2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫(附答案)一、描述統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)可視化1.【單選】某高校2024級(jí)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)新生體檢，測(cè)得身高（cm）的莖葉圖如下，其中莖單位為10cm、葉單位為1cm。若將數(shù)據(jù)四舍五入到整數(shù)后重新繪制箱線圖，則箱線圖的“箱體”長(zhǎng)度（IQR）約為莖|葉15|01123445678916|00122334556678917|012234567A.7cm?B.9cm?C.11cm?D.13cm答案：B解析：把葉還原為原始數(shù)據(jù)共35個(gè)觀測(cè)。Q1位置=?35×0.25?=9，第9個(gè)數(shù)據(jù)=154cm；Q3位置=?35×0.75?=27，第27個(gè)數(shù)據(jù)=163cm；IQR=163?154=9cm。2.【多選】關(guān)于雷達(dá)圖與平行坐標(biāo)圖，下列說法正確的有A.雷達(dá)圖適用于樣本量>1000的多維數(shù)據(jù)B.平行坐標(biāo)圖可直觀展示高維離群點(diǎn)C.雷達(dá)圖面積與變量排序無關(guān)D.平行坐標(biāo)圖縱軸一般需標(biāo)準(zhǔn)化到[0,1]答案：B、D解析：A錯(cuò)誤，雷達(dá)圖樣本多時(shí)會(huì)嚴(yán)重重疊；C錯(cuò)誤，雷達(dá)圖面積隨變量順序改變而改變，存在“排序陷阱”。3.【計(jì)算】某城市2023年P(guān)M2.5日均值（μg/m3）的直方圖呈右偏，已知中位數(shù)=38，均值=45，標(biāo)準(zhǔn)差=18。若用對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合，求λ=ln(PM2.5)的均值與方差。答案：E[λ]=3.637，Var(λ)=0.158解析：對(duì)數(shù)正態(tài)分布有E[X]=exp(μ+σ2/2)=45，Median=exp(μ)=38，解得μ=ln38=3.637，σ2=2(ln45?ln38)=0.158。4.【綜合】下表為2022年某電商平臺(tái)“雙十一”部分品類銷售額（億元）。品類|銷售額|退貨額家電|1200|96美妝|800|120服飾|1000|200（1）繪制退貨率的復(fù)式條形圖；（2）計(jì)算各類別退貨率的95%置信區(qū)間（用WilsonScore）；（3）指出哪一類退貨率顯著高于平臺(tái)平均退貨率（α=0.05）。答案：（2）家電0.074–0.086，美妝0.135–0.165，服飾0.181–0.219；（3）服飾顯著高。解析：Wilson區(qū)間p?=z2/(2n+z2)+…，z=1.96；平臺(tái)平均退貨率=416/3000=0.139，服飾下限0.181>0.139，單側(cè)檢驗(yàn)p<0.001。二、概率基礎(chǔ)與分布5.【單選】設(shè)X~Poisson(λ)，已知P(X=2)=3P(X=4)，則λ=A.1?B.2?C.3?D.6答案：B解析：由e^{λ}λ2/2!=3e^{λ}λ?/4!?λ2=3λ?/12?λ2=4?λ=2。6.【證明】若連續(xù)隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)M_X(t)=(1?βt)^{?α}，t<1/β，證明X服從Gamma(α,β)，并求變異系數(shù)CV。答案：CV=1/√α解析：M_X(t)與Gamma(α,β)的MGF一致；E[X]=αβ，Var=αβ2，CV=√Var/E=1/√α。7.【應(yīng)用】某疫苗冷鏈運(yùn)輸記錄顯示，箱內(nèi)溫度超標(biāo)次數(shù)N~Poisson(0.8/千箱）。若一批次共發(fā)運(yùn)5千箱，求（1）至少出現(xiàn)1次超標(biāo)的概率；（2）在已知至少1次超標(biāo)下，超標(biāo)次數(shù)不超過3的概率。答案：（1）0.9817；（2）0.885解析：（1）1?e^{?4}=0.9817；（2）P(N≤3|N≥1)=P(1≤N≤3)/P(N≥1)=[e^{?4}(4+8+32/3)]/0.9817=0.885。三、抽樣與抽樣分布8.【單選】從N=2000的總體中無放回抽取n=50，已知總體比例P=0.15，則樣本比例p?的標(biāo)準(zhǔn)誤為A.0.050?B.0.049?C.0.044?D.0.039答案：C解析：σ_p?=√[P(1?P)/n×(N?n)/(N?1)]=√[0.15×0.85/50×1950/1999]=0.044。9.【計(jì)算】某質(zhì)檢部門采用兩階段抽樣：第一階段從10000件產(chǎn)品中隨機(jī)抽10箱（每箱100件）；第二階段每箱抽10件。若箱內(nèi)不合格率服從Beta(2,18)，求（1）樣本不合格率p?的期望；（2）設(shè)計(jì)效應(yīng)DEff。答案：（1）E[p?]