/1.1菱形的性質(zhì)與判定第1課時(shí)菱形的性質(zhì)基礎(chǔ)夯實(shí)知識(shí)點(diǎn)1菱形的定義1.如圖，在平行四邊形ABCD中,AB=4,BC=6,將線段AB水平向右平移a(a<6)個(gè)單位長(zhǎng)度得到線段EF，若四邊形ECDF為菱形，則a的值為 ()A.1 B.2 C.3 D.4知識(shí)點(diǎn)2 菱形邊的性質(zhì)2.如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形ABOC的頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，4)，則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ()A.(-4,2) BC.(-2,4) D.(-4,33.「2025四川成都鐵路中學(xué)月考」如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為20,E是AC的中點(diǎn),F是AB的中點(diǎn),連接EF,則EF=4.「2024四川廣安中考」如圖,菱形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是AB,BC邊上的點(diǎn),BE=BF,求證:∠DEF=∠DFE.知識(shí)點(diǎn)3 菱形對(duì)角線的性質(zhì)5.新課標(biāo)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化「2025山東青島市北期中」中國(guó)結(jié)寓意團(tuán)圓、美滿，以獨(dú)特的東方神韻體現(xiàn)中國(guó)人民的智慧和深厚的文化底蘊(yùn).如圖，小陶家有一個(gè)中國(guó)結(jié)裝飾，可以近似看作菱形ABCD,測(cè)得BD=16cm,AC=12cm,則此菱形的周長(zhǎng)為 ()A.28cm B.40cm C.56cm D.80cm6.「2025山西大學(xué)附中月考」如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是菱形，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)是(6，2),點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,2),點(diǎn)A在x軸上,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ()A.(3,2) B.(3,3) C.(3,4) D.(2,4)7.解釋教材變式如圖,四邊形ABCD是菱形,∠ACD=30°,BD=6,求:(1)∠BAD和∠ABC的度數(shù).(2)AB和AC的長(zhǎng).8.「2024上海崇明模擬，☆☆」圖①是藝術(shù)家埃舍爾的作品，他將數(shù)學(xué)與繪畫完美結(jié)合，在平面上創(chuàng)造出立體效果.圖②是一個(gè)菱形，將圖②截去一個(gè)邊長(zhǎng)為原來(lái)一半的菱形得到圖③，用圖③鑲嵌得到圖④，將圖④著色后，再次鑲嵌便得到圖①，則圖④中∠ABC的度數(shù)是 ()A.30° B.45° C.60° D.75°9.「2025陜西啟迪中學(xué)月考,〔公〕如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,E是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B、D重合),當(dāng)△ABE是等腰三角形時(shí),∠DAE的度數(shù)為 ()A.30° B.70°C.30°或60° D.40°或70°10.如圖，在菱形ABCD中,點(diǎn)A、B、C、D均在坐標(biāo)軸上,∠ABC=120°,點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),點(diǎn)P是OC上一動(dòng)點(diǎn)，則PD+PE的最小值是 ()A.3 B.5 C.22 11.新?探究題「2024甘肅中考,☆☆」如圖1,動(dòng)點(diǎn)P從菱形ABCD的點(diǎn)A出發(fā),沿邊AB→BC勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，PO的長(zhǎng)為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，PO的長(zhǎng)為 ()A.2 B.3 C.5 D.22素養(yǎng)提優(yōu)12.「2025四川成都七中月考」在菱形ABCD中,∠ABC=60°,P是直線BD上一動(dòng)點(diǎn),以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE(A,P,E逆時(shí)針排列),點(diǎn)E的位置隨點(diǎn)P的位置變化而變化.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上,且點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí),連接CE,則BP與CE的數(shù)量關(guān)系是，BC與CE的位置關(guān)系是.(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上,且點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線BD上時(shí)，其他條件不變，連接BE.若AB=23,BE=219請(qǐng)直接寫出△APE的面積.菱形的判定基礎(chǔ)夯實(shí)知識(shí)點(diǎn)1有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形1.「2025山東濟(jì)南濟(jì)陽(yáng)期中」在實(shí)驗(yàn)課上，為判斷地板磚是不是菱形，甲、乙二人分別用儀器進(jìn)行了測(cè)量，甲測(cè)量出兩組對(duì)角分別相等，然后乙測(cè)量出，最后得到結(jié)論：地板磚是菱形.則橫線處應(yīng)填 ()A.兩組對(duì)邊分別相等 B.一組鄰邊相等C.兩條對(duì)角線相等 D.