材料力學(xué)3.1扭轉(zhuǎn)的工程實(shí)例及基本概念3.2外力偶劇、扭矩及扭矩圖3.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)3.4圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形3.6非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)第3章扭轉(zhuǎn)在實(shí)際工程中，尤其是機(jī)械傳動(dòng)中的許多構(gòu)件，其主要變形形式是扭轉(zhuǎn)。例如，汽車(chē)方向盤(pán)的操縱桿(見(jiàn)圖3-1)，其上端受到經(jīng)由方向盤(pán)傳來(lái)的力偶作用，下端則又受到來(lái)自轉(zhuǎn)向器的阻抗力偶作用，在這一對(duì)力偶作用下，操縱桿中自然會(huì)有扭轉(zhuǎn)力偶作用而產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。又如，攻絲的絲錐（見(jiàn)圖3-2)，作用在手柄上大小相等、方向相反的兩個(gè)力構(gòu)成一個(gè)垂直于絲錐軸線(xiàn)平面的力偶，在絲錐下端，絲扣的阻力則形成大小相等、轉(zhuǎn)向相反的力偶。在這一對(duì)力偶的作用下，絲錐將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。在將電動(dòng)機(jī)的功率通過(guò)旋轉(zhuǎn)軸傳遞到其他構(gòu)件的情況下，傳動(dòng)結(jié)構(gòu)的許多構(gòu)件都將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。第3章扭轉(zhuǎn)圖3-1在實(shí)際工程中，尤其是機(jī)械傳動(dòng)中的許多構(gòu)件，其主要變形形式是扭轉(zhuǎn)。例如，汽車(chē)方向盤(pán)的操縱桿(見(jiàn)圖3-1)，其上端受到經(jīng)由方向盤(pán)傳來(lái)的力偶作用，下端則又受到來(lái)自轉(zhuǎn)向器的阻抗力偶作用，在這一對(duì)力偶作用下，操縱桿中自然會(huì)有扭轉(zhuǎn)力偶作用而產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。

3.1扭轉(zhuǎn)的工程實(shí)例及基本概念又如，攻絲的絲錐（見(jiàn)圖3-2)，作用在手柄上大小相等、方向相反的兩個(gè)力構(gòu)成一個(gè)垂直于絲錐軸線(xiàn)平面的力偶，在絲錐下端，絲扣的阻力則形成大小相等、轉(zhuǎn)向相反的力偶。在這一對(duì)力偶的作用下，絲錐將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。在將電動(dòng)機(jī)的功率通過(guò)旋轉(zhuǎn)軸傳遞到其他構(gòu)件的情況下，傳動(dòng)結(jié)構(gòu)的許多構(gòu)件都將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。圖3-2

3.1扭轉(zhuǎn)的工程實(shí)例及基本概念由以上各例可以看出，扭轉(zhuǎn)構(gòu)件的受力特點(diǎn)是：構(gòu)件受到垂直于軸線(xiàn)平面的力偶作用，其變形特點(diǎn)是：各橫截面繞軸線(xiàn)發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。這種變形形式稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)。工程中常把通過(guò)扭矩傳遞功率，以扭轉(zhuǎn)為主要變形形式的構(gòu)件稱(chēng)為軸。

3.1扭轉(zhuǎn)的工程實(shí)例及基本概念外力偶劇3.2.1作用于扭轉(zhuǎn)構(gòu)件上的外力偶矩，一般可通過(guò)外力求得。但在實(shí)際工程中，對(duì)于傳動(dòng)軸等轉(zhuǎn)動(dòng)構(gòu)件，通常已知傳動(dòng)軸所傳輸?shù)墓β屎洼S的轉(zhuǎn)速，由此計(jì)算外力偶矩。

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩圖如圖3-3所示，由電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速和功率，可以求出傳動(dòng)軸AB轉(zhuǎn)速及通過(guò)皮帶輪輸入的功率。功率輸入到AB軸上，再經(jīng)右端的齒輪輸出。設(shè)通過(guò)皮帶輪輸入AB軸的功率為P(單位為kW)，電動(dòng)機(jī)是通過(guò)皮帶輪以力偶矩Me作用于AB軸上的，若軸的轉(zhuǎn)速為n（單位為r/min），則由動(dòng)力學(xué)知識(shí)可知，力偶矩Me在單位時(shí)間內(nèi)所做的功（功率）P=Me·ω，即

