/第3章勾股定理一、單選題1．如圖，在中，，，點是上的一點，連接，當，時，的長為（

）A．6 B． C． D．102．如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，其中四邊形與四邊形都是正方形，若，則小正方形與大正方形的邊長之比為（

）A． B． C． D．3．以下列長度的線段為邊，不能組成直角三角形的是（

）A．3、4、5 B．1、2、2 C．1、、 D．8、15、174．如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到，點E和點C是對應(yīng)點，若，，則的長是（

）A． B．2 C． D．45．如圖：在中，，是的平分線，于，在上，，，，則的面積為（

）A． B． C． D．6．如圖，在中，，，，是邊上一動點，將沿折疊，點落在處，設(shè)，當落在的內(nèi)部時，的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．我國古代著作《周髀算經(jīng)》中記載了“趙爽弦圖”．如圖是用四個全等的直角三角形拼接而成的，已知的周長等于14，正方形的邊長是6，則正方形的面積為（

）A． B．8 C．20 D．8．如圖，將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，點B、C的對應(yīng)點分別為點D、E，點C、D、E恰好在一條直線上．若，，則的長為（

）A． B． C． D．二、填空題9．如圖，四邊形中，，E為射線上的動點，將線段繞A點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則最小值．10．如圖，在直角三角形中，，，，點是邊上的一點（不與、重合），連接，將沿折疊，使點落在點處．①的長為；②當是直角三角形時，的長為．11．如圖，在中，，，．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點恰好落在上，連接，則的長度為．12．如圖，是等腰直角三角形，，D是斜邊的中點，，E、F分別是邊、上，若，，則的面積為．13．如圖，在中，，是邊上的中線，，若在射線上存在點，滿足，且，則．三、解答題14．已知：如圖，，，垂足分別為N，M，，與相交于點P．(1)求證：；(2)若，，求的長．15．如圖，在中，，，，D為的中點，過點D作交于點E，求的長．16．如圖，在長方形中，．(1)如圖①，將長方形沿翻折，使點與點重合，點落在點處，求的長；(2)如圖②，將沿翻折，若交于點，求的長；(3)如圖③，為邊上的一點，將沿翻折得到分別交邊于點，且，求的長．17．如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)沿射線以的速度移動，設(shè)運動的時間為．(1)若點運動到的中點時，的值為_______；(2)若，求的長；(3)當為直角三角形時，求的值．18．如圖①，在中，，，D為邊上一點（不與點B，C重合），將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則：(1)的度數(shù)是；線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖②，在中，，，D為邊上一點（不與點B，C重合），將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，請判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．參考答案1．C【分析】本題考查了勾股定理，含的直角三角形的性質(zhì)，在中，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，在中，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)求出即可．【詳解】解∶∵，，∴，又，∴，∴，∵，，∴，故選∶C．2．B【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，推出，設(shè)，則，得到，求出，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，∵，，設(shè)，則，．故選：B．3．B【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理逆定理，若三角形三邊滿足（為最長邊），則為直角三角形。需逐一驗證各選項是否滿足該條件，同時檢查是否能構(gòu)成三角形．【詳解】選項A：最長邊為5，驗證，與相等，滿足勾股定理，能組成直角三角形；選項B：最長邊為2，驗證，與不相等，不滿足勾股定理。雖然三邊滿足三角形存在條件（如），但無法構(gòu)成直角三角形；選項C：最長邊為，驗證，與相等，滿足勾股定理，能組成直角三角形；選項D：最長邊為17，驗證，與相等，滿足勾股定理，能組成直角三角形；綜上，選項B的三邊不能組成直角三角形．故選：B．4．C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，∴，，在中，，故選：C．5．B【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是靈活運用這些性質(zhì)解決問題．根據(jù)題意可證，可得，，根據(jù)勾股定理可得，的長，再根據(jù)勾股定理可得的長，即可求的面積．【詳解】解：是的平分線，于，，，，，，在中，，，，在中，．，∴，，，，在中，，的面積為．故選：B．6．D【分析】當時，點落在上時，此時，當落在上時，得到解答即可．本題考查了折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點C作于點E，∵，，，∴，，∴當P與點E時重合時，點落在上時，此時，∴當落在上時，，，∴，∴，∴，∴，故選：D．7．B【分析】本題考查了勾股定理，完全平方公式的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理并結(jié)合已知可得出，，根據(jù)完全平方公式變形可求出，，即可求解．【詳解】解：∵的周長等于14，正方形的邊長是6，∴，，∴∴，由題意知：，∴，∴正方形的面積為8，故選：B．8．C【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，由旋轉(zhuǎn)得，，，推出是等腰直角三角形，，過點A作于點H，得到，利用勾股定理求出的長．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得，，，∴是等腰直角三角形，，過點A作于點H，∴，∴，故選：C．9．【分析】將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，可證得，從而得出，可得出，，從而得出，從而，故當點在處時，最小，從而，從而得出的最小值．【詳解】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，過點A作于點F，

