北京永樂(lè)店中學(xué)中考數(shù)學(xué)期末二次函數(shù)和幾何綜合匯編一、二次函數(shù)壓軸題1．探究：已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣3，0)．(1)求該函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖所示，點(diǎn)P是拋物線上在第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，連接AC，PA，PC．①求△ACP的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；②求△ACP的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．拓展：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣1，3)，N的坐標(biāo)為(3，1)，若拋物線y＝ax2﹣2x+3(a＜0)與線段MN有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍．2．如圖，拋物線（）交直線：于點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，連接，.（1）求此拋物線的表達(dá)式與頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試探究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在拋物線上，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.3．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線交于點(diǎn)，試探究當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形；（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．在正方形ABCD中，AB＝4cm，AC為對(duì)角線，AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，M是AB邊的中點(diǎn)，連接PM、PB，設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為xcm，PM＋PB長(zhǎng)度為ycm.小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.下面是小東的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）通過(guò)取點(diǎn)、畫(huà)圖、測(cè)量，得到了x與y的幾組值，如表：x/cm012345y/cm6.04.84.56.07.4（說(shuō)明：補(bǔ)全表格時(shí)相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù)）（2）建立平面直角坐標(biāo)系，描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)的圖象.（3）結(jié)合畫(huà)出的函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：PM＋PB的長(zhǎng)度最小值約為_(kāi)_____cm.5．綜合與探究．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣3x+4與x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)P是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作DP⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E，連接BE．（1）求直線AC的表達(dá)式；（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為何值時(shí)，EC＝ED？（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△EBP的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．小明結(jié)合自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)新函數(shù)y＝的解析式、圖象、性質(zhì)及應(yīng)用進(jìn)行探究：已知當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1．（1）函數(shù)解析式探究：根據(jù)給定的條件，可以確定由該函數(shù)的解析式為：．（2）函數(shù)圖象探究：①根據(jù)解析式，補(bǔ)全如表，則m＝，n＝．②根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫(huà)出函數(shù)圖象．x……﹣4﹣3﹣2﹣1﹣012n4……y……m21……（3）函數(shù)性質(zhì)探究：請(qǐng)你結(jié)合函數(shù)的解析式及所畫(huà)圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)：．（4）綜合應(yīng)用：已知函數(shù)y＝|x﹣|的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫(huà)的函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出不等式|x﹣|≤．7．如果拋物線C1：與拋物線C2：的開(kāi)口方向相反，頂點(diǎn)相同，我們稱拋物線C2是C1的“對(duì)頂”拋物線．（1）求拋物線的“對(duì)頂”拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線的“對(duì)頂”拋物線沿其對(duì)稱軸平移，使所得拋物線與原拋物線形成兩個(gè)交點(diǎn)M、N，記平移前后兩拋物線的頂點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)四邊形AMBN是正方形時(shí)，求正方形AMBN的面積．（3）某同學(xué)在探究“對(duì)頂”拋物線時(shí)發(fā)現(xiàn)：如果拋物線C1與C2的頂點(diǎn)位于x軸上，那么系數(shù)b與d，c與e之間的關(guān)系是確定的，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)系．8．已知拋物線y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)為P，與y軸交于點(diǎn)A，與直線OP交于點(diǎn)B．（1）如圖1，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6），①試確定拋物線的解析式；②若當(dāng)m≤x≤3時(shí)，y＝x2+bx+c的最小值為2，最大值為6，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下，若M點(diǎn)是直線AB下方拋物線上的一點(diǎn)，且S△ABM≥3，求M點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）如圖2，若點(diǎn)P在第一象限，且PA＝PO，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，將拋物線y＝x2+bx+c平移，平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，試探究四邊形OABC的形狀，并說(shuō)明理由．