材料力學6.1彎曲變形概述6.2梁的繞曲線近似微分方程6.3求梁變形的積分法6.4用疊加法計算彎曲變形6.5簡單超靜定梁5.6剛度條件及提高梁彎曲剛度主要措施第6章彎曲變形

工程實例6.1.1在實際工程中，對某些受彎桿件除要有強度要求外，還要對其變形有限制，即要求其具有一定的剛度。若機床的主軸變形過大，不僅影響主軸上齒輪、軸承的正常工作，而且會影響加工的精度，如圖6-1（a）所示；當?shù)踯嚧罅鹤冃芜^大時，將使梁上小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象，而且還會引起梁的強烈振動，如圖6-1（b）所示。

彎曲變形過大對構件是有害的。有些變形雖然在彈性范圍內，但其超過了允許數(shù)值，造成構件不能正常工作，也被認為是一種失效現(xiàn)象。因此，對彎曲變形造成的危害應加以控制。

6.1彎曲變形概述圖6-1

6.1彎曲變形概述工程中雖然常常要限制彎曲變形，要求彈性變形不能過大，但在有些情況下，又要利用彎曲變形達到某些目的。如圖6-2所示，汽車上的疊板彈簧需要較大的變形才能起到緩沖、減振作用。彎曲變形的計算除用于解決彎曲剛度問題外，還用于求解梁的超靜定問題。圖6-2

6.1彎曲變形概述梁除了要滿足強度條件外，還要滿足剛度條件。所謂“剛度條件”就是變形不能超過某一允許值，否則就會影響梁正常的工作。例如，吊車梁變形太大，則會造成梁表面明顯傾斜，以致吊車不能在指定位置靜止。要驗證剛度條件是否滿足要求，就要計算彎曲變形。研究彎曲變形的目的6.1.2驗證剛度條件是否滿足要求1.

6.1彎曲變形概述超靜定梁的支座反力的數(shù)目多于獨立的靜力學平衡方程的數(shù)目，因而不能單靠靜力學平衡方程來確定其大小。要確定這類梁的支座反力的大小，就需要計算梁的彎曲變形。求解超靜定梁2.

6.1彎曲變形概述若梁受到動載荷作用（如受沖擊、振動），則要計算梁在動載荷作用下的應力，也需要計算梁的彎曲變形。求解動載荷問題3.

6.1彎曲變形概述

表示彎曲變形的基本量6.1.3在外力作用下，梁的軸線將發(fā)生彎曲，成為一條光滑連續(xù)的曲線，如圖6-3所示。為描述梁的變形，通常取一直角坐標系，以梁的左端為原點，以變形前的梁軸線為x軸（表示橫截面的位置），以垂直向上的軸為y軸（注：對土建類專業(yè)，以垂直向下的軸為y軸），xy平面為梁的縱向對稱面。在平面彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為xy平面內的一條曲線，稱為撓曲線。圖6-3

6.1彎曲變形概述梁發(fā)生彎曲變形時，各橫截面將同時產生以下兩種形式的位移：（1)線位移——撓度。如圖6-3所示，某懸臂梁變形前的梁軸線AB沿x方向，設載荷F位于xy面內且與y軸平行，這時梁的軸線將彎成位于xy平面內的一條曲線AB′。軸上任意一點C將有豎直位移w=CC′，w代表坐標為x的橫截面的形心沿y軸方向的位移，稱為撓度。由于發(fā)生彎曲變形時梁的中性層既不伸長也不縮短，故C點除了產生豎直位移外，還有x方向的位移，即水平位移。但當撓度遠小于梁長時，梁的撓曲線是一條平坦的曲線，此水平位移與撓度CC′相比可以略去不計。

6.1彎曲變形概述（2)角位移——轉角。在彎曲變形的過程中，梁的橫截面在產生線位移的同時，還將繞其中性軸轉動，即有角位移。梁的橫截面相對其原來位置所轉過的角度θ，稱為該截面的轉角。根據平面假設，轉動后的橫截面仍與撓曲線垂直。因此，截面轉角θ就是撓曲線的法線與y軸的夾角，它應與撓曲線的傾角（撓曲線切線與x軸的夾角）相等。撓度和轉角的正負號，根據所選取的坐標而定。在圖6-3所示的坐標系中，撓度向上為正，從x軸正向到該點斜線逆時針轉角為正（注：對土建類專業(yè)，撓度向下為正值，從x軸正向到該點斜線順時針轉角為正）。

