專題01空間向量與立體幾何（15個考點清單+15類題型解讀）知識點01：空間向量的有關(guān)概念1、空間向量的有關(guān)概念幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量2、空間向量的表示表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：（1）幾何表示法：用有向線段來表示，叫向量的起點，叫向量的終點；（2）字母表示法：用表示．向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或.知識點02：空間向量的加法、減法運算1、空間向量的位置：已知空間向量，可以把它們平移到同一平面內(nèi)，以任意點為起點，作向量，2、空間向量的加法運算（首尾相接首尾連）：作向量，則向量叫做向量的和．記作，即3、空間向量的減法運算（共起點，連終點，指向被減向量）：向量叫做與差，記作，即4、空間向量的加法運算律（1）加法交換律：（2）加法結(jié)合律：知識點03：空間向量的數(shù)乘運算1、定義：與平面向量一樣，實數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．2、數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的范圍的方向的模與向量的方向相同，其方向是任意的與向量的方向相反知識點04：共線向量與共面向量1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．2、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數(shù)，使．3、共面向量定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．4、共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使5、空間共面向量的表示如圖空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使．或者等價于：對空間任意一點，空間一點位于平面內(nèi)（四點共面）的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使，該式稱為空間平面的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．6、拓展對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．知識點05：空間兩個向量的夾角1、定義：如圖已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，，則么叫做向量的夾角，記.（特別注意向量找夾角口訣：共起點找夾角）2、范圍：．特別地，（1）如果，那么向量互相垂直，記作．(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為，故(或)(為非零向量)．3、拓展（異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別）若兩個向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為，(1)向量夾角的范圍是0<<><，異面直線的夾角的范圍是0<<，(2)當兩向量的夾角為銳角時，；當兩向量的夾角為時，兩異面直線垂直；當兩向量的夾角為鈍角時，.知識點06：空間向量的數(shù)量積1、定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.特別提醒：兩個空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負數(shù)或零;2、空間向量數(shù)量積的應用(1)利用公式可以解決空間中有關(guān)距離或長度的問題;(2)利用公式可以解決兩向量夾角,特別是兩異面直線夾角的問題;3、向量的投影①如圖(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(如圖(2))．②如圖(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，，得到，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量，的數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積或等于的長度與在方向上的投影的乘積.5、數(shù)量積的運算：（1），.（2）(交換律)．（3）(分配律).知識點07：空間向量基本定理1、空間向量基本定理如果向量三個向量不共面，那么對空間任意向量存在有序?qū)崝?shù)組使得2、基底與基向量如果向量三個向量不共面，那么所有空間向量組成集合就是這個集合可看作是由向量生成的，我們把叫做空間的一個基底都叫做基向量．3、單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示．4、正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量，均可以分解為三個向量，，使得.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．知識點08：空間向量的正交分解及其坐標表示1、空間直角坐標系空間直角坐標系及相關(guān)概念(1)空間直角坐標系：在空間選定一點和一個單位正交基底，以為原點，分別以的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系.(2)相關(guān)概念：叫做原點，都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為平面、平面、平面，它們把空間分成八個部分．2、空間向量的坐標表示①空間一點的坐標：在空間直角坐標系中，為坐標向量，對空間任意一點，對應一個向量，且點的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.在單位正交基底下與向量對應的有序?qū)崝?shù)組叫做點在此空間直角坐標系中的坐標，記作，其中叫做點的橫坐標，叫做點的縱坐標，叫做點的豎坐標．②空間向量的坐標：在空間直角坐標系中，給定向量，作.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.有序?qū)崝?shù)組叫做在空間直角坐標系中的坐標，上式可簡記作.知識點09：空間向量運算的坐標表示1、設，空間向量的坐標運算法則如下表所示：運算坐標表示加法減法數(shù)乘數(shù)量積2、兩個向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）3、向量長度的坐標計算公式若，則，即空間向量長度公式表示的是向量的長度，其形式與平面向量長度公式一致，它的幾何意義是表示長方體的體對角線的長度4、兩個向量夾角的坐標計算公式設，則5、兩點間的距離公式已知，則6、中點坐標公式設點為，的中點，則.知識點10：用向量表示點、直線、平面的位置1、用向量表示點的位置：在空間中,我們?nèi)∫欢c作為基點,那么空間中任意一點就可以用向量表示.我們把向量稱為點的位置向量.如圖.2、直線的方向向量如圖①,是直線的方向向量,在直線上取,設是直線上的任意一點,則點在直線上的充要條件是存在實數(shù),使得，即3、空間直線的向量表示式如圖②,取定空間中的任意一點,可以得到點在直線上的充要條件是存在實數(shù),使①或②①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.4、用向量表示空間平面的位置根據(jù)平面向量基本定理，存在唯一實數(shù)對，使得，如圖；取定空間任意一點，空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)，，使.知識點11：平面的法向量及其應用1、平面法向量的概念如圖，若直線，取直線的方向向量，我們稱為平面的法向量；過點且以為法向量的平面完全確定，可以表示為集合．2、平面的法向量的求法求一個平面的法向量時，通常采用待定系數(shù)法，其一般步驟如下:設向量：設平面的法向量為選向量：選取兩不共線向量列方程組：由列出方程組解方程組：解方程組賦非零值：取其中一個為非零值（常取)得結(jié)論：得到平面的一個法向量.知識點12：空間中直線、平面的平行設直線,的方向向量分別為，，平面，的法向量分別為，，則線線平行??()線面平行??面面平行??知識點13：空間中直線、平面的垂直設直線的方向向量為，直線的方向向量為，平面的法向量，平面的法向量為，則線線垂直??線面垂直???面面垂直???知識點14：點到線面距離1、點到直線的距離已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，是直線外一點.設，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：2、點到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.知識點15：用向量法求空間角1、用向量運算求兩條直線所成角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則①②.2、用向量運算求直線與平面所成角設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有①②.（注意此公式中最后的形式是：）3、用向量運算求平面與平面的夾角如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分別為面，的法向量①②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為頓二面角（取負），則；題型一：空間向量線性運算 11題型二：向量共面與四點共面 14題型三：用基底表示向量 17題型四：空間向量基本定理求數(shù)量積、模長、夾角 20題型五：空間直角坐標系 25題型六：空間向量的平行、垂直運算 27題型七：空間向量的數(shù)量積、模長、夾角運算 29題型八：空間向量的投影向量 34題型九：異面直線所成角 36題型十：線面角 41題型十一：二面角、平面與平面所成角 48題型十二：點到線的距離 57題型十三：點到面的距離 61題型十四：折疊問題 66題型十五：探索性問題 77【題型一：空間向量線性運算】一、單選題1．（23-24高二下·甘肅·期中）在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量運算計算即得.【詳解】在空間四邊形ABCD中，E為BC的中點，則，所以.故選：C2．（24-25高二上·廣東茂名·期中）在平行六面體中，，，，是與的交點，以為空間的一個基底，則直線的一個方向向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的線性運算即可得到答案.【詳解】故選：A.3．（24-25高二上·四川成都·階段練習）如圖，在平行六面體中，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得.【詳解】.故選：C.4．（24-25高二上·福建福州·階段練習）如圖，空間四邊形中，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到，再由，可得，結(jié)合，即可求解.【詳解】因為，可得，又因為，可得，所以.故選：A.5．（23-24高二上·山東青島·期末）已知四面體中，為中點，若，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的運算法則，化簡得到，結(jié)合題意，列出方程，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，利用空間向量的運算法則，可得：，因為，所以，解得.故選：D.【題型二：向量共面與四點共面】一、單選題1．（24-25高三上·上海·開學考試）關(guān)于空間向量，以下說法錯誤的是（

