/1.2矩形的性質(zhì)與判定矩形的性質(zhì)基礎(chǔ)夯實(shí)知識(shí)點(diǎn)1矩形的定義1.如圖，在四邊形ABCD中,AB∥DC,AD∥BC,在不添加任何輔助線的前提下，要使四邊形ABCD成為一個(gè)矩形，只需添加的一個(gè)條件是.知識(shí)點(diǎn)2矩形邊、角的性質(zhì)2.「2024陜西中考」如圖,四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)E和點(diǎn)F在邊BC上,且BE=CF.求證:AF=DE.3.如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)M在邊DC上,AM=AB,且BN⊥AM,垂足為點(diǎn)N.(1)求證:AN=DM.(2)若AD=3,AN=4,求矩形ABCD的面積.知識(shí)點(diǎn)3矩形對(duì)角線的性質(zhì)4.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論一定正確的是()A.AB=AD B.AC⊥BDC.AC=BD D.∠ACB=∠ACD5.「2024甘肅中考」如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∠ABD=60°,AB=2,則AC的長(zhǎng)為()A.6 B.5 C.4 D.36.「2025四川成都實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考」如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8.對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O.點(diǎn)E,F分別是AO,AD的中點(diǎn),連接EF,則△AEF的周長(zhǎng)為()A.6 B.7 C.8 D.97.「2025陜西藍(lán)田期中」如圖，已知矩形ABCD，過點(diǎn)C作CE∥BD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證:AC=EC.知識(shí)點(diǎn)4直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)8.「2025吉林長(zhǎng)春期末」如圖,∠ACB=∠ADB=90°,E為AB的中點(diǎn),AD與BC相交于點(diǎn)F.若∠CED=56°,則∠DCE的度數(shù)是 ()A.56° B.62° C.63° D.72°9.如圖所示，矩形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,AB=2,BC=3,則圖中陰影部分的面積為.10.如圖,∠MEN=90°,矩形ABCD的頂點(diǎn)B,C分別是∠MEN兩邊上的動(dòng)點(diǎn),已知BC=10,CD=5,則點(diǎn)D,E之間距離的最大值是.11.出入相補(bǔ)原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，最早是由數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建的.“如果將一個(gè)幾何圖形任意切成多個(gè)小圖形，那么幾何圖形的總面積等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一.如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分別為F,G,則EF+EG=.素養(yǎng)提優(yōu)12.閱讀材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).三等分角是古希臘三大幾何問題之一.如圖(1)，任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的對(duì)角線BA與邊BC的夾角，以B為端點(diǎn)的射線BF交CA于點(diǎn)E，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若EF=2AB,則射線BF是∠ABC的一條三等分線.證明:如圖(2),取EF的中點(diǎn)G,連接AG,∵四邊形BCAD是矩形,∴∠DAC=90°,AD∥BC.在Rt△AEF中,點(diǎn)G是EF的中點(diǎn),.∴任務(wù)一：上面證明過程中得出“AG=1任務(wù)二：完成材料證明中的剩余部分.任務(wù)三：如圖(3)，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的延長(zhǎng)線與∠CBE的平分線交于點(diǎn)F,若BF=12矩形的判定基礎(chǔ)夯實(shí)知識(shí)點(diǎn)1有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形1.如圖,在?ABCD中,E,F為BC上兩點(diǎn),且BE=CF,AF=DE.求證:四邊形ABCD是矩形.知識(shí)點(diǎn)2對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形2.已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列條件中，不能判定?ABCD為矩形的是()A.∠A=90° B.∠B=∠CC.AC=BD D.AC⊥BD3.在學(xué)完矩形的判定后，善于鉆研的小壯、小剛和小強(qiáng)同學(xué)有自己獨(dú)到的見解：已知:如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,OA=OC.小壯說:“若OA=OB,則四邊形ABCD為矩形.”小剛說:“若∠ABC=∠BCD,則四邊形ABCD為矩形.”