6.1彎曲變形概述

擾度與轉角之間的關系6.1.4撓度w和轉角θ是度量彎曲變形的兩個基本量，它們是隨截面的位置x而變的，故梁的撓曲線可以表示為

w=f(x)(6-1)這個函數(shù)關系稱為梁的撓曲線方程。過撓曲線上任意一點的切線與x軸的夾角的正切，就是撓曲線在該點處的斜率，又因撓曲線是一條平坦的曲線，故θ很?。üこ讨笑取?°~2°），因而有

(6-2)

6.1彎曲變形概述這說明，梁的撓度w和轉角θ之間存在一定關系，即梁任一橫截面的轉角θ近似地等于撓曲線在該截面形心處的斜率。可見，只要知道梁的撓曲線方程，就可以確定任一橫截面的撓度和轉角。

6.1彎曲變形概述

6.2梁的撓曲線近似微分方程力學方面1.將式（5-8）中的Mz、Iz分別簡記為M、I，則有

(6-3)式(6-3)只代表彎矩對變形的影響。由于一般梁的跨度遠大于截面高度，剪力對彎曲變形的影響可以忽略不計，故式（6-3）可推廣于橫力彎曲變形的情況，這時M和1/ρ皆為截面位置x的函數(shù)，即(6-4)數(shù)學方面2.由高等數(shù)學可知，撓曲線w=f(x)上任意一點處的曲率為(6-5)

6.2梁的撓曲線近似微分方程

6.2梁的撓曲線近似微分方程綜合力學、數(shù)學兩方面3.由式（6-4）、式（6-5）得

(6-6)式(6-6)稱為梁的撓曲線微分方程，這是一個二階非線性常微分方程，求解較難。因在實際工程中，梁的變形一般都很小，w′為一個很小的量，(w′)2與１相比可以略去不計，因而式（6-6）可以簡化為

(6-7)根據彎矩符號的規(guī)定，當撓曲線下凸時，M為正，如圖（a）所示；另一方面，在所選定的坐標系中向下凸的曲線的二階導數(shù)w″也為正。反之，當撓曲線向上凸時，M為負，而w″也為負，如圖（b）所示。所以，式(6-7)等號兩端的符號是一致的，即可將其寫成

(6-8)

6.2梁的撓曲線近似微分方程此即梁的撓曲線近似微分方程。之所以稱為近似，是因為略去了剪力對變形的影響，并在式(6-6)中略去了(w′)2（注：對土建類專業(yè)，式(6-8)等號兩端的符號是相反的）。實踐表明，根據式（6-8）所得的結果在工程應用中是足夠精確的。利用它，可得到梁的轉角方程和撓度方程。

6.2梁的撓曲線近似微分方程對于等截面直梁，EI為常數(shù)，式(6-8)可寫成EIw″(x)=M(x)。兩邊同乘以dx，積分一次得轉角方程，即

EIθ(x)=EIw′(x)=∫M(x)dx+C(6-9)再同乘以dx，再次積分得撓曲線方程，即

EIw(x)=∫∫M(x)dxdx+Cx+D(6-10)式中，C、D為積分常數(shù)，可通過梁支承處或某些截面的已知位移條件來確定。

6.3求梁變形的積分法邊界條件6.3.1例如，簡支梁在兩端支座處的撓度為零［見圖（a）］，即在x=0處，wA=0；在x=l處，wB=0；懸臂梁固定端的撓度和轉角均為零［見圖（b）］，即在x=0處，wA=0，θA=0。將這些已知的邊界條件代入式(6-9)和式(6-10)，即可確定積分常數(shù)C和D。

6.3求梁變形的積分法因梁的撓曲線是一條光滑連續(xù)的曲線，不應有圖6-6(a)所示截面左右撓度不等及圖6-6(b)所示截面左右轉角不等的情況，即同一截面的撓度和轉角應滿足其光滑和連續(xù)條件。光滑連續(xù)條件6.3.2圖6-6

