專題03圓錐曲線（19個考點清單+14個題型解讀）知識點01：橢圓的定義1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點（,）叫橢圓的焦點，兩焦點的距離（）叫作橢圓的焦距.說明：若，的軌跡為線段；若，的軌跡無圖形2、定義的集合語言表述集合.知識點02：橢圓的標準方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標準方程（）（）圖象焦點坐標，，的關(guān)系特別說明：1、兩種橢圓，（）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點是:兩種橢圓的位置不同,它們的焦點坐標也不同.2、給出橢圓方程(，,),判斷該方程所表示的橢圓的焦點位置的方法是:橢圓的焦點在軸上?標準方程中項的分母較大;橢圓的焦點在軸上?標準方程中項的分母較大,這是判斷橢圓焦點所在坐標軸的重要方法.可簡記作:焦點位置看大小,焦點跟著大的跑.知識點03：橢圓的簡單幾何性質(zhì)1、橢圓的簡單幾何性質(zhì)一焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程（）（）范圍，，頂點，，，軸長短軸長＝，長軸長＝焦點焦距對稱性對稱軸：軸、軸對稱中心：原點離心率，2、橢圓的簡單幾何性質(zhì)二離心率：橢圓焦距與長軸長之比：.（）當越接近1時，越接近，橢圓越扁；當越接近0時，越接近0，橢圓越接近圓；當且僅當時，圖形為圓，方程為【常用結(jié)論】1、與橢圓共焦點的橢圓方程可設(shè)為：2、有相同離心率：（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）3、橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1）；（2），，；（3）,，；知識點04：雙曲線的定義1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個定點,的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.2、集合語言表達式雙曲線就是下列點的集合:.3、說明若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于與的大小.(1)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;(2)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.知識點05：雙曲線的標準方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標準方程（）（）圖象焦點坐標，，的關(guān)系兩種雙曲線，（）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點坐標也不同.知識點06：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)標準方程（）（）圖形性質(zhì)范圍或或?qū)ΨQ性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點坐標，,漸近線離心率，，a，b，c間的關(guān)系知識點07：等軸雙曲線（，）當時稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；知識點08：雙曲線與漸近線的關(guān)系1、若雙曲線方程為漸近線方程：2、若雙曲線方程為（，）漸近線方程：3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）知識點09：拋物線的定義1、拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（其中定點不在定直線上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．2、拋物線的數(shù)學表達式：(為點到準線的距離).知識點10：拋物線的標準方程設(shè)，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì)：方程（）（）（）（）圖形焦點準線說明：1、要注意弄清拋物線四種形式的標準方程的特征及其對應拋物線的形狀(焦點位置、開口方向等).拋物線的標準方程中,有一個一次項和一個二次項,二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)為;若一次項的字母是,則焦點就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點就在軸的正半軸上(開口向右),若系數(shù)是負的,焦點就在軸的負半軸上(開口向左);若一次項的字母是,則焦點就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點就在軸的正半軸上(開口向上),若系數(shù)是負的,焦點就在軸的負半軸上(開口向下).2、焦點的非零坐標是標準方程下一次項系數(shù)的.3、準線與坐標軸的交點和拋物線的焦點關(guān)于原點對稱.4、（1）通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于，通徑是過焦點最短的弦.