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩圖圖3-3

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩圖由式(3-1)、式(3-2)和式(3-3)可以看出，軸所承受的力偶矩Me與其傳輸?shù)墓β蔖成正比，與軸的轉(zhuǎn)速n成反比。軸在傳遞同樣功率時(shí)，低速軸所受的力偶矩比高速軸大，故在同一個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)中，低速軸的直徑比高速軸的直徑大一些。

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩圖當(dāng)作用在軸上的外力偶矩全部求出后，可用截面法研究橫截面上的內(nèi)力。設(shè)一扭轉(zhuǎn)構(gòu)件如圖3-4（a）所示，為了揭示其任意橫截面上的內(nèi)力，假想地將圓軸沿n—n截面分成兩部分，取軸的左半段為研究對(duì)象，如圖3-4（b)所示。由于整個(gè)軸是平衡的，所以左半段也處于平衡狀態(tài)，這就要求n—n截面上分布的內(nèi)力簡(jiǎn)化成一個(gè)內(nèi)力偶矩T［見(jiàn)圖3-4（b）］，由平衡條件可得∑Mx=0，T－Me=0解得T=Me

扭矩及扭矩圖3.2.2

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩圖由此可見(jiàn)，當(dāng)軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，其橫截面上的內(nèi)力是一個(gè)位于橫截面內(nèi)的內(nèi)力偶，其力偶矩稱(chēng)為n—n截面上的扭矩，用T表示。

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩圖取軸的右半段為研究對(duì)象［見(jiàn)圖3-4(c)］，也可得到T=Me的結(jié)果。但其轉(zhuǎn)向則與取左半段求出的轉(zhuǎn)向相反，因?yàn)樗鼈兪亲饔门c反作用力偶的關(guān)系。圖3-4

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩圖與軸力相似，對(duì)扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力——扭矩T的正負(fù)號(hào)做如下規(guī)定：按右手螺旋法則將扭矩T用矢量表示，當(dāng)矢量方向與橫截面的外法線(xiàn)方向一致時(shí)，則該扭矩為正；反之為負(fù)，如圖3-5所示。圖3-5

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩圖當(dāng)軸上同時(shí)有幾個(gè)外力偶作用時(shí)，一般情況下，軸內(nèi)各橫截面的扭矩不同。與軸向拉伸（壓縮）問(wèn)題中畫(huà)軸力圖一樣，可用圖線(xiàn)來(lái)表示各橫截面上扭矩沿軸線(xiàn)變化的情況。即以橫軸表示橫截面的位置，縱軸表示相應(yīng)截面的扭矩。這種表示扭矩沿軸線(xiàn)變化情況的圖線(xiàn)稱(chēng)為扭矩圖。

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩圖【例3-1】

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩圖

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩圖突變規(guī)律:從左向右繪制扭矩圖時(shí)，矢量方向向左的外力偶向上突變，矢量方向向右的外力偶向下突變，突變量等于此外力偶矩?cái)?shù)值的大小，最終歸至零點(diǎn)。

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩圖【例3-2】

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩圖解：如圖3-7(b)所示，任意橫截面上的扭矩為

T(x)=mx由靜力學(xué)平衡條件得∑Mx=0，ml－Me=0解得分布力偶的集度為

繪制扭矩圖，如圖3-7(c)所示。

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩圖圖3-8(a)所示為半徑為r、壁厚為t的薄壁圓筒。進(jìn)行扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)前，在外表面上繪制圓軸線(xiàn)和縱向線(xiàn)，將其表面分割成微小矩形塊。在外力偶作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，觀(guān)察到以下現(xiàn)象：(1)圓周線(xiàn)的形狀、大小、間距不變，兩圓周線(xiàn)發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。(2)各縱向線(xiàn)仍然平行，但都傾斜了一個(gè)微小角度，所有微小矩形均變?yōu)橥瑯哟笮〉钠叫兴倪呅?，如圖3-8（b）所示。薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力3.3.1

3.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)這些現(xiàn)象表明，當(dāng)薄壁圓筒發(fā)生扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力σ，只有切應(yīng)力τ。由于筒壁很薄，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布。又因同一圓周上各點(diǎn)的情況相同，故應(yīng)力也相同，如圖3-8（c)所示。橫截面上所有切應(yīng)力τ組成力系的合效果為該截面的扭矩T，即

由此得到，薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力公式為

(3-4)

