1/3專題1.2立體幾何截面、動(dòng)點(diǎn)、翻折、軌跡問題全歸納（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律球的截面能計(jì)算球的截面半徑、截面面積、周長及范圍?；A(chǔ)考點(diǎn)：常與多面體（如正方體、正四面體）的外接球結(jié)合，求截面圓半徑或面積。正方體的截面能判斷截面性質(zhì)及其性質(zhì)，能補(bǔ)全截面，能計(jì)算截面的面積與周長高頻小題：考查截面形狀、周長面積。難點(diǎn)與趨勢(shì)：作為大題中的一問，為后續(xù)求體積、夾角或最值做鋪墊。作圖能力是關(guān)鍵。動(dòng)點(diǎn)中的平行關(guān)系利用保持平行關(guān)系來確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡。高頻中檔題，常出現(xiàn)在多選題的壓軸題中，屬于立體幾何小題中典型考點(diǎn)。也會(huì)出現(xiàn)在大題中。動(dòng)點(diǎn)中的垂直關(guān)系利用保持垂直關(guān)系來確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡。高頻中檔題，常出現(xiàn)在多選題的壓軸題中，屬于立體幾何小題中典型考點(diǎn)。也會(huì)出現(xiàn)在大題中。動(dòng)點(diǎn)與空間向量基本定理利用向量關(guān)系來確定動(dòng)點(diǎn)所在的位置。基礎(chǔ)考點(diǎn)，常出現(xiàn)在立體幾何小題條件中，作為判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡的依據(jù)。翻折問題能明確翻折前后的不變量（如與折痕垂直的線段長度、角度關(guān)系），并轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解。高頻題：綜合性強(qiáng)，融合了空間幾何、平面幾何、最值問題，在小題大題中都易考到。難點(diǎn)在“找不變量”。軌跡問題能根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件來判斷動(dòng)點(diǎn)的形狀，再根據(jù)限制條件確定最后軌跡。高頻中檔題，常出現(xiàn)在多選題的壓軸題中，屬于立體幾何小題中典型考點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)01球的截面兩個(gè)性質(zhì)：①球的任何截面是圓面；②球心和截面（不過球心）圓心的連線垂直于截面；球心到截面距離d、球半徑R、截面圓半徑r，則有r2=R2?d2知識(shí)點(diǎn)02正方體的截面正方體的截面有三角形（包括等邊三角形），四邊形（正方形、矩形、梯形、平行四邊形、棱形），五邊形，六邊形（正方體過各棱中點(diǎn)截得的六邊形是面積最大的截面）2、如果條件只給出截面的一部分，需要補(bǔ)全截面，根據(jù)兩個(gè)原則，1、延長相交2、做平行線知識(shí)點(diǎn)03平行關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)軌跡1、轉(zhuǎn)化為“確定平面”：若要證明或找到一點(diǎn)P使

AP//平面α，構(gòu)造一個(gè)包含AP且與α平行的平面β。那么P必須位于平面2、轉(zhuǎn)化為“線線平行”鏈：利用公理4（平行傳遞性）或中位線定理。例如，要在線段上找點(diǎn)P使

AP//平面α，可嘗試在平面內(nèi)找一條與知識(shí)點(diǎn)04垂直關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)軌跡1、轉(zhuǎn)化為“線面垂直”：a⊥b

且

a⊥2、轉(zhuǎn)化為“三垂線定理及其逆定理”：這是處理斜線在平面上投影垂直問題的利器。如果問題涉及“斜線”與“面內(nèi)直線”垂直，立即考慮三垂線定理。這常常能將一個(gè)空間垂直問題，轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的垂直問題。3、轉(zhuǎn)化為“平面垂直的判定”：若要證平面α⊥平面β知識(shí)點(diǎn)05利用向量基本定理來確定動(dòng)點(diǎn)位置動(dòng)點(diǎn)P滿足條件AP=λAC+μAEλ,μ1、λ+μ=1?