9．已知函數(shù)，某興趣小組對(duì)其圖像與性質(zhì)進(jìn)行了探究，請(qǐng)補(bǔ)充完整探究過(guò)程．…－3－2－112345……－6－22－2－1－2…（1）請(qǐng)根據(jù)給定條件直接寫(xiě)出的值；（2）如圖已經(jīng)畫(huà)出了該函數(shù)的部分圖像，請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線，補(bǔ)充該函數(shù)圖像，并寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）若，結(jié)合圖像，直接寫(xiě)出的取值范圍．10．如圖，拋物線交x軸于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AC，BC．M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)P作，垂足為點(diǎn)N．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？（3）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．二、中考幾何壓軸題11．問(wèn)題提出（1）如圖（1），在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接AM，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，則∠ACN＝°．類比探究（2）如圖（2），在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展延伸（3）如圖（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接AM，以AM為邊作等腰三角形AMN，使AM＝MN，連接CN．添加一個(gè)條件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，寫(xiě)出你所添加的條件，并說(shuō)明理由．12．△ABC中，∠BAC=α°，AB=AC，D是BC上一點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°，得到線段AE，連接BE．（1）（特例感知）如圖1，若α=90，則BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系是．（2）（類比探究）如圖2，若α=120，試探究BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）（拓展延伸）如圖3，若α=120，AB=AC=4，BD=，Q為BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，將QD繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段QE，DE⊥BC，求AQ的長(zhǎng)．13．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）解決問(wèn)題如圖3，在正方形ABCD中，CD＝，若點(diǎn)P滿足PD＝1，且∠BPD＝90°，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A到BP的距離．14．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：（1）正方形ABCD和正方形AEFG如圖①放置，AB＝4，AE＝2.5，則＝___________．問(wèn)題探究：（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，∠BPC＝135°，求AP長(zhǎng)的最小值．問(wèn)題拓展：（3）如圖③，在四邊形ABCD中，連接對(duì)角線AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，則對(duì)角線BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．綜合與實(shí)踐（問(wèn)題背景）如圖1，矩形中，．點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，沿直線將矩形折疊，使點(diǎn)C落在邊的點(diǎn)處．（問(wèn)題解決）（1）填空：的長(zhǎng)為_(kāi)_____．（2）如圖2，將沿線段向右平移，使點(diǎn)與點(diǎn)B重合，得到與交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)G．求的長(zhǎng)；（拓展探究）（3）在圖2中，連接，則四邊形是平行四邊形嗎？若是，請(qǐng)予以證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．隨著教育教學(xué)改革的不斷深入，數(shù)學(xué)教學(xué)如何改革和發(fā)展，如何從“重教輕學(xué)”向自主學(xué)習(xí)探索為主的方向發(fā)展，是一個(gè)值得思考的問(wèn)題．從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展歷程來(lái)看分析，不外乎就是三個(gè)環(huán)節(jié)：（觀察猜想）-（探究證明）-（拓展延伸）．下面同學(xué)們從這三個(gè)方面試看解決下列問(wèn)題：已知：如圖1所示將一塊等腰三角板放置與正方形的重含，連接、，E是的中點(diǎn)，連接．（觀察猜想）（1）與的數(shù)量關(guān)系是________，與的位置關(guān)系是___________；（探究證明）（2）如圖2所示，把三角板繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，線段與的關(guān)系是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（拓展延伸）（3）若旋轉(zhuǎn)角，且，求的值．17．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點(diǎn)E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點(diǎn)O，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，GF⊥AE．①求證：DQ＝AE；②推斷：的值為；（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，＝k（k為常數(shù)）．將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O．試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當(dāng)k＝時(shí)，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的長(zhǎng)．18．（模型構(gòu)建）如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，的頂點(diǎn)，分別在，上（可與點(diǎn)，，重合），且滿足．的高線交線段于點(diǎn)（可與，重合），設(shè)．（1）求的值．（模型拓展）在（模型構(gòu)建）的基礎(chǔ)上，將條件“邊長(zhǎng)為1的正方形”改為“長(zhǎng)、寬的矩形”（其他條件不變）．（2）判斷的值是否改變．