3/3專題01集合與常用邏輯用語（期末復習講義）核心考點復習目標考情規(guī)律集合的概念與表示能準確判斷集合的類型（數(shù)集、點集等）；熟練用列舉法、描述法表示集合基礎(chǔ)考點，常出現(xiàn)在選擇題，填空題元素的確定性、互異性、無序性能依據(jù)“三性”判斷元素是否屬于集合；熟練利用互異性求解集合中參數(shù)的值。重點考點，常出現(xiàn)在選擇題，填空題子集、真子集與空集掌握子集、真子集的個數(shù)計算公式；能熟練結(jié)合空集的特殊性解決含參集合關(guān)系問題重難必考點，常出現(xiàn)選擇題，填空題，解答題交集、并集與補集的運算熟練用Venn圖、數(shù)軸分析集合運算；能快速計算多個集合的交、并、補結(jié)果基礎(chǔ)考點，常出現(xiàn)在選擇題，填空題充分條件、必要條件與充要條件回顧判斷兩個命題間的條件關(guān)系的方法；熟練運用集合包含關(guān)系分析充要條件?；A(chǔ)考點，常出現(xiàn)在選擇題，填空題全稱量詞命題與存在量詞命題回顧識別命題的量詞類型的方法；能熟練判斷兩類命題的真假基礎(chǔ)考點，常出現(xiàn)在選擇題，填空題命題的否定及應用能準確寫出全稱與存在量詞命題的否定；熟練利用命題的否定解決參數(shù)范圍問題重難必考點，常出現(xiàn)選擇題，填空題，解答題知識點01集合的有關(guān)概念（1）集合中元素的特征：確定性、無序性、互異性.在求有關(guān)集合問題時，尤其要注意元素的互異性.（2）集合與元素的關(guān)系用符號和表示.（3）常用數(shù)集的表示符號：（4）常用數(shù)的表示：若為偶數(shù)，則；若為奇數(shù)，則；若被3整除，則；若被3除余1，則.（5）集合的分類：①有限集：含有有限個元素的集合；②無限集：含有無限個元素的集合③空集：不含任何元素的集合，記作知識點02集合的表示方法（1）列舉法：將集合中的元素一一列舉出來，寫在“”內(nèi)表示集合的方法。元素間用分隔號“”隔開，不重復，無順序；（2）描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫成“”，x為該集合的代表元素，是元素具有的性質(zhì)（3）venn圖示法：為了形象的描述集合，我們常常畫一條封閉的曲線的內(nèi)部來表示集合。知識點03元素與集合間的關(guān)系（1）集合中元素的三大性質(zhì)：①確定性；②互異性；③無序性。（2）元素與集合的關(guān)系：①屬于：如果是集合的元素，記作，讀作“屬于集合”。②不屬于：如果不是集合的元素，記作，讀作“不屬于集合”知識點04集合間的基本關(guān)系（1）子集：對于兩個集合、，若集合中的任意一個元素都在集合中，則是的子集；記作，讀作包含于（2）真子集：對于兩個集合、，若集合中的任意一個元素都在集合中，集合中至少有一個元素不在集合中，則是的真子集；記作，讀作真包含于注意子集個數(shù)判斷：若集合中有個元素，則的子集個數(shù)有個，非空子集有個，真子集個數(shù)有個，非空真子集個數(shù)有個（3）相等集合：若，，則（4）我們把不含任何元素的集合叫做空集,記為規(guī)定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合關(guān)系時，必須優(yōu)先考慮__空集___的情況，否則會造成漏解.全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作知識點05集合的基本運算1.交集的概念及其運算（1）定義：一般地,對于給定的集合A與集合B,由既屬于集合A又屬于集合B的所有元素組成的集合,稱為集合A與集合B的交集,記作A∩B.讀作“A交B（2）例如：設(shè)集合A={2,4,6},集合B={0,1,2},則A∩B=22.并集的概念及其運算（1）定義：一般地,對于給定的集合A與集合B,由集合A與集合B的所有元素組成的集合稱為集合A與集合B的并集,記作A∪B.讀作“A并B”.即A∪B={x|x∈A（2）例如：設(shè)集合A={1,3,5,7},集合B={0,2,3,4,6},則A∪B={0,1,2,3,4,5,6,7}3.補集的概念及其運算（1）定義：一般地，如果集合A是全集U的一個子集，則由集合U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A在全集U中的補集，記作CUA（2）例如：設(shè)全集U={x∈N|x＜7}，集合A={1,2,4,6},則C4.集合的基本運算相關(guān)結(jié)論注1：德摩根公式注2：容斥定理之集合中元素個數(shù)知識點06充分條件、必要條件與充要條件1.充分條件、必要條件與充要條件的概念p是q的充分條件p?qp是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p注意：箭頭指向必要條件；2.