（2）拋物線（）上一點到焦點的距離，也稱為拋物線的焦半徑.知識點11：拋物線的簡單幾何性質(zhì)標準方程（）（）（）（）圖形范圍，，，，對稱軸軸軸軸軸焦點坐標準線方程頂點坐標離心率通徑長說明：拋物線的焦半徑公式如下：（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（2）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則；（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（4）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則.知識點12：直線和曲線聯(lián)立（以橢圓和拋物線為例）1、橢圓與直線相交于兩點，設(shè)，，橢圓與過定點的直線相交于兩點，設(shè)為，如此消去，保留，構(gòu)造的方程如下：，注意：=1\*GB3①如果直線沒有過橢圓內(nèi)部一定點，是不能直接說明直線與橢圓有兩個交點的，一般都需要擺出，滿足此條件，才可以得到韋達定理的關(guān)系．=2\*GB3②焦點在軸上的橢圓與直線的關(guān)系，雙曲線與直線的關(guān)系和上述形式類似，不在贅述．2、拋物線與直線相交于兩點，設(shè)，聯(lián)立可得，時，特殊地，當直線過焦點的時候，即，，因為為通徑的時候也滿足該式，根據(jù)此時A、B坐標來記憶．拋物線與直線相交于兩點，設(shè)，聯(lián)立可得，時，注意：在直線與拋物線的問題中，設(shè)直線的時候選擇形式多思考分析，往往可以降低計算量．開口向上選擇正設(shè)；開口向右，選擇反設(shè)；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析．知識點13：根的判別式和韋達定理與聯(lián)立，兩邊同時乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡記為．該式可以看成一個關(guān)于的一元二次方程，判別式為可簡單記．同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡記為，，可簡記．與C相離；與C相切；與C相交．注意：（1）由韋達定理寫出，，注意隱含條件．（2）求解時要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．（3）如果是焦點在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．（4）直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點在x軸的雙曲線，只要把換成即可；焦點在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用判斷根的關(guān)系，因為此情況下往往會有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點橫縱坐標的范圍限制），所以在遇到兩條二次曲線交點問題的時候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標．知識點14：點差法：設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：知識點15：弦長公式（最常用公式，使用頻率最高）知識點16：三角形面積問題直線方程：知識點17：焦點三角形的面積直線過焦點的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項系數(shù)知識點18：平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).知識點19：探索圓錐曲線的定點、定值問題1、定值問題①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值。解答的關(guān)鍵是認真審題，理清問題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值。2、定點問題定點問題是比較常見出題形式，化解這類問題的關(guān)鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．①引進參數(shù).一般是點的坐標、直線的斜率、直線的夾角等.②列出關(guān)系式.根據(jù)題設(shè)條件，表示出對應的動態(tài)直線或曲線方程.③探究直線過定點.一般化成點斜式或者直線系方程題型一：橢圓、雙曲線的定義 11題型二：橢圓、雙曲線的標準方程 12題型三：橢圓、雙曲線中的焦點三角形 13題型四：橢圓、雙曲線中的軌跡問題 14題型五：橢圓、雙曲線的離心率 15題型六：雙曲線的漸近線 16題型七：拋物線的定義 17題型八：拋物線的標準方程 18題型九：拋物線中的距離最值問題 19題型十：拋物線中的軌跡問題 20題型十一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 21題型十二：弦長及三角形、四邊形面積問題 22題型十三：中點弦問題 24題型十四：定值、定點問題 25【題型一：橢圓、雙曲線的定義】一、單選題1．（24-25高二上·廣東·期中）已知雙曲線的兩個焦點分別為，，雙曲線上有一點，若，則（