若改變，請(qǐng)求出的取值范圍；若不改變，請(qǐng)證明．（深入探究）在（模型構(gòu)建）的基礎(chǔ)上，設(shè)的面積為．（3）①求的最小值；②當(dāng)取到最小值時(shí)，直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．19．已知：如圖1所示將一塊等腰三角板BMN放置與正方形ABCD的重合，連接AN、CM，E是AN的中點(diǎn)，連接BE．（觀察猜想）（1）CM與BE的數(shù)量關(guān)系是________；CM與BE的位置關(guān)系是________；（探究證明）（2）如圖2所示，把三角板BMN繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，線段CM與BE的關(guān)系是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（拓展延伸）（3）若旋轉(zhuǎn)角，且，求的值．20．綜合與實(shí)踐動(dòng)手操作利用正方形紙片的折疊開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．探究體會(huì)在正方形折疊過(guò)程中，圖形與線段的變化及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法．如圖1，點(diǎn)為正方形的邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，將正方形對(duì)折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為．思考探索（1）將正方形展平后沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，折痕為，連接，如圖2．①點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，_________的長(zhǎng)為半徑的圓上；②_________；③為_(kāi)______三角形，請(qǐng)證明你的結(jié)論．拓展延伸（2）當(dāng)時(shí)，正方形沿過(guò)點(diǎn)的直線（不過(guò)點(diǎn)）折疊后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在正方形內(nèi)部或邊上．①面積的最大值為_(kāi)___________；②連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，則的最小值為_(kāi)___________．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、二次函數(shù)壓軸題1．探究：（1）；（2）①，②的面積的最大值是，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，拓展：.【分析】（1）由待定系數(shù)法易求解析式；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由可得關(guān)于t的二次函數(shù)，進(jìn)而可求最大值.（3）根據(jù)拋物線與MN的位置關(guān)系可知當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí)，a取最大值.【詳解】探究：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得.∴拋物線的表達(dá)式為.（2）①過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn).設(shè)直線的解析式為，將、代入，，解得：，∴直線的解析式為.∵點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在直線上，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴.②∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.∴的面積的最大值是，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.[拓展]：拋物線y=ax2?2x+3(a<0),當(dāng)x=1時(shí)，y=a-2+3=a+1＜3，故拋物線右邊一定與MN有交點(diǎn)，當(dāng)x=-1，y=a+2+3=a+5，在M點(diǎn)或下方時(shí)，拋物線左邊邊一定與MN有交點(diǎn)，即a+5≤3；∴；【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形面積的計(jì)算，極值的確定，關(guān)鍵是確定出拋物線解析式，難點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合確定a點(diǎn)的求值范圍．2．A解析：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）存在，，；（3）或或.【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把A、B、C三點(diǎn)代入解析式求解即可求的解析式，然后把解析式化為頂點(diǎn)式可求得結(jié)果.（2）先求出BC所在直線的解析式，設(shè)出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形可分類討論，分為AQ=AC,AC=CQ,AQ=CQ三種情況.（3）分兩種情況討論，一是F在拋物線上方，過(guò)點(diǎn)作軸，可得FH=4，設(shè)，可得，求出n代入即可；二是F在拋物線下方，可得，求出n的值即可，最后的結(jié)果綜合兩個(gè)結(jié)果即可.【詳解】解：（1）∵當(dāng)時(shí)，,∴;∴，;二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)、，設(shè);∵過(guò)點(diǎn),∴;∴;∴;∵,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）存在.設(shè)過(guò)、,;設(shè)解得：;∴;設(shè)、;在中，解得;①當(dāng)時(shí);;解得：（不合題意舍去），;∴;②當(dāng)時(shí);;解得：，（不合題意舍去）;∴;③當(dāng)時(shí);;解得：（不合題意舍去）;∴，;（3）當(dāng)在拋物線上方時(shí)，，時(shí);過(guò)點(diǎn)作軸，與全等;則;設(shè);則;解得；，；或;當(dāng)在拋物線下方時(shí)，;（不合題意舍去），;∴;∴或或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確分析題目條件，利用了等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解.3．C解析：（1）（2）當(dāng)，四邊形是平行四邊形（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式列方程即可；（2）根據(jù)平行四邊形的判定，用含未知數(shù)的值表示QM的長(zhǎng)度，從而可求解;（3）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為,分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得：，當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得：，可解出的值.