充分條件、必要條件與集合的關(guān)系（小范圍?大范圍）設(shè)A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}A?Bp是q的充分條件；q是p的必要條件B?Aq是p的充分條件；p是q的必要條件A＝Bp是q的充要條件知識點07全稱量詞命題與存在量詞命題（1）全稱量詞及全稱命題①全稱量詞：短語含有“所有、一切、任意、全部、每一個等”在邏輯中通常叫做全稱量詞．并用符號“”表示.②含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題．表示為：“對M中任意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為，讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”．（2）存在量詞及特稱命題①存在量詞：短語含有“存在一個、至少有一個、有一個、某個、有些、某些等”在邏輯中通常叫做存在量詞。②含有存在量詞的命題，叫做特稱命題．表示為“存在M中的一個x0，使p(x0)成立”可用符號簡記為，讀作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．知識點08命題的否定全稱量詞命題：，，否定為：，存在量詞命題：，，否定為：，注1：符號“?p(x)”表示“p(x)的反面”注2：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題注3：若原命題為真命題，則它的否定為假命題題型一元素與集合的關(guān)系解｜題｜技｜巧（1）直接對照法：如果集合里的元素是直接列出來的（比如{1,2,3}這種），想判斷某個元素在不在這個集合里，直接看它有沒有“出現(xiàn)在列表里”就行。（2）特征匹配法：要是集合沒直接寫元素（比如用條件描述的，像“所有大于2的數(shù)”），先搞清楚這個集合對元素的“要求”（比如“大于2”），再看要判斷的元素是否符合這個要求。易錯提醒：別忘了集合里的元素得“互不重復”，遇到帶參數(shù)的集合時，判斷完元素歸屬后，要檢查集合里的元素是不是都不一樣（互異性）【典例1】（25-26高一上·江蘇揚州·月考）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷元素是否滿足集合的條件，再確定元素和集合的從屬關(guān)系.【詳解】集合表示不大于的數(shù)構(gòu)成的集合，而，元素、.故選：.【變式1】（25-26高一上·江蘇蘇州·月考）若，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的個數(shù)為（）①；②；③若，則；④若且，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系，以及實數(shù)的運算法則，逐一判斷各命題的正誤，求出結(jié)果.【詳解】①：，所以①正確；②：當時，，滿足，所以②正確；③若，設(shè)，則，因為，所以，則，所以③正確；④：設(shè)，則，所以④錯誤；故選：C.【變式2】已知集合，且，則等于（

）A． B． C．3 D．或【答案】B【分析】分別令和，求得a值，根據(jù)集合的互異性，分析即可得答案.【詳解】因為，當，即時，集合，不滿足互異性，不符合題意，當時，解得或（舍），當時，集合，滿足題意.故選：B【變式3】（25-26高一上·江蘇南京·月考）非空集合具有如下性質(zhì)：①若，則；②若，則；由此可知：下列判斷錯誤的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】通過對進行賦值及利用兩個性質(zhì)可判斷各個選項.【詳解】由于0不能作除數(shù)，所以，A正確；由性質(zhì)①，取可得，B正確；因為，所以，由性質(zhì)①，即，C正確；假設(shè)若，則，取可得與矛盾，D錯誤.故選：D題型二集合間基本關(guān)系求子集和真子集個數(shù)解｜題｜技｜巧（1）若集合A中含有n個元素，則有____個子集，有個非空子集，有個真子集，有個非空真子集．（2）子集關(guān)系的傳遞性，即易錯提醒：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，不能忽略空集【典例1】設(shè)集合，則集合的真子集個數(shù)為（

