材料力學(xué)4.1平面彎曲及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖4.2彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用4.5按疊加原理作彎矩圖第4章彎曲內(nèi)力在實(shí)際工程中，存在著大量的受彎構(gòu)件。例如，圖(a)中的橋式吊車梁，圖(b)中的火車輪軸，以及圖（c）中的管線托架等，其所有橫向外力均作用在包含桿件軸線的縱向平面內(nèi)，變形時(shí)，桿件的軸線由直線變?yōu)榍€。

平面彎曲4.1.1

4.1平面彎曲及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖圖4-1一般來說，當(dāng)作用于桿件上的外力垂直于桿件的軸線或在其軸線平面內(nèi)作用有外力偶時(shí)（見圖4-2)，這些桿件的軸線由直線變?yōu)榍€，這種形式的變形稱為彎曲。以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁。圖4-2

4.1平面彎曲及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖工程中常見的梁，其橫截面一般都具有對(duì)稱軸，則全梁有一個(gè)包含軸線和截面對(duì)稱軸的縱向?qū)ΨQ面，當(dāng)所有外力都位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，梁的軸線彎成位于該縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的一條平面曲線（見圖4-2)。這是彎曲問題中最常見的情況，也是最基本的彎曲問題，稱為平面彎曲。材料力學(xué)主要討論平面彎曲問題。

4.1平面彎曲及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖

梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖4.1.2圖4-1所示的各梁，其結(jié)構(gòu)形式、支承情況和載荷作用方式各不相同。為便于討論，有必要將實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，得到梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖。簡(jiǎn)化的前提是能夠反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特征，并且據(jù)此計(jì)算的結(jié)果能夠滿足工程中的精度要求。圖4-1中在各實(shí)際結(jié)構(gòu)圖的下方，繪出了相應(yīng)的計(jì)算簡(jiǎn)圖。實(shí)際工程中，梁的幾何形狀和支承情況是多種多樣的，為了便于分析和計(jì)算，通常以梁的軸線表示梁本身。

4.1平面彎曲及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖（1)固定鉸支座。圖4-3(a)所示是固定鉸支座的簡(jiǎn)化形式。該支座限制梁在載荷平面內(nèi)沿支承面和垂直于支承面方向的移動(dòng)。固定鉸支座有兩個(gè)約束，相應(yīng)有兩個(gè)約束反力，即沿支承面的反力和垂直于支承面的反力。傳動(dòng)軸的止推軸承一般可簡(jiǎn)化為固定鉸支座。梁的支座1.圖4-3

4.1平面彎曲及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖圖4-1(a)、圖4-1(b)所示的通過車輪放置在軌道上的吊車主梁和火車輪軸，因車輪凸緣可限制梁的軸向移動(dòng)，且同一時(shí)刻只有一條鋼軌與凸緣接觸，故其中一條鋼軌可簡(jiǎn)化為固定鉸支座，而另一條鋼軌則視為可動(dòng)鉸支座。

4.1平面彎曲及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖（2)可動(dòng)鉸支座。圖4-3(b)所示是可動(dòng)鉸支座的簡(jiǎn)化形式。該支座限制梁在載荷平面內(nèi)沿垂直于支承面方向的移動(dòng)?？蓜?dòng)鉸支座有一個(gè)約束，相應(yīng)只有一個(gè)約束反力，即垂直于支承面的反力。橋梁的滾軸支承、傳動(dòng)軸的徑向滾動(dòng)軸承等，一般可簡(jiǎn)化為可動(dòng)鉸支座。

4.1平面彎曲及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖（3)固定端。圖4-3(c)所示是固定端約束的簡(jiǎn)化形式。該支座限制梁在載荷平面內(nèi)沿支承面和垂直于支承面方向的移動(dòng)，也限制梁在載荷作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)。固定端約束有三個(gè)約束，相應(yīng)有三個(gè)約束反力，即沿支承面的反力、垂直于支承面的反力和約束反力偶。圖4-1(c)所示的管線托架的固定端、車刀在車床刀架上的壓緊端、鏜刀桿在鏜床中的夾緊端等，一般都可簡(jiǎn)化為固定端約束。

4.1平面彎曲及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖（1)集中力。作用在梁上很小區(qū)域的橫向力，如圖4-1中重物經(jīng)滑輪與小車作用在吊車主梁上的力、火車車廂通過軸承作用在輪軸上的力及管線作用在托架上的力等，都可簡(jiǎn)化為集中力。集中力通常用F表示，常用單位是N或kN。載荷的基本類型2.

