/專題卷五軸對(duì)稱(滿分:120分考試時(shí)間:120分鐘)一、選擇題(每題5分，共30分)1.[寧波鎮(zhèn)海中學(xué)自主招生]把26個(gè)英文字母按規(guī)律分成5組，現(xiàn)在還有5個(gè)字母D，M，Q，X，Z，請(qǐng)你按原規(guī)律補(bǔ)上各個(gè)空，其順序依次為 ()①F,R,P,J,L,G,() ②H,I,O,() ③N,S,()④B,C,K,E,() ⑤V,A,T,Y,W,U,()A.Q,X,Z,M,D B.D,M,Q,Z,XC.Z,X,M,D,Q D.Q,X,Z,D,M2.[2024·寧波自主招生]如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分線與AB的垂直平分線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在BC上,點(diǎn)F在AC上。將∠C沿EF折疊,點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合,則∠OEC的度數(shù)為 ()A.72° B.100° C.108° D.120°3.[麗水自主招生]如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為()A.2 B.22 C.44.[2024·廣州南沙區(qū)自主招生]如圖，在邊長(zhǎng)為a的等邊三角形ABC中，BF是AC上的中線且BF=b,點(diǎn)D在BF上,連結(jié)AD。在AD的右側(cè)作等邊三角形ADE,連結(jié)EF,則△AEF周長(zhǎng)的最小值是 ()A.12a+23b 5.[浙江競(jìng)賽]如圖,直線l?與直線l?相交,α=60°,點(diǎn)P在α內(nèi)(不在l?，l?上)。小明用下面的方法作點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)：先以l?為對(duì)稱軸作點(diǎn)P關(guān)于l?的對(duì)稱點(diǎn)P?，再以l?為對(duì)稱軸作點(diǎn)P?關(guān)于l?的對(duì)稱點(diǎn)P?，然后再以l?為對(duì)稱軸作點(diǎn)P?關(guān)于l?的對(duì)稱點(diǎn)P?，以l?為對(duì)稱軸作點(diǎn)P?關(guān)于l?的對(duì)稱點(diǎn)P?,…,如此繼續(xù),得到一系列點(diǎn)P?,P?,P?,…,Pn。若Pn與P重合,則n的最小值是 ()A.5 B.6 C.7 D.86.[武漢競(jìng)賽]如圖，∠MON=40°,P是∠MON內(nèi)的定點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在OM,ON上移動(dòng)。當(dāng)△PAB周長(zhǎng)最小時(shí),A.20° B.40° C.100° D.140°二、填空題(每題5分，共30分)7.[2024·西安碑林區(qū)自主招生]在一節(jié)折紙活動(dòng)課上，小思將如圖1的正方形紙片兩邊對(duì)折至對(duì)角線，得到如圖2的四邊形，再將其一角對(duì)折，使對(duì)面兩角的頂點(diǎn)重合，得到如圖3的五邊形，則圖3中∠1的度數(shù)為°。8.[2024·湖北黃岡中學(xué)自主招生]綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小亮將一張面積為24cm29.[2024·武漢華師一附中自主招生]如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD，將△ADC沿直線AD翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得△10.[嘉興自主招生]如圖,在△ABC中,AB=AC=6,在△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,將△BPC沿BC邊向外翻折至△BQC,過點(diǎn)P,Q分別作AB,AC邊的垂線,垂足為M,N,E,F。已知MP+EQ=8,NP+FQ=6,那么S△ABC=11.如圖,在四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分別找一點(diǎn)M,N,當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí),∠AMN+∠ANM的度數(shù)為°。12.如圖,有任意四邊形ABCD,A',B',C',D'分別是點(diǎn)A,B,C,D關(guān)于點(diǎn)B,C,D,A的對(duì)稱點(diǎn)。設(shè)S表示四邊形ABCD的面積,S'表示四邊形A'B'C'D'的面積,則S'S的值為三、解答題(共60分)13.(10分)[江蘇競(jìng)賽]如圖，設(shè)L?