定函數(shù)的零點，然后數(shù)形結(jié)合，【詳解】作出函數(shù)和的圖象，的零點為1，的零點為，由于函數(shù)若恰有兩個零點，結(jié)合圖象可知，當時，時，無零點，當時，有零點為，此時恰有兩個零點，符合題意；當時，時，有零點1，當時，有零點為，此時恰有三個零點，不符合題意；當時，時，有零點1，當時，有零點為，此時恰有兩個零點，符合題意；當時，時，有零點1，當時，沒有零點，此時恰有一個零點，不符合題意；綜合可知t的取值范圍為.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了函數(shù)的零點個數(shù)問題，要根據(jù)零點個數(shù)求解參數(shù)的范圍，解答的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)以及的圖象，分類討論，從而根據(jù)零點個數(shù)確定參數(shù)范圍.多選題59．（24-25高一上·浙江杭州·期末）設(shè)，若滿足關(guān)于的方程恰有三個不同的實數(shù)解，則下列選項中，一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】設(shè)，得出函數(shù)為偶函數(shù)，從而有，因此方程必有一解為0，代入得，分和兩種情況得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而求得，可得選項.【詳解】令，則的定義域為，有，故為偶函數(shù)，則，故A錯誤；必有一解為0，則，即，①當時，因時，，故，當且僅當時取等號；②當時，在上遞增，，由可得，即解得，又在上遞增，，即，解得，，故C、D正確，B錯誤.故選：CD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)與方程的綜合知識，關(guān)鍵點在于構(gòu)造合適的函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，最值.60．（24-25高一上·四川巴中·期末）已知函數(shù)實數(shù)滿足，且，則（

）A．B．C．D．函數(shù)有5個互不相等的零點【答案】ACD【分析】代入求值判斷A，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出的范圍判斷B，結(jié)合函數(shù)的對稱性及的范圍求解判斷C，根據(jù)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)??的圖象分別與?交點個數(shù)之和，數(shù)形結(jié)合即可判斷D.【詳解】函數(shù)，所以，所以，故A正確；由實數(shù)滿足，知函數(shù)的圖象與有三個不同的交點，作出函數(shù)的圖象，如圖：結(jié)合圖象，可得，故選項B錯誤；根據(jù)二次函數(shù)的對稱性知，，又，所以，所以，故C正確；，由題意，所以函數(shù)零點個數(shù)為三個方程的解的個數(shù)之和，即函數(shù)的圖象分別與，，交點個數(shù)之和，由C可知，，，結(jié)合圖象可知，函數(shù)的圖象與有一個交點，函數(shù)的圖象與有三個交點，函數(shù)的圖象與有一個交點，所以函數(shù)有5個互不相等的零點，故D正確.故選：ACD【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．61．（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)若函數(shù)有四個零點，從小到大依次為，則下列說法正確的是（

）A． B．的最小值為4C． D．方程最多有10個不同的實根【答案】ACD【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖象分析可知：，且，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合基本不等式分析判斷A；根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合基本不等式分析判斷B；根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷C；令，方程化為，討論的取值范圍，結(jié)合圖象分析判斷D.【詳解】由，得，函數(shù)的零點，即為的圖象與直線交點的橫坐標，如圖，作出函數(shù)的圖象.如圖，，且，對于A，由，得，整理得，即，則，故A正確；對于B，由，得，則，整理得，解得，故B錯誤；對于C，由，得，解得，則，，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，因此，故C正確；對于D，方程，即，令，則，而，①若，則方程無實根，即方程無實根，方程無實根；②若，則方程有2個不相等的實根，且有2個不相等的實根；有3個不相等的實根，方程有5個不相等的實根；③若，則方程有4個不相等的實根滿足：，且無實根，有4個不相等的實根，或均有3個不相等的實根，因此方程有10個不相等的實根；④若，則方程有4個不相等的實根滿足：，且無實根，或或均有3個不相等的實根，因此方程有9個不相等的實根；⑤若，則方程有3個不相等的實根滿足：，且無實根，或均有3個不相等的實根，因此方程有6個不相等的實根；綜上，方程最多有10個不同的實根，D正確.