P在直線EC2、λ=μ?P在AC題型一球的截面問題解｜題｜技｜巧球心到截面距離d、球半徑R、截面圓半徑r，則有r2=R2?d2【典例1】（24-25高二上·安徽阜陽·期末）朱世杰是元代著名的數(shù)學(xué)家，有“中世紀(jì)世界最偉大的數(shù)學(xué)家”之譽(yù).其著作《四元玉鑒》是一部成就輝煌的數(shù)學(xué)名著，受到數(shù)學(xué)史研究者的高度評(píng)價(jià).《四元玉鑒》下卷“雜范類會(huì)”中第一問為：“今有沈香立圓球一只，徑十寸，今從頂截周八寸四分，問厚幾何?”大意為現(xiàn)有一個(gè)直徑為的球，從上面截一小部分，截面圓周長為，問被截取部分幾何體的高為多少.已知朱世杰是以圓周率為來計(jì)算，則《四元玉鑒》中此題答案為（注：）（

）A． B． C． D．【典例2】（25-26高二上·上?！て谀┣蛎嫔先c(diǎn)A、B、C所確定的截面到球心的距離等于球半徑的四分之一，且，，，則球的體積為．【變式1】（25-26高二上·貴州貴陽·月考）已知正方體的棱長為2，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為（

）A． B． C． D．【變式2】（多選）（24-25高二上·河北張家口·期末）如圖，球的兩個(gè)截面圓和圓的圓心分別為，半徑均為2，且圓和圓所在平面分別與軸和軸垂直．若動(dòng)點(diǎn)分別在兩個(gè)圓周上勻速運(yùn)動(dòng)，每12秒運(yùn)動(dòng)一周，其中點(diǎn)的起始點(diǎn)分別為，，點(diǎn)按照?qǐng)D中指針方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（單位：秒），則（

）A．球的表面積為B．當(dāng)時(shí)，C．存在時(shí)刻，使得點(diǎn)在球面上相遇D．的最大值為，且同一個(gè)周期內(nèi)取得最大值的時(shí)間差為8秒題型二正方體的截面解｜題｜技｜巧補(bǔ)全截面，根據(jù)兩個(gè)原則，1、延長相交2、做平行線【典例1】（多選）（24-25高二上·江蘇無錫·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，是側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．過的平面截此正方體所得的截面為四邊形B．當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面的面積為C．點(diǎn)到直線的距離的最小值為D．當(dāng)為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)的軌跡長度為【典例2】（24-25高二上·浙江紹興·期末）已知棱長為的正方體中，分別是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)過三點(diǎn)作正方體的截面，畫出截面（保留作圖痕跡），并計(jì)算截面的周長.【變式1】（多選）（24-25高二上·重慶北碚·期末）在長方體中，分別為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．若為中點(diǎn)，則三棱錐的體積為B．若為中點(diǎn)，過的平面截該長方體得到的截面圖形為五邊形C．若分別為靠近的三等分點(diǎn)，則到直線的距離為D．若直線與平面所成角為，則存在點(diǎn)使得線段長度為【變式2】（24-25高二上·上海·期末）如圖，在長方體中，，．為線段上一動(dòng)點(diǎn)，記．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸正方向，軸正方向，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.(1)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示）；(2)當(dāng)平面時(shí)，求的值；(3)過點(diǎn)、、作截面，求點(diǎn)到該截面距離的最大值.題型三平行或垂直關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)軌跡解｜題｜技｜巧平行：利用線線平行、線面平行、面面平行三者關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)軌跡。垂直：利用線線垂直、線面垂直、面面垂直、三垂線定理來確定動(dòng)點(diǎn)軌跡?！镜淅?】（多選）（24-25高二上·廣東汕頭·期末）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），平面交棱于點(diǎn)，則下列命題中正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得為直角B．對(duì)于任意點(diǎn)，都有直線平面C．對(duì)于任意點(diǎn)，都有平面平面D．三棱錐的體積為定值【典例2】（多選）（24-25高二上·安徽·期末）如圖，在棱長為4的正方體中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．存在點(diǎn)使得平面B．無論點(diǎn)的位置，總有平面C．若是的中點(diǎn)，則到平面的距離為D．若直線與平面所成角的正弦值為，則【變式1】（多選）（24-25高二上·浙江麗水·期末）已知正方體的棱長為，點(diǎn)為中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界），則下列說法正確的是（

）A．若，則的長度是B．若平面，則的最小值是C．若，則點(diǎn)的軌跡長度是D．若平面，則點(diǎn)的位置唯一【變式2】（多選）（24-25高二上·廣東·期末）如圖，在正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（