和L?是鏡面平行且鏡面相對(duì)的兩面鏡子，把一個(gè)小球A放在二者之間，小球在鏡L?中的像為A′，A′在鏡L?中的像為A″。若L?，L?的距離為7，求AA''的長(zhǎng)。14.(12分)[2024·義烏校級(jí)月考]如圖,在△ABC中，AB=AC,∠BAC=130(1)求∠DFG(2)設(shè)∠BAD=θ,15.(12分)如圖,在Rt△ABC中,AD是斜邊BC上的高,P,Q,R分別是AB,BC,CA上的點(diǎn)。求證:16.(12分)如圖,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PG垂直平分BC，交點(diǎn)為G，且∠17.(14分)某課外活動(dòng)小組對(duì)課本上的一道習(xí)題學(xué)習(xí)后，進(jìn)行了拓展應(yīng)用：(1)原題：如圖1，在直線l上找一點(diǎn)P，使得.PA+PB最短(畫圖即可)。(2)應(yīng)用:如圖2,已知在正方形ABCD中,E為AB的中點(diǎn),在線段BD上找一點(diǎn)P,使得.PA+PE的值最小，并說明理由。(3)探索:如圖3,E為正方形ABCD的AB邊的中點(diǎn),M為BC上一點(diǎn),N為CD上一點(diǎn),連結(jié)EM,MN,NA。請(qǐng)你應(yīng)用(1)的原理在圖3中找出點(diǎn)M,N,使得EM+MN+NA的值最小，畫圖即可。專題卷五軸對(duì)稱1.D【解析】①中字母都不是對(duì)稱圖形，故滿足規(guī)律的是Q；②有兩條對(duì)稱軸，并且兩對(duì)稱軸互相垂直，則規(guī)律相同的是X；③是中心對(duì)稱圖形，則規(guī)律相同的是Z；④是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是一條水平的直線，滿足規(guī)律的是D；⑤是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是一條豎直的直線，滿足規(guī)律的是M。故各個(gè)空順序依次為Q,X,Z,D,M。2.C【解析】如答圖,連結(jié)OB,OC?！摺螧AC=54°,AO為∠BAC的平分線,∴∠又∵AB=AC,∴∠=6∵DO是AB的垂直平分線,∴OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=27°,∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°?！逜O為∠BAC的平分線,AB=AC,∴OB=OC,∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。又∵DO是AB的垂直平分線，∴點(diǎn)O是△ABC的外心,∴∠OCB=∠OBC=36°。由折疊,得OE=CE,∴∠COE=∠OCB=36°,∴∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°。3.C【解析】∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,∴由翻折變換的性質(zhì)可知AD=QM,QP=AP,MN=DN,∴陰影部分的周長(zhǎng)=QM+(QP+BP)+BC+(CN+MN)=AD+AB+BC+CD=1×4=4。4.B【解析】如答圖,連結(jié)CE,作點(diǎn)A關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)M，連結(jié)FM，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E'，連結(jié)AE',CM,此時(shí).AE'+FE'的值最小?！摺鰽BC,△ADE都是等邊三角形,∴AB=AC=a,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°,∴∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴∠ABD=∠ACE。∵∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°,BF⊥AC,∴點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)(∠ACE=30°)。∵CA=CM,∠ACM=60°,∴△ACM是等邊三角形,AM=AC。∵BF⊥AC,∴FM=BF=b,∴△AEF周長(zhǎng)的最小值:=AF+FE'+AE'=AF+FM5.B【解析】設(shè)兩直線交點(diǎn)為O，根據(jù)對(duì)稱性可知：作出的一系列點(diǎn)P?,P?,P?,…,P?都在以O(shè)為圓心,OP為半徑的圓上，如答圖所示?！擀?60°,∴每相鄰兩點(diǎn)間的角度是60°,∴若P?與P重合,則n的最小值是6。