6.3求梁變形的積分法注意：對于具有中間鉸的組合梁，在中間鉸左右兩截面的撓度依然應相等，但轉角可不等。根據邊界及光滑連續(xù)條件就可以確定出所有的積分常數(shù)，即可求出撓度方程和轉角方程，這種求梁撓度和轉角的方法稱為積分法。當彎矩方程需要分段建立或彎曲剛度沿梁軸變化，以致其表達式需要分段建立時，撓曲線近似微分方程也需分段建立，而在各段的積分中，將分別包含兩個積分常數(shù)。為了確定這些常數(shù)，除應利用支撐邊界條件外，還應利用分段處撓曲線的連續(xù)、光滑條件。

6.3求梁變形的積分法【例6-1】

6.3求梁變形的積分法

(2)畫撓曲線的大致形狀圖。圖6-7(a)所示梁的彎矩圖如圖6-7(b)所示。AD段的彎矩為正，DC段的彎矩為負，橫截面D的彎矩為零，其橫坐標為xD=8a/5。由此可見，梁受力后，AD段的撓曲線為凹曲線，DC段的撓曲線為凸曲線，而在截面D處，撓曲線存在拐點。在鉸支座A與B處，梁的撓度均為零。此外，在梁段的交界面與截面D處，撓曲線還應滿足連續(xù)、光滑條件。綜合考慮上述兩個方面，可繪出撓曲線的大致形狀，如圖6-7(c)中的虛線所示。

6.3求梁變形的積分法圖6-7

6.3求梁變形的積分法【例6-2】圖6-8

6.3求梁變形的積分法

解：選取坐標系，如圖6-8所示。(1)列彎矩方程。在距原點x處取截面，彎矩方程為

M(x)=－F(l－x)

(2)列撓曲線近似微分方程并積分。由式(6-8)得

EIw″=M(x)=－F(l－x)(Ⅰ)通過一次積分得

(Ⅱ)再次積分得

(Ⅲ)

6.3求梁變形的積分法(3)確定積分常數(shù)。在固定端A，轉角和撓度均應等于零，即x=0處，有

wA=0

w′A=θA=0將邊界條件(6-9)、(6-10)分別代入式(Ⅱ)、(Ⅲ)得

C=0，D=0

6.3求梁變形的積分法(4)建立轉角方程和撓度方程。將所得的積分常數(shù)C和D代入式(Ⅱ)、(Ⅲ)，則轉角方程和撓曲線方程分別為

（Ⅳ）

（Ⅴ）

6.3求梁變形的積分法(5)求最大轉角和最大撓度。由圖6-8可以看出，自由端B處的轉角和撓度絕對值最大。將x=l代入式（Ⅳ）、式（Ⅴ），就得截面B的轉角和撓度分別為

θB為負，表示截面B的轉角為順時針方向；wB為負，表示B點的撓度向下。

6.3求梁變形的積分法【例6-3】圖6-9

6.3求梁變形的積分法解：(1)列彎矩方程。由對稱性可知，梁的約束力相等，其大小為

以A為原點，選取坐標系（見圖6-9），則梁的彎矩方程為

6.3求梁變形的積分法(2)列撓曲線近似微分方程。由式(6-8)得

(Ⅰ)經過一次積分得

(Ⅱ)再次積分得

(Ⅲ)

6.3求梁變形的積分法(3)確定積分常數(shù)。簡支梁的邊界條件是：在兩支座處的撓度為零，即

在x=0處，wA=0(Ⅳ)