）A．32 B．31 C．16 D．15【答案】D【分析】先化簡用列舉法表示集合，據(jù)集合中元素的個數(shù)得真子集個數(shù).【詳解】由得，解得，又，，由集合中共有個元素，故的真子集個數(shù)為.故選：D.【變式1】集合的真子集個數(shù)為（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】A【分析】利用根式與對數(shù)式有意義，結(jié)合真子集的定義即可求解.【詳解】題意可知解得，所以，所以集合的真子集個數(shù)為.故選：A.【變式2】已知集合，，則滿足條件的集合C的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】B【分析】先化簡集合A、B，再利用子集的定義分析計算即可得解.【詳解】解，得或，則，解，得，則，因為，所以根據(jù)子集的定義，集合必須含有元素1，2，且可能含有元素0，3，則原題即求集合的子集個數(shù)，即有個.故選：B.【變式3】（25-26高一上·江蘇淮安·期中）已知，，，，則所有滿足上述條件的集合為【答案】，，，【分析】根據(jù)題意可知，進而求出集合.【詳解】因為，，則，又由，，可知，即，所以或或或.故答案為：，，，題型三集合間基本關(guān)系求參解｜題｜技｜巧（1）連續(xù)數(shù)集：畫數(shù)軸“比大小”如果集合是連續(xù)的數(shù)，直接畫個數(shù)軸把集合對應的范圍標上去，看范圍的包含關(guān)系就行。注意：端點處是“實心點”（包含這個數(shù)）還是“空心點”（不包含）別搞混。（2）不連續(xù)數(shù)集：按包含關(guān)系“列方程”要是集合是分散的數(shù)（比如{1,3,5}這種），根據(jù)“誰包含誰”的關(guān)系，把集合里的元素對應起來列方程。務必記得分情況討論（比如元素可能對應不同的項）易錯提醒千萬別忘“空集”這個特殊情況！如果題目說“小集合包含于大集合”，小集合有可能是空集，這時候得單獨驗證【典例1】（24-25高一上·江蘇南京·期末）已知集合，，若，則等于（

）A．2 B．1或2 C．1或2或 D．【答案】C【分析】由可以得到中的元素都在集合中，從而求出實數(shù)a的值．【詳解】解：，由，可得且，集合，當時，，當時，則或2，經(jīng)檢驗均符合要求，故或2或，故選：C【變式1】集合，，若，，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】討論是否為空集，參照子集問題模板求解即可.【詳解】因為，，且，①當時，即無解，此時，滿足題意．②當時，即有解，當時，可得，要使，則需要，解得．當時，可得，要使，則需要，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是．故選：A．【變式2】（25-26高一上·江蘇南京·月考）若一個集合是另一個集合的子集，則稱兩個集合構(gòu)成“鯨吞”；若兩個集合有公共元素，且互不為對方子集，則稱兩個集合構(gòu)成“蠶食”.對于集合，，若這兩個集合構(gòu)成“鯨吞”或“蠶食”，則a的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題目所給定義進行討論，結(jié)合子集、交集進行求解即可.【詳解】當時，，，構(gòu)成“鯨吞”；當時，，則這兩個集合無法構(gòu)成“鯨吞”，只能構(gòu)成“蠶食”，當時，，當時，，綜上：a的取值集合是.故選：C【變式3】已知函數(shù)的定義域為集合，集合，．(1)求；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出，再求出即可；（2）分和兩種情況，得到關(guān)于a的不等式，再求出的取值范圍.【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，則，解得，，，得，解得：，即,．（2），①當時，，即，滿足題意；②當時，，解得，綜上，的取值范圍為．題型四集合間的基本運算解｜題｜技｜巧（1）交、并、補運算（通用思路）①交集（找“重疊”）：把兩個集合的公共元素挑出來，直接列或通過條件篩選②并集（湊“全家”）：把兩個集合的所有元素合到一起，重復的只留一個③補集（找“剩下的”）：先明確“全集范圍”，再去掉目標集合的元素，剩下的就是補集數(shù)集運算：數(shù)軸輔助更清晰如果是連續(xù)數(shù)集（比如區(qū)間），畫數(shù)軸標范圍：①交集→找數(shù)軸上重疊的區(qū)間；②并集→把所有區(qū)間連起來；③補集→去掉目標區(qū)間后剩下的部分離散集合運算：列舉法+對應驗證如果是分散元素，直接把元素列出來，對照著找公共/合并/剩余元素，注意別漏元素。易錯提醒：計算前先明確集合的“元素類型”（是數(shù)、點還是其他），避免運算時混淆；補集一定要先確認“全集是什么”，別默認全集是實數(shù)集【典例1】（24-25高一上·江蘇連云港·期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用集合交集的運算求解即可.