）A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B．若，則與的夾角是銳角C．已知向量、、是不共面的向量，則、、也是不共面的向量D．若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面【答案】B【分析】A由空間向量的概念及性質(zhì)判斷；B注意同向共線的情況；C由向量共面定理判斷；D根據(jù)空間向量共面的推論判斷.【詳解】A：若三個空間向量有兩個向量共線，而空間中任意兩個向量是共面的，故共線的兩個向量必與第三個向量共面，對；B：對于兩個同向共線的非零向量也有，但它們的夾角為0度，不是銳角，錯；C：若、、是共面的向量，則存在且，顯然無解，所以、、是不共面的向量，對；D：由，且，根據(jù)空間向量共面的推論知，，，四點共面，對.故選：B2．（24-25高二上·重慶·期中）在空間中，若向量，，共面，則（

）A． B． C． D．6【答案】C【分析】根據(jù)向量共面則存在唯一的使得，列出等式計算可得結(jié)果.【詳解】若向量，，共面，則，即，解得：.故選：C3．（24-25高二上·江蘇無錫·期中）設為空間的一個基底，，，，若，，共面，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量共面定理列方程，解方程組即可.【詳解】由已知，，共面，則可設，即，即，解得，故選：D.4．（24-25高二上·山東·期中）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)共面向量定理判斷．【詳解】A選項，，共面；B選項，，共面；C選項，若存在，使得，則共面，與已知矛盾，所以假設錯，不共面．D選項，，共面．故選：C．5．（24-25高二上·湖北·期中）如圖，在正四棱臺中，.直線與平面EFG交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，通過四點共面，即可求解.【詳解】依題意，，在四棱臺中，，設，則四點共面，.故選：A6．（24-25高二上·河南周口·階段練習）在正三棱錐中，，點滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，延長至點，使得，得到，結(jié)合空間向量的共面定理，得到四點共面，把到平面的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離的一半，結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，延長至點，使得，所以，又由，所以四點共面，所以的最小值，即為點到平面的距離，因為點是的中點，則點到平面的距離是點到平面的距離的一半，又因為，所以三棱錐為正三棱錐，取等邊的中心為，連接，可得平面，所以即為點到平面的距離，在等邊，因為，可得，在直角中，可得，即點到平面的距離為，所以的最小值為.故選：B.【題型三：用基底表示向量】一、單選題1．（24-25高二上·重慶·階段練習）下列可使，，構(gòu)成空間的一個基底的條件是（

