第一章向量的引入：生活中的向量現(xiàn)象第二章向量的基本運算：加法與減法第三章向量的數(shù)量積：內(nèi)積與投影第四章向量的模與單位向量第五章向量的坐標表示與線性運算第六章向量的應用與拓展：空間向量01第一章向量的引入：生活中的向量現(xiàn)象第1頁向量的實際背景在日常生活中，向量無處不在。例如，公交車路線圖就是一個典型的向量應用場景。假設某城市公交車路線A從市中心出發(fā)，向北行駛5公里到達北站，再向東行駛3公里到達東站。而路線B從市中心出發(fā)，向南行駛4公里到達南站，再向西行駛2公里到達西站。這些公交線路的行駛方向和距離都可以用向量來描述。具體來說，向量是一個既有大小又有方向的量，用有向線段表示。例如，位移向量表示物體從一點移動到另一點的方向和距離。在公交車路線圖中，箭頭的方向表示行駛方向，箭頭的長度表示行駛距離。通過向量，我們可以清晰地描述公交車的行駛路線和位移。此外，向量還可以用于描述其他生活中的現(xiàn)象，如風的方向和速度、河流的流向和流速等。這些現(xiàn)象都涉及方向和距離的變化，而向量正好可以捕捉這些變化。因此，向量在描述和解決實際問題中具有重要的應用價值。第2頁向量的基本概念向量的定義向量的表示方法向量的基本性質(zhì)向量是既有大小又有方向的量，用有向線段表示。用粗體字母表示向量，如**a**；用起點和終點表示，如AB（從A指向B）。向量可以平行移動，不改變其本質(zhì)屬性；向量的模（長度）為非負數(shù)。第3頁向量與數(shù)量的區(qū)別數(shù)量的定義向量的定義對比表格數(shù)量只有大小，沒有方向的量，如溫度、質(zhì)量、時間。向量既有大小又有方向，如位移、速度、力。通過對比表格，可以更清晰地理解向量與數(shù)量的區(qū)別。第4頁向量的應用實例風力風向航海導航物理力學風力為3級西北風，表示風力大小為3，方向為西北。船速為20公里/小時向東，表示船速大小為20，方向為東。一個物體受到兩個力，一個力為10牛頓向東，另一個力為8牛頓向北，如何用向量表示并求合力？02第二章向量的基本運算：加法與減法第5頁向量加法的引入向量加法在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用。例如，兩個小船同時從同一港口出發(fā)，船A向北行駛5公里，船B向東行駛3公里。如何用向量表示這兩條公交線路的行駛方向和距離？這個問題可以通過向量加法來解決。具體來說，向量加法可以用來描述兩個位移的合成效果。在幾何上，我們可以用平行四邊形法則或三角形法則來表示向量加法。平行四邊形法則將兩個向量起點重合，以這兩個向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示兩個向量的和。三角形法則將兩個向量首尾相接，從第一個向量的起點到第二個向量的終點表示兩個向量的和。通過這些方法，我們可以直觀地理解向量加法的概念和應用。第6頁向量加法的幾何意義平行四邊形法則三角形法則示例將兩個向量起點重合，以這兩個向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示兩個向量的和。將兩個向量首尾相接，從第一個向量的起點到第二個向量的終點表示兩個向量的和。船A位移為5公里向北，船B位移為3公里向東，用三角形法則求合位移。第7頁向量加法的代數(shù)表示分量表示計算示例表格對比設向量**a**=(a?,a?)，向量**b**=(b?,b?)，則**a**+**b**=(a?+b?,a?+b?)。向量**a**=(3,4)，向量**b**=(1,2)，則**a**+**b**=(3+1,4+2)=(4,6)。通過對比表格，可以更清晰地理解向量加法的代數(shù)表示。第8頁向量減法的引入引入場景問題提出內(nèi)容展示兩個小船同時從同一港口出發(fā)，船A向北行駛5公里，船B向東行駛3公里，船A相對于船B的位移如何表示？如何用向量表示船A相對于船B的位移？兩船行駛路線圖，用箭頭表示位移，標注大小和方向。