第七單元圖形的變化第29課時(shí)尺規(guī)作圖章前復(fù)習(xí)思路平面圖形立體圖形全等變化圖形的變化視圖與投影圖形的平移與旋轉(zhuǎn)投影幾何體的三視圖立體圖形的展開(kāi)及還原圖形的平移圖形的旋轉(zhuǎn)要素性質(zhì)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱與中心對(duì)稱五種基本尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖作圖步驟圖形的折疊圖形的對(duì)稱1教材基本作圖回顧2江蘇真題隨堂練3分層作業(yè)本教材基本作圖回顧例1作一條線段等于已知線段已知：線段a，求作：OA=a(根據(jù)作法使用直尺和圓規(guī)作圖).作法：(1)作射線OP；(2)以點(diǎn)O為圓心，①

為半徑作弧，交OP于點(diǎn)A，OA即為所求作的

線段.

a圓上的點(diǎn)到圓心的距離

等于半徑這種作一條線段等于已知線段的作圖依據(jù)是②

?

?.

例2作一個(gè)角等于已知角已知：∠α，求作：∠AO′B=∠α(根據(jù)作法使用直尺和圓規(guī)作圖).作法：(1)在∠α上以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，交∠α的兩邊于點(diǎn)P，Q(點(diǎn)P在點(diǎn)Q下方)；(2)作射線O′A；(3)以點(diǎn)O′為圓心，①

長(zhǎng)為半徑作弧，交O′A于點(diǎn)M，可得

到O′M=OP；(4)以點(diǎn)M為圓心，②

長(zhǎng)為半徑作弧，與前弧相交于點(diǎn)N；(5)過(guò)點(diǎn)N作射線O′B，∠AO′B即為所求作的角.

OP(或OQ)PQ請(qǐng)證明∠AO′B=∠α，并說(shuō)明依據(jù).解：證明：如解圖，連接PQ，MN，根據(jù)作圖痕跡可知，OQ=OP=O′N，

OP=O′M=MN，則△OPQ≌△O′MN(SSS)，即∠AO′B=∠α.依據(jù)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.解圖題后反思已知兩邊及夾角，你都能作出什么圖形呢？解：平行四邊形.(作法不唯一)解圖例3作已知角的平分線已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分線(根據(jù)作法使用直尺和圓規(guī)作圖).作法：(1)以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA，OB于點(diǎn)N，M；(2)分別以點(diǎn)M，N為圓心，①______?的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧

在∠AOB內(nèi)相交于點(diǎn)P；(3)作射線OP，OP即為∠AOB的平分線.

(1)請(qǐng)?zhí)羁詹⒄f(shuō)明理由；

作圖如解圖所示：解圖(2)證明∠BOP=∠AOP，并說(shuō)明依據(jù).解：證明：如解圖，連接MP，NP，根據(jù)作圖可知，OM=ON，MP=NP，

OP=OP，則△MOP≌△NOP(SSS)，可得∠BOP=∠AOP，即OP為∠AOB的平分線.依據(jù)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.解圖例4作線段的垂直平分線已知：線段AB，求作：線段AB的垂直平分線(根據(jù)作法使用直尺和圓規(guī)作圖).作法：(1)分別以點(diǎn)A，B為圓心，①________的長(zhǎng)為半徑，在AB

兩側(cè)作弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在AB上方)；(2)連接兩弧交點(diǎn)M，N所成直線l即為所求作的垂直平分線.

(1)請(qǐng)?zhí)羁詹⒄f(shuō)明理由；

作圖如解圖所示：解圖(2)請(qǐng)證明直線l垂直平分線段AB，并說(shuō)明依據(jù).解：證明：如解圖，連接AM，BM，AN，BN，根據(jù)作圖得，AM=BM=AN=BN，∴點(diǎn)M，N均在線段AB的垂直平分線上，∴直線l垂直平分線段AB.

依據(jù)：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線.解圖例5過(guò)直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線已知：直線l及直線l上一點(diǎn)P，求作：直線PN，使得PN⊥l(根據(jù)作法使用直尺和圓規(guī)作圖).作法：(1)以點(diǎn)P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑向點(diǎn)P兩側(cè)作弧，交直線l于點(diǎn)A和

點(diǎn)B，可得到PA=PB；(2)分別以點(diǎn)A，B為圓心，①________?長(zhǎng)為半徑在直線上方作

弧，兩弧交于點(diǎn)N；(3)連接PN，則直線PN即為所求作的垂線.

(1)請(qǐng)?zhí)羁詹⒄f(shuō)明理由；

作圖如解圖所示：解圖(2)請(qǐng)證明PN⊥AB，并說(shuō)明依據(jù).解：證明：如解圖，連接AN，BN，根據(jù)作圖得，AN=NB，AP=BP，∴△ANB為等腰三角形，且P為AB的中點(diǎn)，∴NP⊥AB.

依據(jù)：等腰三角形“三線合一”.解圖題后反思已知兩邊，你能作出矩形嗎？【題后反思】解圖例6過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P，求作：直線PN，使得PN⊥l(根據(jù)作法使用直尺和圓規(guī)作圖).作法：(1)在直線l另一側(cè)取點(diǎn)M；(2)以點(diǎn)P為圓心，①

長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在

點(diǎn)B左側(cè))；(3)分別以點(diǎn)A，B為圓心，②__________長(zhǎng)為半徑作弧，交點(diǎn)M同

側(cè)于點(diǎn)N；(4)連接PN，則直線PN即為所求作的垂線.PM

(1)請(qǐng)?zhí)羁詹⒄f(shuō)明理由；

作圖如解圖所示：解圖(2)請(qǐng)證明PN⊥AB，并說(shuō)明依據(jù).解：證明：如解圖，連接AP，BP，AN，BN，根據(jù)作圖可得，AP=BP，AN=BN，∴點(diǎn)P，N在線段AB的垂直平分線，∴PN⊥AB.