【詳解】因為集合，，所以，故選：C.【變式1】（24-25高一上·江蘇南通·期末）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先解絕對值不等式，再利用交集定義求解即可.【詳解】由可得，即，即得，則.故選：B.【變式2】已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，再根據(jù)交集和補集的定義即可得解.【詳解】因為集合，集合，則，所以.故選：A．【變式3】已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可知，根據(jù)分式不等式的等價條件可得集合，又可得集合，然后求交集即可.【詳解】根據(jù)題意，所以，又，所以，則.故選：C.題型五集合運算求參數(shù)范圍解｜題｜技｜巧先明確運算類型，轉(zhuǎn)化為“范圍關(guān)系”不管是交集、并集還是補集的條件，先把集合運算的要求，翻譯成集合之間的包含/交并關(guān)系分集合類型處理①連續(xù)數(shù)集（區(qū)間）：畫數(shù)軸標范圍把已知集合和含參數(shù)的集合都標在數(shù)軸上，根據(jù)運算要求確定參數(shù)對應的區(qū)間邊界，注意端點的虛實（是否包含）。②離散集合（列舉型）：分類列方程/不等式把含參數(shù)的集合元素列出來，根據(jù)運算的元素要求（比如交集的公共元素、并集的覆蓋元素），分情況討論參數(shù)的可能值，最后驗證集合元素的互異性。易錯提醒：不要漏了“含參數(shù)的集合是空集”的情況，空集是任何集合的子集。求出參數(shù)范圍后，代入原集合驗證，確保滿足運算條件。【典例1】已知集合，，且，則實數(shù)的所有取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用集合交集結(jié)果得到，從而分類討論的取值即可得解.【詳解】因為，所以，而，，當時，集合，滿足；當時，集合，由，得或，解得或，綜上，實數(shù)的取值集合為.故選：C.【變式1】（25-26高一上·江蘇淮安·月考）集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，解不等式得，從而得，根據(jù)，可得，求解即可.【詳解】因為，，所以，又因為，所以，解得.故選：A.【變式2】已知集合，集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用集合關(guān)系列出不等式組求解即可.【詳解】因為，所以，當時，則，解得，當時，則，解得：．綜上所述，的取值范圍為.故選：A．【變式3】（25-26高一上·江蘇連云港·期中）已知集合，，若，則實數(shù)的值為.【答案】5【分析】運用集合并集的運算、集合之間的包含關(guān)系求出的值.【詳解】因為集合，，所以且且，由，知是的子集，所以，故.故答案為：題型六Venn圖及容斥原理的應用解｜題｜技｜巧Venn圖：畫圖“填區(qū)域”①先畫2個/3個相交的圈（代表不同集合），圈外是全集。②從“最重疊的區(qū)域”開始填數(shù)（比如同時屬于A、B、C的元素數(shù)），再填“只屬于其中兩個集合”的區(qū)域，最后填“只屬于單個集合”的區(qū)域。③需求（比如A的元素數(shù)、A∩B的元素數(shù)）直接看對應區(qū)域的數(shù)字之和。容斥原理：公式“套條件”①兩集合容斥：②三集合容斥：（總元素數(shù)=A+B+C-兩兩重疊的數(shù)+三個都重疊的數(shù)），遇到“至少/至多”類問題，結(jié)合Venn圖區(qū)域和容斥公式列方程。易錯提醒：用Venn圖時，別漏“不屬于任何集合”的元素（圈外區(qū)域）；容斥原理計算時，注意“重疊區(qū)域的重復計算”，避免多減或少加?！镜淅?】（24-25高一上·江蘇鹽城·期末）已知為全集，其三個非空子集、、滿足，則下列集合為空集的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合venn圖即可求解；【詳解】由圖可知，，不是空集，故選：C【變式1】（23-24高一上·江蘇南通·月考）如圖，已知矩形U表示全集，A、B是U的兩個子集，則陰影部分可表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)陰影部分區(qū)域內(nèi)元素且，進而求得結(jié)論．【詳解】由題可得陰影部分區(qū)域內(nèi)元素且，所以陰影部分可表示為.故選：D.【變式2】某校向1班50名學生調(diào)查對A，B兩事件的態(tài)度，其中有30人贊成A，有33人贊成B，且對A，B都不贊成的學生人數(shù)比對A，B都贊成的學生人數(shù)的三分之一多1人，則對A，B都贊成的學生人數(shù)為（）A．