小強(qiáng)說:“若∠1=2∠2,則四邊形ABCD為矩形.”請(qǐng)判斷三人的說法是否正確并任選其一進(jìn)行證明.知識(shí)點(diǎn)3有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形4.如圖，誠(chéng)誠(chéng)用橡膠皮和布料自制了一塊四邊形鼠標(biāo)墊，為了檢驗(yàn)這塊鼠標(biāo)墊是不是標(biāo)準(zhǔn)的矩形，他想出了以下幾種方案，其中合理的是()A.測(cè)量一組對(duì)邊是否平行且相等B.測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等C.測(cè)量其中的三個(gè)角是否都為直角D.測(cè)量對(duì)角線是否相等5.「2025山東濟(jì)南商河期中」如圖,在?ABCD中,CE⊥AB,AF⊥CD,垂足分別為E,F,求證:四邊形AECF是矩形.能力提升：6.依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，下列四邊形不一定為矩形的是 ()7.如圖，在四邊形ABCD中,連接AC,BD,點(diǎn)E,F,G,H分別為AD,BD,CB和AC的中點(diǎn),順次連接EF,FG,GH和HE得到四邊形EFGH.若AB⊥CD,AB=8,CD=12,則四邊形EFGH的面積等于 ()A.36 B.32 C.24 D.208.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,點(diǎn)P是邊AB上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作PD⊥AC,PE⊥BC,垂足分別為點(diǎn)D,E,連接DE，則DE的最小值是 ()A.132 B.C.125 D.9.如圖，在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,動(dòng)點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F同時(shí)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向運(yùn)動(dòng),若AC=12,BD=8,則經(jīng)過秒后,四邊形BEDF是矩形.10.如圖,在△ABC中，O是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC,交∠ACB的平分線于點(diǎn)E,交△ABC的外角∠ACD的平分線于點(diǎn)F.(1)求證:OE=OF.(2)若CE=12,CF=5,求OC的長(zhǎng).(3)連接AE，AF，當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形?請(qǐng)說明理由.素養(yǎng)提優(yōu)11.新課新意識(shí)新實(shí)踐操作題某數(shù)學(xué)興趣小組，準(zhǔn)備將一張三角形紙片(如圖)進(jìn)行如下操作，并進(jìn)行猜想和證明.(1)用三角尺分別取AB,AC的中點(diǎn)D,E,連接DE,畫AF⊥DE于點(diǎn)F,請(qǐng)按此要求作圖.(2)將(1)中所畫的三塊圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或平移拼出一個(gè)四邊形(無(wú)縫隙無(wú)重疊)，并用三角尺畫出示意圖.(3)請(qǐng)判斷(2)中所拼的四邊形的形狀，并說明理由.矩形的性質(zhì)與判定綜合基礎(chǔ)夯實(shí)知識(shí)點(diǎn) 矩形的性質(zhì)與判定綜合1.「2024山西晉中壽陽(yáng)月考」如圖,?ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,BF∥CE,CF∥BE.(1)求證:四邊形BECF是矩形.(2)若∠ABC=60°,BC=6,求四邊形BECF的周長(zhǎng).能力提升2.如圖,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,且有一點(diǎn)P從B點(diǎn)沿BD往D點(diǎn)移動(dòng)，若過P點(diǎn)作AB的垂線交AB于E點(diǎn)，過P幾何畫板演示點(diǎn)作AD的垂線交AD于F點(diǎn)，則EF長(zhǎng)的最小值為()A145 B.445 C.53.「2024甘肅蘭州中考,☆☆」如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC.(1)求證:四邊形ADCE是矩形.(2)若BC=4,CE=3,求EF的長(zhǎng).4.「2025浙江金華橫店八校聯(lián)考，能」在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E、F是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A、C同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，其中0≤t≤10.(1)若G,H分別是AD,BC的中點(diǎn),則四邊形EGFH一定是怎樣的四邊形(E、F相遇時(shí)除外)?答:.(直接填空，不用說理)(2)在(1)的條件下,若四邊形EGFH為矩形,求t的值.(3)在(1)的條件下,若G向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng),H向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且與點(diǎn)E，F(xiàn)以相同的速度同時(shí)出發(fā)，則求四邊形EGFH為菱形時(shí)t的值.2矩形的性質(zhì)與判定第1課時(shí)矩形的性質(zhì)基礎(chǔ)夯實(shí)I答案∠A=90°(答案不唯一)解析添加的條件可以是∠A=90°(答案不唯一).