=0.1；（2）DEff=1+(m?1)ICC=1+9×0.05=1.45解析：Beta(2,18)均值=2/20=0.1；ICC=Var(P)/[E(P)(1?E(P))]=0.00255/0.09=0.05。四、參數(shù)估計(jì)10.【單選】設(shè)X_1,…,X_ni.i.d.Uniform(0,θ)，則θ的MLE為A.X??B.max(X_i)?C.2X??D.min(X_i)答案：B解析：似然函數(shù)L(θ)=θ^{?n}I_{θ≥maxX_i}，在maxX_i處取最大。11.【綜合】為估計(jì)某短視頻平均播放時(shí)長(zhǎng)μ（秒），平臺(tái)采集n=100的樣本，得x?=68，s2=400。若認(rèn)為時(shí)長(zhǎng)服從對(duì)稱分布但未知類型，（1）求μ的95%置信區(qū)間（t近似）；（2）若要求估計(jì)誤差≤3秒，求在95%置信水平下的最小樣本量；（3）若采用bootstrapn=1000，得到區(qū)間[62.1,73.9]，與（1）比較并解釋差異。答案：（1）[64.0,72.0]；（2）n≥171；（3）bootstrap區(qū)間略寬，提示數(shù)據(jù)可能存在輕尾或異常值。解析：（1）t_{0.025,99}≈1.984，68±1.984×20/10=64.0–72.0；（2）n≥(1.96×20/3)2=170.7→171；（3）bootstrap無需正態(tài)假設(shè)，區(qū)間不對(duì)稱，右尾略長(zhǎng)。五、假設(shè)檢驗(yàn)12.【單選】對(duì)H0:μ=50vsH1:μ>50，若樣本n=25，x?=53，s=10，則p值約為A.0.0668?B.0.1336?C.0.0334?D.0.2743答案：A解析：t=(53?50)/(10/5)=1.5，df=24，單側(cè)p=T.DIST.RT(1.5,24)=0.0668。13.【綜合】某外賣平臺(tái)A/B測(cè)試：對(duì)照組下單轉(zhuǎn)化率15.2%（n=2000），實(shí)驗(yàn)組16.8%（n=2100）。（1）檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)組是否顯著優(yōu)（α=0.05，雙尾）；（2）計(jì)算實(shí)驗(yàn)所需最小提升（power=0.8）；（3）若采用Fisher精確檢驗(yàn)，p值多少？答案：（1）z=2.12，p=0.034，拒絕H0；（2）最小提升1.4個(gè)百分點(diǎn)；（3）p=0.036。解析：（1）合并率p?=0.160，z=(0.168?0.152)/√[p?(1?p?)(1/2000+1/2100)]=2.12；（2）effectsizeh=2arcsin√0.168?2arcsin√0.152=0.035，n=2×(z_{0.975}+z_{0.8})2/h2≈4100每組，反推最小提升1.4%；（3）fisher.test返回p=0.036。六、方差分析與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)14.【計(jì)算】某農(nóng)科院研究三種肥料對(duì)小麥產(chǎn)量（kg/畝）的影響，采用完全隨機(jī)設(shè)計(jì)，各重復(fù)6次，得方差分析表部分：來源|SS|df|MS|F肥料|468|2|234|9.36誤差|375|15|25（1）完成表并給出結(jié)論（α=0.05）；（2）若采用LSD多重比較，求臨界差值；（3）假設(shè)區(qū)組設(shè)計(jì)，每區(qū)組3小區(qū)，重新計(jì)算誤差df。答案：（1）F_{0.05}(2,15)=3.68，9.36>3.68，顯著；（2）LSD=t_{0.025,15}×√(25×2/6)=2.131×2.89=6.15kg；（3）誤差df=(3?1)(5?1)=8。15.【綜合】某互聯(lián)網(wǎng)公司研究“按鈕顏色+文案”對(duì)點(diǎn)擊率的兩因素實(shí)驗(yàn)，顏色{紅,綠}，文案{A,B}，每組合5個(gè)用戶，結(jié)果如下：紅A:8%,紅B:12%,綠A:10%,綠B:15%。（1）寫出固定效應(yīng)模型；（2）作方差分析表；（3）檢驗(yàn)交互效應(yīng)（α=0.05）；（4）若發(fā)現(xiàn)交互顯著，給出簡(jiǎn)單效應(yīng)分析步驟。答案：（2）交互SS=10，MS=10，F(xiàn)=5，p=0.038，顯著。解析：總SS=120，顏色SS=45，文案SS=25，交互SS=10，誤差SS=40，df各1/1/1/16；F_{0.05}(1,16)=4.49，5>4.49，故交互顯著；步驟：分別在紅、綠水平下用t檢驗(yàn)比較A、B文案。七、回歸與相關(guān)16.【單選】若簡(jiǎn)單線性回歸中r=0.6，則解釋變量X每增加1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，響應(yīng)變量Y平均增加A.0.6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差?B.0.36個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差?C.0.6個(gè)原始單位?D.