故選：ACD【點睛】方法點睛：應用函數(shù)思想確定方程解的個數(shù)的兩種方法：①轉(zhuǎn)化為兩個常見的函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)建不等式（方程）求解；②分離參數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題求解．填空題62．（24-25高一上·上海靜安·期末）若關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為【答案】【分析】利用常變量分離法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.【詳解】由于關(guān)于的方程有4個不同的實數(shù)解，當時，原式為，解得，不滿足題意；故，則可轉(zhuǎn)化成，所以或，所以或，所以時，是此方程的1個根，故關(guān)于的方程有3個不同的非零非4的實數(shù)解，所以有3個不同的非零且非4的實數(shù)解，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個不同的交點，在同一直角坐標系作圖：由圖可知，即，所以的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用轉(zhuǎn)化法，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進行求解是解題的關(guān)鍵.63．（24-25高一上·河北保定·期末）已知奇函數(shù)，在上單調(diào)，若對任意都有，則解的個數(shù)為.【答案】【分析】先求得時的表達式，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出時的表達式，然后根據(jù)零點存在性定理等知識求得正確答案.【詳解】當時，設(shè)①，則，由①令得，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以，令，則，所以，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以，，若時，函數(shù)有意義，則，所以，當時，對于方程，即，兩邊除以得：，令，根據(jù)函數(shù)解析式分析在上單調(diào)遞增，，，所以在上有唯一零點，所以方程在上有一個解；當時，代入，有不成立，不是方程的解；當時，對于方程，即，兩邊除以得：，令，根據(jù)函數(shù)解析式分析在上單調(diào)遞增，，，所以在上有唯一零點，所以方程在上有一個解；綜上所述，方程在上有兩個解.故答案為：【點睛】思路點睛：設(shè)定函數(shù)并分析單調(diào)性：首先設(shè)定函數(shù)（換元法），并根據(jù)定義域和題目條件，分析函數(shù)的單調(diào)性.利用零點存在性定理判斷解的個數(shù)：結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點存在性定理，判斷方程解的個數(shù)，從而得出最終結(jié)論.題型十二函數(shù)零點及方程的根解答題（共10小題）64．（24-25高一上·江西九江·期末）已知函數(shù).(1)若為偶函數(shù)，求的值；(2)討論的零點個數(shù).【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）應用偶函數(shù)的性質(zhì)有恒成立，即可求參數(shù)值；（2）設(shè)，問題化為分析解的個數(shù)，分類討論判斷原函數(shù)零點的個數(shù).【詳解】（1）依題意，得，即即恒成立，得.（2）令，得設(shè)，則由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且最大值為，當時，無零點；當或時，有一個零點；當時，有兩個零點.65．（24-25高一上·重慶·期末）若函數(shù).(1)若，求函數(shù)的零點：(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求二次函數(shù)的零點等價于解一元二次方程即可求解；（2）利用換元法并分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)換為恰好有一個根，構(gòu)造函數(shù)，發(fā)現(xiàn)其具有單調(diào)性，故問題轉(zhuǎn)換為求的值域即可求解.【詳解】（1）若，，若，則或，所以函數(shù)的零點是；（2）由題意恰好有一個根，等價于恰好有一個根，即恰好有一個根，令，則函數(shù)是增函數(shù)，所以的值域是，故所求為.66．（24-25高一上·黑龍江雞西·期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)，.(1)求的值；(2)若方程有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)是偶函數(shù)得，可得，進而可得；（2）由得，設(shè)，可得有且只有一個正根，由分類，根據(jù)根的分布進而可得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，由是偶函數(shù)，得，即，則，而不恒為0，所以．（2），依題意，方程有且只有一個實根，即方程有且只有一個實根，令，則方程有且只有一個正根，即方程有且只有一個正根，令函數(shù)，①當時，，由，得，不合乎題意；②當時，則，二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線，，而，要方程有且只有一個正根，則，解得；③當時，則，設(shè)方程的兩根分別為，則方程有且只有一個正根，因此，所以實數(shù)的取值范圍是．