在x=l處，wB=0(Ⅴ)將式(Ⅳ)代入式(Ⅲ)，得

D=0

再將式(Ⅴ)代入式(Ⅲ)，得

6.3求梁變形的積分法(4)建立轉角方程和撓度方程。將積分常數(shù)C、D代入式(Ⅱ)和式(Ⅲ)，可得轉角方程及撓度方程為

6.3求梁變形的積分法(5)求最大轉角和最大撓度。由于梁上載荷和邊界條件均對稱于梁跨中點，故梁的撓曲線也必對稱。梁跨中點轉角為零，即

，故最大撓度發(fā)生在梁中點，即

故

又由圖6-9可知，最大轉角發(fā)生在B、A兩截面，它們數(shù)值相等，符號相反，即

故

在以上兩個例題中，彎矩方程只有一個表達式，故在積分時只出現(xiàn)兩個積分常數(shù)C和D

。

6.3求梁變形的積分法【例6-4】圖6-10

6.3求梁變形的積分法解：(1)列彎矩方程。利用靜力學平衡方程，求得約束力為

，

取坐標系（見圖6-10），根據載荷情況，應分兩段列出彎矩方程，即

AC段：

CB段：

6.3求梁變形的積分法

(2)列撓曲線近似微分方程。因兩段梁的彎矩方程不同，故梁的撓曲線的近似微分方程也應分別列出，分成兩段來積分。在CB段積分時，為了能使確定積分常數(shù)的運算得到簡化，對含有(x2－a)一項應以(x2－a)為自變量。最終積分結果見表6-1。表6-1最終積分結果

6.3求梁變形的積分法(3)確定積分常數(shù)。以上積分中出現(xiàn)的四個積分常數(shù)，需要四個條件來確定。由于撓曲線應該是一條光滑連續(xù)的曲線，因此，在AC和CB兩段的交界截面C處，兩段應有相同的轉角和撓度，即

x1=x2=a時，w1=w2

在式(Ⅰ)、式(Ⅱ)、式(Ⅲ)和式(Ⅳ)中，令x1=x2=a，并利用上述的連續(xù)性條件，可得

C1=C2，D1=D2

此外，梁在A、B兩端的邊界條件為x1=0時，w1=0;x2=l時，w2=0。將其分別代入式（Ⅱ）、式（Ⅳ）得

6.3求梁變形的積分法

(4)建立轉角方程和撓度方程。將所求得的四個積分常數(shù)代入(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)、(Ⅳ)四式，得轉角方程和撓度方程，見表6-2。

6.3求梁變形的積分法(5)求最大轉角和最大撓度。最大轉角：在式(Ⅴ)中令x1=0，在式(Ⅶ)中令x2=l，則梁在A、B兩端的截面轉角分別為

當a>b時，θB便為最大轉角。

6.3求梁變形的積分法

6.3求梁變形的積分法

6.3求梁變形的積分法可見，在簡支梁中，只要撓曲線上無拐點，便可用跨度中點的撓度來代替最大撓度，且不會引起很大誤差。

6.3求梁變形的積分法（1）分段對撓曲線近似微分方程進行積分。確定積分常數(shù)。根據x坐標值，用相應段的轉角方程和撓度方程確定所求截面處的轉角和撓度。列出梁上各段的彎矩方程，并建立撓曲線近似微分方程。（2）（3）（4）用積分法求梁的變形的步驟

6.3求梁變形的積分法積分法是求梁變形的基本方法，其優(yōu)點是可以直接運用數(shù)學方法求得轉角方程和撓度方程。但當只需確定某些特殊截面的轉角和撓度時，積分法就顯得過于麻煩。為此，將梁在簡單載荷作用下的變形列入表6-3中，以便直接查用。

6.3求梁變形的積分法在彎曲變形很小，且材料服從胡克定律的情況下，式(6-8)是彎矩的線性函數(shù)，彎矩與載荷的關系也是線性的。因此，對應于多種不同的載荷，彎矩可以疊加，因而式(6-8)的解也可疊加，即當多個載荷共同作用在梁上時，可分別求出每個載荷單獨作用時引起的變形，然后把所得的變形疊加，便得到這些載荷共同作用時的變形。這就是計算彎曲變形的疊加法。

6.4用疊加法計算彎曲變形疊加法6.4.1圖6-12中的梁，任一截面的彎矩為

即

圖6-12

6.4用疊加法計算彎曲變形當載荷更復雜時，任一截面的彎矩將為

對于跨度及邊界條件相同的梁，由撓曲線近似微分方程可得截面轉角

(6-11)截面撓度

(6-12)