理由:∵AB∥DC,AD∥BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形,又∵∠A=90°,∴平行四邊形ABCD是矩形.2.證明∵四邊形ABCD為矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°,∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,在△ABF和△DCE中,{AB3解析(1)證明:在矩形ABCD中,∠D=90°,DC∥AB,∴∠BAN=∠AMD.∵BN⊥AM,∴∠BNA=90°.在△ABN和△MAD中,{.△ABN≌△MAD(AAS),∴AN=DM.(2)∵△ABN≌△MAD,∵BN=AD=3.在Rt△ANB中,A.4.C∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD,∠ADC=90°,AD=BC,5.C··四邊形ABCD為矩形,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=2,∴OA=OB=OC=OD,··∠ABD=60°,..△OAB為等邊三角形,..OA=OB=AB=2,∴OC=OA=2,∴AC=OA+OC=4,故選C.6.D··四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC=8,∠BAD=90°,OB=OD=OA=OC.在Rt△BAD中,∵BD=AB27證明∵四邊形ABCD是矩形,∴BD=AC,CD∥BE,又∵CE∥BD,∴四邊形DBEC是平行四邊形,∴BD=EC,∴AC=CE.8.B∵∠ACB=∠ADB=90°,E為AB的中點(diǎn),∴△ACB和△ADB均為直角三角形，且點(diǎn)E是公共斜邊AB的中點(diǎn)，∴EC=ED=12能力提升9.答案3解析∵四邊形ABCD是矩形,∴OA=OC,AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO,∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,則S△AOK10.答案5+5解析如圖,取BC的中點(diǎn)F,連M接EF、FD.∵∠MEN=90°,∴EF=FC=12BC=5.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,∴FD=11.解析連接OE，∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,BC=AD=12,AO=CO=BO=DO,∵AB=5,BC=12,∴AC=A∴S△BOC=S△素養(yǎng)提優(yōu)12.解析任務(wù)一：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.任務(wù)二:剩余部分如下:∵EF=2AB,∴AB=AG,∴∠ABG=∠AGB,∴∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F,··AD∥BC,∴∠F=∠CBF,∴∠ABG=2∠CBF,∴∠ABC=3∠CBF,∴射線BF是∠ABC的一條三等分線.任務(wù)三：BF詳解:取AC的中點(diǎn)H,連接BH,過點(diǎn)C作CG⊥BF于點(diǎn)C∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,··點(diǎn)H是AC的中點(diǎn),∴AH=CH=BH,∴∠HAB=∠HBA,設(shè)∠HAB=∠HBA=x,∴∠BHF=2x,∵BF=12AC,∴BH=BF,∴∠F=∠BHF=2x,.∠CBE=90°,BF平分∠CBE,∴∠FBE=∠CBF=45°,∵∠FBE=∠HAB+∠F,∴x+2x=45°,..x=15°,..∠F=30°,∵CG⊥BF,CF=4,∴CG=2,∴FG=23,∵∠CBF=45°,∴∠BCG=45°,∴CG=BG=2,∴BF=BG+FG=2+2第2課時(shí)矩形的判定基礎(chǔ)夯實(shí)1.證明.BE=CF,..BE+EF=CF+EF,即BF=CE..四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=DC.又∵AF=DE,∴△ABF≌△DCE(SSS).∴∠B=∠C.··四邊形ABCD是平行四邊形，..AB∥CD.∴∠B+∠C=180°.∴∠B=∠C=90°...平行四邊形ABCD是矩形(矩形的定義).2.D選項(xiàng)A,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴當(dāng)∠A=90°時(shí)，平行四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)A不符合題意;選項(xiàng)B,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,..∠B+∠C=180°,當(dāng)∠B=∠C時(shí),∠B=∠C=90°，此時(shí)?ABCD為矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；選項(xiàng)C,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴當(dāng)AC=BD時(shí),平行四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；選項(xiàng)D,,四邊形ABCD是平行四邊形,∴當(dāng)AC⊥BD時(shí),平行四邊形ABCD是菱形,∴選項(xiàng)D不能判定?ABCD為矩形，故選項(xiàng)D符合題意.故選D.3.解析三人的說法都正確.