/第四章圖形的相似訓(xùn)練一、單選題1．將一個(gè)三角形的各邊擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則這個(gè)三角形的面積擴(kuò)大為原來(lái)的（

）A．3 B．6 C．9 D．122．如圖，不等臂蹺蹺板的支撐點(diǎn)O到地面的高度為，當(dāng)?shù)囊欢薃碰到地面時(shí)，另一端B到地面的高度為；當(dāng)AB的一端B碰到地面時(shí)，另一端A到地面的高度為（

）A． B． C． D．3．如圖，四邊形和四邊形是位似圖形，位似比為，且四邊形的周長(zhǎng)為36，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A．16 B．24 C．54 D．814．如圖，在中，，D為的中點(diǎn)，交于E，延長(zhǎng)至F，使．若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．5 C． D．5．如圖，在直角坐標(biāo)系中，與是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，位似比為則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)E，F(xiàn)是線段上的一點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)G．若，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)為邊上靠近的三等分點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，則的面積為（

）A．9 B．18 C．32 D．368．一塊矩形的紙片的長(zhǎng)，寬，按照?qǐng)D中的方式將它裁成相同的兩個(gè)矩形，且使裁成的每個(gè)矩形的寬和長(zhǎng)的比與原紙片的寬與長(zhǎng)的比相同，即，則a的值為（