【詳解】（1）令，則，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）；令，則解得，點(diǎn)A為（-1,0）；點(diǎn)B為（4,0）∴（2）如圖1所示：點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn),設(shè)直線BD的解析式為，將代入得：解得∴直線BD的解析式為：∵∴當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，則∴解得（不合題意，舍去）∴當(dāng)，四邊形是平行四邊形（3）存在，設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為∵是以BD為直角邊的直角三角形∴當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得：即解得（不合題意，舍去）∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得：即解得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和拋物線的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于拿出函數(shù)解析式，會(huì)用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出關(guān)鍵的點(diǎn)的坐標(biāo)和線段的長(zhǎng)度.4．H解析：（1）5.0；（2）見(jiàn)解析；（3）x＝2時(shí)，函數(shù)有最小值y＝4.5【分析】（1）通過(guò)作輔助線，應(yīng)用三角函數(shù)可求得HM+HN的值即為x=2時(shí)，y的值；（2）可在網(wǎng)格圖中直接畫(huà)出函數(shù)圖象；（3）由函數(shù)圖象可知函數(shù)的最小值．【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H時(shí)，AH=3，作HN⊥AB于點(diǎn)N．∵在正方形ABCD中，AB=4cm，AC為對(duì)角線，AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，M是AB邊的中點(diǎn)，∴∠HAN=45°，∴AN=HN=AH?sin45°=3，∴HM，HB，∴HM+HN==≈≈2.125+2.834≈5.0．故答案為：5.0；（2）（3）根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最小值y=4.5．故答案為：4.5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．5．A解析：（1）直線AC的表達(dá)式為y＝x+4；（2）運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0或（4﹣）秒時(shí)，EC＝ED；（3）【分析】（1）由拋物線的解析式中x，y分別為0，求出A，C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式；（2）設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，然后用t表示線段OP，CE，AP，DE的長(zhǎng)度，利用已知列出方程即可求解；（3）利用等量代換求出△EBP的周長(zhǎng)為AB+BE，由于AB為定值，BE最小時(shí)，△EBP的周長(zhǎng)最小，根據(jù)垂線段最短，確定點(diǎn)E的位置，解直角三角形求出OP，點(diǎn)P坐標(biāo)可求．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2﹣3x+4與x軸分別交于A，B，交y軸于點(diǎn)C，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4．∴C（0，4）．當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2﹣3x+4＝0，∴x1＝﹣4，x2＝1，∴A（﹣4，0），B（1，0）．設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，∴解得：∴直線AC的表達(dá)式為y＝x+4．（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∵點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，∴OP＝t．∴P（﹣t，0）．∵A（﹣4，0），C（0，4），∴OA＝OC＝4．∴Rt△AOC為等腰直角三角形．∴∠CAO＝∠ACO＝45°，AC＝OA＝4．∵DP⊥x軸，在Rt△APE中，∠CAP＝45°，∴AP＝PE＝4﹣t，AE＝AP＝（4﹣t）．∴EC＝AC﹣AE＝t．∵E，P的橫坐標(biāo)相同，∴E（﹣t，﹣t+4），D（﹣t，﹣t2+3t+4）．∴DE＝（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t．∵EC＝DE，∴﹣t2+4t＝t．解得：t＝0或t＝4﹣．∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0或（4﹣）秒時(shí)，EC＝ED．（3）存在．P的坐標(biāo)為（﹣，0）．在Rt△AEP中，∠OAC＝45°，∴AP＝EP．∴△AEB的周長(zhǎng)為EP+BP+BE＝AP+BP+BE＝AB+BE．∵AB＝5，∴當(dāng)BE最小時(shí)，△AEB的周長(zhǎng)最小．當(dāng)BE⊥AC時(shí)，BE最?。赗t△AEB中，∵∠AEB＝90°，∠BAC＝45°，AB＝5，BE⊥AC，∴PB＝AB＝．∴OP＝PB﹣OB＝．∴P（﹣，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．(1)y=;(2)m=1,n=3;(3)函數(shù)存在最大值,當(dāng)x=0是,y取得最大值2.(4)-1≤x≤2【分析】(1)待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式(2)分別將m,n代入函數(shù)解析式,求出對(duì)應(yīng)的橫縱坐標(biāo)即可求解(3)觀察圖像即可,答案不唯一(4)觀察圖像選擇曲線在上方的區(qū)域即可.【詳解】解(1)將(0,2),(1,1)代入解析式得解得:∴函數(shù)的解析式為y=(2)①令x=-1,則y=1,∴m=1令y=,則x=±3,∵2＜n＜4,∴n=3②(3)函數(shù)存在最大值,當(dāng)x=0是,y取得最大值2.(4)直接觀察圖象可知,當(dāng)|x﹣|≤時(shí),-1≤x≤2【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,函數(shù)的圖象和性質(zhì),根據(jù)函數(shù)圖象求解不等式等問(wèn)題,綜合性強(qiáng),熟悉函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.7．C解析：（1）；（2）2；（3）【分析】（1）先求出拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)正方形AMBN的對(duì)角線長(zhǎng)為2k，得出B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2?k，3＋k），再用點(diǎn)M（2＋k，3＋k）在拋物線y＝（x?2）2＋3上，建立方程求出k的值，即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)拋物線C1，C2的頂點(diǎn)相同，得出b，d的關(guān)系式，再由兩拋物線的頂點(diǎn)在x軸，求出c，e的關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）解：（1）∵y＝x2?4x＋7＝（x?2）2＋3，∴頂點(diǎn)為（2，3），∴其“對(duì)頂”拋物線的解析式為y＝?