一組鄰角相等2.依據(jù)所標(biāo)識(shí)的數(shù)據(jù)，下列平行四邊形一定為菱形的是 ()知識(shí)點(diǎn)2對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形3.「2024內(nèi)蒙古通遼中考」如圖,?ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O，以下條件不能證明?ABCD是菱形的是 ()A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBDC.OA4.如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于點(diǎn)O.請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：，使四邊形ABCD成為菱形.5.教材變式「2023湖南永州中考」如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，其對(duì)角線相交于點(diǎn)O，OA=3，BD=8,AB=5.(1)△AOB是直角三角形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)求證:四邊形ABCD是菱形.知識(shí)點(diǎn)3 四邊相等的四邊形是菱形6.「2025河南鄭州期中」如圖,在A△ABO中,AO=BO,∠O=120°,C是AB的中點(diǎn),若將△ABO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，則旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)三角形組成的圖形是 ()A.等腰梯形 B.菱形C.正五邊形 D.正三角形7.「2025江西吉安十校聯(lián)考」小明用四個(gè)全等的含30°角的直角三角尺拼成如圖所示的三個(gè)圖案，其中是菱形的有 ()A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)8.如圖，AC=8，分別以點(diǎn)A，C為圓心，以5為半徑作弧，兩條弧分別相交于點(diǎn)B和點(diǎn)D.依次連接點(diǎn)D，A,B,C,D,連接BD、AC,交于點(diǎn)O.(1)判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由.(2)求BD的長(zhǎng).9.如圖,在四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是線段AD、BD、BC、AC的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是菱形，需添加的條件是()A.AC=BD B.AC⊥BDC.AB=CD D.AB⊥CD10.用尺規(guī)在一個(gè)平行四邊形內(nèi)作菱形ABCD，下列作法中錯(cuò)誤的是()11.「2025遼寧沈陽(yáng)大東月考,」如圖,已知點(diǎn)A,D,C,B在同一條直線上,且AD=BC,AE=BF,CE=DF.(1)求證:AE∥BF.(2)若DF=FC,求證:四邊形DECF是菱形.12.教材變式做「2024江蘇揚(yáng)州中考，〔如圖1，將兩個(gè)寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形ABCD.(1)試判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由.(2)已知矩形紙條寬度為2cm，將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí)，四邊形ABCD的面積為8cm2,求此時(shí)直線AD、CD所夾銳角∠1的度數(shù).素養(yǎng)提優(yōu)13.新根據(jù)能力考慮分類討論如圖，在平行四邊形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,BC=10,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DA方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.(1)若點(diǎn)P每秒運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位，點(diǎn)Q每秒運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位，求當(dāng)t為何值時(shí)，以P、C、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.(2)當(dāng)點(diǎn)P每秒運(yùn)動(dòng)m個(gè)單位，點(diǎn)Q每秒運(yùn)動(dòng)n個(gè)單位時(shí)，若運(yùn)動(dòng)中能使以點(diǎn)P、C、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)直接寫出m、n的數(shù)量關(guān)系.第3課時(shí)菱形的性質(zhì)與判定綜合基礎(chǔ)夯實(shí)知識(shí)點(diǎn)1菱形的面積1.如圖,菱形ABCD中,AB=10,BD=12,菱形ABCD的面積為 ()A.60 B.120 C.192 D.962.如圖,四邊形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于點(diǎn)E,則AE的長(zhǎng)是()A.245 B.6 C.485知識(shí)點(diǎn)2菱形的性質(zhì)與判定的綜合3.「2025山東青島期中」如圖,在菱形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),CE,BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,連接AC,DF.(1)求證:AF=CD.(2)連接BD,請(qǐng)判斷BD與DF的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.(3)當(dāng)菱形ABCD滿足∠ABC=°時(shí),四邊形ACDF是菱形.4.