67．（24-25高一上·江蘇鹽城·期末）已知（），對任意都有．(1)求的值；(2)若當時方程有唯一實根，求的范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件可得的圖象關(guān)于直線對稱，則，再結(jié)合的范圍可求得結(jié)果；（2）令，則，由的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有一個交點，結(jié)合圖象從而可求出的范圍；【詳解】（1）對任意都有，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，而，則，，所以．（2），當時，設(shè)，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，所以方程有唯一實根，等價于與的圖象有一個交點，由圖象可知或，所以或，所以的范圍是．68．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅存一個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)(3)【分析】（1）確定二次函數(shù)對稱軸即可求解；（2）由，，三種情況分類討論即可；（3）通過或，結(jié)合判別式及零點存在性定理求解；【詳解】（1）由條件可得，對稱軸為：，由開口向上，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2），當時，，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合；當時，對稱軸為：，且開口向上，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，需滿足：，解得：，當時，對稱軸為：，且開口向下，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，需滿足：，解得：，綜上若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅存一個零點，當時，由，解得：，符合；當，對于，若，即時，方程有一根，符合，若，①，因為對稱軸為：，又，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅存一個零點，需滿足：，即，故：；②，對稱軸為：，，若函數(shù)在區(qū)間上有且僅存一個零點，需滿足：，且，即且，解得：；綜上實數(shù)的取值范圍是69．（24-25高一上·安徽蕪湖·期末）已知函數(shù)．(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若當時，關(guān)于的方程有且僅有一個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)解不等式即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為方程有且僅有一個屬于的實數(shù)解，再求出在有一解時的范圍，然后解相應的不等式即可得．【詳解】（1）因為，所以原不等式可化為，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．（2）若當時，關(guān)于的方程有且僅有一個實數(shù)解，則方程有且僅有一個實數(shù)解，所以有且僅有一個屬于的實數(shù)解．因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，，當趨向于0時，趨向于，所以或，解得或或，所以實數(shù)的取值范圍是．70．（24-25高一上·廣東深圳·期末）已知函數(shù)，不等式解集為，(1)設(shè)函數(shù)在上存在零點，求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）解指數(shù)不等式得到集合，再判斷的單調(diào)性，即可得到，解得即可；（2）首先得到，令，，，依題意可得在內(nèi)的最小值為，即可得到方程（不等式）組，解得即可.【詳解】（1）因為，則，解得，即,又因為，且，在內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞增，若函數(shù)在上存在零點，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍．（2）因為，令，由可知，則，令，，則在內(nèi)的最小值為，由的圖象開口向上，對稱軸為，可得，解得，即實數(shù)的值為1．71．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函數(shù).(1)判斷并用定義證明在上的單調(diào)性；(2)若函數(shù)恰有4個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞增，證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義即可證明；（2）令可得或.由函數(shù)零點與方程根的關(guān)系結(jié)合函數(shù)的圖象即可求解.【詳解】（1）在上單調(diào)遞增.證明如下：當時，.設(shè)，則.因為，所以，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）的圖象如圖所示.