（x?2）2＋3，即y＝?x2＋4x?1；（2）如圖，由（1）知，A（2，3），設(shè)正方形AMBN的對(duì)角線長(zhǎng)為2k，則點(diǎn)B（2，3＋2k），M（2＋k，3＋k），N（2?k，3＋k），∵M(jìn)（2＋k，3＋k）在拋物線y＝（x?2）2＋3上，∴3＋k＝（2＋k?2）2＋3，解得k＝1或k＝0（舍）；∴正方形AMBN的面積為×(2k)2＝2；（3）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得，拋物線C1：y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)為（，），拋物線C2：y＝?ax2＋dx＋e的頂點(diǎn)為（，），∵拋物線C2是C1的“對(duì)頂”拋物線，∴，∴，∵拋物線C1與C2的頂點(diǎn)位于x軸上，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】此題主要考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，正方形的性質(zhì)，理解新定義式解本題的關(guān)鍵．8．A解析：（1）①，②；（2）；（3）四邊形OABC是矩形，證明見(jiàn)詳解．【分析】（1）利用頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)求出b=-2,然后把b=-2和B點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出拋物線的解析式；（2）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后得出直線AB的解析式，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2-2x+3），根據(jù)S△ABM=3列出方程，并解方程，從而得出M點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)S△ABM≥3求出M橫坐標(biāo)的范圍即可；（3）根據(jù)拋物線的圖象可求出A、P、D的坐標(biāo)，利用拋物線與直線相交求出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平移后拋物線的解析式，然后求出C點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出BC的長(zhǎng)度，從而得出四邊形OABC是平行四邊形，再根據(jù)∠AOC=90得出四邊形OABC是矩形.【詳解】解：（1）①依題意,,解得b=-2，將b=-2及點(diǎn)B(3,6)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得，解c=3，所以拋物線的解析式為，②當(dāng)，解得，當(dāng)m≤x≤3時(shí)，y＝x2+bx+c的最小值為2，最大值為6，∴；（2）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A，∴A(0,3)，∵B(3,6)，可得直線AB的解析式為，設(shè)直線AB下方拋物線上的點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，），過(guò)M點(diǎn)作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)N,則N(x,x+3).(如圖)，∴，∴，解得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2)或(2,3)，∵S△ABM≥3，；（3）結(jié)論是：四邊形OABC是矩形，理由如下：如圖，由PA=PO,OA=c,可得，∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，∴拋物線，A（0，），P（，）,D（，0），∴直線OP的解析式為，∵點(diǎn)B是拋物線與直線的圖象的交點(diǎn)，令，解得，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-b，），由平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,可設(shè)平移后的拋物線解析式為，將點(diǎn)D(，0)的坐標(biāo)代入，得，∴平移后的拋物線解析式為，令y=0,即，解得，依題意,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-b，0），∴BC=，∴BC=OA，又BC∥OA，∴四邊形OABC是平行四邊形，∵∠AOC=90，∴四邊形OABC是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并與幾何圖形相結(jié)合的綜合題，難度較高，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法，并注重點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)的互相轉(zhuǎn)化．9．（1），，；（2）見(jiàn)詳解；（3）x的取值范圍是：3≤x＜0或1≤x≤2．【分析】（1）先將（-1，2）和（1，-2）代入函數(shù)y=a（x-1）2++1中，列方程組解出可得a和b的值，寫(xiě)出函數(shù)解析式，計(jì)算當(dāng)x=4時(shí)m的值即可；（2）描點(diǎn)并連線畫(huà)圖，根據(jù)圖象寫(xiě)出一條性質(zhì)即可；（3）畫(huà)y=x-3的圖象，根據(jù)圖象可得結(jié)論．【詳解】解：（1）把（-1，2）和（1，-2）代入函數(shù)y=a（x-1）2++1中得：，解得：，∴y=（a≠0），當(dāng)x=4時(shí)，m=；（2）如圖所示，性質(zhì)：當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減?。ù鸢覆晃ㄒ唬?；（3）∵a（x1）2+≥x4，∴a（x1）2++1≥x3，如圖所示，由圖象得：x的取值范圍是：3≤x＜0或1≤x≤2．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，描點(diǎn)，畫(huà)函數(shù)圖象，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析．10．A解析：（1）；（2），當(dāng)時(shí)，PN有最大值，最大值為．（3）滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為：，．【分析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入解析式中求解即可；（2）由(1)求得點(diǎn)C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，然后用m表示出PN，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）分三種情況：①AC=CQ；②AC=AQ；③CQ=AQ，分別求解即可．【詳解】解：（1）將，代入，得，解之，得．所以，拋物線的表達(dá)式為．（2）由，得．將點(diǎn)、代入，得，解之，得．所以，直線BC的表達(dá)式為：．由，得，．∴∵，∴．∴．∴．．∵∴當(dāng)時(shí)，PN有最大值，最大值為．（3）存在，理由如下：由點(diǎn)，，知．①當(dāng)時(shí)，過(guò)Q作軸于點(diǎn)E，易得，由，得，（舍）此時(shí)，點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，則．