「2025河南鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中」如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,AD上,AC與EF交于點(diǎn)O,且EF垂直平分AC,連接AE,CF.(1)求證:四邊形AECF是菱形.(2)若AC⊥AB,∠B=30°,AE=12,求四邊形AECF的面積.能力提升5.如圖,?ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且BD=2AB,AE∥BD,OE∥AB.(1)求證:四邊形ABOE是菱形.(2)若AO=4,四邊形ABOE的面積是123,求BD的長(zhǎng).6.如圖,已知等邊△ABC中,AD⊥BC,E為AB中點(diǎn).以D為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧,交DE于點(diǎn)M,交DB于點(diǎn)N,分別以M、N為圓心，大于12(1)求證:四邊形BDEF是菱形.(2)若AC=4,求△AFD的面積.素養(yǎng)提優(yōu)7.如圖，在邊長(zhǎng)為10的菱形ABCD中,對(duì)角線BD=16,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)G,點(diǎn)O是直線BD上的動(dòng)點(diǎn),OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.(1)求對(duì)角線AC的長(zhǎng)及菱形ABCD的面積.(2)如圖①,當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)時(shí),OE+OF的值是否發(fā)生變化?請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，OE+OF的值是否發(fā)生變化?若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若變化，請(qǐng)?zhí)骄縊E，OF之間的數(shù)量關(guān)系.微專題對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積例題如圖①，四邊形ABCD的對(duì)角線AC?BD,則S四邊形ABCD結(jié)論：對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于應(yīng)用：如圖②，四邊形ABCD是我們常見(jiàn)的風(fēng)箏的圖案，其中對(duì)角線BD的長(zhǎng)為30cm,AC的長(zhǎng)為40cm,AC垂直平分BD,垂足為E.求四邊形ABCD的面積.1菱形的性質(zhì)與判定第1課時(shí)菱形的性質(zhì)基礎(chǔ)夯實(shí)1.B∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,CE∥FD,CD=AB=4,∵將線段AB水平向右平移得到線段EF,..AB∥EF∥CD，∴四邊形ECDF為平行四邊形.根據(jù)菱形的定義可知,當(dāng)CD=CE=4時(shí),?ECDF為菱形,此時(shí)a=BE=BC-CE=6-4=2.故選B.2C如圖,過(guò)C作CN⊥x軸于N,過(guò)A作AM⊥x軸于M,∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4),∴ON=3,CN=4,∴OC=ON3.答案5解析··菱形ABCD的周長(zhǎng)為20,∴BC=20÷4=5,∵E是AC的中點(diǎn),F是AB的中點(diǎn),∴EF是△ABC的中位線，∴EF=124.證明∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C,∵BE=BF,∴AB-BE=BC-BF,∴AE=CF,在△DAE和△DCF中,{∴△DAE≌△DCF(SAS),∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE.5.B∵四邊形ABCD為菱形,且BD=16cm,AC=12cm,∴AB=BC=CD∴菱形ABCD的周長(zhǎng)=4AB=4×10=40(cm),故選B.6.C連接AC,BD,相交于點(diǎn)E,∵四邊形ABCD是菱形,∴AE=CE,BE=DE,AC⊥BD,∵點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，2)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2),∴BD=6,AE=2,∴DE=127.解析(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴DC=BC,AC⊥BD,∠BCD=2∠ACD,∠ABC=2∠CBD,∵∠ACD=30°,∴∠BCD=60°,∴∠BAD=∠BCD=60°,△BCD為等邊三角形,∴∠CBD=60°,∴∠ABC=2∠CBD=120°.(2)∵四邊形ABCD是菱形,△BCD為等邊三角形,BD=6,AC⊥BD,∴AO=OC,BC=BD=6,∴AB=BC=CD=6.在Rt△COD中,∠ACD=30°,∴∴能力提升8.C如圖,∵∠BAD=∠BAE=∠DAE,∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°,∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°,∵BC∥AD,∴∠ABC=180°-120°=60°,故選C.9.C在菱形ABCD中,∠ABC=80°,∴∠ABD=12∵△ABE是等腰三角形,點(diǎn)E不與點(diǎn)B、D重合,∴AE=BE或AB=BE.當(dāng)AE=BE時(shí),∠ABE=∠BAE=40°,∴∠DAE=100°-40°=60綜上所述，當(dāng)△ABE是等腰三角形時(shí)，∠DAE的度數(shù)為30°或60°,故選C.10A根據(jù)題意得E點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是BC的中點(diǎn),設(shè)為點(diǎn)E',連接DE'交AC于點(diǎn)P,如圖,此時(shí)PD+PE的值最小,為DE'的長(zhǎng).∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=120°,點(diǎn)A(-3,0),∴OA=OC=3,∠DBC=60°,BC=CD,∴△BCD是等邊三角形,易得DE'=OC=3,即PD+PE的最小值是3.11C結(jié)合圖象可得,當(dāng)x=0時(shí),PO=AO=4,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),PO=BO=2,∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴∠AOB=∠BOC=90°,∴AB=BC=OA2+O方法總結(jié)動(dòng)點(diǎn)與函數(shù)圖象綜合問(wèn)題的解題策略(1)趨勢(shì)判斷法：根據(jù)幾何圖形的構(gòu)造特點(diǎn)，對(duì)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分段，并判斷每段對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的增減變化趨勢(shì)；(2)解析式計(jì)算法：根據(jù)題意求出每段的函數(shù)解析式，結(jié)合解析式對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象進(jìn)行判斷；(3)定點(diǎn)求值法：結(jié)合幾何圖形特點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的拐點(diǎn)、垂直點(diǎn)、特殊點(diǎn)處求出函數(shù)值，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除；(4)范圍排除法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，求出兩個(gè)變量的變化范圍，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除.素養(yǎng)提優(yōu)12解析(1)如圖1,連接AC,延長(zhǎng)CE交AD于點(diǎn)H,∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC,∵∠ABC=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∵△APE是等邊三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°,∵∠BAP+∠PAC=∠CAE+∠PAC=60°,∴∠BAP=∠CAE.在△BAP和△CAE中,{∴△BAP≌△CAE(SAS),∴BP=CE.∵四邊形ABCD是菱形,.∴∠∵△ABC是等邊三角形,∴∠BCA=60°,.△BAP≌△CAE,∴∠ABP=∠ACE=30°,∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=60°+30°=90°,∴CE⊥BC.故答案為BP=CE;CE⊥BC.(2)(1)中的結(jié)論:BP=CE,CE⊥BC仍然成立,理由如下：如圖2，連接AC，.在菱形ABCD中,AB=BC,且∠ABC=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,∴△APE是等邊三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°,∴∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC,∴∠BAP=∠CAE.在△ABP和△ACE中,{∴△ABP,∠ABP=12∵.∠BCE=∠ACE+∠ACB=90°,∴CE⊥BC,∵(1)中的結(jié)論:BP=CE,CE⊥BC仍然成立.(3)△APE的面積為73或313詳解：如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AC交BD于點(diǎn)O,作EF⊥AP于F,四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BD平分∠ABC,∠AB與(2)同理可知CE⊥BC,∵BE=219,BC=AB=2∵'=CE=8,∴DP=2,∴OP=5,AP∵△APE是等邊三角形,∴S△APE=∴綜上所述，△APE的面積為73或313第2課時(shí)菱形的判定基礎(chǔ)夯實(shí)1.B由“甲測(cè)量出兩組對(duì)角分別相等”推知該地板磚是平行四邊形，則當(dāng)乙測(cè)量出一組鄰邊相等時(shí)，該平行四邊形地板磚是菱形，故選B.2.C選項(xiàng)A中，∵四邊形是平行四邊形，∴對(duì)角線互相平分，故A不一定是菱形.選項(xiàng)B中，∵四邊形是平行四邊形，∴對(duì)邊相等，故B不一定是菱形.選項(xiàng)C中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得：180選項(xiàng)D中，∵四邊形是平行四邊形，∴對(duì)邊平行，故D不一定是菱形.故選C.3.D選項(xiàng)A,∵∠BAC=∠BCA,∴AB=BC,∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)A不符合題意.選項(xiàng)B，∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,·∠ABD=∠CBD,..∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,.?ABCD是菱形，故選項(xiàng)B不符合題意.選項(xiàng)C，∵四邊形ABCD是平行四邊形,OB=OD,.OA2+OB2=AD2,∴OA2+OD2=AD2,..∠AOD=90°,∴AC⊥BD,∴?ABCD是菱形,故選項(xiàng)C不符合題意.選項(xiàng)D,.AD2+OA2=OD2,∴∠OAD=90°,∴OA⊥AD,∴AC與BD不垂直，∴?ABCD不是菱形，故選項(xiàng)D符合題意.故選D.4.答案AD∥BC(答案不唯一)解析答案不唯一.當(dāng)添加“AD∥BC”時(shí),∵AD∥BC,AD=BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∴AC⊥BD,..