）A．當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，與平面所成角為B．存在點(diǎn)，使得C．對(duì)于任意點(diǎn)，均不成立D．三棱錐的體積是定值題型四由向量關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)軌跡解｜題｜技｜巧根據(jù)平面向量基本定理來確定動(dòng)點(diǎn)的位置?！镜淅?】（多選）（24-25高二上·云南保山·期末）棱長為2的正方體中，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則（

）A．若，，則平面截正方體所得的截面面積為B．若，則平面C．若，則四面體的外接球的表面積為D．存在唯一點(diǎn)，使得平面【典例2】（多選）（24-25高二上·廣西欽州·期末）在長方體中，，，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在長方體內(nèi)（含表面），且滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，則（

）A．的面積為B．的面積為C．當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值【變式1】（多選）（24-25高二上·河南許昌·期末）若正方體的棱長為1，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，其中，則下列說法中正確的是（

）A．三棱錐的體積為B．若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為C．至少存在一個(gè)點(diǎn)，使平面D．若直線與平面所成角的正切值為2，則點(diǎn)軌跡的長度為【變式2】（多選）（24-25高二上·江蘇蘇州·期末）如圖，在棱長為1的正方體中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，，，，則（

）．A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)時(shí)，平面C．當(dāng)時(shí)，三棱錐體積的最大值為D．當(dāng)時(shí)，的最小值為題型五翻折問題解｜題｜技｜巧確定翻折前后的不變量（如與折痕垂直的線段長度、角度關(guān)系）?！镜淅?】（24-25高二上·安徽·期末）已知O為正方形ABCD的中心，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，若將正方形ABCD沿對(duì)角線BD翻折，使得二面角的大小為，則此時(shí)的值為（）A． B． C． D．【典例2】（多選）（24-25高二上·重慶·期中）在矩形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折，直至點(diǎn)落在邊上.當(dāng)翻折到的位置時(shí)，連結(jié)，，則（

）

A．四棱錐體積的最大值為B．存在某一翻折位置，使得C．為的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為D．為的中點(diǎn)，則的長為定值【變式1】（24-25高二上·河北承德·期末）在平行四邊形中，，，，是的中點(diǎn)，沿將翻折至的位置，使得平面平面，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高二上·廣東廣州·期末）如圖，把的菱形紙片沿對(duì)角線翻折，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點(diǎn)，O是菱形對(duì)角線的交點(diǎn).

(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)若菱形紙片沿對(duì)角線翻折成直二面角，求折紙后異面直線，所成角的余弦值；(3)若菱形紙片沿對(duì)角線翻折到使異面直線，的所成角為，求平面與平面的夾角的余弦值.題型六軌跡問題解｜題｜技｜巧判斷軌跡形狀：到定點(diǎn)距離為定值

→

球面。到兩定點(diǎn)距離相等

→

中垂面。到定直線距離為定值

→

圓柱側(cè)面。到定平面距離為定值

→

一對(duì)平行平面。與兩定點(diǎn)連線成定角

→

一段圓?。▓A錐截面）。與定點(diǎn)連線垂直于定直線

→

過定點(diǎn)且垂直于定直線的平面。結(jié)合圖形限制：軌跡常被限制在幾何體（如多面體）的面、棱、內(nèi)部，因此最終答案往往是完整軌跡與幾何體的交集（如球面的一部分、圓弧、線段等）?！镜淅?】（24-25高二上·北京西城·期末）在正方體中，動(dòng)點(diǎn)在面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（

）A．橢圓的一部分 B．線段C．圓的一部分 D．拋物線的一部分【典例2】（24-25高二上·天津·期中）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)P是側(cè)面正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是正方形的中心，且PQ與平面所成角的正弦值是，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡圖形的面積為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高二上·北京·期末）在正方體中，點(diǎn)Q為底面（含邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，滿足平面平面，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．一段圓弧 B．一段拋物線C．一段橢圓 D．一條線段【變式2】（多選）（24-25高二上·山東泰安·期末）已知正四棱錐的棱長均為3，，分別為棱，靠近，的三等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．正四棱錐的體積為B．動(dòng)點(diǎn)的軌跡是半徑為的球面C．點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)的軌跡外部D．動(dòng)點(diǎn)的軌跡被平面截得的是半徑為的圓題型七最短路徑問題解｜題｜技｜巧根據(jù)兩點(diǎn)之間距離最短、將軍飲馬可求最短路徑問題?！镜淅?】（多選）（24-25高二上·廣東肇慶·期末）如圖所示的圓臺(tái)，在軸截面中，，則（