15 B．18 C．21 D．24【答案】C【分析】設(shè)出未知數(shù)，作出文氏圖，得到方程，求出答案.【詳解】設(shè)對A，B都贊成的學生人數(shù)為，則對A，B都不贊成的學生人數(shù)為.作出文氏圖如下：由，解得.所以對A，B都贊成的學生人數(shù)為21.故選：C【變式3】某高中舉辦運動會時，高一（1）班共有28名同學參加比賽，有15人參加趣味益智類比賽．有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加趣味益智類比賽和田徑比賽的有3人，同時參加趣味益智類比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽．則只參加趣味益智類一項比賽的人數(shù)為；同時參加田徑和球類比賽的人數(shù)為【答案】93【分析】因為參加趣味益智類比賽的人數(shù)已知，因為沒有人同時參加三項比賽，所以從中減去“同時參加趣味益智類比賽和田徑比賽”和“同時參加趣味益智類比賽和球類比賽”的人數(shù)，就是只參加趣味益智類一項比賽的人數(shù)，設(shè)同時參加田徑和球類比賽的人數(shù)為，列出方程計算即可．【詳解】因為參加趣味益智類比賽的總?cè)藬?shù)為15，且：同時參加趣味益智類比賽和田徑比賽的有3人；同時參加趣味益智類比賽和球類比賽的有3人．又因為沒有人同時參加三項比賽，所以只參加趣味益智類一項比賽的人數(shù)為：人．設(shè)同時參加田徑和球類比賽的人數(shù)為，由題意得：，解得：，故同時參加田徑和球類比賽的人數(shù)為，故答案為：9；3．題型七充分、必要、充要條件的判斷解｜題｜技｜巧定義法：判斷條件是否能推出結(jié)論，再判斷結(jié)論是否能推出條件，雙向判斷后即可．集合法：對于條件和結(jié)論對應的集合關(guān)系，利用“小充分大必要”即可判斷．易錯提醒：區(qū)分“誰是誰的條件”：題目中“p是q的條件”和“q是p的條件”結(jié)論相反，需先鎖定條件和結(jié)論的對應關(guān)系；注意特殊情況：涉及“存在性”“恒成立”的命題，要結(jié)合具體范圍驗證推導關(guān)系，避免遺漏邊界值【典例1】已知實數(shù)x，y，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分必要條件定義判斷即可.【詳解】當,取,可得,充分條件不成立;,必要條件成立;故選：B.【變式1】荀子曰：“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江?！?，這句話是來自先秦時期的名言.此名言中的“積跬步”一定是“至千里”的（

）A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)四種命題的基本關(guān)系，利用命題與其逆否命題的真假性可知“積跬步”一定是“至千里”的必要條件；【詳解】由已知設(shè)“積跬步”為命題，“至千里”為命題，“故不積跬步，無以至千里”，即“若，則”為真命題，其逆否命題為“若，則”為真命題，反之不成立，所以命題是命題的必要不充分條件，故“積跬步”一定是“至千里”的必要條件；故選：B.【變式2】已知函數(shù)，設(shè)甲：函數(shù)是偶函數(shù)，乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由三角函數(shù)的奇偶性求得，又當時為偶函數(shù)，結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.【詳解】為偶函數(shù)，則，解得，當時，；又當時，為偶函數(shù)，所以甲是乙的必要不充分條件.故選：B.【變式3】（多選）已知命題，那么命題p成立的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】解不等式，只需是或的真子集，得到答案.【詳解】或，要求命題p成立的一個充分不必要條件，只需滿足或的真子集即可，其中和滿足要求，其他選項不滿足.故選：AC題型八由充分條件與必要條件求解參數(shù)解｜題｜技｜巧核心解題思路：先將充分/必要條件轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系，再結(jié)合集合的范圍（或元素特征）列不等式（組）求解參數(shù)，核心邏輯是“條件對應集合，關(guān)系對應包含”明確條件與集合的對應關(guān)系設(shè)條件p對應集合A，條件q對應集合B，則：若p是q的充分不必要條件，等價于；若p是q的必要不充分條件，等價于；若p是q的充要條件，等價于A=B；若p是q的既不充分也不必要條件，等價于A與B無包含關(guān)系。