四邊形ABCD是菱形.5.解析(1)△AOB是直角三角形.理由:∵四邊形ABCD是平行四邊形，BD=8,∴(2)證明:由(1)可知∠AOB=90°,∴AC⊥BD,∴平行四邊形ABCD是菱形.6.B如圖,∵C是AB的中點(diǎn),∴CA=CB.△ABO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△BAC',·BC'=AO,AC'=BO,∵AO=BO,∴B7D四個(gè)全等的含30°角的直角三角尺拼成如題圖所示的三個(gè)圖案，第一個(gè)與第三個(gè)圖案中的四邊形的四條邊都相等，∴第一個(gè)與第三個(gè)圖案是菱形.第二個(gè)圖案如圖.∵上圖是由四個(gè)全等的含30°角的直角三角尺拼成的四邊形,∴AD=BC=EF,CD=AB,··∠ADF=∠FEB=30°,∠AFD=∠FBE=90°,∴AF=12∴四邊形ABCD是菱形.故選D.8解析(1)四邊形ABCD為菱形.理由如下：由作法，得AB=AD=CB=CD=5,∴四邊形ABCD為菱形.(2)∵四邊形ABCD為菱形,∴在Rt△AOB中,(OB能力提升9.C∵點(diǎn)E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點(diǎn),∴EF10C選項(xiàng)A,由作圖可知AC是BD的垂直平分線,.AB=AD,設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,則OB=OD.易知AD∥BC,..∠ADO=∠CBO,又∠AOD=∠COB,∴△AOD≌△COB,∴AD=BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形,又AB=AD,∴四邊形ABCD是菱形,不符合題意;選項(xiàng)B,由作圖可知AB=BC,AD=AB,∴BC=AD,又BC∥AD,∴四邊形ABCD是平行四邊形,又AB=BC,∴四邊形ABCD是菱形,不符合題意;選項(xiàng)C，由作圖可知AB、CD是角平分線，只能得出四邊形ABCD是平行四邊形，符合題意；選項(xiàng)D，由作圖可知∠DAC=∠CAB,∠DCA=∠ACB,.AD∥BC,..∠DAC=∠ACB,∴∠DAC=∠CAB=∠DCA,∴AB∥CD,AD=DC,結(jié)合AD∥BC可得四邊形ABCD是菱形，不符合題意.故選C.11證明(1)∵AD=BC,:AD+CD=BC+CD,∴AC=BD,∵AE=BF,CE=DF,∴△AEC≌△BFD(SSS),∴∠A=∠B,∴AE∥BF.(2)∵△AEC≌△BFD,∴∠ECA=∠FDB,∴EC∥DF,∵EC=DF,∴四邊形DECF是平行四邊形,∵DF=FC,∴四邊形DECF是菱形.12.解析(1)四邊形ABCD是菱形,理由如下:如圖1,作CH⊥AB,垂足為H,CG⊥AD,垂足為G,∵兩個(gè)紙條為矩形,∴AB∥CD,AD∥BC,..四邊形ABCD是平行四邊形，∵S?ABCD=AB·CH=AD·CG,且CH=CG,∴AB=AD,..四邊形ABCD是菱形.(2)如圖2,作AM⊥CD,垂足為M,∵S∴CD=4cm,∴AD=CD=4cm.在Rt△ADM中,AM=12素養(yǎng)提優(yōu)13.解析(1)①如圖,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),DQ=t,PC=10-3t,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC.若以點(diǎn)P、C、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則.DQ=PC,∴t=10-3t,..t=2.5.②當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),PC=3t-10.若以點(diǎn)P、C、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則DQ=PC,∴t=3t-10,∴t=5.綜上,當(dāng)t的值為2.5或5時(shí),以點(diǎn)P、C、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.(2)①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),若以點(diǎn)P、C、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,則DQ=PC=CD=6,∴nt=10-mt②如圖,當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),連接PQ,交CD于點(diǎn)E,·AB⊥AC,∴∠BAC=90°,.四邊形ABCD是平行四邊形，..CD∥AB,∴∠ACD=∠BAC=90°.若以點(diǎn)P、C、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則PQ⊥CD,CE=DE=3,PE=QE,DQ=PC,∴PQ∥AC.:AD∥BC,∴四邊形ACPQ是平行四邊形,∴PQ=AC=8,∴QE=PE=4,∴∴nt=mt-10=5,∴mt=15,∴m=3n.綜上,當(dāng)3m=2n或m=3n時(shí),以點(diǎn)P、C、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形.第3課時(shí)菱形的性質(zhì)與判定綜合基礎(chǔ)夯實(shí)1.D如圖,連接AC,交BD于點(diǎn)O,∵四邊形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,OA=OC,OB=OD,∵BD=12,∴OB=OD=6.在Rt△AOB中,AO=A∴菱形的面積為122.A∵四邊形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,.BC=CD=5,BO=DO=4,OA=OC,AC⊥BD,∴∠BOC=90°.在Rt△OBC中,由勾股定理得OC=BC2?BO23.解析(1)證明;∵四邊形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∴∠AFE=∠DCE,∵E是AD的中點(diǎn),∴AE=DE,在△AFE與△DCE中,{∠(2)BD⊥DF.理