第9頁向量減法的幾何意義三角形法則反向向量示例將兩個向量起點重合，從第二個向量終點指向第一個向量終點的向量表示兩個向量的差。向量**a**-**b**=**a**+(-**b**)，其中-**b**是**b**的反向向量，方向相反，大小相同。船A位移為5公里向北，船B位移為3公里向東，船A相對于船B的位移。第10頁向量減法的代數(shù)表示分量表示計算示例表格對比設向量**a**=(a?,a?)，向量**b**=(b?,b?)，則**a**-**b**=(a?-b?,a?-b?)。向量**a**=(3,4)，向量**b**=(1,2)，則**a**-**b**=(3-1,4-2)=(2,2)。通過對比表格，可以更清晰地理解向量減法的代數(shù)表示。第11頁向量加減法的應用實例位移合成力合成速度合成物體先向東移動5公里，再向北移動3公里，求總位移的坐標表示。兩個力分別為10牛頓向東和8牛頓向北，求合力的大小和方向。船A速度為20公里/小時向東，船B速度為15公里/小時向北，求合速度。03第三章向量的數(shù)量積：內(nèi)積與投影第12頁向量數(shù)量積的引入向量數(shù)量積（內(nèi)積）在物理學中有著廣泛的應用。例如，一個物體在水平方向上受到一個力，物體在力的方向上移動一段距離，如何計算力所做的功？這個問題可以通過向量數(shù)量積來解決。具體來說，向量數(shù)量積可以用來描述力所做的功。在幾何上，向量數(shù)量積的模為兩個向量的模長乘以它們夾角的余弦值。通過這個定義，我們可以直觀地理解向量數(shù)量積的概念和應用。第13頁向量數(shù)量積的幾何意義定義投影示例向量**a**與向量**b**的數(shù)量積（內(nèi)積）為**a**·**b**=|**a**||**b**|cosθ，其中θ為**a**與**b**的夾角。向量**a**在向量**b**方向上的投影為|**a**|cosθ，向量**b**在向量**a**方向上的投影為|**b**|cosθ。力**F**=10牛頓，位移**S**=5公里，力與位移的夾角為30度，求力所做的功。第14頁向量數(shù)量積的代數(shù)表示分量表示計算示例表格對比設向量**a**=(a?,a?)，向量**b**=(b?,b?)，則**a**·**b**=a?b?+a?b?。向量**a**=(3,4)，向量**b**=(1,2)，則**a**·**b**=3×1+4×2=11。通過對比表格，可以更清晰地理解向量數(shù)量積的代數(shù)表示。第15頁向量數(shù)量積的性質(zhì)交換律**a**·**b**=**b**·**a**。分配律**a**·(**b**+**c**)=**a**·**b**+**a**·**c**。與模長關(guān)系**a**·**a**=|**a**|2。正交性若**a**⊥**b**，則**a**·**b**=0。第16頁向量數(shù)量積的應用實例功的計算投影計算正交判斷力**F**=10牛頓，位移**S**=5公里，力與位移的夾角為30度，求力所做的功。向量**a**=(3,4)，向量**b**=(1,2)，求**a**在**b**方向上的投影。向量**a**=(3,4)，向量**b**=(2,-3)，判斷**a**與**b**是否正交。04第四章向量的模與單位向量第17頁向量的模的引入向量的模（長度）在幾何和物理中有著重要的應用。例如，兩個物體分別向東和向北移動，位移分別為5公里和3公里，如何比較它們的位移大?。窟@個問題可以通過向量的模來解決。具體來說，向量的模表示向量的長度，即起點到終點的距離。通過這個定義，我們可以直觀地理解向量的模的概念和應用。第18頁向量的模的定義定義幾何意義計算示例向量**a**的模（長度）記為|**a**|，|**a**|=√(a?2+a?2)（二維向量）。向量模表示向量的長度，即起點到終點的距離。向量**a**=(3,4)，則|**a**|=√(32+42)=5。第19頁單位向量的定義定義求法計算示例模為1的向量稱為單位向量，記為**e**，通常用**e**?,**e**?,**e**?