）A． B．，，兩兩垂直C． D．【答案】B【分析】判斷三個向量是否共面即可得．【詳解】選項AD中，三個向量一定共面，選項C中，可能共面，只有選項B中，一定不共面，故選：B．2．（23-24高二下·甘肅臨夏·期末）如圖，在平行六面體中，點E，F(xiàn)分別為AB，的中點，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用空間向量的線性運算即可得到結(jié)果.【詳解】在平行六面體中，點E，F(xiàn)分別為AB，的中點，則.故答案為：A.3．（24-25高二上·安徽黃山·期中）如圖，在三棱錐中，是線段的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】連接，利用向量的線性運算可求得結(jié)果.【詳解】連接，因為是線段的中點，所以，因為，所以，所以.故選：D.4．（24-25高二上·山東棗莊·期中）若是空間的一個基底，且不能構(gòu)成空間的一個基底，則（

）A． B．1 C．0 D．-2【答案】A【分析】分析可知存在，使得，結(jié)合空間向量基本運算求解.【詳解】因為是空間的一個基底，可知均不為零向量，若不能構(gòu)成空間的一個基底，則存在，使得，可得，解得.故選：A.5．（24-25高二上·湖北·期中）在空間直角坐標系中，為坐標原點，若是空間不共面的三個向量，則可以與向量和向量構(gòu)成空間一個基底的向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用共面向量的基本定理可判斷出、、共面，、、共面，、、共面，然后利用反證法與共面向量的基本定理可證得、、不共面，即可得出結(jié)論.【詳解】因為，，故、、共面，、、共面，故AB錯誤；因為，即、、共面，故D錯誤；假設、、共面，則存在實數(shù)、，使得，所以，，則、、共面，與題設條件矛盾，故假設不成立，即、、可構(gòu)成空間向量的一組基底，故C正確.故選：C【題型四：空間向量基本定理求數(shù)量積、模長、夾角】一、單選題1．（24-25高二上·廣東東莞·階段練習）在棱長為1的正方體中，點為棱上任意一點，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】基底法結(jié)合數(shù)量積的運算律和正方體的性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖，在正方體中，為棱上任意一點，則，，所以.故選：A.

2．（24-25高二上·貴州六盤水·期中）在空間四邊形中，，，，且，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】以，，為基底，根據(jù)空間向量的加減運算，表示出，即得答案.【詳解】由題意知在空間四邊形中，，，，且，，

則，故選：D3．（23-24高一下·吉林延邊·階段練習）平行六面體中.則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先表達出，兩邊平方后，利用空間向量數(shù)量積運算法則得到，從而求出模長.【詳解】由題意得，故，故.故選：A4．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習）在棱長均為1的三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先選一組基底，再利用向量加法和減法的三角形法則和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向量用基底表示，最后利用夾角公式求異面直線與所成角的余弦值即可．【詳解】如圖，設，，，棱長均為1則，，，，，，，，，，異面直線與所成角的余弦值為．故選：A．

5．（24-25高二上·山東煙臺·期中）在平行六面體中，底面是正方形，，，，M是棱的中點，與平面交于點H，則線段的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合模長公式可得，利用共面定理，即可求解得解.【詳解】在平行六面體中，取，，，，，，，，而，則，即，設，則，由于與共面，故存在實數(shù)，使得，故，解得，故，故選：A.6．（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面體的棱長為1，動點在平面上運動，且滿足，則的值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【分析】由四點共面推得，再以為基底進行向量運算可得.【詳解】動點在平面上運動，且不共線，則存在實數(shù)，使.即，所以.又，不共面，由空間向量基本定理可知，故，解得.即.因為四面體正四面體，且棱長為.所以，.所以.故選：C.【題型五：空間直角坐標系】一、單選題1．（24-25高二上·湖南·期中）在空間直角坐標系中，已知點，若點與點關(guān)于平面對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間坐標系的定義得對稱點的坐標，再求得向量坐標．【詳解】由點與點關(guān)于平面對稱，可得，所以.故選：A．2．（24-25高二上·海南·期中）在空間直角坐標系中，已知點是點在平面內(nèi)的射影，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求得攝影點坐標為，即可得.【詳解】易知點在平面內(nèi)的射影為，可知，即可得.故選：C3．（24-25高二上·福建廈門·期中）一束光線自點出發(fā)，被平面反射到達點被吸收，那么光線所經(jīng)過的距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出點關(guān)于平面的對稱點，的長即是光線所經(jīng)過的距離.【詳解】由題意得，點關(guān)于平面的對稱點為，則.故選：B.4．（24-25高二上·河南許昌·階段練習）在中，已知，，，則邊上的中線長為（

）A． B．6 C． D．7【答案】B【分析】需要先求出邊的中點坐標，然后根據(jù)空間兩點間距離公式來計算中線長.【詳解】已知，，根據(jù)中點坐標公式，中點的坐標為.已知，，根據(jù)空間兩點間距離公式，.故選：B.5．（24-25高二上·河南鄭州·期中）已知是直線上的兩點，若沿軸將坐標平面折成的二面角，則折疊后兩點間的距離是（