①選擇小壯的說法證明，過程如下：證明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠2,∠ADB=∠CBD,又∵OA=OC,∴△AOD≌△COB,..OD=OB=12BD,又OA②選擇小剛的說法證明，過程如下：證明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠2,∠ADB=∠CBD,又∵OA=OC,..△AOD≌△COB,∴OD=OB,∴四邊形ABCD為平行四邊形,..AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∵∠ABC=∠BCD,∴2∠ABC=180°,..∠ABC=90°,∴四邊形ABCD為矩形.③選擇小強(qiáng)的說法證明，過程如下：證明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠2,∠ADB=∠CBD,又∵OA=OC,∴△AOD≌△COB,..OD=OB,∴四邊形ABCD為平行四邊形,∴∠1=∠2+∠OBC,∠1=2∠2,.∠2=∠OBC,∴OB=OC,..OA=OD,..OA+OC=OB+OD,即AC=BD,..四邊形ABCD為矩形.4.C選項(xiàng)A，測(cè)量一組對(duì)邊是否平行且相等，只能判斷出這塊鼠標(biāo)墊是不是標(biāo)準(zhǔn)的平行四邊形，不符合題意；選項(xiàng)B，測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等，只能判斷出這塊鼠標(biāo)墊是不是標(biāo)準(zhǔn)的平行四邊形，不符合題意；選項(xiàng)C，測(cè)量其中的三個(gè)角是否都為直角，可以檢驗(yàn)這塊鼠標(biāo)墊是不是標(biāo)準(zhǔn)的矩形，符合題意；選項(xiàng)D，測(cè)量對(duì)角線是否相等，不能檢驗(yàn)這塊鼠標(biāo)墊是不是標(biāo)準(zhǔn)的矩形，不符合題意.故選C.5.證明CE⊥AB,AF⊥CD,..∠AEC=∠AFC=∠AFD=90°,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,..∠FAE=∠AFD=90°,˙∠AEC=∠AFC=∠FAE=90°,∴四邊形AECF是矩形.能力提升6.A選項(xiàng)A,∴AD=BC=4,AB=CD=3,∴四邊形ABCD是平行四邊形，不能判定為矩形，故選項(xiàng)A符合題意；選項(xiàng)B,∵∠A=∠B=∠D=90°,∴四邊形ABCD是矩形,故選項(xiàng)B不符合題意;選項(xiàng)C,∵∠A=∠B=90°,∠A+∠B=180°,.AD∥BC,∵AD=BC=4,∴四邊形ABCD是平行四邊形,又∵∠A=90°,平行四邊形ABCD為矩形,故選項(xiàng)C不符合題意;選項(xiàng)D,∵AB=CD=3,AD=BC=4,∴四邊形ABCD是平行四邊形,。AC=5,∴7C∵點(diǎn)E,F分別為AD,BD的中點(diǎn),∴EF是△ABD的中位線，EF=12AB=4,EF‖·四邊形EFGH為平行四邊形，,AB⊥CD,..EF⊥EH,∴平行四邊形EFGH為矩形,∴四邊形EFGH的面積為6×4=24,故選C.8.B如圖,連接CP,作CQ⊥AB于點(diǎn)Q,∵∠ACB=90°,AC=12,BC=5,.∴PE⊥BC,垂足分別為點(diǎn)D,E,∴∠PDC=∠PEC=∠DCE=90°,∴四邊形PECD是矩形,∴CP=DE,.當(dāng)CP與CQ重合時(shí),CP的長(zhǎng)最小,此時(shí)DE的長(zhǎng)最小,.CQ=9.答案2或10解析設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，··四邊形ABCD是平行四邊形,AC=12,BD=8,∴∴OE=OF=6-t或OE=OF=t-6,∴四邊形BEDF是平行四邊形，易知當(dāng)EF=BD時(shí),四邊形BEDF是矩形,∴OE=OD,∴6-t=4或t-6=4,∴t=2或t=10,∵.經(jīng)過2秒或10秒后,四邊形BEDF是矩形,故答案為2或10.10.解析(1)證明:∵CE平分∠ACB,..∠ACE=∠ECB,∵M(jìn)N∥BC,.∠ECB=∠OEC,..∠ACE=∠OEC,..OE=OC.同理可得OC=OF,∴OE=OF.(2)∵CE、CF分別平分∠ACB、∠ACD,∴∠∵∠ACB+∠ACD=180°,∠ACE∴∴OC(3)當(dāng)O在AC的中點(diǎn)處時(shí),四邊形AECF是矩形.理由：當(dāng)O為AC中點(diǎn)時(shí),OA=OC,由(1)可知,OC=OE=OF,∴OA=OC=OE=OF,∴四邊形AECF為平行四邊形,AC=EF,·平行四邊形AECF為矩形.素養(yǎng)提優(yōu)11.解析(1)如圖①.如圖②.(3)矩形.理由如下：如圖，·∠MDB+∠BDE=180°,∠DEC+∠NEC=180°,∴點(diǎn)M、D、E、N在同一條直線上,∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),∴DE為△ABC的中位線,..DE‖∴四邊形MBCN為平行四邊形，由題意可得△MDB≌△FDA,△AFE≌△CNE,∴∠N=∠AFE,∵AF⊥DE,∴∠AFE=90°,∴∠N=90°,∴四邊形MBCN為矩形.第3課時(shí)矩形的性質(zhì)與判定綜合基礎(chǔ)夯實(shí)1.解析(1)證明:∵BF∥CE,CF∥BE,∴四邊形BECF是平行四邊形，··BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,·∠EBC=1·四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∠ABC+∠BCD=180°,∠EBC(2)∵BE平分∠ABC,∠ABC=60°,∴∠EBC=30°,由(1)可知,∠BEC=90°,∴CE=12BC=3,∴BE=∵四邊形BECF是矩形,∴CF=BE=33,B