表示坐標軸上的單位向量。將非零向量**a**除以其模，得到單位向量**e**=**a**/|**a**|。向量**a**=(3,4)，則單位向量**e**=(3/5,4/5)。第20頁單位向量的應用實例方向向量標準化投影單位化物體位移為5公里東北方向，求單位方向向量。向量**a**=(3,4)，求標準化向量（單位向量）。向量**a**=(3,4)，向量**b**=(1,2)，求**a**在**b**方向上的單位投影向量。05第五章向量的坐標表示與線性運算第21頁向量的坐標表示的引入向量的坐標表示在計算機圖形學和物理中有著廣泛的應用。例如，一個物體從點A(1,2)移動到點B(4,6)，如何用數(shù)學語言描述這個位移？這個問題可以通過向量的坐標表示來解決。具體來說，向量**a**=(a?,a?)表示從點A(x?,y?)到點B(x?,y?)的位移向量，即**a**=(x?-x?,y?-y?)。通過這個定義，我們可以直觀地理解向量的坐標表示的概念和應用。第22頁向量的坐標表示定義分量表示計算示例向量**a**=(a?,a?)表示從點A(x?,y?)到點B(x?,y?)的位移向量，即**a**=(x?-x?,y?-y?)。向量**a**的分量分別為a?和a?，表示在x軸和y軸上的投影。點A(1,2)，點B(4,6)，則位移向量**a**=(4-1,6-2)=(3,4)。第23頁向量的線性運算加法減法數(shù)乘**a**+**b**=(a?+b?,a?+b?)。**a**-**b**=(a?-b?,a?-b?)。k**a**=(ka?,ka?)。第24頁向量的線性組合定義示例應用向量**b**是向量**a?**,**a?**,...,**a?**的線性組合，若存在實數(shù)k?,k?,...,k?，使得**b**=k?**a?**+k?**a?**+...+k?**a?**。向量**b**=(1,2)，向量**a?**=(1,0)，向量**a?**=(0,1)，則**b**=1**a?**+2**a?**。線性組合可以表示平面上的任意向量。第25頁向量線性相關(guān)與線性無關(guān)線性相關(guān)線性無關(guān)判斷方法存在不全為零的實數(shù)k?,k?,...,k?，使得k?**a?**+k?**a?**+...+k?**a?**=0。只有k?=k?=...=k?=0時，才有k?**a?**+k?**a?**+...+k?**a?**=0。通過行列式判斷，若行列式不為零，則線性無關(guān)；否則線性相關(guān)。第26頁向量的線性運算應用實例位移合成力合成速度合成物體先向東移動5公里，再向北移動3公里，求總位移的坐標表示。兩個力分別為10牛頓向東和8牛頓向北，求合力的大小和方向。船A速度為20公里/小時向東，船B速度為15公里/小時向北，求合速度。06第六章向量的應用與拓展：空間向量第27頁空間向量的引入空間向量在三維空間中有著廣泛的應用。例如，三個物體分別從點A(1,2,3)移動到點B(4,5,6)，點C(7,8,9)，如何用數(shù)學語言描述它們的位移？這個問題可以通過空間向量來解決。具體來說，空間向量**a**=(a?,a?,a?)表示從點A(x?,y?,z?)到點B(x?,y?,z?)的位移向量，即**a**=(x?-x?,y?-y?,z?-z?)。通過這個定義，我們可以直觀地理解空間向量的概念和應用。第28頁空間向量的坐標表示定義分量表示計算示例向量**a**=(a?,a?,a?)表示從點A(x?,y?,z?)到點B(x?,y?,z?)的位移向量，即**a**=(x?-x?,y?-y?,z?-z?)。向量**a**的分量分別為a?,a?,a?，表示在x軸、y軸、z軸上的投影。點A(1,2,3)，點B(4,5,6)，則位移向量**a**=(4-1,5-2,6-3)=(3,3,3)。第29頁空間向量的線性運算加法減法數(shù)乘**a**+**b**=(a?+b?,a?+b?,a?+b?)。**a**-