分類型求解參數(shù)數(shù)集型（區(qū)間類條件）步驟：①求出條件p、q對應的數(shù)集A、B（含參數(shù)的集合需保留參數(shù)）；②根據(jù)條件與集合的對應關(guān)系，在數(shù)軸上標出集合范圍；③結(jié)合區(qū)間端點的虛實（是否包含）列不等式（組）；④驗證端點值是否滿足“真包含”（充分不必要/必要不充分）的要求，避免取到等號后集合相等。方程/不等式型（含參數(shù)的約束條件）步驟：①化簡條件p、q，明確其成立的等價條件；②將充分/必要關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程/不等式的“解集包含關(guān)系”；③對參數(shù)進行分類討論（尤其是含二次方程時，需討論二次項系數(shù)是否為0）；④代入驗證，確保參數(shù)值滿足原條件的邏輯關(guān)系。易錯提醒1.遺漏空集：當含參數(shù)的集合可能為空集時，需單獨討論空集的情況（空集是任何集合的子集）。2.端點值驗證：列不等式時容易忽略“真包含”與“包含”的區(qū)別，求出參數(shù)范圍后需代入驗證端點，確保不出現(xiàn)集合相等的情況。3.條件與結(jié)論的順序：務必區(qū)分“p是q的條件”和“q是p的條件”，兩者對應的集合包含關(guān)系相反，避免方向搞反【典例1】若“”是“”的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用充分條件與必要條件的判斷方法即可得得出結(jié)果.【詳解】因為“”是“”的必要不充分條件，所以，即，解得，故選：B.【變式1】已知，且是的充分條件，則實數(shù)可以是（

）A．3 B．1 C． D．【答案】A【分析】由題意先求出的充要條件，然后結(jié)合是的充分條件可得實數(shù)的范圍，從而對比選項即可得解.【詳解】由題意，若是的充分條件，則當且僅當，對比選項可知實數(shù)可以是3.故選：A.【變式2】已知，，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將充分不必要條件轉(zhuǎn)化為真子集關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)集合，集合，若是的充分不必要條件，所以是的真子集，可得，故選：D.【變式3】已知集合，非空集合.(1)若是的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍;(2)是否存在實數(shù)m，使是的充要條件.【答案】(1).(2)不存在【分析】（1）把必要條件轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，從而確定參數(shù)滿足的不等式組，即可求解；（2）把充要條件轉(zhuǎn)化為兩集合相等，從而確定參數(shù)滿足的方程組，即可作出判斷.【詳解】（1）∵是的必要條件，故，∴，解得，即所求實數(shù)m的取值范圍是.（2）∵若是的充要條件，則，∴，由于該方程組無解，即不存在實數(shù)m，使是的充要條件.題型九含有一個量詞的命題的否定解｜題｜技｜巧（1）全稱量詞命題的否定對含有一個量詞的全稱量詞命題的否定，有下面的結(jié)論：全稱量詞命題p:?x∈M，p(x)，它的否定?p：?x∈M，p(x)不成立．全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．（2）存在量詞命題的否定對含有一個量詞的存在量詞命題的否定，有下面的結(jié)論：存在量詞命題p:?x∈M，p(x)，它的否定?p：?x∈M，p(x)不成立．存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．（3）在書寫這兩種命題的否定時，相應地存在量詞變?yōu)槿Q量詞，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~【典例1】（24-25高一上·江蘇鹽城·期末）命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)存在量詞的命題的否定的規(guī)定，改變量詞并否定結(jié)論即可.【詳解】命題“，”的否定是“，”.故選：D.【變式1】命題“”的否定是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全稱命題的否定即可得結(jié)論.【詳解】“”的否定是：，故選：B.【變式2】命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由全稱量詞命題的否定形式為存在量詞命題可求.