4.1平面彎曲及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖（2)分布載荷。連續(xù)作用在梁的一段或整個(gè)長度上的橫向力可簡(jiǎn)化為分布載荷。建筑結(jié)構(gòu)承受的風(fēng)壓、水壓以及梁的自重等是常見的分布載荷。分布載荷的大小用載荷集度q衡量，常用單位是N/mm或kN/m。q為常數(shù)的分布載荷稱為均布載荷。(3)集中力偶。外力偶只作用在承力構(gòu)件與梁連接處的很小區(qū)域上，稱為集中力偶。集中力偶的常用單位是N·m或kN·m。

4.1平面彎曲及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖（1)一端為固定鉸支座，另一端為可動(dòng)鉸支座的梁稱為簡(jiǎn)支梁，如圖4-4(a)所示。（2)一端為固定鉸支座，另一端為可動(dòng)鉸支座，而梁的一端或兩端伸出支座之外的梁稱為外伸梁，如圖4-4(b)、圖4-4(c)所示。簡(jiǎn)支梁或外伸梁的兩個(gè)鉸支座之間的距離稱為跨度。（3)一端固定、另一端自由的梁稱為懸臂梁，如圖4-4(d)所示。靜定梁的基本形式3.

4.1平面彎曲及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖圖4-4

4.1平面彎曲及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖簡(jiǎn)支梁、外伸梁和懸臂梁都屬于靜定梁，即梁的約束力均可由靜力平衡方程完全確定。有時(shí)因工程的需要，為一個(gè)梁設(shè)置較多的支座，因而梁的約束力數(shù)目多于獨(dú)立的靜力學(xué)平衡方程的數(shù)目，這時(shí)僅用靜力學(xué)平衡方程不能完全確定約束力，這種梁稱為超靜定梁。

4.1平面彎曲及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖當(dāng)梁上所有外力均為已知時(shí)，可用截面法分析靜定梁各橫截面上的內(nèi)力。如圖4-5(a)所示，F(xiàn)1、F2和F3為作用于簡(jiǎn)支梁上的外力，F(xiàn)A和FB為兩端的約束力?，F(xiàn)分析距A端為x處橫截面m—m上的內(nèi)力。按截面法沿m—m橫截面假想地將梁截開，分成左右兩段，任選其中一段（如取左半段）為研究對(duì)象，如圖4-5（b)所示。由于整個(gè)梁處于平衡狀態(tài)，故梁的左半段也應(yīng)處于平衡狀態(tài)。在左半段梁上作用有外力FA與F1，為了保持左半段梁的平衡，m—m橫截面上存在彎曲內(nèi)力。4.2彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩為了分析其內(nèi)力，將作用在左半段梁上的所有外力均向截面的形心C簡(jiǎn)化，得主矢FS和主矩M。由于外力均垂直于梁軸，因此主矢FS也垂直于梁軸。由此可見，當(dāng)此梁彎曲時(shí)，橫截面上必然同時(shí)存在兩種內(nèi)力分量：與主矢平衡的內(nèi)力（稱為剪力），其作用線與橫截面相切，用FS表示，它是與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力；與主矩平衡的內(nèi)力偶矩（稱為彎矩），作用在過梁軸線的平面內(nèi)，用M表示，它是與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩。剪力和彎矩同為橫截面上的內(nèi)力，可由左半段梁的靜力學(xué)平衡方程來確定。4.2彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩圖4-54.2彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩根據(jù)左半段梁的靜力學(xué)平衡方程∑Fy=0，F(xiàn)A－F1－FS=0得FS=FA－F1(4-1)即剪力FS的大小等于左半段梁上所有外力的矢量和。再由平衡方程∑MC=0，M+F1(x－a)－FAx=0得M=FAx－F1(x－a)(4-2)即彎矩M等于左半段梁上所有外力對(duì)形心C的矩的矢量和。4.2彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩同理，如果以右半段梁為研究對(duì)象［見圖4-5（c)］，并根據(jù)右半段梁的靜力學(xué)平衡條件計(jì)算m—m橫截面上的內(nèi)力，將得到與式(4-1)、式(4-2)相同的剪力和彎矩。即無論取左半段為研究對(duì)象，還是取右半段為研究對(duì)象，通過靜力學(xué)平衡方程計(jì)算同一橫截面上的剪力FS和彎矩M，其數(shù)值是相同的，但符號(hào)相反。4.2彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩為使上述兩種算法得到的同一橫截面上的剪力和彎矩的數(shù)值相同，而且符號(hào)也一致，須按照梁的變形情況來規(guī)定它們的正負(fù)號(hào)?，F(xiàn)規(guī)定：從梁內(nèi)欲求內(nèi)力的截面附近取微梁段，凡使該微段發(fā)生左上右下的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)，橫截面上的剪力為正［見圖4-6（a)］，反之為負(fù)；使微段彎曲呈凹形的彎矩為正［見圖4-6（b)］，反之為負(fù)。按此規(guī)定，圖4-5（b）、圖4-5（c）所示的剪力與彎矩均為正值。4.2彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩圖4-64.2彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩

根據(jù)上述關(guān)于符號(hào)的規(guī)定，一個(gè)截面上的剪力和彎矩?zé)o論用這個(gè)截面左側(cè)還右側(cè)的外力來計(jì)算，所得結(jié)果的數(shù)值和符號(hào)都是一樣的。上述結(jié)論可歸納為一個(gè)簡(jiǎn)單的口訣：“左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正”。4.2彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩綜上所述，可將計(jì)算剪力和彎矩的方法總結(jié)如下：（1)根據(jù)梁的整體平衡方程計(jì)算約束力。（2)在欲求內(nèi)力的橫截面處，假想將梁截開，并任選一段來研究。為計(jì)算方便，通常取外力比較簡(jiǎn)單的一段梁為研究對(duì)象。（3)畫出所選梁段的受力圖，圖中剪力FS和彎矩M均假設(shè)為正。（4)由平衡方程∑Fy=0計(jì)算剪力FS。（5)由平衡方程∑MC=0計(jì)算彎矩M，其中C為所截橫截面的形心。4.2彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩【例4-1】4.2彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩解：（1）計(jì)算支反力。設(shè)支座A、B處的約束反力分別為FA、FB。由靜力學(xué)平衡方程4.2彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩（2）計(jì)算Ⅰ—Ⅰ截面的剪力與彎矩。沿截面Ⅰ—Ⅰ將梁假想地截開，并選左段為研究對(duì)象，如圖4-7(b)所示。由平衡條件得∑Fy=0，F(xiàn)A－FS1=0∑MC1=0，F(xiàn)A×1m－M1=0分別求得截面Ⅰ—Ⅰ的剪力和彎矩為

FS1=1.5kNM1=1.5kN·mFS1、M1的值都為正值，表示FS1M1的實(shí)際方向與圖4-7(b)中所示方向相同。4.2彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩（3）計(jì)算Ⅱ—Ⅱ截面的剪力和彎矩。沿截面Ⅱ—Ⅱ?qū)⒘杭傧氲亟亻_，并選受力較少的右段為研究對(duì)象，如圖4-7(c)所示。由平衡條件得∑Fy=0，F(xiàn)S2－q×1m=0∑MC2=0，M2+q×1m×0.5m=0分別求得截面Ⅱ—Ⅱ的剪力和彎矩為

FS2=2kNM2=－1kN·mM2為負(fù)號(hào)，表示M2的實(shí)際方向與圖4-7(c)中所示方向相反。4.2彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩【例4-2】圖4-84.2彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩解：(1)求約束力。設(shè)FA、FB方向向上，由靜力學(xué)平衡方程得

FA=10kN，F(xiàn)B=10kN(2)求指定截面的剪力和彎矩。取1—1截面的左半段梁為研究對(duì)象，得4.2彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩取3—3截面的右半段梁為研究對(duì)象，得