3.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)圖3-8

3.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)【例1-3】

3.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)

切應(yīng)力與互等定理3.3.2用相鄰的兩個(gè)橫截面和直徑截面取出邊長(zhǎng)分別為dx、dy和厚度為dz的微小單元體，如圖所示。圖3-9

3.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)根據(jù)前面的分析可知，單元體的左、右側(cè)面上只有切應(yīng)力τ。兩個(gè)截面上的切應(yīng)力組成一個(gè)力偶矩為(τdzdy)dx的力偶，為保持平衡，單元體的上下兩側(cè)面上必然有切應(yīng)力，并組成力偶與力偶矩為(τdzdy)dx的力偶相平衡。由單元體的平衡條件∑Mz=0，(τdzdy)dx－(τ′dzdx)dy=0可得

τ=τ′(3-5)

3.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)式(3-5)表明，在單元體相互垂直的兩個(gè)面上，垂直于公共棱邊的切應(yīng)力數(shù)值相等，方向共同指向或共同背離公共棱邊，此關(guān)系稱(chēng)為切應(yīng)力互等定理。如圖3-9所示的單元體，其側(cè)面上只有切應(yīng)力，而沒(méi)有正應(yīng)力，稱(chēng)為純剪切?？梢宰C明，切應(yīng)力互等定理對(duì)于非純剪切的情況同樣適用。

3.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)變與剪切胡克定律3.3.3純剪切單元體的相對(duì)兩側(cè)面將發(fā)生微小的相互錯(cuò)動(dòng)［見(jiàn)圖3-10］，使原來(lái)互相垂直的兩棱邊的夾角改變了一個(gè)微量γ，即切應(yīng)變。從圖3-8(b)可以看出，γ就是表面縱向線(xiàn)變形后的傾角。若φ為圓筒兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，l為圓筒長(zhǎng)度，則切應(yīng)變的計(jì)算公式為圖3-10

3.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)利用薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)可以進(jìn)行純剪切試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果表明，切應(yīng)力低于材料的剪切比例極限時(shí)，扭轉(zhuǎn)角φ與扭轉(zhuǎn)力偶矩Me成正比，如圖3-11（a)所示。由前面分析可知，切應(yīng)力τ與外力偶矩Me成正比，而切應(yīng)變?chǔ)糜峙c扭轉(zhuǎn)角φ成正比。上述試驗(yàn)表明，當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)，切應(yīng)變?chǔ)门c切應(yīng)力τ成正比，如圖3-11（b)所示。此即剪切胡克定律，其用公式表達(dá)為

τ=Gγ

(3-6)式中，G為材料的切變模量。因切應(yīng)變?chǔ)糜袉挝唬ㄍǔＪ腔《龋?，但沒(méi)有量綱，故G的量綱與切應(yīng)力τ相同。鋼材切變模量通常取G=80GPa。

3.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)圖3-11

3.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)至此，表征材料力學(xué)性能的三個(gè)材料常數(shù)為彈性模量E、泊松比μ和切變模量G。對(duì)各向同性材料，可證明這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在如下關(guān)系，即

(3-7)可見(jiàn)，三個(gè)彈性常數(shù)中只有兩個(gè)獨(dú)立。已知兩個(gè)，可確定剩下的一個(gè)。

3.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)

剪切變形能3.3.4從構(gòu)件中取出受純剪切的單元體［見(jiàn)圖3-11（b)］，將左側(cè)面固定，上下表面的切應(yīng)力不做功，右側(cè)面上的切應(yīng)力τ將在剪切變形過(guò)程中做功。根據(jù)能量守恒定律，應(yīng)力所做的功等于單元體中變形能的增量，即

式中，dV=dxdydz，表示單元體的體積。單位體積內(nèi)的剪切變形能密度為

(3-8)由剪切胡克定律，剪切變形能密度也可以寫(xiě)成

(3-9)

3.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)與薄壁圓筒相同，為了觀(guān)察圓軸的扭轉(zhuǎn)變形，在圓軸表面畫(huà)圓周線(xiàn)和縱向線(xiàn)，變形前的縱向線(xiàn)用虛線(xiàn)表示，如圖3-12（a）所示。在外力偶矩Me作用下，出現(xiàn)與薄壁圓筒受扭相同的變形現(xiàn)象：各圓周線(xiàn)繞軸線(xiàn)相對(duì)地旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，大小和形狀不變，圓周線(xiàn)之間的距離不變；在小變形情況下，縱向線(xiàn)近似是一條直線(xiàn)，只是傾斜一個(gè)微小的角度；變形前表面上的小矩形變形后錯(cuò)動(dòng)成平行四邊形。變形幾何關(guān)系3.4.1

