/24.4弧長和扇形面積一、單選題1．小明同學(xué)在計算某扇形的面積和弧長時，分別寫出如下式子：，，經(jīng)核對，兩個結(jié)果均正確，則下列說法正確的（

）A．該扇形的圓心角為，直徑是4 B．該扇形的圓心角為，直徑是3C．該扇形的圓心角為，直徑是6 D．該扇形的圓心角為，直徑是42．若圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角是，該扇形的半徑是，則圓錐底面圓的半徑是（

）A． B． C． D．3．一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐側(cè)面展開圖的扇形的圓心角是（）A．120° B．150° C．180° D．240°4．如圖，是半圓O的直徑，平分，且，則弧的長為（

）A． B． C． D．5．如圖，圓錐的底面半徑為，高為，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．6．如圖，有一圓錐形糧堆，其主視圖是邊長為的正三角形，母線的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠，則小貓經(jīng)過的最短路程是（）．A． B．4 C． D．67．如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則以格點(diǎn)為圓心，半徑為1和2的兩種弧圍成的“葉狀”陰影圖案的面積為（

）A． B． C． D．8．如圖，在中，，．以點(diǎn)C為中心，把逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，則圖中陰影部分的面積為（

）A．2 B． C．4 D．9．如圖，一套三角板沿著它們的斜邊疊放在一起，記其中一個三角板為，．記，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，使三角板的兩個直角邊貼合，則邊掃過的面積為(

)

A． B． C． D．10．如圖，在中，，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．11．已知圓錐的底面半徑是2，側(cè)面展開圖的圓心角為，則其側(cè)面積為（）A． B． C． D．12．圓錐的高為，母線長為，則它的側(cè)面積是（

）．(結(jié)果保留)A． B． C． D．二、填空題13．若一個圓錐的底面圓的半徑為2，母線長為3，則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是°．14．如圖，矩形的對角線，交于點(diǎn)O，分別以點(diǎn)A，C為圓心，長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．若，，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）15．一個母線長為6cm，底面半徑為3cm的圓錐展開后得到的側(cè)面展開圖扇形的圓心角是度．16．若圓錐的底面圓半徑為2，母線長為5，則該圓錐的側(cè)面積是．（結(jié)果保留）17．已知一個扇形的面積為，圓心角的度數(shù)為，則它的半徑，弧長為．三、解答題18．如圖，已知是的直徑，、為圓上的點(diǎn)，、，垂足分別為、．(1)求證：：(2)若，，求陰影部分的面積．19．如圖，糧倉的頂部是圓錐形，這個圓錐的底面圓的周長為，母線長．為了防雨，需要在它的頂部鋪上油氈，所需油氈的面積至少是多少？20．如圖，是的直徑，是的弦，且．