）A．4 B． C．6 D．【答案】D【分析】由題意求出坐標，作出折疊后的圖形，利用空間向量表示各段模長和二面角的平面角，利用空間向量的線性運算和數(shù)量積的運算律即可求得兩點間距離.【詳解】因是直線上的兩點，故有，如圖是折疊后的圖形，作軸于點，作軸于點，依題意，與所成的角為，則，由兩邊取平方，可得，故折疊后兩點間的距離是.故選：D.【題型六：空間向量的平行、垂直運算】一、單選題1．（24-25高二上·河南信陽·期中）已知向量，，若，則m等于（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)的條件，可得兩個向量的坐標乘積之和為零，代入公式即可求解.【詳解】由，，，得.解得.故選：B2．（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若與共線，則實數(shù)的值為（

）A． B．1 C．3 D．或3【答案】C【分析】利用空間向量平行充要條件即可求得實數(shù)的值.【詳解】，，若與共線，則有，即，解之得，則的值為3.故選：C3．（24-25高二上·吉林長春·階段練習）已知平面的一個法向量，點在平面內(nèi)；若點在平面內(nèi)，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】利用向量垂直列方程，化簡求得.【詳解】由題意，，因為平面的一個法向量，所以，所以，解得.故選：A4．（23-24高二上·安徽·期末）在空間直角坐標系中，已知點，，，若向量與向量共線，則的值為（

）A．0 B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)向量平行的坐標關(guān)系直接求解可得.【詳解】根據(jù)題意：，，與共線，所以，可得，．故選：B5．（23-24高二上·吉林延邊·期中）已知點，，，若A，B，C三點共線，則a，b的值分別是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2【答案】D【分析】由A，B，C三點共線，得與共線，然后利用共線向量定理列方程求解即可.【詳解】因為，，，所以，，因為A，B，C三點共線，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，解得.故選：D6．（22-23高二上·安徽馬鞍山·階段練習）向量，，且，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】求出，根據(jù)空間向量的模長公式以及數(shù)量積的坐標表示，列式計算，即可求得答案.【詳解】由向量，，可得，結(jié)合，，即，得，結(jié)合，解得，則.故選：A【題型七：空間向量的數(shù)量積、模長、夾角運算】一、單選題1．（2024高二·全國·專題練習）已知空間向量滿足，則向量的夾角為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，求得，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】由向量，因為，可得，解得，所以.又因為，所以.故選：D．2．（24-25高二上·山東青島·階段練習）向量，若，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，再根據(jù)向量的數(shù)量積運算求解即可.【詳解】由已知可得，且.又，故，即，故，，又，故.故選：B3．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在四面體中，，，，.則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖形，轉(zhuǎn)化向量，利用向量數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】故選：C4．（23-24高一下·重慶·期末）平行六面體中，底面ABCD為正方形，，，E為的中點，則異面直線BE和DC所成角的余弦值為（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】由求解即可．【詳解】解：由題意，，，又，，所以，即有，故選：A．5．（24-25高二上·安徽·期中）在空間直角坐標系中，已知，則是與夾角為銳角的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】求出與的夾角為銳角的的取值范圍，與進行比較，根據(jù)充分必要條件的判定得解.【詳解】與的夾角為銳角，則要滿足，即且不等于1，解得：且，因為是的真子集，所以是“與的夾角為銳角”的必要不充分條件.故選：B6．（24-25高二上·廣西·期中）如圖，邊長為4的正方形是圓柱的軸截面，為上底面圓內(nèi)一點，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】變形，結(jié)合圖形得到當與重合時取值最小值，求出答案.【詳解】，當且僅當與重合時，等號成立，故的最小值為12.故選：D7．（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）若，，則的取值范圍是（

）A．0,2 B． C． D．【答案】A【分析】先求出向量坐標，再求出模長，最后求范圍即可.【詳解】由已知可得,則,,所以，所以.故選:A.8．（24-25高二上·廣東·期中）棱長為2的正方體中，其內(nèi)部和表面上存在一點滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立如圖所示空間直角坐標系，設，設中點為，中點為，由得，確定點的軌跡，由數(shù)量積的定義計算向量夾角的余弦值，結(jié)合參數(shù)范圍得余弦值范圍，從而角的范圍．【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，則有、、，設，、、，設中點為，中點為，由得，則，即，又，同理可得，即，即，即，故有，且，，，，故，由可得，故，故.故選：B.【題型八：空間向量的投影向量】一、單選題1．（24-25高二上·湖北·期中）已知，則在方向上的投影向量的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，，再由投影向量的計算式求解即可.【詳解】因為，所以，，所以，所以在方向上的投影向量的坐標為.故選：D.2．（24-25高二上·福建廈門·階段練習）在單位正交基底下，已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先表示出，再根據(jù)投影向量的定義計算可得.【詳解】因為，，所以，又為一組單位正交基底，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A3．（24-25高二上·安徽阜陽·期中）已知向量滿足，，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律可求得，根據(jù)投影向量定義直接求解即可.【詳解】，，，，，，，.故選：C.二、填空題4．（24-25高二下·全國·課前預習）已知，在方向上的投影為，則．【答案】/【分析】由投影向量的計算公式可得，再由數(shù)量積的定義即可得出答案.【詳解】在方向上的投影為，，．故答案為：.5．（23-24高二上·北京通州·期中）在空間直角坐標系中，已知，，.則與的夾角的余弦值為；在的投影向量.【答案】/0.5【分析】先根據(jù)空間向量的坐標運算求出與的坐標，然后由向量夾角的運算公式和投影向量的計算公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，，所以，，所以，在的投影向量為.故答案為：12；.【題型九：異面直線所成角】一、單選題1．（24-25高二上·山東濰坊·期中）如圖，在斜三棱柱中，底面ABC為正三角形，為AC的中點，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運算，結(jié)合夾角公式即可求解．【詳解】解：，，，又，，，異面直線與所成角的余弦值為，故選：D．2．（24-25高二上·福建福州·期中）在三棱錐中，平面BCD，，且，M為AD的中點，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出四面體，建立坐標系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值即可.【詳解】四面體是由正方體的四個頂點構(gòu)成的，如下圖所示建立如下圖所示的空間直角坐標系，