因為函數(shù)恰有4個零點，所以方程恰有4個解.即或共有4個解.由圖知，且或或，解得或或，即實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：，第2小問的解題關(guān)鍵為：將函數(shù)有4個零點轉(zhuǎn)化為方程有4個實根，進一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線及有4個交點，數(shù)形結(jié)合求解即可.72．（24-25高一上·貴州黔南·期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的零點；(3)若函數(shù)有零點，求k的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用偶函數(shù)定義求出值即得解析式.（2）由（1）求出函數(shù)式，再解方程求出零點.（3）求出并用表示出，再換元分離參數(shù)，利用單調(diào)性求出最小值得解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為R，由為偶函數(shù)，得，即，則，解得，所以函數(shù)的解析式為.（2）函數(shù)，則，由，得，而，解得，則，所以有一個零點為.（3）由（1）知，則，方程，化為，令，當且僅當時取等號，即，依題意，方程有實數(shù)根，即在時有解，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，所以k的取值范圍是.73．（24-25高一上·北京順義·期末）已知函數(shù)，且函數(shù)是奇函數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)設(shè)函數(shù)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明你的判斷；(3)設(shè)函數(shù)，寫出函數(shù)的零點個數(shù).（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析(3)2個零點【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)定義，由，代入計算可求得；(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性；(3)借助函數(shù)奇偶性和單調(diào)性可得零點的個數(shù).【詳解】（1）令，解得，所以函數(shù)的定義域為.由于函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)在其定義域內(nèi)滿足，則.整理得：，注意到對任意的上式均成立，可得，解得.（2）因為，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.證明如下（方法一）：對任意，且，則.因為，可得，即所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.證明單調(diào)性（方法二）：對任意，且，則因為，可得，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）由題意得,根據(jù)第(2)小問得在區(qū)間上單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，當時，，根據(jù)零點存在定理得在區(qū)間上存在一個零點，同理可得在區(qū)間上存在一個零點，所以函數(shù)有2個零點.題型十三指數(shù)函數(shù)模型（共8小題）74．（24-25高一上·山東威?！て谀┠臣儍羲圃鞆S在凈化水的過程中，每過濾一次可使水中雜質(zhì)減少50%，若要使水中雜質(zhì)減少到原來的2%以下，則至少需要過濾（

）A．4次 B．5次 C．6次 D．7次【答案】C【分析】列不等式后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】每過濾一次可使水中雜質(zhì)減少50%，設(shè)要使水中雜質(zhì)減少到原來的2%以下至少需要過濾次，則.又，所以.故選：C75．（24-25高一上·云南保山·期末）某市GDP的年平均增長率為，按此增長率，大約經(jīng)過年后該市GDP會翻一番，則為（參考值，）（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】A【分析】由題意設(shè)某市原有GDP為，經(jīng)過年后該市GDP會翻一番為，由題意，求解即可.【詳解】設(shè)某市原有GDP為，經(jīng)過年后該市GDP會翻一番為，由年平均增長率為，可得，所以，兩邊取自然對數(shù)得，所以，代入?yún)⒖贾档霉蔬x：A76．（24-25高一上·安徽蕪湖·期末）荷花定律是一個非常著名的定律.據(jù)研究者收集的信息，池塘里荷花開放的程度，有如下規(guī)律，第一天開放的只是一小部分，第二天，它們會以前一天的兩倍速度開放.到第29天時荷花恰好開滿了一半，到第30天才會開滿整個池塘.下列函數(shù)能較好反映池塘里荷花開放的程度y與時間x（1-30天）之間的變化規(guī)律的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由指數(shù)函數(shù)的運算可得.【詳解】由題意“到第29天時荷花恰好開滿了一半，到第30天才會開滿整個池塘”可得當時的值是時的值的二倍，所以只有指數(shù)函數(shù)符合.