(1)求證：直線為的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積．21．已知圓錐的底面半徑是，母線長為，C為母線的中點(diǎn)，求從A到C在圓錐的側(cè)面上的最短距離．22．如圖，已知為的直徑，是弦，于E，于F，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)若，求的值及陰影部分的面積．23．如圖所示，有一直徑為的圓形紙片，要從中剪去一個最大的圓心角是90°的扇形ABC．(1)求被剪掉的陰影部分的面積；(2)用所留的扇形鐵皮圍成一個圓錐，該圓錐的底面圓的半徑是多少？24．如圖，在扇形中，C是上一點(diǎn)，延長到D，且．(1)求的度數(shù)；(2)扇形是某圓錐的側(cè)面展開圖，若，求該圓錐的底面半徑．《24.4弧長和扇形面積》參考答案題號12345678910答案DBCCCCABBA題號1112答案AB1．D【分析】根據(jù)，，可以寫出和的形式，然后即可判斷哪個選項是正確的，本題得以解決．【詳解】解：，，，，該扇形的圓心角為，直徑是4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計算、弧長的計算，解答本題的關(guān)鍵是明確扇形的和．2．B【分析】先根據(jù)弧長公式求出圓錐底面圓的周長，設(shè)圓錐底面圓的半徑是，根據(jù)圓的周長公式得出，再求出即可．本題考查了圓錐的計算，能求出圓錐底面圓的周長是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：圓錐的底面圓的周長為，設(shè)圓錐底面圓的半徑是，則，解得：，即圓錐底面圓的半徑是，故選：B．3．C【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍可得到圓錐底面半徑和母線長的關(guān)系，利用圓錐側(cè)面展開圖的弧長=底面周長即可得到該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角度數(shù)．【詳解】解：設(shè)母線長為R，底面半徑為r，∴底面周長=2πr，底面面積=π，側(cè)面面積=lR=πrR，∵側(cè)面積是底面積的2倍，∴2π=πrR，∴R=2r，設(shè)圓心角為n，有=2πr=πR，∴n=180°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，以及利用扇形面積公式求出是解題的關(guān)鍵．4．C【分析】連接，，證明是等邊三角形，套用弧長公式計算即可．【詳解】連接，，∵平分，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴，∵是半圓O的直徑，∴，∴，∴，解得∴，∴是等邊三角形，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰梯形的判定和性質(zhì)，弧長公式，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】本題主要查了求圓錐的側(cè)面積，先根據(jù)圓錐的底面半徑和高，利用勾股定理求出圓錐的母線長；再結(jié)合圓錐的底面周長等于圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長，據(jù)此可得出扇形的弧長；最后利用扇形的面積計算方法，即可．【詳解】解：由勾股定理得，圓錐的母線長為，∵圓錐的底面周長為，∴圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長為，∴圓錐的側(cè)面積為：．故選：C．6．C【分析】求這只小貓經(jīng)過的最短距離的問題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開圖的問題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離的問題．根據(jù)圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形可知，展開圖是半徑是4的半圓．點(diǎn)是半圓的一個端點(diǎn)，而點(diǎn)是平分半圓的半徑的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理就可求出兩點(diǎn)和在展開圖中的距離，就是這只小貓經(jīng)過的最短距離．【詳解】解：圓錐主視圖是邊長為的正三角形，圓錐的底面周長是，則，，即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180度．如圖，在圓錐側(cè)面展開圖中，，度．在圓錐側(cè)面展開圖中．故小貓經(jīng)過的最短距離是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開最短路線問題，根據(jù)題意畫出圓錐的側(cè)面展開圖，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．7．A【分析】此題主要考查了扇形的面積公式，應(yīng)用與設(shè)計作圖．連接，則陰影部分面積，依此計算即可求解．【詳解】解：連接，由題意得，陰影部分面積．故選：A．8．B【分析】根據(jù)陰影部分的面積是扇形的面積的面積的面積扇形的面積，代入數(shù)值解答即可．【詳解】解：∵在中，，，∴，∵把逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，∴，，，∴陰影部分的面積，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了勾股定理以及扇形面積公式的應(yīng)用．9．B【分析】依題意可知，旋轉(zhuǎn)角是或，先求出，再用扇形面積公式計算即可．【詳解】解：如下圖所示，將原來的畫出如下：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方式可知，圖中陰影部分就是邊掃過的部分．∵，∴由題意可知：，