設正方體的棱長為因為異面直線夾角的范圍為，所以異面直線BM與CD夾角的余弦值為故選：B3．（24-25高二上·四川雅安·期中）如圖，平行六面體的所有棱長均相等，且，則異面直線AC與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基底表示，根據(jù)向量夾角公式求得正確答案.【詳解】設棱長為，以為基底，則，，，所以異面直線AC與所成角的余弦值為：.故選：A4．（24-25高二上·湖南·期中）在長方體中，已知，，為的中點，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標系，利用線線角公式即可求解．【詳解】在長方體中,以點為原點,分別為,,軸建立空間直角坐標系，因為，，則，，，，可得,則，則直線與所成角的余弦值為.故選：C.5．（24-25高二上·山東聊城·階段練習）已知菱形，，將沿對角線折起，使以四點為頂點的三棱錐體積最大，此時異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當三棱錐的體積最大時，平面平面，建立空間直角坐標系，求出向量的坐標，根據(jù)向量夾角的坐標表示可解.【詳解】記的中點分別為，因為，所以，同理，，記，因為，所以，所以，，易知，當平面平面時，三棱錐的體積最大，此時，以為原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，則所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.【題型十：線面角】一、解答題1．（24-25高二上·重慶·期中）如圖，正方體中，E、F、G分別為，，的中點.(1)證明：平面ACE；(2)求與平面ACE所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）先證得，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出平面ACE的法向量，利用公式求解即可.【詳解】（1）證明：連接BD和，設，連接EO，則O為BD中點，在中，因為F，G分別為和的中點，所以，又因為在中，因為E為的中點，所以，所以又平面ACE，平面ACE，所以平面ACE．（2）以D為坐標原點，DA，DC，所在直線分別為x，y，z軸，建系如圖：設正方體的棱長為2，則A2,0,0，，E0,0,1，，所以，，，設m=則，所以，取設直線與平面ACE所成角為，所以直線與平面ACE所成角的正弦值為：．所以與平面ACE所成角的余弦值為.2．（24-25高二上·四川甘孜·期中）在平行四邊形中，，，，將沿折起，使得平面平面，如圖．(1)求證：；(2)若為中點，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）因為平面，平面平面，平面，，所以平面.又平面，所以．（2）由（1）知，平面，，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，依題意，、、、、，則，，，設平面的法向量．則．