6.4用疊加法計算彎曲變形計算梁位移的另一重要方法是逐段分析求和法。例如，為了計算圖6-13（a）所示梁橫截面C的撓度wC，可將該梁看作是由簡支梁AB與固定在橫截面B的懸臂梁BC所組成的，當簡支梁AB與懸臂梁BC發(fā)生變形時，均在截面C引起撓度，這兩個撓度的代數(shù)和即該截面的總撓度wC。

6.4用疊加法計算彎曲變形逐段分析求和法6.4.2圖6-13為了分析簡支梁AB的變形，將分布載荷q平移到截面B，得作用在該截面的集中力qa與矩為qa2/2的附加力偶［見圖6-13（b）］，于是得截面B的轉角為

6.4用疊加法計算彎曲變形上述分析方法的要點是：首先分別計算各梁段的變形在需求位移處引起的位移，然后計算其代數(shù)和，即得需求之位移。在分析各梁段的變形在需求位移處引起的位移時，除所研究的梁段發(fā)生變形外，其余各梁段均視為剛體。例如，在計算撓度w1時［見圖6-13（b）］，即只將梁段AB視為變形體，而將梁段BC視為剛體。

6.4用疊加法計算彎曲變形疊加法與逐段分析求和法有其共同點，即均為綜合應用已有的計算結果。不同的是，前者是分解載荷，后者是分解梁，前者的理論基礎是力作用的獨立性原理，而后者的根據則是梁段局部變形與梁總體位移間的幾何關系。但是，由于在實際求解時常將兩種方法聯(lián)合應用，所以習慣上又將此兩種方法統(tǒng)稱為疊加法。

6.4用疊加法計算彎曲變形【例6-6】

6.4用疊加法計算彎曲變形【例6-7】圖6-15

6.4用疊加法計算彎曲變形解：由圖6-15(b)及表6-3可知，當載荷F1單獨作用時，橫截面B的轉角與撓度分別為

可見，由于載荷F1的作用，截面C的撓度為(Ⅰ)當載荷F2單獨作用時［見圖6-15（c）］，截面C的撓度為(Ⅱ)

根據疊加法，由式(Ⅰ)與(Ⅱ)得截面C的撓度為

6.4用疊加法計算彎曲變形【例6-8】圖6-16

6.4用疊加法計算彎曲變形

解：設想沿截面B將外伸梁分成兩部分。AB部分成為簡支梁，如圖6-16(c)所示。梁上除集中力F2外，在截面B上還有剪力FS和彎矩M，且FS=F1，M=F1a。剪力FS直接傳遞于支座B，不引起變形。在彎矩M作用下，由表6-3查出截面B的轉角為

在F2作用下，由表6-3查出截面B的轉角為

6.4用疊加法計算彎曲變形右邊的負號表示在截面B處由F2引起的轉角是順時針的。疊加θB，M和θB，F(xiàn)2

，得M和F2共同作用下截面B的轉角為

這也就是圖6-16(b)中外伸梁在截面B的轉角。單獨由這一轉角引起C點向上的撓度是

6.4用疊加法計算彎曲變形首先，把BC部分作為懸臂梁，如圖6-16(d)所示。在F1作用下，由表6-3查出點C的撓度是

其次，把外伸梁的BC部分看作是整體轉動了一個θB

的懸臂梁，于是C點的撓度是wC1和wC2的疊加，故有

6.4用疊加法計算彎曲變形【例6-9】圖6-17

6.4用疊加法計算彎曲變形由變形的對稱性可以看出，跨度中點截面C的轉角為零，撓曲線在C點的切線是水平的。故可以把梁的CB段看成是懸臂梁［見圖6-17（b）］，自由端B的撓度|wB|也就等于原來AB梁的跨度中點撓度|wC|，而|wB|可用疊加法求出。由疊加原理可知，圖6-17(b)中兩個載荷共同作用下引起的B點撓度等于兩個載荷分別單獨作用時，引起B(yǎng)點撓度的代數(shù)和，如圖6-17（c）、圖6-17（d）所示。由表6-3可知，作用在B點的載荷引起的B點撓度為