取4—4截面的右半段梁為研究對(duì)象，得4.2彎曲內(nèi)力——剪力與彎矩一般情況下，在梁的不同橫截面上，剪力與彎矩均不相同，即剪力與彎矩是沿梁軸線變化的。為了描述剪力與彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律，沿梁軸線選取坐標(biāo)x表示橫截面的位置，則各截面上的剪力、彎矩皆可表示為坐標(biāo)x的函數(shù)，即

FS=FS(x)

M=M(x)

上述函數(shù)表達(dá)式分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程。

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖為了形象地顯示剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律，可根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪出梁的剪力圖和彎矩圖，作圖方法與繪制軸力圖或扭矩圖相似。即以x為橫坐標(biāo)軸，表示橫截面的位置，以FS或M為縱坐標(biāo)軸，按適當(dāng)?shù)谋壤叻謩e繪制剪力、彎矩沿梁軸線變化的規(guī)律。繪制剪力圖和彎矩圖時(shí)，通常規(guī)定正剪力和正彎矩畫在x軸的上側(cè)，負(fù)剪力和負(fù)彎矩畫在x軸的下側(cè)。（注：土木類專業(yè)正彎矩畫在x軸的下側(cè)，負(fù)彎矩畫在x軸的上側(cè)，在以后內(nèi)容中不再單獨(dú)繪制）。

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖【例4-3】圖4-9

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖解：(1)計(jì)算約束力。均布載荷合力為FR=ql，其作用在梁中點(diǎn)，故A端和B端的約束力為

(2)建立剪力方程和彎矩方程。以梁左端A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取距左端為x的任意截面，根據(jù)截面左側(cè)梁上的外力，由圖4-9(b)可得梁的剪力方程和彎矩方程分別為

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖(3)作剪力圖和彎矩圖。由式(Ⅰ)知，剪力FS為x的一次函數(shù)，故剪力圖為一條斜直線，確定其上兩個(gè)端點(diǎn)即可作出圖4-9（c）所示的剪力圖。

由式(Ⅱ)知，彎矩M為x的二次函數(shù)，故彎矩圖為一條拋物線。為了畫出此拋物線，確定其上至少三個(gè)點(diǎn)即可作出圖4-9（d）所示的彎矩圖。

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖由剪力圖和彎矩圖可以看出：在剪力為零的截面處，彎矩取得極值；在梁段范圍內(nèi)，分布載荷為線性均勻分布，即水平直線，剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖【例4-4】圖4-10

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖(2)建立剪力方程和彎矩方程。由于在截面C處作用有集中載荷F，AC和BC兩段的剪力和彎矩不能用同一方程來表示，應(yīng)分段建立剪力方程與彎矩方程。對(duì)于AC段，選A點(diǎn)為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸x1向右為正，由圖4-10(b)可知，該段梁的剪力與彎矩方程分別為

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖對(duì)于BC段，為計(jì)算方便，選B點(diǎn)為原點(diǎn)，并用坐標(biāo)x2表示橫截面位置，則由圖4-10(c)可知，該段梁的剪力方程與彎矩方程分別為(3)作剪力圖和彎矩圖。根據(jù)式(Ⅰ)和式(Ⅱ)作剪力圖，如圖4-10(d)所示；根據(jù)式(Ⅱ)和式(Ⅳ)作彎矩圖，如圖4-10(e)所示。由圖可看出，在集中載荷F作用的C截面的彎矩最大，其值為

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖【例4-5】

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖解：(1)建立剪力方程和彎矩方程。由于在截面C處作用著集中外力偶Me，故應(yīng)將梁分成AC和CB兩段。選A為原點(diǎn)，對(duì)于AC段，坐標(biāo)x1表示截面位置，可以看出，AC段的剪力方程和彎矩方程分別為

(2)作剪力圖和彎矩圖。根據(jù)式(Ⅰ)、式(Ⅲ)作剪力圖，如圖4-11（b)所示；根據(jù)式(Ⅱ)、式(Ⅳ)作彎矩圖，如圖4-11（c)所示。

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖由剪力、彎矩圖可以看出，在集中外力偶作用處，彎矩發(fā)生突變，突變量等于此外力偶之矩|MC右－MC左|=|0－Fa|=Me，從左向右觀察，外力偶上臺(tái)階向正向突變，外力偶下臺(tái)階則向負(fù)向突變；集中外力偶對(duì)剪力無影響。