在中，由勾股定理，得．解之，得或（舍）此時(shí)，點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，由，得（舍）．綜上知所述，可知滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為：，．【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，找出相關(guān)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法確定解題思路，對(duì)相關(guān)信息進(jìn)行推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計(jì)算．二、中考幾何壓軸題11．（1）60；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，進(jìn)而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可證明≌，繼而得出結(jié)論；解析：（1）60；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，進(jìn)而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可證明≌，繼而得出結(jié)論；（2）也可以通過(guò)證明≌，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣；（3）當(dāng)∠ABC＝∠AMN時(shí)，∽，利用相似的性質(zhì)得到，又根據(jù)∠BAM＝∠CAN，證得∽，即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵、是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵在和中，，∴≌（SAS），∴∠ABC=∠ACN；∵是等邊三角形∴∠ABC=60°∴∠ACN=∠ABC=60°．（2）結(jié)論∠ACN＝60°仍成立．理由如下：∵、都是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∴≌，∴∠ACN＝∠ABM＝60°．（3）添加條件：∠ABC＝∠AMN．理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN，∴∠BAC＝∠MAN，∴∽，∴．又∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴∽，∴∠ABC＝∠ACN．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等的條件，利用全等的性質(zhì)證明結(jié)論．12．（1）；（2），見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)SAS可證△ABE≌△ACD，進(jìn)而可得BE=CD，結(jié)合BD+CD=BC可得BD+BE=BC，再根據(jù)等腰直角三角形中BC=即可證得；（2）過(guò)點(diǎn)A解析：（1）；（2），見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)SAS可證△ABE≌△ACD，進(jìn)而可得BE=CD，結(jié)合BD+CD=BC可得BD+BE=BC，再根據(jù)等腰直角三角形中BC=即可證得；（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，根據(jù)∠BAC=120°，AB=AC可得∠ABC=30°，，則，由（1）可知BD+BE=BC，由此即可得；（3）過(guò)Q點(diǎn)作QF∥AC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，先證∠BQF=120°，BQ=QF，進(jìn)而可由（2）同理可知，△QBE≌△QFD，，進(jìn)而可證得，再根據(jù)cos∠EBD==cos60°=可求得，進(jìn)而求得，最后根據(jù)AQ=BQ－AB即可得到答案．【詳解】解：（1）理由如下：∵∠EAD=∠BAC=90°∴∠EAB=∠DAC在△ABE與△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS）∴BE=CD，∵BD+CD=BC∴BD+BE=BC∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=∴BD+BE=；（2）結(jié)論：，理由如下：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，∵∠BAC=120°，AB=AC∴∠ABC=30°，在Rt△ABH中，cos∠ABH==cos30°=∴BH=AB，∴由（1）同理可知BD+BE=BC，∴；（3）過(guò)Q點(diǎn)作QF∥AC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∴∴∠QFC=∠QBF=30°，∠BQF=120°∴BQ=QF由（2）同理可知，△QBE≌△QFD，∴cos∠EBD==cos60°=∵，∴AQ=BQ－AB=．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)圖形的判定及性質(zhì)以及能夠作出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．13．（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE，證明見(jiàn)解析；（3），【分析】（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一解析：（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE，證明見(jiàn)解析；（3），【分析】（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．（3）由PD=1可得：點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上．顯然，點(diǎn)P是這兩個(gè)圓的交點(diǎn)，由于兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)，接下來(lái)需對(duì)兩個(gè)位置分別進(jìn)行討論．然后，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，借助于（2）中的結(jié)論即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）①如圖1．∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案為：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案為：AD=BE．（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如圖2．∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3）點(diǎn)A到BP的距離為或．理由如下：∵PD=1，∴點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上．∵∠BPD=90°，∴點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上，∴點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)P在如圖3①所示位置時(shí)，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP，交BP于點(diǎn)E，如圖3①．