取，則，所以為平面的一個法向量．設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．3．（24-25高二上·寧夏·期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，M是的中點．(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；(3)求直線與平面所成角的大小．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)【分析】（1）連接BD交AC與O，連接，構(gòu)造三角形中位線即可求得；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可以證得線面垂直，進而得到線線垂直，再結(jié)合正三角形三線合一可以求得；（3）建立空間直角坐標系即可求得.【詳解】（1）連接BD交AC與O，連接，如圖所示：因為M，O分別是邊PD，BD的中點，則MO為的中位線，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）因為側(cè)面底面，平面底面，，所以平面，所以，因為側(cè)面是正三角形，M是的中點，所以，因為，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（3）過點P作PF垂直于AD，因為側(cè)面底面，平面底面，所以平面，又底面是正方形，在點建立空間直角坐標系，取的中點E，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，設底面正方形的邊長為2，則，，，由第二問可知，即為平面的法向量，，，，直線與平面所成角的大小為.4．（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）如圖，已知四棱錐中，，側(cè)面為邊長等于4的正三角形，底面為菱形，為的中點，側(cè)面與底面所成的二面角為．(1)求點到平面的距離；(2)已知點為直線上的動點，若直線與面所成角的正弦值為，求線段的長度．【答案】(1)3(2)【分析】（1）如圖，由題意，根據(jù)線面垂直的判定定理可得，平面，又線面垂直的性質(zhì)可得，進而，利用面面垂直的判定定理與性質(zhì)可得平面，求出即可；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，設，利用空間向量法求解線面角，建立關(guān)于t的方程，解之即可求解.【詳解】（1）連接，如圖，因為是邊長為2的正三角形，所以，而平面，則平面，又平面，有，故是二面角的平面角，得，因平面，于是得平面平面，過作的延長線于，平面平面，平面，故平面，而，則，所以點到平面的距離是3．（2）以點為坐標原點，以的方向為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，則，設平面的一個法向量為，則，令，設與面的所成角為，則，解得，則，線段的長度為．5．（24-25高二上·河北邢臺·期中）如圖，在矩形中，，取中點，將和分別沿直線，折疊，使，兩點重合于點得到三棱錐．(1)當時，求證：；(2)若二面角的平面角為，是否存在上一點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出點的位置；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，位于中點【分析】（1）根據(jù)題意可得，，可證平面，即可得；（2）可證平面，建系標點，設，利用空間向量結(jié)合線面夾角運算求解.【詳解】（1）由題可知，，，，又因為，所以．所以．即，且，平面，可得平面，由平面，所以．（2）存在，理由如下：因為，，，平面，所以平面，二面角的平面角為，如圖所示，以為原點，垂直于所在的直線為軸，、方向為和軸．則，，，，可得，，設，則平面的一個法向量為，設直線與平面的夾角，可得，解得，故位于中點時，滿足條件.【題型十一：二面角、平面與平面所成角】一、解答題1．（24-25高二上·陜西咸陽·期中）如圖，平面，為圓的直徑，，分別為棱，的中點.(1)證明：平面平面；(2)若，，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由為圓的直徑得，由平面得，由線面垂直的判定定理得平面，由，得平面，進而可得結(jié)論；（2）以A為坐標原點，構(gòu)建空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，利用向量夾角公式求解.【詳解】（1）因為為圓的直徑，所以，因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因為，分別為棱，的中點，所以，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以A為坐標原點，如圖所示構(gòu)建空間直角坐標系，因為，，所以，，，，中點，即為，，，設平面的法向量為，則，可得，令，則，，，又平面的法向量可表示為，，由圖可知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.2．（24-25高二上·湖北武漢·期中）如圖，在四棱錐中，，

，，平面平面．(1)求證：平面；(2)點Q在棱上，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）若分別為中點，連接，易得、、、，再應用面面垂直的性質(zhì)得面，由線面垂直的性質(zhì)證、，最后綜合線面垂直的性質(zhì)及判斷定理證結(jié)論；（2）構(gòu)建合適空間直角坐標系，首先根據(jù)線面角的向量求法列方程求Q位置，再應用向量法求面面角的余弦值.【詳解】（1）若分別為中點，連接，由，，則為直角梯形，且為中位線，所以，且，由，則，又，可得，面面，面，面面，則面，面，故，則，由面，則，又，均在面內(nèi)，所以面，面，可得，所以，故，即，由，則，而均在面內(nèi)，所以平面.（2）由（1）可構(gòu)建如上圖所示的空間直角坐標系，所以，令且，則，則，，，若是面的一個法向量，則，令，則，由題意，整理得，故，則，若是面的一個法向量，則，令，則，所以平面與平面夾角的余弦值.3．（24-25高二上·湖北省直轄縣級單位·期中）如圖，在四棱錐中，，，點為棱上一點．(1)證明：PD⊥平面ABCD；(2)當點為棱的中點時，求直線PB與平面所成角的正弦值；(3)當二面角的余弦值為時，求．【答案】(1)證明見解析(2)(3)．【分析】（1）由勾股定理證得，再由線面垂直的判定定理即可證得；（2）由條件如圖建立空間直角坐標系，先求平面的法向量，再利用公式求解；（3）設，分別求平面的法向量是和平面的法向量，利用公式，求點的位置.【詳解】（1）證明：因為，所以，，所以又，且所以.（2）由（1）可知兩兩垂直，以為原點，以所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系．則，當點為棱的中點時，．設平面的一個法向量，則即取，設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．（3）由（2）可知，設，則，設平面的一個法向量n1=則，即令，解得，故，設平面的一個法向量為，由，得令，解得，故，所以，即，整理，得，解得或（舍去）．故．4．（24-25高二上·湖南·期中）如圖，在四棱臺中，底面ABCD是正方形，，平面(1)證明：平面(2)求直線與平面所成角的正弦值.(3)棱BC上是否存在一點P，使得二面角的余弦值為若存在，求線段BP的長;若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）由線面垂直得到，結(jié)合證明出結(jié)論；（2）證明出AB，AD，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用線面角的空間向量公式進行求解即可.（3）設點，其中，求出兩平面的法向量，列出方程，求出，得到答案.【詳解】（1）因為底面ABCD是正方形，所以又因為平面ABCD，平面ABCD，所以因為，且，平面，所以平面（2）因為平面，平面，所以，，又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，兩兩垂直，以AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，設平面的法向量為，則，解得，令，則，故設直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為（3）若存在點P滿足題意，則可設點，其中，則，設平面的法向量為，則，令，則，故易得平面的一個法向量為，所以，解得或舍去)，故棱BC上存在一點P，當時，二面角的余弦值為5．（24-25高二上·浙江杭州·期中）如圖，已知四棱錐，，，，點，分別是，的中點，面.(1)證明：直線面；(2)若二面角的正弦值為，求.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行，由線面平行得到面面平行，再由面面平行證明線面平行；（2）建立空間直角系，利用向量法求出二面角即可得解.【詳解】（1）取的中點，連接、，則，面，面，面，同理面，面，故面面，而面，直線面.（2）因為面，面，所以，又，面，所以面，所以以點為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，設，，則，，，設面的一個法向量為n1=由，得，令，則，設面的一個法向量為，由，而，即，于是，令，則，設二面角的平面角為，則，所以，則，①又在直角三角形中，，即，②聯(lián)立①②可得，，，所以.【題型十二：點到線的距離】一、單選題1．（24-25高二上·河南周口·階段練習）如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點連線所在直線為軸，建立空間坐標系，利用空間向量求解即可.【詳解】解：取的中點，則，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點連線所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，所以，所以在上的投影的長度為，故點到直線的距離為.故選：C.2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線的方向向量為，點在直線上，若點到直線的距離為，則（