無法確定答案：A解析：標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)即Pearsonr。17.【計(jì)算】某城市2020–2023年季度房租Y（元/㎡）與季度編號(hào)t（2020Q1=1）數(shù)據(jù)擬合得Y?=35+2.5t?0.06t2。（1）求房租最高季度及對(duì)應(yīng)租金；（2）若2024Q1預(yù)測(cè)值及95%置信區(qū)間（s2=4，n=16，t_{0.025,13}=2.16）；（3）討論模型殘差自相關(guān)可能的后果。答案：（1）t=20.8→2025Q1，租金=61元；（2）2024Q1t=17，Y?=66.55，CI=[65.1,68.0]；（3）若殘差自相關(guān)，標(biāo)準(zhǔn)誤被低估，置信帶偏窄，I類錯(cuò)誤增加。18.【綜合】多元回歸研究大學(xué)生月均消費(fèi)Y（元）與自變量：X1性別（1=男）、X2月生活費(fèi)（百元）、X3網(wǎng)購頻次、X4社團(tuán)數(shù)量。擬合結(jié)果：系數(shù)|Estimate|SE|t|p截距|210|50|4.2|0.000X1|60|25|2.4|0.018X2|15|3|5.0|0.000X3|8|4|2.0|0.047X4|?5|2|?2.5|0.014（1）檢驗(yàn)整體顯著性；（2）計(jì)算調(diào)整R2（R2=0.42，n=120，p=4）；（3）若X2與X3相關(guān)系數(shù)0.65，判斷多重共線性是否嚴(yán)重；（4）給出緩解共線性的兩種方案。答案：（2）R2_adj=0.40；（3）VIF_X2=1/(1?0.652)=1.73<5，不嚴(yán)重；（4）①中心化或標(biāo)準(zhǔn)化；②嶺回歸。八、非參數(shù)與穩(wěn)健方法19.【單選】?jī)瑟?dú)立樣本n1=n2=15，用MannWhitney檢驗(yàn)，若秩和W=180，則雙側(cè)p值（正態(tài)近似）約為A.0.035?B.0.070?C.0.140?D.0.280答案：B解析：μ_W=15×(15+15+1)/2=232.5，σ_W2=15×15×31/12=581.25，z=(180?232.5)/√581.25=?2.18，雙側(cè)p=0.070。20.【計(jì)算】某股票2023年日收益率的MAD（中位數(shù)絕對(duì)離差）=0.8%，若假設(shè)對(duì)稱分布，求一致性估計(jì)的尺度參數(shù)σ?，并與樣本標(biāo)準(zhǔn)差1.2%比較。答案：σ?=MAD/Φ^{?1}(0.75)=0.8%/0.6745=1.19%，與1.2%接近，提示尾部近似正態(tài)。九、時(shí)間序列與預(yù)測(cè)21.【綜合】某機(jī)場(chǎng)2020–2023年月旅客吞吐量（萬人）建立SARIMA(0,1,1)(0,1,1)??模型，得θ=0.6，Θ=0.4，殘差LjungBoxQ(12)=14.5。（1）寫出模型方程；（2）檢驗(yàn)殘差白噪聲（α=0.05）；（3）預(yù)測(cè)2024年1月吞吐量，已知2023年12月實(shí)際420萬人，11月400萬人，2023年1月380萬人。答案：（2）χ2_{0.05}(12)=21.03，14.5<21.03，殘差白噪聲；（3）預(yù)測(cè)值=420+0.4×(420?400)+0.6×(420?380)=442萬人。解析：SARIMA方程(1?B)(1?B12)X_t=(1?0.6B)(1?0.4B12)ε_(tái)t；預(yù)測(cè)用最優(yōu)線性投影。十、多元統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)挖掘22.【單選】對(duì)n=150、p=6的數(shù)據(jù)做主成分分析，若前兩個(gè)特征值分別為3.5、1.2，則累計(jì)貢獻(xiàn)率為A.58%?B.68%?C.78%?D.88%答案：C解析：(3.5+1.2)/6=0.783。23.【計(jì)算】給定協(xié)方差矩陣Σ=[[4,2],[2,9]]，求第一主成分方向及方差。答案：方向向量[0.383,0.924]，方差9.472。解析：特征方程|Σ?λI|=0?λ?=9.472，對(duì)應(yīng)特征向量歸一化得[0.383,0.924]。24.【綜合】某銀行信用卡違約預(yù)測(cè)，采用Logistic回歸+LASSO，十折交叉驗(yàn)證選λ_min，得混淆矩陣：預(yù)測(cè)\實(shí)際|不違約|違約不違約|8500|300違約|500|700（1）計(jì)算準(zhǔn)確率、召回率、F1；（2）若業(yè)務(wù)要求召回≥0.75，應(yīng)如何調(diào)整閾值？（3）比較ROC下面積AUC=0.84與隨機(jī)森林AUC=0.87，選哪個(gè)模型？答案：（1）準(zhǔn)確率=0.92，召回=0.70，F(xiàn)1=0.78；（2）降低閾值至0.3，召回升至0.76，