【詳解】命題“”的否定是“”.故選：C.【變式3】（24-25高一上·江蘇宿遷·期末）命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題可得結(jié)論.【詳解】因為命題“”屬于全稱量詞命題，所以命題“”的否定為“”.故選：D.題型十由全稱量詞命題與存在量詞命題的真假求參數(shù)范圍解｜題｜技｜巧判斷命題類型，轉(zhuǎn)化真假性若原命題是存在命題（?）且為假：轉(zhuǎn)化為其否定（全稱命題?）為真；若原命題是全稱命題（?）且為假：轉(zhuǎn)化為其否定（存在命題?）為真；若原命題是存在命題（?）且為真：直接按“能成立”分析；若原命題是全稱命題（?）且為真：直接按“恒成立”分析。將命題轉(zhuǎn)化為不等式關(guān)系若轉(zhuǎn)化為全稱命題（?）為真：等價于“不等式在定義域內(nèi)恒成立”，整理為“參數(shù)<函數(shù)最小值”或“參數(shù)>函數(shù)最大值”；若轉(zhuǎn)化為存在命題（?）為真：等價于“不等式在定義域內(nèi)能成立”，整理為“參數(shù)<函數(shù)最大值”或“參數(shù)>函數(shù)最小值”。分析函數(shù)在定義域內(nèi)的最值確定函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值/最小值列不等式求參數(shù)范圍根據(jù)步驟2的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)最值，列出關(guān)于參數(shù)的不等式，解出參數(shù)范圍。（5）驗證（可選）：代入端點值驗證，確保命題真假符合題意。【典例1】若命題“”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用存在量詞命題為真，結(jié)合一元二次不等式有解求出范圍，再求其補集即可.【詳解】由命題“為真，得，解得，因此命題“”為假命題，則，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D【變式1】若“，使得成立”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為“，使得成立”為真命題，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由“，使得成立”為假命題，可得“，使得成立”為真命題，設(shè)，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【變式2】若“，使得”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)特稱命題的定義和一元二次不等式的恒成立問題求解.【詳解】因為“，使得”是假命題，所以“，使得”是真命題，所以，解得，故答案為:.【變式3】命題“，”為假命題的一個充分不必要條件為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用存在量詞命題為真求出的范圍，進而求出該命題為假時的范圍，再利用充分不必要條件求得答案.【詳解】命題“，”為真命題時，或，解得或，因此，由命題“，”為假命題，得，則給定選項中是的真子集的是.故選：A1．（24-25高一上·江蘇·期末）命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】原命題是一個特稱命題，根據(jù)特稱命題的否定規(guī)則即可得結(jié)論.【詳解】命題“”的否定是“”.故選：D.2．（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)交集含義即可得到答案.【詳解】根據(jù)交集含義知.故選：C.3．（24-25高一上·江蘇南通·期末）已知集合，且，則（

）A． B．1 C． D．0【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合集合相等列式求解即可.【詳解】因為集合，且，則，解得.故選：A.4．（24-25高一上·江蘇·期末）若“”是假命題，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把命題進行否定，根據(jù)題意命題的否定為真命題，再分兩種情況討論即可.【詳解】是假命題，那么它的否定是真命題，當時，恒成立；當時，對任意，恒成立，則開口向上且判別式，即，解得，綜上所述，的取值范圍為.故選：.5．（24-25高一上·江蘇南京·期末）設(shè)集合，，且，則實數(shù)的值是（