，，，，，，∵，∴，，，，，∵，∴，∴，∴，，當點在處時，最小，即的長度，的最小值為．故答案為：．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．10．6或【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先求出，，根據(jù)勾股定理求出結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件得到當是直角三角形時，或，①當時，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，于是得到，②當時，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，推出點E在上，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）在直角三角形中，，，，，，；故答案為：；（2）∵點D是邊上的一點，∴，∴當是直角三角形時，或，①當時，則，∵將沿折疊，使點C落在點E處，∴，∴，②當時，∵將沿折疊，使點C落在點E處，∴，∴，∴點E在上，如圖，∴，∴，∵，∴，∴，綜上所述，的長為6或，故答案為：6或．11．【分析】先由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，由三角形內(nèi)角和定理可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，證明是等邊三角形，得到，則可證明是等邊三角形，得到．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴是等邊三角形，∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．12．【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，連接，由題意可得，，，證明，得出，，即可推出為等腰直角三角形，求出，由勾股定理可得，從而可得，再由三角形面積公式計算即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，，∵是等腰直角三角形，，D是斜邊的中點，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴為等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．13．【分析】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是掌握分類討論的數(shù)學思想．過點作，交于點，過點作，交于點，根據(jù)題意分兩種情況進行討論，①當點在的延長線上時，②當點在線段上時，注意兩種情況的取舍，先利用三角中線的性質(zhì)得出相等的線段，通過證明三角形全等得出相等的線段和角，假設(shè)出未知數(shù)，然后利用勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：①當點在的延長線上時，此時，令，如圖，過點作，交于點，過點作，交于點，∴，∵是邊上的中線，∴，又∵，∴，，又∵，∴，∴，∴，即，不符合，所以，此種情況不存在；②當點在線段上時，此時，令，點為線段中點，如圖，過點作，交于點，過點作，交于點，同①得，，∴，，，又∵，，，∴，∴為等腰三角形，∵，∴，假設(shè)，則，，，∴，在中，由勾股定理得，，∴，在中，由勾股定理得，,即，解得，（負值已舍），，故答案為：．14．(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的知識．（1）根據(jù)題意證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）由，可得，再根據(jù)勾股定理求出，即可求解．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，，．（2）解：，，，．15．．【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理．先連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得，然后設(shè)，由勾股定理可得方程，繼而求得答案．【詳解】解：連接，∵D為的中點，，∴垂直平分，∴，∵，，，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得：，即．16．(1)(2)(3)【分析】設(shè)，在中，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問題；首先證明，設(shè)，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題；設(shè)，首先證明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解決問題；【詳解】（1）解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得．因為四邊形是長方形，所以．設(shè)，則，在Rt中，因為，所以，解得，所以．（2）因為四邊形是長方形，所以．根據(jù)折疊的性質(zhì)，得．又因為，所以．因為交于點，所以，所以，所以．設(shè)，則．在Rt中，因為，所以，解得，所以．（3）因為四邊形是長方形，所以．根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，所以．又因為，所以，所以，所以．又因為，設(shè)，則，所以．在Rt中，，解得，所以．【點睛】此題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確理解題意確定三角形的三邊由勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．17．(1)1(2)(3)2或【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出的長，進而得的長，再除以點運動的速度即可求解．（2）由題知當時，，，在中，根據(jù)勾股定理列方程求出t的值，即可得的長．（2）分兩種情況：①當為直角時，點P與點C重合；②當為直角時，利用勾股定理求解即可得．本題考查了勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及分情況討論，注意不要漏解．【詳解】（1）解：∵在中，，，，∴，若點運動到的中點，則，則．（2）解：由題知，如圖，當時，，，在中，，∴，解得，∴．（3）解：如圖①，當為直角時，點P與點C重合，，即；如圖②，當為直角時，，，在中，，在中，，