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力根據(jù)這些試驗(yàn)現(xiàn)象，可設(shè)想：在扭轉(zhuǎn)的過(guò)程中，圓軸的各個(gè)橫截面像剛性圓盤(pán)一樣，繞軸線(xiàn)發(fā)生角度不同的轉(zhuǎn)動(dòng)，即假設(shè)變形前軸的圓形橫截面在變形后仍保持為同樣大小的圓形平面，且半徑仍為直線(xiàn)，這個(gè)假設(shè)稱(chēng)為圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的平面假設(shè)。以平面假設(shè)為基礎(chǔ)導(dǎo)出的應(yīng)力和變形公式，符合試驗(yàn)結(jié)果且與彈性力學(xué)一致，說(shuō)明假設(shè)正確。

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力在圖3-12(a)中，用相鄰橫截面m1—m1和n1—n1從軸中截取長(zhǎng)為dx的微段。設(shè)兩截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為dφ，則根據(jù)平面假設(shè)，橫截面n1—n1像剛性平面一樣，相對(duì)于m1—m1繞軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)角度dφ，半徑O2C轉(zhuǎn)至O2C′，如圖3-12(b)所示。于是，表面小矩形ABCD的CD邊相對(duì)于AB邊發(fā)生微小錯(cuò)動(dòng)，錯(cuò)動(dòng)距離為

CC′=Rdφ

CD邊錯(cuò)動(dòng)后移至C′D′位置，引起原來(lái)是直角的∠ABC的角度發(fā)生改變，改變量為

(3-10)

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力此即橫截面邊緣上B點(diǎn)的切應(yīng)變。顯然，γ發(fā)生在垂直于半徑的ABCD面內(nèi)。根據(jù)平面假設(shè)，變形后半徑仍為直線(xiàn)，用同樣的方法并參考圖3-12(c)，可以求得距軸線(xiàn)為ρ處的切應(yīng)變?chǔ)忙眩?/p>

(3-11)與式(3-10)中的γ一樣，γρ也發(fā)生在垂直于半徑的面內(nèi)。在式(3-10)和式(3-11)中，dφ/dx稱(chēng)為單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角，它是扭轉(zhuǎn)角φ沿x軸的變化率。對(duì)給定的截面來(lái)說(shuō)，dφ/dx是常量。式(3-11)表明，橫截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)變?chǔ)忙雅c該點(diǎn)到圓心的距離ρ成正比。

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力物理關(guān)系3.4.2由剪切胡克定律可知，在剪切比例極限內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即

τρ=G·γρ

（3-12）將式(3-11)代入式（3-12）中，得截面上距軸線(xiàn)ρ處的切應(yīng)力為

(3-13)這表明，橫截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)力τρ與該點(diǎn)到圓心的距離ρ成正比。因?yàn)榍袘?yīng)變發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)，所以τρ也與半徑垂直?？紤]切應(yīng)力互等定理，則在縱向截面和橫截面上，沿半徑的切應(yīng)力的分布如圖3-12(d)所示。

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圖3-12

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力在圓截面邊緣上，ρ取最大值R，則最大切應(yīng)力為

(3-17)式中，

，稱(chēng)為抗扭截面系數(shù)。

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力在橫截面內(nèi)距圓心ρ處的微面積dA=ρdθdρ［見(jiàn)圖3-13(a)］上作用有微剪力τρdA，它對(duì)圓心O的力矩為ρτρdA。在整個(gè)橫截面上，將該力矩積分后等于橫截面上的扭矩T，即靜力關(guān)系3.4.3

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度3.4.4對(duì)于等截面軸，其最大切應(yīng)力τmax不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力［τ］，則強(qiáng)度條件為

(3-22)對(duì)于變截面軸，如階梯軸、圓錐形桿等，Wp不是常數(shù)，τmax并不一定發(fā)生在最大扭矩Tmax的截面上。此時(shí)需要綜合考慮T和Wp，求切應(yīng)力的最大值。其強(qiáng)度條件為