6.C【解析】如答圖,分別作點(diǎn)P關(guān)于OM,ON的對(duì)稱點(diǎn)P',P",連結(jié)OP',OP",P'P"。P'P"交OM,ON于點(diǎn)A,B,連結(jié)PA,PB,此時(shí)△PAB周長(zhǎng)的最小值等于P'P"?！哂奢S對(duì)稱性質(zhì)，得OP'=OP"=OP,∠P'OA=∠POA,∠P"OB=∠POB,∴∠。?∠又∵∠BPO=∠OP"B=50°,∠APO=∠AP'O=50°,∴∠APB=∠APO+∠BPO=100°。7.45【解析】如答圖,將題目中圖1,圖2,圖3放在一張圖中，由題意,得∠DAE=∠CAE=∠CAF=∠BAF=1∴∠EAF=45°=∠HCG,∴∠∴∠1=180°-135°=45°。8.22【解析】如答圖,延長(zhǎng)AT交BC于點(diǎn)P。∵AP⊥BC,∴∴AP=6cm。由題意,得AT=PT=3cm,∴BE=CD=PT=3cm。∵DE=BC=8cm,∴矩形BCDE的周長(zhǎng)為8+8+3+3=22(cm)。9.3【解析】由題意,得△DCA≌△DC'A,OC=OC',∠COD=∠C'OD=90°,∴O為CC'的中點(diǎn)?！逥為BC的中點(diǎn),∴OD是△BCC'的中位線,∴∴∠COD=∠EC'B=90°?！逜E=BE,BC'=2,∴OD=1。在△EC'B和△EOA中,∵{∴△EC'B≌△EOA(AAS),∴∴AO=2,∴AD=AO+OD=2+1=3。10.21【解析】如答圖,連結(jié)AP,AQ?！邔ⅰ鰾PC向外翻折至△BQC,∴△BPC≌△BQC,∴S△BPC=S△BQC?！?S△ABC=S∴11.120【解析】如答圖,作點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A',A",連結(jié)A'A",交BC于點(diǎn)M,交CD于點(diǎn)N,則A'A"即為△AMN周長(zhǎng)的最小值。∵∠∵∠A'=∠MAB,∠NAD=∠A″,且∠A′+∠MAB=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠12.5【解析】如答圖,連結(jié)AC,BD,A'C。∵C是BB′的中點(diǎn),.同理：S△A'BC=S△ABC,∴S△A'BB'=2S△ABC。同理：S△AA∵∴∴13.解:∵小球在鏡L?中的像為A′,A′在鏡L?中的像為A",∴A′和A關(guān)于L?對(duì)稱,A″和A′關(guān)于L?對(duì)稱。設(shè)A到L?的距離為x,則A到L?的距離為7一x,∴A′到L?的距離為7+x,∴14.解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,∴∠B=∠C=25°?！摺鰽BD,△AFD關(guān)于AD所在的直線對(duì)稱,∴△ADB≌△ADF,∴∠B=∠AFD=25°,AB=AF。∵AB=AC,∴AF=AC。∵∠FAC的平分線交BC邊于點(diǎn)G,∴∠FAG=∠CAG。在△AGF和△AGC中,∵{∴△AGF≌△AGC(SAS),∴∠AFG=∠C?！摺螪FG=∠AFD+∠AFG,∴∠(2)令A(yù)F與BC的交點(diǎn)為Q,分3種情況討論:①當(dāng)GD=GF時(shí),∴∠GDF=∠GFD=50°?！摺螦DG=25°+θ,∴在△ADF中,5∴θ=40°;②當(dāng)FD=GF時(shí),∴∠GDF=∠FGD?！摺螪FG=50°,∴∠FDG=∠FGD=65°。在△ADF中,(65°③當(dāng)FD=GD時(shí),∴∠DFG=∠FGD=50°,∴∠FDG=80°。在△ADF中,80°綜上所述,當(dāng)θ=40°,32.5°或25°時(shí),△DFG為等腰三角形。15.證明:如答圖,以AB為對(duì)稱軸,作點(diǎn)C,Q,R的對(duì)稱點(diǎn)C?,Q?,R??！摺螩AB=90°,∴C,A,C?三點(diǎn)共線。以CC?為對(duì)稱軸,作點(diǎn)B,Q?,P的對(duì)稱點(diǎn)B?,Q?,P??！摺螧?C?C=∠BC?C=∠C,∴BC∥B?C?。延長(zhǎng)DA交B?C?于點(diǎn)D?,則.D由平行線間垂線段最短，可得DD由對(duì)稱性可得R∴2AD<PQ+RP+QR,即AD16.證明:如答圖,作BF⊥CE交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,CM⊥BD于點(diǎn)M,則∠PFB=∠PMC=90°?！逷G是BC的垂直平分線,∴PB=PC。在△PBF和△PCM中,∴{∴△PBF≌△PCM(AAS),∴BF=CM?！摺摺稀唷螮PD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°,∴∠AEP+∠ADP=180°。又∵∠AEP=∠BEF,∠ADP+∠CDM=180°,∴∠BEF=∠CDM。在△BEF和△CDM中,{∠BEF=∠CDM,∠17.解:(