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖【例4-6】圖4-12

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖

(2)建立剪力方程和彎矩方程。梁截面C處，既是集中載荷作用處，也是分布載荷的不連續(xù)處，故應(yīng)將梁分為AC、CB兩段。對(duì)于AC段，取A點(diǎn)為原點(diǎn)，坐標(biāo)x1表示截面位置，則AC段的剪力方程和彎矩方程分別為

(Ⅰ)(Ⅱ)對(duì)于CB段，取B點(diǎn)為原點(diǎn)，坐標(biāo)x2表示截面位置，則CB段的剪力方程和彎矩方程分別為

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖【例4-7】圖4-13(2)建立剪力方程和彎矩方程。選坐標(biāo)x1、x2，如圖4-13(a)所示。則梁AB段、BC段的剪力方程和彎矩方程分別為

AB段：BC段：

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖

(3)作剪力圖和彎矩圖。根據(jù)上述方程可作出剪力圖和彎矩圖，分別如圖4-13(b)與圖4-13(c)所示，其中在梁BC段中點(diǎn)D截面上，F(xiàn)SD=FS2(a)=q(a－a)=0，彎矩取極值，即

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖通過以上各例題，現(xiàn)將剪力圖和彎矩圖的繪制步驟歸納如下：（1)求解約束力。（2)劃分梁段，并列出各段的剪力方程和彎矩方程。若梁受多個(gè)外載荷作用，須先將梁分成若干段分析。支座、集中力和集中力偶的作用點(diǎn)、分布載荷的起點(diǎn)與終點(diǎn)等，應(yīng)作為段與段的分界點(diǎn)。（3)根據(jù)各段梁的剪力方程和彎矩方程，作梁的剪力圖和彎矩圖。在圖上須注明各個(gè)控制截面上剪力或彎矩的數(shù)值。所謂控制截面，是指梁的端截面、各段梁的分界面以及極值剪力和極值彎矩所在的截面。

4.3彎曲內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用如圖4-14(a)所示，以梁的左端為坐標(biāo)原點(diǎn)建立正交直角坐標(biāo)系。梁上分布載荷的集度q(x)是x的連續(xù)函數(shù)，并將向上作用的分布載荷q(x)規(guī)定為正。從梁中取出長為dx的微梁段，并放大，如圖4-14(b)所示。微梁段左側(cè)x截面上的剪力和彎矩分別是FS(x)和M(x)。微梁段右側(cè)x+dx截面上的剪力為FSx+dx=FS(x)+dFS(x)，彎矩為Mx+dx=M(x)+dM(x)。根據(jù)符號(hào)規(guī)則，微梁段dx上的各內(nèi)力皆取正值，且設(shè)dx微梁段內(nèi)沒有集中力和集中力偶。由于梁處于平衡狀態(tài)，故截出的微梁段也應(yīng)處于平衡狀態(tài)。這樣，根據(jù)靜力學(xué)平衡方程∑Fy=0，得圖4-14

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用根據(jù)上述導(dǎo)數(shù)關(guān)系，容易得出以下規(guī)律，有利于繪制或校核剪力圖和彎矩圖。(1)當(dāng)某梁段內(nèi)無分布載荷作用，即q(x)=0時(shí)。由

可知，在該梁段內(nèi)FS(x)＝常數(shù)，即剪力圖是平行于x軸的直線。由

=常數(shù)可知，M(x)是x的一次函數(shù)，即彎矩圖是一條斜直線。特殊情況：當(dāng)FS(x)=0時(shí)，彎矩圖為一條水平線。

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用式（4-6）和式（4-7）表明，對(duì)于圖414所示的坐標(biāo)系，當(dāng)x2>x1時(shí)，任意兩截面上的剪力之差等于兩截面間分布載荷所覆蓋的面積；任意兩截面上的彎矩之差等于兩截面間剪力圖所覆蓋的面積。以上所述的關(guān)系，亦稱為面積增量法，此方法對(duì)繪制與校核剪力圖和彎矩圖非常有效。