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力材料的許用切應(yīng)力［τ］通常由扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)測(cè)得。根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，材料的許用切應(yīng)力［τ］和許用正應(yīng)力［σ］有如下關(guān)系，即［τ］=0.5～0.577［σ］（塑性材料）［τ］=0.8～1.0［σ］（脆性材料）

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力3.4.5對(duì)于軸向拉(壓)桿，用假想的斜截面將其切開(kāi)，研究其上的應(yīng)力；而對(duì)于受扭的圓軸，由于橫截面上的應(yīng)力非均勻分布，因此不能采用此法，必須圍繞圓周內(nèi)需要研究的斜截面上應(yīng)力的點(diǎn)切取一個(gè)單元體加以分析。

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力如圖3-14(a)所示，圍繞受扭圓軸的A點(diǎn)截取一個(gè)單元體，其左右兩側(cè)屬于該軸的橫截面，上下底面屬于該軸的徑向截面，前后兩側(cè)面為該軸的切向平面。由切應(yīng)力互等定理可知，單元體上下左右四個(gè)側(cè)面作用著大小相等的切應(yīng)力τ，前后面無(wú)任何應(yīng)力，故此單元體稱(chēng)為純剪切應(yīng)力狀態(tài)單元體，其平面圖形如圖3-14(b)所示。圖3-14

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力現(xiàn)用任意截面假想截開(kāi)單元體，求解ef截面上的應(yīng)力。分析截取部分的應(yīng)力狀態(tài)：如圖3-14（c）所示，ce和cf面上分別作用有已知的切應(yīng)力τ和τ′，而ef面上作用有未知正應(yīng)力σα和切應(yīng)力τα。設(shè)ef面的面積為dA，則ce面和cf面的面積分別為dAcosα

和dAsinα。將各個(gè)面上的力向斜截面法線(xiàn)n上投影，得∑Fn=0，σαdA+τdAcosαsinα+τ′dAsinαcosα=0∑Fτ=0，ταdA－τdAcosαcosα+τ′dAsinαsinα=0由于

τ=τ′，經(jīng)整理得

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力討論：通過(guò)A點(diǎn)的斜截面上的應(yīng)力σα和τα隨所取截面的方位角α而改變。

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力綜合分析材料的力學(xué)性能和加載方式，可發(fā)現(xiàn)塑性材料和脆性材料的扭轉(zhuǎn)破壞形式不同。塑性材料試件在外力偶作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，當(dāng)切應(yīng)力達(dá)到極值時(shí)，沿橫截面被剪斷，如圖3-15（a)所示；脆性材料試件受扭破壞前變形很小，當(dāng)拉應(yīng)力達(dá)到極值時(shí)，沿與軸線(xiàn)約成45°方向的螺旋面被拉斷，如圖3-15(b)所示。圖3-15

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力【例3-3】圖3-16

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力【例3-4】

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力

3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力

3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形由式(3-15)得

dφ表示相距為dx的兩個(gè)橫截面之間的相對(duì)轉(zhuǎn)角，如圖3-12（b)所示。沿軸線(xiàn)x積分，即可求得距離為l的兩橫截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，即

(3-25)若兩截面間的扭矩不變，且軸為等直桿，則式（3-25）中T/GIp為常量，可簡(jiǎn)化為

(3-26)式(3-26)表明，GIp越大，扭轉(zhuǎn)角φ越小，故GIp稱(chēng)為圓軸的抗扭剛度

。有時(shí)，軸內(nèi)各段的扭矩T并不相同，如例3-1的情況；或者各段內(nèi)的極慣性矩Ip不同，如階梯軸。這就需要分段計(jì)算各段的扭轉(zhuǎn)角，然后求代數(shù)和，得兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，即

(3-27)軸類(lèi)零件除應(yīng)滿(mǎn)足強(qiáng)度要求外，一般還不應(yīng)有過(guò)大的扭轉(zhuǎn)變形。例如，若車(chē)床絲桿扭轉(zhuǎn)角過(guò)大，會(huì)影響車(chē)刀進(jìn)給，降低加工精度；若發(fā)動(dòng)機(jī)的凸輪軸扭轉(zhuǎn)角過(guò)大，將會(huì)影響氣閥開(kāi)關(guān)時(shí)間；若銼床的主軸或磨床的傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)角過(guò)大，將引起扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，影響工件的精度和光潔度。所以，要限制某些軸的扭轉(zhuǎn)變形。