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°，∴BD=2．∵DP=1，∴BP=．∵∠BPD=∠BAD=90°，∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，∴∠APB=∠ADB=45°，∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，點(diǎn)B、E、P共線，AH⊥BP，∴由（2）中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD，∴=2AH+1，∴AH=．②當(dāng)點(diǎn)P在如圖3②所示位置時(shí)，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP，交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖3②．同理可得：BP=2AH﹣PD，∴=2AH﹣1，∴AH=．綜上所述：點(diǎn)A到BP的距離為或．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，考查了運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的能力，是體現(xiàn)新課程理念的一道好題．而通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線從而能用（2）中的結(jié)論解決問(wèn)題是解決第（3）的關(guān)鍵．14．（1）；（2）AP的最小值為；（3）存在，BD的最大值為6+6【分析】（1）連接AC、AF、DG、CF，證△ADG∽△ACF，根據(jù)線段比例關(guān)系可求；（2）以BC為斜邊作等腰直角三角形BOC，以解析：（1）；（2）AP的最小值為；（3）存在，BD的最大值為6+6【分析】（1）連接AC、AF、DG、CF，證△ADG∽△ACF，根據(jù)線段比例關(guān)系可求；（2）以BC為斜邊作等腰直角三角形BOC，以O(shè)為圓心BO為半徑畫(huà)圓，則P的運(yùn)動(dòng)軌跡在矩形ABCD內(nèi)的劣弧BC上，連接AO交弧BC于點(diǎn)P，此時(shí)AP最小，根據(jù)給出數(shù)據(jù)求值即可；（3）以AB為斜邊向下做等腰直角三角形AEB，連接CE，根據(jù)△DAB∽△CAE，得出BD=CE，以AB為斜邊向上做等腰直角三角形AOB，以O(shè)為圓心OA為半徑畫(huà)圓，根據(jù)C點(diǎn)的軌跡求出CE最大值，即求出BD最大值．【詳解】解：（1）如圖①，連接AC、AF、DG、CF，在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB=4，AE=2.5，∴AC=AB，AF=AE，AG=AE=2.5，AD=AB=4，∴，又∵∠DAG=∠DAC-∠GAC=45°-∠GAC，∠CAF=∠GAF-∠GAC=45°-∠GAC，∴∠DAG=∠CAF，∴△DGA∽△CFA，∴，故答案為；（2）如圖②，以BC為斜邊作等腰直角三角形BOC，以O(shè)為圓心BO為半徑畫(huà)圓，則∠BPC作為圓周角剛好是135°，∴P的運(yùn)動(dòng)軌跡在矩形ABCD內(nèi)的劣弧BC上，連接AO交弧BC于點(diǎn)P，此時(shí)AP最小，作OE垂直AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵△BOC為等腰直角三角形，BC=4，∴OB=OC=BC=×4=2，∠OBC=45°，∴∠OBE=90°-∠OBC=90°-45°=45°，又∵OE⊥AE，∴△BEO為等腰直角三角形，∴BE=OE=OB=×2=2，又∵AB=3，∴AE=AB+BE=3+2=5，∴，∵OP=OB=2，∴AP=AO-OP=-2，即AP的最小值為-2；（3）存在，如圖3，以AB為斜邊向下做等腰直角三角形AEB，連接CE，則∠EAB=45°，，∵AC=AD，∠ACD=90°，∴DAC=45°，，∴，∠DAB=∠CAE=45°，∴△DAB∽△CAE，∴，∴BD=CE，∴當(dāng)CE最大時(shí)，BD取最大值，以AB為斜邊向上做等腰直角三角形AOB，以O(shè)為圓心OA為半徑畫(huà)圓，∵∠AOB=90°，∠ACB=45°，∴點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上，由圖知當(dāng)C在OE延長(zhǎng)線C'位置時(shí)C'E有最大值，此時(shí)C'E=OE+OC'，∵AB=6，△AOB和△AEB都是以AB為斜邊的等腰直角三角形，∴四邊形AOBE為正方形，∴OE=AB=6，OC'=OA=AB=3，∴CE的最大值為6+3，∵BD=CE，∴BD的最大值為×（6+3）=6+6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變換，三角形相似，等腰直角三角形，正方形，圓周角，圓心角等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．15．（1）6；（2）；（3）四邊形不是平行四邊形，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）先根據(jù)已知條件和矩形的性質(zhì)可得CD=AB=10,AD=BC=8，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DC＇=DC=10，最后運(yùn)用勾股定理解解析：（1）6；（2）；（3）四邊形不是平行四邊形，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）先根據(jù)已知條件和矩形的性質(zhì)可得CD=AB=10,AD=BC=8，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DC＇=DC=10，最后運(yùn)用勾股定理解答即可；（2）先根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理可求得，進(jìn)而求得BE、EC，然后連接，根據(jù)平移的性質(zhì)可得，進(jìn)而說(shuō)明，最后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解答即可；（3）先由折疊可得，再根據(jù)平移的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)H，則且，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得；設(shè)，則，在中，運(yùn)用勾股定理求得和DH；然后再在中求得，可以發(fā)現(xiàn)即，即可發(fā)現(xiàn)四邊形不可能是平行四邊形．【詳解】解：（1）如圖：∵矩形中，∴CD=AB=10，AD=BC=8根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DC＇=DC=10在直角三角形ADC＇中，AC＇=．（2）由折疊可知：．在中，根據(jù)勾股定理可求得，∴．在中，設(shè)，根據(jù)勾股定理，得，解得，即．如圖：連接，則由平移可知，，且．于是可得，∴，又∵，∴．（3）四邊形不是平行四邊形，理由如下：由折疊可知；又∵平移可知，且，∴，∴，即是等腰三角形，∴．如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)H，則且，∴．設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理，得，解得，∴，∴．