故選：B.77．（24-25高一上·河南駐馬店·期末）某放射性物質(zhì)在衰減過程中，其質(zhì)量與年數(shù)滿足關(guān)系式（為初始質(zhì)量，，為常數(shù)，）．已知該放射物質(zhì)經(jīng)過4年，其質(zhì)量變?yōu)槌跏假|(zhì)量的，若再經(jīng)過8年，該放射性物質(zhì)的質(zhì)量變?yōu)槌跏假|(zhì)量的（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運算法則列式計算得解.【詳解】依題意，，則，再經(jīng)過8年，即時，，所以再經(jīng)過8年，該放射性物質(zhì)的質(zhì)量變?yōu)槌跏假|(zhì)量的.故選：C78．（24-25高一上·重慶·期末）某催化劑的活性指標K（單位：kgPP/gCat）與反應溫度t（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系：（其中a，b為常數(shù)），若在20℃時的活性指標為13kgPP/gCat，在40℃時的活性指標為85kgPP/gCat，則該催化劑在50℃的活性指標為（

）A．252kgPP/gCat B．247kgPP/gCatC．227kgPP/gCat D．127kgPP/gCat【答案】B【分析】由方程，，求得即可求解.【詳解】由題意可得：，，兩式相減可得：，所以，所以或（舍去），即，所以，所以該催化劑在的活性指標為.故選：B.79．（24-25高一上·四川內(nèi)江·期末）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時間t（單位：h）間的關(guān)系為（其中，k是正常數(shù)），如果在前5h消除了10%的污染物，則污染物減少50%需要花費的時間約為（

）（本題參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】D【分析】代入數(shù)據(jù)先得到然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的運算和對數(shù)運算即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知,當為最開始的污染物含量.當時,廢氣的污染物含量為所以所以當污染物減少時,可設(shè)所以所以則所以故選：D.80．（24-25高一上·貴州黔東南·期末）垃圾分類是指按一定規(guī)定或標準將垃圾分類儲存、投放和搬運，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動，做好垃圾分類是每一位公民應盡的義務.已知某種垃圾的分解率與時間（月）近似滿足關(guān)系（其中，），經(jīng)過24個月，這種垃圾的分解率為,經(jīng)過48個月，這種垃圾的分解率為，則這種垃圾完全分解大約需要經(jīng)過（

）個月.（參考數(shù)據(jù)：）A．80 B．90 C．100 D．120【答案】A【分析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的方程組，解之即得的表達式，再由，利用取對數(shù)求出的值即可.【詳解】由題意，可得，解得，則，這種垃圾完全分解，即分解率為，即，所以，兩邊取對數(shù)，可得：，則.故選：A.81．（24-25高一上·廣東廣州·期末）把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，以后物體的溫度降為.若將的物體放在的空氣中冷卻，則物體溫度降為所需要的冷卻時間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，當，時可得得，再代入，即可得結(jié)論.【詳解】由題意可知，當時，，于是，整理得，當，，有，所以，故，將代入可得，可得，物體溫度降為所需要的冷卻時間為故選：C.題型十四對數(shù)函數(shù)模型（共7小題）82．（25-26高一上·上?！て谥校┲袊?G技術(shù)領(lǐng)先世界，在5G技術(shù)中，最大數(shù)據(jù)傳輸速率取決于信道帶寬，與滿足，其中稱為信噪比（單位：）．若不改變帶寬，初始信噪比為1000，那么為了使增加，需要將信噪比從1000提升至大約（

）A．5000 B．6000 C．7000 D．8000【答案】D【分析】結(jié)合題意，借助對數(shù)運算法則計算即可得.【詳解】由題意可得，即有，即.故選：D.83．（24-25高一上·云南德宏·期末）北京時間2024年10月30日4時27分，搭載神舟十九號載人飛船的長征二號遙十九運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，約10分鐘后，神舟十九號載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，發(fā)射取得圓滿成功.據(jù)測算，在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量（單位：），火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系是.據(jù)悉，此次發(fā)射火箭全長，起飛質(zhì)量（火箭起飛質(zhì)量燃料質(zhì)量火箭質(zhì)量），若火箭的最大速度達到，則燃料質(zhì)量約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得，即，再分析求解即可.