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用

(5)在集中外力作用處，剪力發(fā)生突變，突變量等于此外力數(shù)值的大小，突變方向與此外力作用的方向一致；彎矩圖在該處有一個(gè)尖角；在集中外力偶作用處，彎矩發(fā)生突變，突變量等于此外力偶之矩，從左向右觀察，外力偶上臺(tái)階向正向突變，外力偶下臺(tái)階則向負(fù)向突變；集中外力偶對(duì)剪力無影響。

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用【例4-8】圖4-15

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用求得約束力之后，根據(jù)梁所受的外力，可以將梁分為四段，即CA、AD、DB和BE如圖4-15（a)所示。在CA、AD兩段，因無均布載荷作用，故CA、AD兩段的剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線，其中由于AD段剪力為零，故AD段的彎矩圖為特殊的斜直線——水平線。在DB和BE兩段，因有均布載荷作用，故DB和BE兩段的剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用下面就從左至右，利用表4-1給出的特征，直接畫FS、M圖。由于C截面有集中力F作用，故剪力圖在C截面上有突變，方向向下，突變值F=ql；CA段無均布載荷作用，故剪力圖為水平線；A截面有集中力FA作用，故剪力圖有突變，方向向上，突變值FA=ql，剪力由－ql變?yōu)?；AD段無均布載荷作用，剪力圖為水平線；DB段有均布載荷作用，故剪力圖為斜直線，因q是向下作用的，故斜直線也是向下傾斜的，即是遞減的；根據(jù)，且FSD=0，所以FSB=－ql，B截面有集中力FB作用，故剪力圖有突變，方向向上，突變值FB=2ql，剪力由－ql變?yōu)閝l；BE段有均布載荷q作用，故剪力圖為斜直線，因q是向下作用的，故斜直線也是向下傾斜的，且剪力的坐標(biāo)之差為BE段內(nèi)均布載荷所覆蓋的面積，即，所以FSE=0。

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用【例4-9】圖4-15

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用根據(jù)梁所受的外力，將該梁分為四段，即CA、AD、DB和BE。根據(jù)表4-1可知，在CA和BE兩段，剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線；在AD和DB兩段剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線；在A、B兩截面，有集中力FA、FB作用，故剪力圖有突變；在D截面，有集中力偶矩Me作用，故彎矩圖有突變。各截面的坐標(biāo)值可根據(jù)以下方程來確定。最后，從左至右，就可作出全梁的剪力圖和彎矩圖，如圖4-16（b）、圖4-16（c）所示。從圖中可知

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用從上例可以看出，該梁所承受的載荷對(duì)于D截面是反對(duì)稱載荷，則剪力圖對(duì)于D截面正對(duì)稱，而彎矩圖對(duì)于D截面反對(duì)稱。同理可證明，若梁所承受的載荷對(duì)某一截面對(duì)稱，則剪力圖對(duì)該截面反對(duì)稱，而彎矩圖對(duì)該截面正對(duì)稱。

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用【例4-10】

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用由于梁上外力將梁分為四段，因此需分段繪制剪力圖和彎矩圖。因AE、ED、KB三段梁上無分布載荷，即q(x)=0，故該三段梁上的剪力圖為水平直線，彎矩圖為斜直線。應(yīng)當(dāng)注意，在支座A及截面E處有集中力，剪力圖有突變，要分別計(jì)算集中力作用處的左、右兩側(cè)截面上的剪力值。在ED段的中間鉸C處的彎矩為零。DK段q(x)方向向下，即q(x)<0，剪力圖為向右下方傾斜的直線，M圖為向上凸的二次拋物線。在FS=0的截面上彎矩有極值。由各段的剪力值和彎矩值并結(jié)合微積分關(guān)系，便可作出該梁的剪力圖和彎矩圖，分別如圖4-17（b）和圖4-17（c）所示。

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用圖4-17

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用【例4-11】

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用作剪力圖，如圖4-18（b)所示。注意到FSC左=FSC右，C面剪力無突變。圖4-18

4.4載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系及其應(yīng)用（2)作載荷圖。AC段：由剪力圖為水平線知AB梁上q=0，只可能有集中力與力偶作