）A．該圓臺(tái)的高為1B．該圓臺(tái)軸截面面積為C．該圓臺(tái)的體積為D．一只小蟲從點(diǎn)沿著該圓臺(tái)的側(cè)面爬行到的中點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路程為5【典例2】（24-25高二上·上?！て谀┤鐖D，在長方體中，，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.

【變式1】（24-25高二上·上海徐匯·期末）已知正四棱柱的底面邊長為1，高度為2，一螞蟻沿著正四棱柱的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短距離是．【變式2】（25-26高二上·上海·月考）如圖，在長方體中，，，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.

題型八最值與范圍問題【典例1】（25-26高二上·山東青島·期中）已知平面四邊形，，，，，沿直線將翻折成，則直線與直線所成角的余弦值最大為.【典例2】（25-26高二上·貴州·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，分別為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.(1)證明：.(2)當(dāng)?shù)拈L度最短時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.【變式1】（24-25高二上·上?！て谀┤鐖D，長方體中，，，，為底面的中心，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，線段的長為．【變式2】（25-26高二上·浙江·期中）在直四棱柱中，底面為菱形，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．(1)求平面和平面夾角的余弦值；(2)連接，若點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線距離最短時(shí)，求線段的長度．期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1.（24-25高二上·遼寧大連·期末）如圖，已知正方體的棱長為4，，分別是棱，的點(diǎn)，且滿足：，，點(diǎn)為底面內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面BEF無公共點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡長度為（

）A． B． C． D．2．（多選）（24-25高二上·浙江金華·月考）如圖，已知正方體棱長為2，，分別為，的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（

）

A．不存在使得 B．存在使面C．存在兩個(gè)使與成角 D．任意滿足3．（24-25高二上·河南鄭州·期末）在邊長為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))滿足，則線段的長度最小值為（

）A． B．2 C． D．4．（多選）（24-25高二上·廣東深圳·期末）如圖，棱長為2的正方體中，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則以下結(jié)論正確的為（

）A．，使直線平面B．，三棱錐體積為定值C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到AC的距離為D．當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為5．（25-26高二上·遼寧·月考）如圖，正方形、，，動(dòng)點(diǎn)、分別在和上，，當(dāng)最小時(shí)，二面角的余弦值是（

）

A． B． C． D．期末重難突破練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1．（多選）（25-26高二上·廣東東莞·期中）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)P滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，平面截正方體所得的截面的面積為C．若且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，D．若點(diǎn)P在以的中點(diǎn)O為球心，為半徑的球面上，則點(diǎn)P的軌跡的長度為2．（24-25高二上·北京房山·期末）如圖，在邊長為的正方體中，是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①三棱錐的體積為定值；②不存在點(diǎn)，使得平面；③對(duì)每一個(gè)點(diǎn)，在棱上總存在一點(diǎn)，使得平面；④點(diǎn)到的距離的最小值為．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．3．（多選）（24-25高二上·遼寧大連·期末）如圖，點(diǎn)是棱長為的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）

A．當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B．若，分別是線段和上的動(dòng)點(diǎn)（都不與端點(diǎn)重合），，，點(diǎn)在平面上，，且，則為定值C．若是線段的中點(diǎn)，則沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為D．使線段長度為的點(diǎn)的軌跡長度為4．（多選）（24-25高二上·江西贛州·期末）在邊長為2的正方體中，為線段AD上的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為C．存在點(diǎn)，使得平面PQC與平面在ABCD所成夾角為D．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，過P，Q作平面平面，則平面截正方體的截面面積為5．（25-26高二上·遼寧大連·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形內(nèi)部任意一點(diǎn)（包括邊界），則（

）A．的長度的最大值為B．若平面，則C．平面截正方體所得截面的周長為D．直線與平面所成角的正弦值最大為期末綜合拓展練（測(cè)試時(shí)間：15分鐘）1．（多選）（2025·吉林松原·模擬預(yù)測(cè)）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不