6.4用疊加法計算彎曲變形

6.4用疊加法計算彎曲變形超靜定梁的概念6.5.1

6.5簡單超靜定梁簡支梁、懸臂梁或外伸梁，其約束反力數(shù)目共三個，而平面力系的獨立平衡方程也有三個。因此這類梁的約束反力由靜力平衡方程就能確定，稱為靜定梁。如果梁的約束反力的數(shù)目多于靜力平衡方程的數(shù)目，梁的約束反力不能單靠靜力平衡方程確定，這樣的梁稱為超靜定梁。要求解超靜定問題，除了靜力平衡方程外，還要根據變形協(xié)調條件，補充足夠方程，使未知反力數(shù)目與方程式數(shù)目相等。在超靜定梁中，凡是多于維持平衡所必需的約束均稱為多余約束，與其相應的約束力稱為多余約束力。顯然，超靜定梁的超靜定次數(shù)即等于多余約束或多余約束力的數(shù)目。如圖(a)、圖(b)所示的梁即分別為一次與二次超靜定梁。

6.5簡單超靜定梁變形比較法解超靜定梁6.5.2解超靜定梁的方法與解拉壓超靜定問題類似，除應建立平衡方程外，還應利用變形協(xié)調條件及力與位移間的物理關系，以建立補充方程。建立補充方程是解超靜定梁問題的關鍵。現(xiàn)以圖6-19(a)所示梁為例，說明分析超靜定梁的基本方法。圖6-19

6.5簡單超靜定梁該梁具有一個多余約束，即具有一個多余約束力。如果選擇支座B為多余約束，則相應的多余約束力為FB。為了求解，假想地將支座B解除，而以約束力FB代替其作用，于是得一段承受均布載荷q與未知約束力FB的靜定懸臂梁，如圖6-19（b）所示。多余約束解除后，所得的受力與原超靜定梁相同的靜定梁，稱為原超靜定梁的相當系統(tǒng)或基本靜定基。這樣，就將一個承受均布載荷的超靜定梁變換為一個形式上的靜定梁來處理。

6.5簡單超靜定梁相當系統(tǒng)在載荷q與多余約束力FB作用下發(fā)生變形，為了使其變形與原超靜定梁相同，在多余約束處的位移必須符合原超靜定梁在該處的約束條件。在本例中，即要求相當系統(tǒng)橫截面B的撓度wB，由此得變形協(xié)調條件為

wB=0由疊加法或積分法可知，相當系統(tǒng)截面B的撓度為

6.5簡單超靜定梁由wB=0可得

此即補充方程。由此得

所得結果為正，說明所設約束力FB的方向與實際情況相同。多余約束力確定后，再利用平衡方程，其他約束力即可迎刃而解。梁的平衡方程為

由此得固定端的約束力為

6.5簡單超靜定梁以上求解超靜定問題的方法，稱為變形比較法。分析表明，求解超靜定梁的關鍵在于確定多余約束力，其方法和步驟可概述如下：(1)根據未知約束力與有效平衡方程的數(shù)目，判斷梁的超靜定次數(shù)。(2)解除多余約束，并以相應多余約束力代替其作用，得原超靜定梁的相當系統(tǒng)。(3)計算相當系統(tǒng)在多余約束處的位移，并根據相應的變形協(xié)調條件和物理關系建立補充方程。(4)補充方程與平衡方程聯(lián)立解出所有約束力。

6.5簡單超靜定梁由此即可通過相當系統(tǒng)計算超靜定梁的內力、應力與位移等。求解超靜定問題的方法有多種，以力為未知量的方法稱為力法，變形比較法屬于力法中的一種。

6.5簡單超靜定梁【例6-10】圖6-20

6.5簡單超靜定梁該梁為一次超靜定梁，如果以支座B為多余約束，F(xiàn)B為多余約束力，則相當系統(tǒng)如圖6-20(b)所示，而變形協(xié)調條件為橫截面B的撓度為零，即

wB=0或式中，wB，F(xiàn)與wB，F(xiàn)B分別代表載荷F與多余約束力FB單獨作用時截面B的撓度。

6.5簡單超靜定梁應該指出，選擇哪個約束作為多余約束并不是固定的，可根據解題時的具體情況而定。只要不是限制剛體位移所必需的約束，均可作為多余約束。選取的多余約束不同，相應的相當系統(tǒng)的形式和變形協(xié)調條件也隨之而異。對于圖6-19(a)的所示超靜定梁，也可將固定端處限制截面A轉動的約束作為多余約束。于是，若將該約束解除，并以力偶矩MA代替其作用，則原超靜定梁的相當系統(tǒng)如圖6-19(c)所示，而相應的變形協(xié)調條件為橫截面A的轉角為零，即