而在中，，根據(jù)勾股定理可求得，∴，即，故四邊形不可能是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．16．（1）CM=2BE，CM⊥BE；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）設(shè)證明，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，進(jìn)而求解；（2）證明和，得到，，進(jìn)而求解；（3）證明，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，則，即可求解析：（1）CM=2BE，CM⊥BE；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）設(shè)證明，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到，進(jìn)而求解；（2）證明和，得到，，進(jìn)而求解；（3）證明，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，則，即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)交于點(diǎn)，為等腰直角三角形，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，即，，，即，故答案為：，CM⊥BE；（2），，仍然成立．如圖所示，延長(zhǎng)至使，連接，，，，，，，，，而，，，，，，，，，；（3）由得，，則，由（2）知，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形中線定理、解直角三角形、三角形全等等，綜合性強(qiáng)，難度較大．17．（1）①見(jiàn)解析；②1；（2）＝k，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠解析：（1）①見(jiàn)解析；②1；（2）＝k，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ．②證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問(wèn)題．（2）結(jié)論：＝k．如圖2中，作GM⊥AB于M．證明：△ABE∽△GMF即可解決問(wèn)題．（3）如圖2中，作PM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于M．利用相似三角形的性質(zhì)求出PM，CM即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．②解：結(jié)論：＝1．理由：∵DQ⊥AE，F(xiàn)G⊥AE，∴DQ∥FG，∵FQ∥DG，∴四邊形DQFG是平行四邊形，∴FG＝DQ，∵AE＝DQ，∴FG＝AE，∴＝1．故答案為1．（2）解：結(jié)論：．理由：如圖2中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴＝，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四邊形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴．（3）解：如圖2中，作PM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于M．∵FB∥GC，F(xiàn)E∥GP，∴∠CGP＝∠BFE，∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝，∴可以假設(shè)BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，∵＝，F(xiàn)G＝2，∴AE＝3，∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，∴k＝1或﹣1（舍棄），∴BE＝3，AB＝9，∵BC：AB＝2：3，∴BC＝6，∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，∴∠FEB＝∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴＝＝，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．18．（1）=1；（2）改變，；（3）①=；②GB=（）DG．【分析】（1）利用三點(diǎn)共線，可以求出k=1；（2）當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時(shí)，DG取最小值，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，DG取最大值，進(jìn)而求出k的取解析：（1）=1；（2）改變，；（3）①=；②GB=（）DG．【分析】（1）利用三點(diǎn)共線，可以求出k=1；（2）當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時(shí)，DG取最小值，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，DG取最大值，進(jìn)而求出k的取值范圍；（3）①設(shè)BE=m，BF=n，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行和不等式進(jìn)行求解；②根據(jù)①求出的EF=，由于ΔDEF為等腰三角形，EF為底，所以G為EF中點(diǎn)，易得GB=，進(jìn)而可以求出GB=（）DG．【詳解】如圖1所示，把ΔDAE，ΔDCF分別沿著DE、DF翻折，在正方形ABCD中，ADC=DAB=DCB=90°’，AD=CD,ADE+CDF=ADC-EDF=90°-45°=45°，翻折后，AD，CD重合．設(shè)重合線為AG'，則DG'E=DG'F=90°，DG'EF，且E、G'、F三點(diǎn)共線，則G'在EF上。又DGEF，DG'與DG重合，DG=DG'=AD．k==1．（2)k的值發(fā)生改變．①如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時(shí)，DG取最小值，DEF=90°又EDF=45°，ΔDEF是等腰直角三角形，則DE=EF．易證ΔADEΔBEF，AD=BE=6，AE=AB-BE=8-6=2，在RtΔADE中，由勾股定理，得DE=，②如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，DG取最大值，EDC=45°，AB//DF，則AED=EDC=45°，ΔDAE是等腰直角三角形，則AD=AE=6，BE=AB-AE=8-6=2，在RtΔEBC中，由勾股定理得：CE=，易證ΔDGC~ΔCBE，，即DG=，，綜上所述，．（3)①設(shè)BE=m，BF=n，易知ΔBEF的周長(zhǎng)為2．，一元二次方程有求根公式：，，所以，，則m，n是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，解得：．S=DG·EF=EF，當(dāng)EF=時(shí)，S取最小值．②ΔDEF為等腰三角形，EF為底，G為EF中點(diǎn)，易得GB=EF=，GB=（）DG．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形、矩形、等腰三角形的性質(zhì)及一元二次方程的靈活運(yùn)用，有一定的難度，解題關(guān)鍵是畫(huà)出正確的圖形進(jìn)行解答．19．（1）；；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）【觀察猜想】根據(jù)正方形ABCD，得到AB=CB，由等腰三角形BMN，得到BM=BN，可證明Rt