3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形由式(3-26)表示的扭轉(zhuǎn)角與軸的長(zhǎng)度l有關(guān)。為消除長(zhǎng)度的影響，用φ′表示單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角，單位為“弧度／米（rad/m）”。由式(3-15)得

(3-28)扭轉(zhuǎn)的剛度條件就是限定φ′的最大值不得超過(guò)規(guī)定的允許值φ′，即

(3-29)工程中，習(xí)慣用“度／米°/m”作為φ′的單位。這樣式中的弧度換算成度，得

3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形將例3-3和例3-4進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，在重量不變的情況下，空心軸具有較大的Ip，即剛度較大。因此，若保持Ip不變，則空心軸比實(shí)心軸用料少、重量輕。故飛機(jī)、輪船、汽車(chē)的某些軸常采用空心軸。車(chē)床主軸采用空心軸時(shí)，既提高了強(qiáng)度和剛度，又便于加工長(zhǎng)工件。當(dāng)然，將直徑較小的長(zhǎng)軸加工成空心軸，由于工藝復(fù)雜，反而增加成本。此外，空心軸體積較大，占用空間較大。如空心軸壁太薄，還需要考慮扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定性。因此，在設(shè)計(jì)軸時(shí)，應(yīng)當(dāng)綜合考慮多方因素，不能在任何情況下都采用空心圓軸。

3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形【例3-5】圖3-14

3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形解：根據(jù)軸上外力偶矩的大小，可算出AB段和BC段的扭矩。其值分別為

T1=22kN·m

T2=－14kN·m繪制扭矩圖，如圖3-17（b)所示。

雖然AB段的扭矩最大，但兩段軸的直徑不同，需要分別校核其強(qiáng)度。因此，該軸滿(mǎn)足扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度要求。

3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形【例3-6】

3.5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念3.6.1如圖3-18（a）所示，取矩形截面桿，扭轉(zhuǎn)前在外表面繪出橫截面的圓周線(xiàn)和與軸線(xiàn)平行的縱向線(xiàn)，然后使之產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。扭轉(zhuǎn)后，橫截面的周邊線(xiàn)變成了空間曲線(xiàn)，如圖3-18（b)所示。由此推斷橫截面不再保持平面，即原來(lái)的橫截面扭轉(zhuǎn)變形后變?yōu)榍妫礄M截面發(fā)生了翹曲。橫截面翹曲是非圓截面桿扭轉(zhuǎn)變形的重要特征。顯然以平面假設(shè)為基礎(chǔ)的圓桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力和變形計(jì)算公式，對(duì)非圓截面桿不再適用。

3.6非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)圖3-18(a)所示的矩形截面桿發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，變形不受約束，橫截面可以自由翹曲，這種變形稱(chēng)為自由扭轉(zhuǎn)。其變形特點(diǎn)是：各橫截面翹曲程度相同，橫截面之間的縱向纖維長(zhǎng)度不變，橫截面上只有切應(yīng)力，沒(méi)有正應(yīng)力。圖3-18

3.6非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)圖3-19(a)所示的工字形截面桿的變形也是自由扭轉(zhuǎn)。如圖3-19（b)所示，將左端固定，右端加外力偶使之發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。圖3-19

3.6非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)由于左端面受到約束不能翹曲，而右端面可自由翹曲，因此從左至右的各橫截面的翹曲程度逐漸加大，這種受到約束而導(dǎo)致橫截面不能自由翹曲的扭轉(zhuǎn)稱(chēng)為約束扭轉(zhuǎn)

。由于相鄰橫截面的翹曲程度不同，縱向纖維將發(fā)生伸縮變形，橫截面上出現(xiàn)正應(yīng)力。不過(guò)對(duì)于矩形截面或橢圓形截面等實(shí)體桿件，約束扭轉(zhuǎn)引起的橫截面正應(yīng)力很小，可以忽略不計(jì)。但對(duì)于像工字鋼、槽鋼等薄壁桿件，約束扭轉(zhuǎn)引起的橫截面正應(yīng)力很大，不能忽略。

3.6非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)3.6.2某矩形截面桿發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形后，其橫截面上的切應(yīng)力分布如圖所示。

3.6非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)設(shè)發(fā)生應(yīng)力集中的截面上的最大應(yīng)力為σmax，同一截面上的平均應(yīng)力為σ，則有

(1-10)K稱(chēng)為理論應(yīng)力集中系數(shù)