）A．9 B．1 C．1或9 D．11或92．（24-25高二上·廣西·期中）已知為橢圓的兩個焦點，為橢圓上任意一點.若，則（

）A．1 B．6 C．7 D．43．（24-25高二上·江蘇宿遷·期中）方程表示的曲線為（

）A．圓 B．橢圓 C．線段 D．不表示任何圖形4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）雙曲線的左、右焦點分別是，點在雙曲線上，且，則（

）A．18 B．2 C．6或14 D．2或185．（24-25高三上·廣西·階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為右支上一點，為坐標原點，為線段的中點，為線段上一點，且，則（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·河南·期中）設(shè)為橢圓上一動點，分別為橢圓的左?右焦點，，則的最小值為（

）A．8 B．7 C．6 D．4【題型二：橢圓、雙曲線的標準方程】一、解答題1．（23-24高二下·全國·隨堂練習）求符合下列條件的橢圓的標準方程：(1)經(jīng)過點，焦點坐標分別為，；(2)經(jīng)過，兩點；(3)與橢圓有相同的焦點，且經(jīng)過點2．（23-24高二下·全國·課堂例題）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)與橢圓有共同的焦點，它們的一個交點的縱坐標為．(2)過點，且焦點在坐標軸上．3．（24-25高二上·江蘇連云港·期中）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)與橢圓有公共焦點，且過點；(2)焦點在y軸上，焦距為8，漸近線斜率為；(3)經(jīng)過點，且一條漸近線的方程為．【題型三：橢圓、雙曲線中的焦點三角形】一、單選題1．（23-24高二上·吉林·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為、，點是橢圓上一點（與點、不共線），則的周長為（

）A．20 B．18 C．16 D．142．（24-25高二上·重慶·階段練習）已知為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線上一點，，則的面積為（

）A．8 B．6 C． D．3．（24-25高二上·山東·期中）已知分別是雙曲線的左、右焦點，為上一點，，且的面積等于4，則（

）A． B．2 C． D．44．（24-25高二上·安徽黃山·期中）點是橢圓上一點，點分別是橢圓的左、右焦點，且，則的面積為（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·江蘇泰州·期中）已知雙曲線C：的左右焦點為，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，若，則的周長為（

）A．12 B．14C．10 D．86．（24-25高二上·福建泉州·期中）設(shè)點P為橢圓1上一點，，分別為C的左、右焦點，且，則的面積為（

）A． B． C． D．7．（2024·河南駐馬店·二模）已知橢圓的左?右焦點分別為，點在上但不在坐標軸上，且是等腰三角形，其中一個內(nèi)角的余弦值為，則（

）A．4 B．5 C．6 D．88．（24-25高二上·陜西漢中·期中）已知過橢圓中心的直線交橢圓于兩點，是橢圓的一個焦點，則的周長的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【題型四：橢圓、雙曲線中的軌跡問題】一、單選題1．（24-25高二上·四川綿陽·期中）在中，，則頂點A的軌跡方程（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·云南·階段練習）設(shè)兩點的坐標分別為，，直線與相交于點，且它們的斜率之積為，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圓和圓，動圓同時與圓及圓相外切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．4．（24-25高三上·河北保定·階段練習）已知曲線：，從上任意一點向軸作垂線段，為垂足，點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．5．（2024高三·全國·專題練習）已知點，若動點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．6．（24-25高二上·重慶江北·期中）已知圓和，若動圓與這兩圓一個內(nèi)切一個外切，記該動圓圓心的軌跡為，則的方程為（

）A． B． C． D．【題型五：橢圓、雙曲線的離心率】一、單選題1．（24-25高二上·山東·期中）若雙曲線（，）的右焦點到其漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·江蘇泰州·期中）已知、分別為橢圓的左右頂點，為橢圓上異于、的一點，若直線、的斜率之積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·遼寧·期中）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點為在第一象限上的一點.若為直角三角形，，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．5．（24-25高二上·湖南·期中）已知，分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點，為第一象限內(nèi)一點，且滿足，，線段與雙曲線交于點，若，則雙曲線的離心率為（

A． B． C． D．6．（24-25高二上·四川宜賓·期中）已知為橢圓的兩個焦點，過原點O的直線交橢圓于A，B兩點，且，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C．23 D．7．（24-25高二上·江蘇常州·期中）設(shè)雙曲線的右焦點為F，雙曲線C上的兩點A、B關(guān)于原點對稱，且滿足，，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2024高三·全國·專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點，，都在橢圓上，若，，且，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【題型六：雙曲線的漸近線】一、單選題1．（23-24高二下·浙江·階段練習）過點且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程是（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·江蘇連云港·期中）若雙曲線經(jīng)過點，兩條漸近線方程是，該雙曲線的標準方程是（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·浙江臺州·期中）已知雙曲線的左右焦點分別為，且，當點到漸近線的距離為時，該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·山西晉城·期中）已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，以為直徑的圓和的漸近線在第一象限交于點，若與另一條漸近線平行，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．5．（24-25高二上·河南南陽·期中）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P為雙曲線上一點，若P與恰好關(guān)于C的一條漸近線對稱，且，則的面積為（