）A．0 B．2 C．0或2 D．1或2【答案】C【分析】根據(jù)題意，由空間中點到直線的距離公式代入計算，即可求解.【詳解】由題意得，所以點到直線的距離為，解得或.故選：C3．（24-25高二上·湖南·階段練習）如圖，正四棱錐的棱長均為2，分別為，的中點，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點到直線的向量法，即可建立空間直角坐標系求解.【詳解】取底面的中心為，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，，,則，所以，，故點到直線的距離為,故選：A4．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）在三棱錐中，，，兩兩垂直，且，，，三角形重心為G，則點P到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法求點到直線的距離即可得解.【詳解】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標系，則，A1,0,0，，則，

，，故在的投影為，點到線的距離為.故選：D.5．（23-24高二下·北京·開學考試）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點，且，點在線段上，則點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求出點到直線距離的函數(shù)關(guān)系，再求其最小值即可.【詳解】以題意，以點為原點，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，因為正方體棱長為1，，所以,,設,則,而,所以點到直線的投影數(shù)量的絕對值為,所以點到直線的距離為，當時，等號成立，即點到直線的距離最小值為，故選：C.【題型十三：點到面的距離】一、單選題1．（24-25高二上·貴州貴陽·階段練習）如圖，在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點，則直線EF到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，將直線到面的距離轉(zhuǎn)化為空間點到平面距離，根據(jù)空間距離的向量求法，即可求得答案.【詳解】以D為坐標原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，

則，則，設平面的法向量為，則，即，令，則，由于，則，又平面，故平面，則直線EF到平面的距離即為點E到平面的距離，又,設點E到平面的距離為d，即得,即直線EF到平面的距離為，故選：B2．（24-25高二上·山西晉城·期中）如圖，在直三棱柱中，，，，且，，，則點到平面的距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由題意建立空間直角坐標系，求出點A坐標以及平面EFG的法向量，再利用向量法求出點到平面的距離即可.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標系，則A2,0,0，，，，，，設為平面的一個法向量，則可取，則點到平面的距離為．故選：B.3．（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習）在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，為棱上的一點，且，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標系，由點到平面的距離公式計算即可．【詳解】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，．設平面的法向量為n=x,y,z，則，取，得，所以點到平面的距離為，故選：D．4．（24-25高二上·安徽·期中）在平行六面體中，，，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標系，求出的坐標以及平面的一個法向量，運用向量法求點到平面的距離.【詳解】以點為坐標原點，方向為軸非負方向，方向為軸非負方向建立如圖所示空間直角坐標系，則A0,0,0，B1,0,0，設，則，，，由，得，由，得，，由，可得，解得，，取平面的一個法向量為，所以點到平面的距離為.故選：C.5．（23-24高二下·江西·開學考試）在正三棱錐中，，且該三棱錐的各個頂點均在以O為球心的球面上，設點O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則=（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，得到PA，PB，PC兩兩垂直，從而把該三棱錐補成一個正方體求解.【詳解】解：在正三棱錐中，，又，，所以，所以，同理可得，，即PA，PB，PC兩兩垂直，把該三棱錐補成一個正方體，則三棱錐的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對角線就是外接球的直徑，易得，如圖，建立空間直角坐標系，

則，，，，所以，，，設平面ABC的一個法向量為，則，令，則，所以，則點O到平面ABC的距離，所以．故選：D．【題型十四：折疊問題】一、解答題1．（24-25高二上·安徽宿州·期中）如圖甲，在邊長為4的等邊中，是邊上的高，，分別是和邊的中點，現(xiàn)將沿翻折使得，如圖乙.(1)求證：平面；(2)若為的中點，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)及線面平行的判定證明即可；（2）建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量計算點面距離即可.【詳解】（1）如圖，在中，E，F(xiàn)分別是和邊的中點，，平面平面平面DEF；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，則，.設平面DEF的法向量為，則，即，令，則.點到平面DEF的距離為.2．（2024高三·全國·專題練習）如圖1，在中，為的中點，，，把沿折起，使到達點的位置，得到三棱錐，且在平面內(nèi)的射影為，直線與平面所成角的正弦值為，如圖2.(1)求證：；(2)求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面角的正弦值求得，的長，根據(jù)勾股定理的逆定理得到，進而得到平面，利用線面垂直的性質(zhì)得到；（2）建立空間直角坐標系，并求相關(guān)點、向量的坐標，分別求平面、平面的一個法向量，利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）由在平面內(nèi)的射影為，得平面，故為直線與平面所成的角，故，又，，，連接，則，又，，，又平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，.（2）易知，，兩兩垂直，如圖，以為坐標原點，，，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標系，

則O0,0,0，，，，故，，設平面的法向量為n=x,y,z則，可得，令，可得，由（1）可得為平面的一個法向量.，易知二面角為銳角，二面角的大小為.3．（24-25高二上·湖南·期中）如圖，在梯形中，，，，將沿邊翻折，使點翻折到點，且，點為線段靠近點的三等分點.