依據(jù)：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.解圖例7

(2022課標(biāo)新增)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P.

求作：直線PQ，使得PQ∥l(根據(jù)作法使用直尺和圓規(guī)作圖).作法：(1)在直線l上取一點(diǎn)A，作射線AP；(2)以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AP，l于點(diǎn)M，N；(3)以點(diǎn)P為圓心，①

長(zhǎng)為半徑作弧，交射線AP于點(diǎn)M′，

可得到AM=PM′；(4)以點(diǎn)M′為圓心，②

長(zhǎng)為半徑作弧，與前弧相交于點(diǎn)Q；(5)連接PQ，則直線PQ即為所求作的直線.AM(或AN)MN(1)請(qǐng)?zhí)羁眨?2)請(qǐng)證明PQ∥l，并說(shuō)明依據(jù).證明：如解圖，連接MN，M′Q，根據(jù)作圖痕跡可知，AM=AN，

AM=PM′，AN=PQ，MN=M′Q，則△AMN≌△PM′Q(SSS)，∴∠MAN=∠M′PQ，∴PQ∥l.依據(jù)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；同位

角相等，兩直線平行.解圖題后反思你還可以用什么方法作平行線呢？解：利用三角形中位線的性質(zhì)作圖如解圖所示.解圖1.(2023常州7題)小明按照以下步驟畫(huà)線段AB的三等分點(diǎn)：畫(huà)法圖形1.以A為端點(diǎn)畫(huà)一條射線；2.用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長(zhǎng)線段AC，CD，

DE，連接BE；3.過(guò)點(diǎn)C，D分別畫(huà)BE的平行線，交線段AB于點(diǎn)M、

N，M、N就是線段AB的三等分點(diǎn).

江蘇真題隨堂練根據(jù)作圖痕跡進(jìn)行相關(guān)判斷與計(jì)算(3年1考)命題點(diǎn)1這一畫(huà)圖過(guò)程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是(

D

)A.兩直線平行，同位角相等B.兩條平行線之間的距離處處相等C.垂直于同一條直線的兩條直線平行D.兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例D2.

如圖，在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以

點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N；②以點(diǎn)D為

圓心，AM長(zhǎng)為半徑作弧，交DB于點(diǎn)M′；③以點(diǎn)M′為圓心，MN長(zhǎng)為半徑

作弧，在∠BAC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N′；④過(guò)點(diǎn)N′作射線DN′交BC于點(diǎn)E.

若AC=4，則DE的長(zhǎng)為(

C

)A.1C.2C

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D利用尺規(guī)作圖進(jìn)行相關(guān)證明與計(jì)算命題點(diǎn)2類型一五種基本作圖(3年2考)5.(2023鹽城21題)如圖，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E.

(1)求證：AC=AD；

(2)用直尺和圓規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F.

(不寫(xiě)作法，保留作

圖痕跡)解：如解圖，AF即為所求.(作法不唯一)解圖5.(2023鹽城21題)如圖，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E.

類型二轉(zhuǎn)化類作圖(3年8考)6.(2024連云港20題)如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E，EC=ED，AC∥BD.

(1)求證：△AEC≌△BED；

(2)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：求作菱形DMCN，使得點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)

N在BD上.(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母)解：如解圖所示，菱形DMCN即為所求.解圖6.(2024連云港20題)如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E，EC=ED，AC∥BD.

(1)求出對(duì)角線BD的長(zhǎng)；解：如圖，連接BD，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，∟F∵∠A=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，

∴AF=DF=AD?sin45°=3，∵AB=5，∴BF=AB－AF=5－3=2，

(2)尺．規(guī)．作．圖．：將四邊形ABCD沿著經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的某條直線翻折，使點(diǎn)B落在

CD邊上的點(diǎn)E處，請(qǐng)作出折痕.(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)解：如解圖②，直線AG即為所求作的折痕.解圖②

8.(2023連云港24題)如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊

AC于點(diǎn)D，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB.

(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，交CE于點(diǎn)F；(不

寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母)解：如解圖，直線BF即為所求作；(作法不唯一)解圖(2)在(1)的條件下，求證：BD=BF.

證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵CE∥AB，∴∠ABC=∠BCF，∴∠BCF=∠ACB，∵點(diǎn)D在以AB為直徑的圓上，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°，∵BF為⊙O的切線，∴∠ABF=90°，8.(2023連云港24題)如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊

AC于點(diǎn)D，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB.

9.(2025宿遷24題)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：僅用一把圓規(guī)作圖.【任務(wù)閱讀】如圖①，僅用一把圓規(guī)在∠AOB內(nèi)部畫(huà)一點(diǎn)P，使點(diǎn)P在

∠AOB的平分線上.小明的作法如下：

理由：如圖③，連接EP，F(xiàn)P，OP，由作圖可知，OE=OF，PE=PF，又因?yàn)镺P=OP，所以

?.所以