）A．2 B． C． D．46．（24-25高二上·廣西·期中）若雙曲線的漸近線與已知圓相切，則（

）A． B．3 C．2 D．【題型七：拋物線的定義】一、單選題1．（24-25高二上·重慶·期中）已知為拋物線上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（24-25高二上·江蘇泰州·階段練習）已知拋物線的焦點為，點在上.若到直線的距離為8，則=（

）A．7 B．6 C．5 D．43．（24-25高二上·江西撫州·期中）若拋物線上的一點A到焦點的距離為2，則點A的縱坐標是（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·黑龍江·階段練習）已知拋物線的焦點為，若拋物線上一點滿足，，則（

）A．3 B．4 C．6 D．85．（2024·北京海淀·三模）已知拋物線的焦點為F、點M在拋物線上，MN垂直y軸于點N，若，則的面積為（

）A．8 B． C． D．6．（24-25高三上·廣西·階段練習）已知點P在拋物線M：上，過點P作圓C：的切線，若切線長為，則點P到M的準線的距離為（

）A．5 B． C．6 D．【題型八：拋物線的標準方程】一、單選題1．（23-24高二上·廣西梧州·期中）準線方程為的拋物線的標準方程是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期中）若點到點的距離比它到直線的距離小1，則點的軌跡方程是（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·河南南陽·期中）已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：的焦點，點在C上，且，則C的方程為（

）A． B．C． D．4．（23-24高三下·湖北·開學考試）已知拋物線的頂點在原點，焦點在坐標軸上，點關(guān)于其準線的對稱點為，則的方程為（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·吉林四平·期中）已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，則拋物線的標準方程為（

）A． B．C． D．6．（24-25高二上·江西·階段練習）圖中展示的是一座拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面，水面寬，水面下降后，水面寬度為（

）A． B． C． D．【題型九：拋物線中的距離最值問題】一、單選題1．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）已知點P在拋物線上，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·湖南·期中）已知拋物線的焦點為點，P是C上一個動點，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．83．（24-25高二上·江蘇南京·期中）拋物線的準線為l，M為上的動點，則點到與到直線的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·河北石家莊·期中）如圖所示，點是拋物線的焦點，點分別在拋物線及圓的實線部分上運動，且AB總是平行于軸，則的周長的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·廣東·開學考試）設(shè)點為圓上的一動點，點為拋物線上的一動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知拋物線C：上一點，點，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【題型十：拋物線中的軌跡問題】一、單選題1．（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐標系中，動點到直線的距離比它到定點的距離小2，則點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·湖南長沙·期中）已知兩點的坐標分別是，直線相交于點，且直線的斜率與直線的斜率的差是，則點的軌跡方程為（