(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）利用線面垂直判定定理去證明平面，即可得結(jié)果；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法去求平面與平面夾角的余弦值．【詳解】（1）過作，垂足為，在等腰梯形中，，，，

可知，所以，故，可得，則，即，又因為，則，且，平面，平面，可得平面，由平面，所以.（2）因為平面，平面，則平面平面，過點作平面，則平面，以為原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，

則，，，，則，，，設平面法向量為，則，令，則，，可得為平面的一個法向量，設平面法向量為，則，令，則，，可得為平面的一個法向量，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.4．（24-25高二上·云南玉溪·期中）在中，，，，、分別是、上的點，滿足且，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示．(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的大??；(3)在線段上是否存在點，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，或【分析】（1）先證明出平面，可得出，再由結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得與平面所成角的大??；（3）設，根據(jù)空間向量法可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因為在中，，，且，所以，，則折疊后，，，又，、平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，，、平面，所以平面.（2）由（1）可知，平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，翻折前，在中，，則，則，則，則，，翻折后，因為平面，平面，則，所以，，，則，故，，，，，，，，，設平面的法向量為，則，不妨令，則，，則．設直線與平面所成角的大小為，則有，則，直線與平面所成角的大小為.（3）假設在線段上存在點，使平面與平面成角余弦值為．在空間直角坐標系中，，，，設，則，設平面的法向量為，則有，不妨令，則，，所以，設平面的法向量為，則有，不妨令，則，，所以，若平面與平面成角余弦值為．則滿足，化簡得，解得或，即或，則或.故在線段上存在這樣的點，使平面與平面成角余弦值為．此時的長度為或．5．（24-25高二上·福建福州·期中）如圖1，在直角中，，點，分別為邊，的中點，將沿著折起，使得點到達點的位置，如圖2，且二面角的大小為.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)或．理由見解析．【分析】（1）證明平面，由平行得證平面，再由面面垂直的判定定理得證面面垂直；（2）先證明是已知二面角的平面角，得，取中點，證明平面，然后以為原點，為軸，過平行的直線為，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，得各點坐標，求出平面的一個法向量，設，求得，再根據(jù)線面角的向量求法求線面角，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）由題意，，平面，所以平面，又因為圖1中，分別是中點，所以，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）由題意，所以是二面角的平面角，二面角的大小為.則，又由已知，所以等邊三角形，取中點，連接，則，由（1）知平面，而平面，所以，，平面，所以平面，以為原點，為軸，過平行的直線為，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，,，，，，，設平面的一個法向量為，則，取，則，設，，，與平面所成角的正弦值為，則，解得或．所以的值為或．6．（24-25高二上·重慶·期中）如圖所示，等腰梯形中，，，，E為中點，與交于點O，將沿折起，使點D到達點P的位置（平面）.(1)證明：平面；(2)若，試判斷線段上是否存在一點Q（不含端點），使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求三棱錐的體積，若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可證得結(jié)果，先證明線線垂直，再證明線面垂直；（2）先建立空間直角坐標系，根據(jù)線面夾角的正弦值得到點到平面的距離即三棱錐的高，即可求得體積.【詳解】（1）在原圖中，連接，由于，，所以四邊形是平行四邊形，由于，所以四邊形是菱形，所以，由于，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，在翻折過程中，，保持不變，即，保持不變，由于，，平面，所以平面；（2）由上述分析可知，在原圖中，，所以，所以，折疊后，若，則，所以，由于，，，平面，所以平面，由于，平面，所以，，所以，，兩兩相互垂直，由此以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，，，，設，，，，，設平面的法向量為，則，故可設，設直線與平面所成角為，則，，，，，所以，即是的中點，由于軸與平面垂直，所以到平面的距離為，所以.【題型十五：探索性問題】一、解答題1．（24-25高二上·四川南充·階段練習）如圖，在正三棱柱中，分別是的中點.(1)求點到平面的距離.(2)在線段上是否存在一點，使平面？若存在，確定點的位置；若不存在，也請說明理由.【答案】(1)(2)存在，點與點重合【分析】（1）使用空間向量法求解點到平面的距離即可；（2）設在線段上存在一點，使平面，，再根據(jù)線面垂直，從而線線垂直，使用向量法求解即可.【詳解】（1）取的中點，過作的平行線為軸，則軸兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，所以，，.設平面的法向量為，則令，則，，所以平面的法向