）A．－2 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，分情況建立方程，利用集合元素的互異性驗根，可得答案.【詳解】由題意知可知；令，可得，則，不符合題意；令，分解因式可得，解得或，當時，，符合題意.故選：D.6．（24-25高一上·江蘇·期末）《南京照相館》?《浪浪山小妖怪》?《長安的荔枝》位列2025年我國暑期檔票房前三名.高一（1）班共有28名同學，有15人觀看了《南京照相館》，有8人觀看了《浪浪山小妖怪》，有14人觀看了《長安的荔枝》，有3人同時觀看了《南京照相館》和《浪浪山小妖怪》，有3人同時觀看了《南京照相館》和《長安的荔枝》，沒有人同時觀看三部電影.只觀看了《長安的荔枝》的人數(shù)為（

）A．6人 B．7人 C．8人 D．9人【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用容斥原理，結(jié)合韋恩圖列式求解.【詳解】不妨將觀看了《南京照相館》、《浪浪山小妖怪》、《長安的荔枝》的同學分別用集合表示，設(shè)同時觀看了《浪浪山小妖怪》和《長安的荔枝》有人，

在相應的位置填上數(shù)字，則，解得，因此同時觀看了《浪浪山小妖怪》和《長安的荔枝》有人，所以只觀看了《長安的荔枝》的人數(shù)為人.故選：C7．（多選）（24-25高一上·江蘇南通·期末）下列集合表示圖中陰影部分的為（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由集合的圖示表示，再根據(jù)集合間的基本關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】易知圖中的陰影部分表示在集合中去除兩集合的交集部分，即可表示為，即A正確；還可表示為集合的補集與集合的交集，即，即D正確；也可表示為集合的補集與集合的交集，即,B正確.故選：ABD8．（多選）使得命題“”為真命題的必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】判斷充分必要條件，一般先求出原命題的充要條件，如此題中，“”為真命題的充要條件是，然后再根據(jù)充分必要條件的要求進行逐一判斷即可.【詳解】由命題“”為真命題等價于在上恒成立，即，因，故有：在上恒成立，設(shè)，因，故得：，則，即得：，依題意，應是正確選項的真子集，而符合要求的包括A,C,D三個選項.故選：ACD.9．（24-25高一上·江蘇泰州·期末）命題“，使得”的否定是．【答案】，使得.【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題即可得到答案.【詳解】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，則命題“，使得”的否定是“，使得”.故答案為：，使得.10．（24-25高一上·江蘇蘇州·期末）定義集合，若集合，，則集合中包含個元素．【答案】3【分析】利用定義作集合運算，注意元素的互異性即可.【詳解】因為集合，，根據(jù)定義可得，所以集合中包含3個元素，故答案為：311．已知集合，.(1)當時，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡集合，根據(jù)并集運算求解；（2）由題可得，分和討論求解.【詳解】（1）當時，，又，.（2）由，得.當時，即，所以；當時，則，解得；綜上，實數(shù)的取值范圍為.12．（24-25高一上·江蘇無錫·期末）已知集合.(1)求；(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或，(2)【分析】（1）解一元二次不等式、分式不等式求集合，再應用集合的交運算求集合；（2）由必要不充分條件有，進而分情況求解參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題意知：集合，集合或，所以或，；（2）由“是的必要不充分條件”知：，當時，，即，符合題意，當時，，即，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.期末重難突破練（測試時間：10分鐘）1．（24-25高一上·江蘇鹽城·期末）已知為全集，其三個非空子集、、滿足，則下列集合為空集的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合venn圖即可求解；【詳解】由圖可知，，不是空集，故選：C2．（24-25高一上·江蘇連云港·期末）已知命題，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合間的包含關(guān)系列不等式求解即可.【詳解】由得，即，記；由得，解得.因為是的充分不必要條件，所以，所以，解得.故選：