【詳解】由題意知，所以，即，計算得，即，解得，所以燃料質(zhì)量約為.故選：C．84．（24-25高一上·廣東陽江·期末）大部分大西洋蛙魚每年都要逆流而上游回出生地產(chǎn)卵.研究蛙魚的科學家發(fā)現(xiàn)蛙魚的游速單位：可以表示為，其中表示魚的耗氧量的單位數(shù).若蛙魚的游速每增加，則它的耗氧量的單位數(shù)是原來的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】B【分析】設(shè)原來的游速為，則提速后的游速為，原來的耗氧量的單位數(shù)為，后來的耗氧量的單位數(shù)為，根據(jù)題意列方程組，能求出結(jié)果．【詳解】設(shè)原來的游速為，則提速后的游速為，原來的耗氧量的單位數(shù)為，后來的耗氧量的單位數(shù)為，則，所以，，故，所以若蛙魚的游速每增加，則它的耗氧量的單位數(shù)是原來的倍．故選：B.85．（24-25高一上·河南許昌·期末）假設(shè)在不考慮空氣阻力的條件下，某型號火箭的最大速度v（單位：）和燃料的質(zhì)量M（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（單位：）的函數(shù)關(guān)系是（k為大于0的常數(shù)）．已知當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的15倍時，火箭的最大速度，則當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的63倍時，火箭的最大速度（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求出，再代入當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的63倍時的表達式可得答案.，【詳解】當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的15倍，火箭的最大速度時，則，得，則當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的63倍時，火箭的最大速度.故選：D.86．（24-25高一上·云南昆明·期中）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.研究鮭魚的科學家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位:）可以表示為，其中表示魚的耗氧量的單位數(shù).若一條鮭魚游速為時耗氧量的單位數(shù)為，那么當耗氧量的單位數(shù)為時，鮭魚的游速為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對數(shù)的運算求解出當耗氧量的單位數(shù)為時的值.【詳解】根據(jù)題意，，則當耗氧量的單位數(shù)為時，.故選：C87．（24-25高一上·廣西柳州·期末）大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究鮭魚的科學家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速v(單位：m/s)可以表示為，其中表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù)，當一條鮭魚以2m/s的速度游動時，它的耗氧量的單位數(shù)為（

）A．8100 B．8000 C．1000 D．1100【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)模型，將代入解析式，把對數(shù)式等價轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，即可解得的值.【詳解】由題意，，則，即，所以.故選：A.88．（24-25高一上·上海奉賢·期末）如果不考慮空氣阻力，火箭的最大速度（單位：）與燃料質(zhì)量（單位：），火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系是，這里表示以為底的自然對數(shù)．若已知火箭的最大速度為，火箭的質(zhì)量約為，則火箭需要加注的燃料質(zhì)量約為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意得到方程，得到.【詳解】由題意得，即，.故選：B題型十五建立擬合函數(shù)模型解決實際問題（共7小題）89．（24-25高一上·江西·期末）近幾年，直播平臺逐漸被越來越多的人們關(guān)注和喜愛．某平臺從2021年初建立開始，得到了很多網(wǎng)民的關(guān)注，會員人數(shù)逐年增加．已知從2021到2024年，該平臺會員每年年．末的人數(shù)如下表所示：（注：第4年數(shù)據(jù)為截止至2024年10月底的數(shù)據(jù)）建立平臺第年1234會員人數(shù)（千人）16285286(1)請根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，從下列三個模型中選擇一個恰當?shù)哪Ｐ凸浪憬⒃撈脚_年后平臺會員人數(shù)（千人），求出你所選擇模型的解析式，并預測2024年年末會員人數(shù)：①，②且，③且；(2)為了更好的維護管理平臺，該平臺規(guī)定會員人數(shù)不能超過千人，請根據(jù)（1）中你選擇的函數(shù)模型求的最小值．