θA=0由此求得的約束力與約束力偶矩與上述解答完全相同。

6.5簡單超靜定梁

6.5簡單超靜定梁(2)強度校核。多余約束力FB確定之后，根據平衡方程求出鉸支座A與B的約束力，并作出彎矩圖，如圖6-20(c)所示?？梢姡旱淖畲髲澗貫?/p>

由此得梁的最大彎曲正應力為上述計算表明，梁的強度符合要求。

6.5簡單超靜定梁【例6-11】圖6-21

6.5簡單超靜定梁解：(1)求解多余約束力。該結構屬于一次超靜定結構，需要建立一個補充方程才能求解。如果選擇鉸鏈B為多余約束予以解除，并以相應多余約束力FR代替其作用，則原結構的相當系統(tǒng)如圖6-21(b)所示。在多余約束力FR的作用下，桿CB的橫截面B鉛垂下移；在載荷F與多余約束力FR作用下，梁AB的橫截面B也應鉛垂下移。設前一位移為w1，后一位移為w2，則變形協(xié)調條件為

w1=w2(Ⅰ)

6.5簡單超靜定梁

6.5簡單超靜定梁剛度條件6.6.1在按強度條件選擇了梁的截面后，往往還需對梁進行剛度校核。若梁的位移超過了規(guī)定的限度，則其正常工作條件就得不到保證。例如，橋梁的撓度過大，則在機車通過時將發(fā)生很大的震動。在土建結構中，通常對梁的撓度加以限制。在機械制造中，往往對撓度和轉角都有一定的限制。例如，機床主軸的撓度過大，將影響其加工精度；傳動軸在支座處轉角過大，將使軸承發(fā)生嚴重的磨損等。

6.6剛度條件及提高梁彎曲剛度的主要措施工程中根據不同的需要，常限制梁的最大撓度和最大轉角或特定截面的撓度和轉角，使其不超過某一規(guī)定數(shù)值。即梁的剛度條件為

|w|max≤［w］(6-13)|θ|max≤［θ］(6-14)式中，|w|max和|θ|max分別為梁的最大撓度和最大轉角；［w］和［θ］分別為規(guī)定的許可撓度和許可轉角。［w］及［θ］的數(shù)值由具體工作條件決定，例如：

6.6剛度條件及提高梁彎曲剛度的主要措施一般用途的軸［w］=(0.0003~0.0005)l剛度要求較高的軸［w］=0.0002l在滑動軸承處［θ］=0.001rad在向心軸承處［θ］=0.005rad起重機大梁［w］=(0.001~0.002)l發(fā)動機凸輪軸［w］=0.05~0.06mm其中，l是跨度。在設計時應參照有關規(guī)范確定［w］及［θ］的值。應當指出，一般工程中的構件，強度要求如能滿足，剛度條件一般也能滿足。因此，在設計工作中，剛度要求常處于從屬地位。但當對構件的位移限制很嚴或按強度條件所選用的構件截面過于單薄時，剛度條件也可能起控制作用。

6.6剛度條件及提高梁彎曲剛度的主要措施【例6-12】

6.6剛度條件及提高梁彎曲剛度的主要措施圖6-22

6.6剛度條件及提高梁彎曲剛度的主要措施

解：首先，按正應力強度選擇槽鋼型號。作梁的彎矩圖［見圖6-22(c)］，則最大彎矩值為

Mmax=62.4kN·m按正應力強度條件，梁所需的彎曲截面系數(shù)為

6.6剛度條件及提高梁彎曲剛度的主要措施

6.6剛度條件及提高梁彎曲剛度的主要措施

6.6剛度條件及提高梁彎曲剛度的主要措施最后，校核梁的剛度條件。由于梁上各集中載荷的指向相同，其撓曲線無拐點，故可將梁跨中點C處的撓度w