晉江僑聲中學(xué)、南安僑光中學(xué)2025秋季高二年兩校聯(lián)考二數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在等差數(shù)列中,,,則的公差為（）A.1 B.2 C.3D.42.若過(guò)點(diǎn)的直線的傾斜角為，且，則的方程為（）A．B．C．D．3.四面體中，，，設(shè)，，，則（）A．B．C．D．4.已知橢圓，過(guò)的右焦點(diǎn)作軸的垂線交于兩點(diǎn)，，則的離心率為()A． B． C． D．5.已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為（）A．B．C．D．6.如圖，在三棱錐中，平面，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B． C．D．7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于點(diǎn)A，B，且與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若且，則的值為（）A． B．2 C．3 D．48.造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.已知C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于，到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為4，則C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值與1的關(guān)系為（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.一個(gè)不透明袋子中裝有大小和質(zhì)地完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球，從袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，則（）A．“摸到2個(gè)紅球”與“摸到2個(gè)白球”是互斥事件B．“至少摸到1個(gè)紅球”與“摸到2個(gè)白球”是對(duì)立事件C．“摸出的球顏色相同”的概率為D．“摸出的球中有紅球”與“摸出的球中有白球”相互獨(dú)立10.已知橢圓，雙曲線，它們的離心率分別為，，則（）A．可能為等軸雙曲線B．的焦距小于的焦距C．與恰有四個(gè)公共點(diǎn)D．11.直四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為4，，點(diǎn)P在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足，則（

）．A．存在點(diǎn)P使得平面B．直線與平面所成的角為定值C．直線與所成角的范圍為D．點(diǎn)P到平面的距離的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,則.13.點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)P向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為.14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與C交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，外接圓圓心為，則的值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.(本題13分)在長(zhǎng)方體中，底面為正方形，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).求證：平面；(2)求與平面成角的正弦值.16.（本題15分）如圖所示，已知雙曲線QUOTE與拋物線QUOTE有相同的焦點(diǎn)F，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)的交點(diǎn)為M.(1)寫出拋物線QUOTE的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)若雙曲線QUOTE的漸近線為.(i)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(ii)求點(diǎn)M到雙曲線QUOTE兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和.17.（本題15分）設(shè)等差數(shù)列的公差為,且.令,記,分別為數(shù)列,的前項(xiàng)和,已知,(1)求,的通項(xiàng)公式;(2)若=QUOTE，數(shù)列的前項(xiàng)和為,求.18.（本題17分）如圖，在四棱錐中，，．(1)證明：平面ABCD；(2)若底面ABCD是正方形，．E為PB中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱PD上，且平面AEF與平面ABCD的夾角的余弦值為．（ⅰ）求PF；（ⅱ）平面AEF交PC于點(diǎn)G，點(diǎn)M在平面PBC上，求EG與平面MAD所成角的正弦值的取值范圍．19.（本題17分）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為且過(guò)點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)且不過(guò)原點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若直線，，的斜率分別為，且，求面積的取值范圍．