【答案】(1)選擇模型③，，100千人．(2)4．【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可選擇模型③，將表格中的數(shù)據(jù)代入函數(shù)模型解析式，求出三個參數(shù)的值，即可得出函數(shù)模型解析式，再將代入函數(shù)模型解析式，即可得解；（2）由已知可得出，令，則，令，求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，即可得實數(shù)k的最小值.【詳解】（1）由表格中的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)是一個增函數(shù)，且函數(shù)增長得越來越快，故選擇模型③較為合適，由表格中的數(shù)據(jù)可得，解得所以，函數(shù)模型的解析式為，令，預測2024年年末的會員人數(shù)為100千人．（2）由題意可得，令，則，令，，則函數(shù)的定義域上單調(diào)遞增，又關(guān)于在定義域上單調(diào)遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，，即．所以的最小值為4．90．（24-25高一上·廣東·期末）輿論場指數(shù)是一個反映特定時間內(nèi)社會輿論關(guān)注熱點和趨勢的指標，它通常通過大數(shù)據(jù)分析技術(shù)，對來自不同媒體平臺的信息進行收集、整理和分析，從而得出一個量化的指數(shù)，以揭示公眾對某些事件或話題的關(guān)注程度.對于輿論事件出現(xiàn)起的前天，若某次輿情過程中至少有一天的輿論場指數(shù)大于，則認為本次輿情是嚴重的.某購物平臺利用輿論場指數(shù)就某次輿情進行分析，將輿論事件出現(xiàn)起第1，2，3天的輿論場指數(shù)整理成如下表格：天數(shù)123輿論場指數(shù)1248156為研究輿論場指數(shù)的變化情況，技術(shù)人員提出了三種函數(shù)模型用以刻畫數(shù)據(jù)：①；②；③其中含的項的系數(shù)均不為0.(1)請從①，②，③中選擇一個最合適的函數(shù)模型（直接寫結(jié)果，不用證明）；(2)運用（1）中選取的函數(shù)模型，預測第4天時的輿論場指數(shù)；(3)若本次輿情不是嚴重的，求的最小值.【答案】(1)③(2)(3)【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及指數(shù)爆炸模型可得結(jié)論；（2）利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式，即可做出預測；（3）將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立再利用二次函數(shù)性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】（1）③；根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可以看出輿論場指數(shù)增長非常快，符合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，故選③；（2）將表格數(shù)據(jù)代入，得，，解得，故函數(shù)為，則第4天時的輿論場指數(shù)為.（3）若本次輿情不是嚴重的，則恒成立，原式等于，故兩邊同時除以，得到，不妨設(shè)，故原式等于，整理得，由于在上單調(diào)遞減，故只需要當時，成立即可，代入得，解得，故的最小值為.91．（24-25高一上·貴州黔東南·期末）近年來，國內(nèi)多個城市紛紛加碼布局“夜經(jīng)濟”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進而提升區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展活力.某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與第天的函數(shù)關(guān)系近似滿足（為常數(shù)，且，，），日銷售量（單位：件）與第天的部分數(shù)據(jù)如表所示：5101520254550555045已知第5天的日銷售收入為459元.給出以下三個函數(shù)模型：①；②；③.(1)請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認為合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；(2)設(shè)該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的解析式；(3)該工藝品的日銷售收入哪天最低？最低收入是多少？【答案】(1)選擇模型②，(2)，(3)該工藝品的日銷售收入第30天最低，最低收入是元【分析】（1）根據(jù)題意易知選擇函數(shù)模型②，從而再根據(jù)題意建立方程，即可求解；（2），從而可求的解析式；（3）利用基本不等式及函數(shù)單調(diào)性，即可求解．【詳解】（1）由表格中的數(shù)據(jù)知，隨著x的增大，先增后減，①③函數(shù)模型描述的都是單調(diào)函數(shù)，不符合該數(shù)據(jù)模型，所以選擇函數(shù)模型②：，由，可得，解得，因為，解得，則日銷售量與時間x的關(guān)系式為.（2）因為第5天的日銷售收入為459元，則，解得，所以，由（