）．A． B． C．2 D．9．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，則與的面積比為（

）A． B． C． D．10．如圖，在正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，且，連接、、，下列結(jié)論：①，②，③，其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題11．已知，且，，則．12．如圖，已知，，如果，那么的長(zhǎng)為．13．一個(gè)數(shù)學(xué)游戲規(guī)則是：如圖，在以同一點(diǎn)為位似中心的三個(gè)位似三角形的頂點(diǎn)處任意填入9個(gè)不同的數(shù)，使每個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)與同一直線上的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)數(shù)之和均相等，則．14．如圖，矩形中，，，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，，，則的最小值是．15．如圖，矩形中對(duì)角線交于點(diǎn)，，點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，連結(jié)分別交于點(diǎn)，若，則的值為．三、解答題16．如圖，在中，是角平分線，E是上一點(diǎn)，且，連接，過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)當(dāng)G為中點(diǎn)時(shí)，求的值．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．(1)以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，畫出．(2)在所給圖形中，以原點(diǎn)為位似中心，位似比為，畫出放大后的圖形；(3)與的周長(zhǎng)比是___________；面積比是___________．18．如圖，矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)．是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)設(shè)的角平分線交于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到的距離；②若，作直線分別交于兩點(diǎn)，求的值．19．如圖，在中，為的中線．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作交折線于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)D重合時(shí)，作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)M，連結(jié)，以為鄰邊構(gòu)造，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)邊的長(zhǎng)為_(kāi)____；(2)連結(jié)，則線段長(zhǎng)度的最小值是_____；(3)作直線，當(dāng)直線垂直于的一條邊時(shí)，求t的值；(4)當(dāng)或與相似，且直線恰好將其面積平分時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．20．如圖，已知點(diǎn)B是的邊AE上的一點(diǎn)，于C，，點(diǎn)D在射線上，，過(guò)D點(diǎn)在射線上方作，．連結(jié)并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)N．(1)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為多少時(shí)，和相似；(2)當(dāng)點(diǎn)M恰好是線段中點(diǎn)時(shí)，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)連結(jié)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．《第四章圖形的相似訓(xùn)練2025—2026學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)》參考答案題號(hào)12345678910答案CDCAACBADD1．C【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方解答．【詳解】解：∵一個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，∴所得三角形與原三角形相似，∵相似三角形的邊長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方，∴這個(gè)三角形的面積擴(kuò)大為原來(lái)的倍．故選：C．2．D【分析】設(shè)點(diǎn)B到地面的距離為，點(diǎn)A端到地面的距離為，根據(jù)題意，得，，，列比例式計(jì)算解答即可．本題考查了三角形相似的應(yīng)用，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)B到地面的距離為，點(diǎn)A端到地面的距離為，根據(jù)題意，得，∴，∴，∵，，∴，∴∴解得，故選：D．3．C【分析】本題考查了位似的相關(guān)知識(shí)，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)比等于相似比．根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可得四邊形和四邊形的周長(zhǎng)比為，即可求解．【詳解】解：∵四邊形和四邊形是位似圖形，位似比為，∴四邊形和四邊形的周長(zhǎng)比為，∵四邊形的周長(zhǎng)為36，∴四邊形的周長(zhǎng)為．故選：C4．A【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，證明是直角三角形是解題關(guān)鍵．利用平行相似證明，從而可得，進(jìn)而證明，再由勾股定理求出．【詳解】解：∵，∴，又∵D為的中點(diǎn)，∴，∴，，∵，∴，∴,∴，，∵，∴，∴，故選A．5．A【分析】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或根據(jù)關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，把A點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以得到C點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：與是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，位似比為3，而，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，即．故選：A．6．C【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理．先根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得到，，再利用平行線分線段成比例定理得出，設(shè)，則，求出x的值，最后通過(guò)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)證明．【詳解】解：在中，，，，，設(shè)，則，，，解得，，平分，，，，，，故選C．7．B【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，四邊形是平行四邊形，，得，，則，可證明，得，則，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：∵點(diǎn)為邊上靠近的三等分點(diǎn)，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故選：B．8．A【分析】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)．注意相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例．由裁出的矩形的寬與長(zhǎng)的比與矩形的寬與長(zhǎng)的比相同，構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知，．由，得，即．∴．開(kāi)平方，得（舍去），故選：A．9．D【分析】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例可知，得到，然后可證，得到，接著根據(jù)題意易證四邊形是平行四邊形，得到，最后由，得到，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，即∴，故選：D．10．D【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，據(jù)此得到，再由，可證明，得到，，進(jìn)而證明，則可證明得到，，由勾股定理得到，則，可得，，可得，據(jù)此可得答案．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴，∴，由正方形的性質(zhì)可得，∴，故①正確；∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，故②正確；在中，由勾股定理得，∴，∴，∵，∴，故③正確，故選：D．11．【分析】本題考查了利用比例的基本性質(zhì)，將、用、表示，再通過(guò)乘法分配律，結(jié)合的值整體代入求解，體現(xiàn)了“用代數(shù)式表示關(guān)系”和“整體代入”的數(shù)學(xué)思想，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程．【詳解】解：，，，，，．故答案為：．12．5【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．由平行線分線段成比例定理可得，進(jìn)而可得，根據(jù)即可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：，，，又，解得：，故答案為：5．13．【分析】此題考查了二元一次方程組和零指數(shù)冪等知識(shí)，根據(jù)題意得到關(guān)于的方程組，求出，根據(jù)零指數(shù)冪即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，解得，∴，故答案為：14．【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，等角的余角相等，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，最短距離問(wèn)題，勾股定理等．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．本題先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，根據(jù)等角的余角相等得出，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出，作交于點(diǎn)N，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接，可得，，根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)得出，，，根據(jù)直角三角形兩銳角互余和等角的余角相等得出，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出，即可求出，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短得出當(dāng)點(diǎn)B、G、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為，結(jié)合勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，四邊形是矩形，∴，，∴，又∵，，∴，∴，即，作交于點(diǎn)N，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)H，連接，如圖：則，，∵，又∵，，∴四邊形是矩形，四邊形是矩形，∴，，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，∴，，∴，故當(dāng)點(diǎn)B、G、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為．在中，，故答案為：．15．【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，，，根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形外角的性質(zhì)可得出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形外角的性質(zhì)可得出，根據(jù)等角對(duì)等邊得出，根據(jù)比的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，則，，在中根據(jù)勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：連接，∵矩形，∴，，，，∴，又，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．16．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線等知識(shí)，熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．(1)由可證，可得，，由平行線的性質(zhì)可得，可得，且，可證四邊形是菱形；(2)證明是的中位線，得，根據(jù)菱形的性質(zhì)證明，利用相似三角形面積比等于相似比的平方即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：平分，，且，，∴，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）為中點(diǎn)，，為中點(diǎn)，是的中位線，，由（1）知：四邊形是菱形，，，，，，，17．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)；【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變換-旋轉(zhuǎn)，熟練掌握作旋轉(zhuǎn)圖形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作位似圖形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖求解即可；（2）根據(jù)位似的性質(zhì)作圖即可；（3）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求作：（2）解：如圖，即為所求作：（3）解：∵與的位似比為，∴與的周長(zhǎng)比是，面積比是．故答案為：；．18．(1)見(jiàn)解析；(2)①2；②．【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)、平行四邊形性質(zhì)與判定及相似三角形判定與性質(zhì)，（1）先證明，根據(jù)相似三角形性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）①過(guò)點(diǎn)作，垂足為，設(shè)，借助三角形面積求出即可；②作，垂足為，作，垂足為，設(shè)，借助三角形面積求出，再通過(guò)求出，證明四邊形是平行四邊形，從而證明，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴；（2）解：①在中，∵，∴，∴，如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，設(shè)，則，∴，即，∴點(diǎn)到的距離為2；②如圖，作，垂足為，作，垂足為，設(shè)，，，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，即，∴，，∴，∴．19．(1)(2)9(3)t的值為或．(4)t的值為或．【分析】（1）運(yùn)用勾股定理即可求得答案；（2）連接，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)最小，再證得，即可求得答案；（3）分三種情況∶當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，分別討論即可；（4）分兩種情況∶當(dāng)直線恰好將的面積平分時(shí)，當(dāng)直線恰好將的面積平分時(shí)，分別討論即可．【詳解】（1）解∶．故答案為∶．（2）解：當(dāng)點(diǎn)Q在線段上時(shí)，如圖，連接，四邊形是平行四邊形，、互相平分，即經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)D．．當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)最小．，．．．的最小值．故答案為∶9．（3）解：當(dāng)時(shí)，如圖，為斜邊上的中線，．．，．，即．．．，．，即．．由題意得，解得．當(dāng)時(shí)，如圖，，，．．，即．由題意得，解得．當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，不能構(gòu)造；綜上，t的值為或．（4）解：當(dāng)直線恰好將的面積平分時(shí)，如圖，設(shè)直線交于點(diǎn)K，則點(diǎn)K為的中點(diǎn)，．．四邊形是平行四邊形，．．．．，．．，解得．當(dāng)直線恰好將的面積平分時(shí)，如圖，設(shè)直線交于點(diǎn)T，則點(diǎn)T為的中點(diǎn)，．．四邊形是平行四邊形，．．．．，解得．綜上，t的值為或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用了分類討論的思想．解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．20．(1)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為8或2時(shí)，和相似；(2)是直角三角形，理由見(jiàn)解析(3)．【分析】（1）根據(jù)，設(shè)，，其中，分兩種情況討論如下：①當(dāng)時(shí)，則，則，由此得；②當(dāng)時(shí)，，推出，由此得，綜上所述即可得出答案；（2）根據(jù)點(diǎn)M恰好是線段中點(diǎn)得，證明得，進(jìn)而得，，則，，由此得，據(jù)此可得，則，進(jìn)而得，繼而可得出的形狀；（3）先求出，，則，，根據(jù)得，即，由此解出a即可得出