題號(hào)12345678答案BCABDBCD7.如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)作，過(guò)作，垂足分別為，則．根據(jù)拋物線定義知，，設(shè)，，因?yàn)?，所以，即，得，所以，所以，因?yàn)椋?，即，解得．故選：C.8.設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)為，由題意知，曲線C方程為：，其中，將點(diǎn)代入曲線方程，得：，則.故曲線C方程為：，其中.可得，當(dāng)時(shí)，.因此C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值.故選：D.二、題號(hào)91011答案ABCBDABD9.記2個(gè)紅球?yàn)锳，B，3個(gè)白球?yàn)閍，b，c，則任意摸出2個(gè)球，有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10種，“摸到2個(gè)紅球”有AB，“摸到2個(gè)白球”有ab，ac，bc，“至少摸到1個(gè)紅球”有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，“摸出的球顏色相同”有AB，ab，ac，bc，“摸出的球中有白球”有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，A：“摸到2個(gè)紅球”與“摸到2個(gè)白球”不可能同時(shí)發(fā)生，故是互斥事件，故A正確；B：“至少摸到1個(gè)紅球”與“摸到2個(gè)白球”不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，故是對(duì)立事件，故B正確；C：“摸出的球顏色相同”包含4種結(jié)果，故其概率為QUOTE，故C正確；D：設(shè)M＝“摸出的球中有紅球”，N＝“摸出的球中有白球”，用古典概型的方法計(jì)算可知P(M)＝QUOTE，P(N)＝QUOTE，P(MN)＝QUOTE，顯然P(MN)≠P(M)P(N)，故M，N不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤．故選ABC.10.根據(jù)題意，因?yàn)?，所以不可能為等軸雙曲線，A錯(cuò)誤；橢圓，半焦距，的焦距為，雙曲線，半焦距，的焦距為，顯然，B正確；因?yàn)闄E圓中，雙曲線中，則與只有和兩個(gè)交點(diǎn)，C錯(cuò)誤;，則，D正確.故選：BD11.由題設(shè)，棱柱底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，且，則，根據(jù)直棱柱的結(jié)構(gòu)特征知，關(guān)于平面對(duì)稱且面，由，點(diǎn)P在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則，所以的軌跡是以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓（含端點(diǎn)），如下圖示，當(dāng)與重合時(shí)，，即，面，面，所以平面，A對(duì)；由上分析知，直線與平面所成的角，即為半圓錐的母線與底面所成角，所以直線與平面所成的角為定值，B對(duì)；由，直線與所成角，即為直線與所成角，根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到半圓的最上方時(shí)，由最小逐漸增加到最大，即與重合時(shí)，最小為，顯然不滿足區(qū)間的最小值;C錯(cuò)令點(diǎn)P到平面的距離為，到直線的距離為且，而，，，由，則，整理可得，所以，D對(duì).故選：ABD三、題號(hào)121314答案14.由題意可得，由解得和，即，易知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由可得，故的外接圓圓心為的中點(diǎn)，即，又的內(nèi)切圓圓心為，則由對(duì)稱性可知，點(diǎn)在軸上，不妨設(shè)，易得直線的方程為，即，則點(diǎn)到直線的距離等于該點(diǎn)到直線的距離，即，解得或（不合題意，舍去），故得，故.四、15.（1）法1：取的中點(diǎn),連接,,依題意可知：且,且所以且,四邊形為平行四邊形，故，………4分又平面,平面,所以平面.…………6分法2：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，,,，，………………2分設(shè)平面的法向量，則，取，得，…………4分,又面，所以平面，……………6分（2）由（1），…………8分設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.…………………13分16.（1）因?yàn)閽佄锞€QUOTE，所以拋物線QUOTE的焦點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE，準(zhǔn)線方程為QUOTE……………4分（2）(i)設(shè)雙曲線的方程為則QUOTE，QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，∴雙曲線QUOTE的方程為QUOTE……………8分(ii)由QUOTE，可得QUOTE或QUOTE(舍去)所以QUOTE，……………10分由拋物線的定義可知QUOTE，…………………12分由雙曲線的定義可知，點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的距離為7，…………………14分∴點(diǎn)M到雙曲線QUOTE兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為QUOTE.…………………15分17.(1)由,得,…………………1分則……………………3分又…………………5分所以即解得(舍去)…………7分所以………………9分則……………………10分(2)……12分……………14分…………15分18.（1）因?yàn)槠矫鍼AD，平面PAD，所以．又，平面ABCD，平面ABCD，，所以平面ABCD．……………………3分（2）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如圖．（?。?，，，，，設(shè)，則．設(shè)平面AEF的法向量為，則即，取，得，，所以是平面AEF的一個(gè)法向量，……………6分因?yàn)槠矫鍭BCD，所以是平面ABCD的一個(gè)法向量．……7分因?yàn)槠矫鍭EF與平面ABCD的夾角的余弦值為，所以，得，所以．……………9分（ⅱ）設(shè)，則．因?yàn)闉槠矫鍭EGF的一個(gè)法向量，所以，所以，即，得，所以，．………11分，，，，，，因?yàn)镸在平面PBC上，所以，所以．設(shè)平面MAD的法向量，則即，取得，所以是平面MAD的一個(gè)法向量，………………14分設(shè)EG與平面MAD所成角為，則因?yàn)?，所以即EG與平面MAD所成角的正弦值的取值范圍為．………………17分19.（1）由已知得，且，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；…………3分（2）分類討論：①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程組消去得，則，，由，得，…………………6分由，得，即，化簡(jiǎn)得，從而，化簡(jiǎn)得，即，所以或（直線