依題意可知，旋轉(zhuǎn)角是或，∴又∵，∴故選B．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積公式等知識，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．10．A【分析】先利用圓周角定理求出的度數(shù)，再根據(jù)扇形面積公式求解即可．【詳解】解；∵，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，扇形面積，熟知扇形面積公式和圓周角定理是解題的關(guān)鍵．11．A【分析】本題考查了圓錐的計算．設(shè)圓錐的母線長為，由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則根據(jù)弧長公式得到，解方程求出，然后根據(jù)扇形的面積公式計算扇形的面積，從而得到圓錐的側(cè)面積．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)題意得，解得，所以圓錐的側(cè)面積．故選：A．12．B【分析】本題考查了勾股定理，圓錐側(cè)面積，先利用勾股定理求出圓錐底面圓的半徑，然后利用圓錐側(cè)面積公式計算即可．【詳解】解：∵圓錐的高為，母線長為，∴圓錐底面圓的半徑為，∴圓錐的側(cè)面積是，故選：B．13．240【分析】本題考查了圓錐的計算：理解圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長是解題的關(guān)鍵．【詳解】圓錐側(cè)面展開圖的弧長是，設(shè)圓心角的度數(shù)是，則，解得，故答案為：．14．/【分析】由圖可知，陰影部分的面積是扇形和扇形的面積之和，求出圓心角即可計算．【詳解】解：四邊形是矩形，，，,，，，圖中陰影部分的面積為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計算、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．15．180【分析】先計算出展開的扇形的弧長，再計算出以母線為半徑的圓的周長，再根據(jù)圓心角公式即可得到答案．【詳解】解：∵母線長為cm，底面半徑為cm，∴展開的扇形的弧長為，以母線為半徑的圓的周長為，∴側(cè)面展開圖扇形的圓心角=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓錐的相關(guān)知識．16．【分析】根據(jù)圓錐的底面圓半徑為2，母線長為5，直接利用圓錐的側(cè)面積公式求出即可．【詳解】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐側(cè)面面積的計算，熟練記憶圓錐的側(cè)面積公式是解決問題的關(guān)鍵．17．【分析】根據(jù)扇形的計算公式：，和弧長公式：進(jìn)行計算即可．【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為，∵扇形的面積為，圓心角的度數(shù)為，∴，解得：，∴弧長為：，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積和弧長．熟練掌握相關(guān)計算公式是解題的關(guān)鍵．18．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得，，則，再根據(jù)垂徑定理得，，則是的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理可得，即可得出結(jié)論；（2）連接，，，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)以及得，由三角形的內(nèi)角和定理得，則，可得是等邊三角形，可得，，，利用勾股定理求出的長，根據(jù)即可得陰影部分的面積．【詳解】（1）證明：是的直徑，是的弦，，，，，，是的弦，，，是的中位線，，；（2）如圖，連接，，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，等邊三角形的性質(zhì)，扇形的面積計算、含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)；熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解此題的關(guān)鍵．19．【分析】本題考查了扇形的面積公式，理解圓錐的側(cè)面積等于扇形的面積是解題的關(guān)鍵．利用扇形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵圓錐的底面周長為，母線長為，∴圓錐的側(cè)面積為：．答：所需油氈的面積至少是．20．(1)見解析(2)陰影部分的面積為．【分析】（1）連接，由，可得，從而求得，可證得直線為的切線；（2）先求和扇形的面積，進(jìn)而可求出圖中陰影部分的面積．【詳解】（1）證明：連接，

∵，，∴，∴，∴，∵為圓的半徑，∴直線為的切線；（2）解：由（1）可知，在中，∵，∴，∴陰影部分的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)及扇形面積的計算，掌握過切點(diǎn)的半徑與切線垂直，學(xué)會用分割法求陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．21．【詳解】本題考查了圓錐的計算，需注意最短距離的問題最后都要轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離的問題．最短距離的問題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開圖的問題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離的問題．需先算出圓錐側(cè)面展開圖的扇形半徑．看如何構(gòu)成一個直角三角形，然后根據(jù)勾股定理進(jìn)行計算．【解答】解：圓錐的底面周長是，則，∴，即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是120度．∴，∵，∴是等邊三角形，∵C是中點(diǎn)，∴，∴度．∵在圓錐側(cè)面展開圖中，∴在圓錐側(cè)面展開圖中．最短距離是．22．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)，【分析】（1）利用直徑所對的圓周角等于，得到，再利用即可證明；（2）利用，得到，進(jìn)一步得到，再根據(jù)即可證明三角形全等；（3）連接，由全等三角形的性質(zhì)得到，則可證明是等邊三角形，得到，再推出，即可求出，，再根據(jù)陰影部分面積等于扇形的面積減去三角形的面積進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：∵為的直徑，∴，又∵，∴．（2）證明：∵，為的直徑，∴，∴，在和中，∴．（3）解：連接，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，，∴，，

∴扇形的面積是：，的面積是：，∴陰影部分的面積是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，扇形的面積公式，圓周角定理等等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上相關(guān)知識．23．(1)(2)【分析】（1）連結(jié)BC，根據(jù)∠A＝90°，可得，再由勾股定理可得AB＝AC＝1，然后根據(jù)，即可求解；（2）設(shè)圓錐底面半徑為r，則的長為2πr，從而得到，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連結(jié)BC，∵∠A＝90°，∴BC為⊙O的直徑．即，在Rt△ABC中，AB＝AC，且AB2＋AC2＝BC2，∴AB＝AC＝1，∴＝；（2）解：設(shè)圓錐底面半徑為r，則的