）A．B．C．D．3．（24-25高二上·江蘇徐州·期中）已知直線和圓，若圓M與直線l相切，與圓C相外切，圓M的圓心M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．二、填空題4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線，定點為拋物線上任意一點，點在線段上，且有．當點在拋物線上運動時，點的軌跡方程是．5．（24-25高二上·全國·課前預習）設(shè)，點在軸上，點在軸上，且，，當點在軸上運動時，點的軌跡方程為．【題型十一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系】一、解答題1．（23-24高二上·重慶·階段練習）已知橢圓：的焦距為4，且經(jīng)過點.(1)求橢圓M的標準方程；(2)若直線與橢圓M相切，且直線與直線：平行，求直線的斜截式方程.2．（24-25高二上·上海·期中）已知雙曲線過點且它的兩條漸近線方程為與.(1)求雙曲線的標準方程；(2)若直線與雙曲線右支交于不同兩點，求k的取值范圍．3．（22-23高二上·江西贛州·期中）已知拋物線，點在拋物線上且到焦點的距離為2.(1)求拋物線的方程，并求其準線方程；(2)已知，直線與拋物線交于兩點，記直線，的斜率分別為，，求的值.4．（22-23高三上·上海浦東新·階段練習）已知雙曲線的方程為，離心率為2，右頂點為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過的直線與雙曲線的一支交于、兩點，求的取值范圍.5．（24-25高二上·江蘇鹽城·期中）已知頂點在原點，焦點在坐標軸上的拋物線過點.(1)求拋物線的標準方程；(2)若拋物線的焦點在軸上且與直線交于、兩點（、兩點異于原點），以為直徑的圓經(jīng)過原點，求的值.6．（24-25高二上·北京順義·期中）在直角坐標系xOy中，點P到兩點，的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為C，過點且斜率為k的直線l與C交于不同的兩點A，B.(1)求軌跡C的方程；(2)求斜率k的取值范圍；(3)當時，求A，B兩點坐標.【題型十二：弦長及三角形、四邊形面積問題】一、解答題1．（24-25高二上·廣西南寧·期中）已知點是平面直角坐標系中異于原點的一個動點，過點且與軸垂直的直線與直線交于點，且向量與向量垂直.(1)求點的軌跡方程；(2)設(shè)位于第一象限，以O(shè)C為直徑的圓與軸相交于點，且，求的值.2．（24-25高二上·陜西西安·期中）在平面直角坐標系中，已知兩點的坐標分別為，，直線相交于點，且它們的斜率之積是.(1)求動點的軌跡方程；(2)若點的軌跡與直線相交于兩個不同的點，線段的中點為.若直線的斜率為，求線段的長.3．（24-25高二上·河南·期中）已知拋物線與圓相交于、兩點，且.(1)求拋物線的方程;(2)若直線與相交于、兩點，是的焦點，求的周長.4．（24-25高二上·廣東·階段練習）已知雙曲線，直線與交于兩點．(1)若的方程為，求；(2)若，且，求的斜率．5．（24-25高二上·天津河北·期中）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點分別為，，左頂點為，上頂點為，且，動直線與橢圓交于，兩點；當直線過焦點且與軸垂直時，.(1)求橢圓的方程；(2)若直線過點，當面積為時，求直線的斜率.6．（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線一個焦點到漸近線的距離為，且離心率為2．(1)求雙曲線的標準方程；(2)設(shè)分別是雙曲線左、右兩支上的動點，為雙曲線的左頂點，若直線的斜率分別為，且，求直線的方程．【題型十三：中點弦問題】一、解答題1．（24-25高二上·吉林·期中）已知橢圓的焦距為12，長半軸長為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點，若線段的中點坐標為，求直線的方程.2．（24-25高二上·陜西·期中）已知點，，動點Mx,y滿足直線與的斜率之積為2.記點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)若，是曲線上兩點，試判斷點能否成為線段的中點，如果可以，求出直線的方程；如果不可以，請說明理由.3．（23-24高二上·江蘇淮安·期中）已知拋物線，直線交拋物線于兩點，中點為．

(1)求拋物線的標準方程；(2)記拋物線上一點，直線斜率為，直線斜率為，求．4．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，離心率為．(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)過點作斜率為的直線交橢圓于，兩點，為弦的中點，求直線的斜率．5．（23-24高二下·浙江·期中）如圖，拋物線是拋物線內(nèi)一點，過點作兩條斜率存在且互相垂直的動直線，設(shè)與拋物線相交于點與拋物線相交于點，，當恰好為線段的中點時，．

(1)求拋物線的方程；(2)求的最小值．6．（24-25高二上·江蘇常州·期中）已知雙曲線，其中一條漸近線的傾斜角為，點，坐標原點(1)求的值；(2)直線經(jīng)過點，與的兩條漸近線分別交于點.若的面積為，求直線的方程；(3)如圖，直線交雙曲線的右支于不同兩點，，若，求實數(shù)的取值范圍.【題型十四：定值、定點問題】一、解答題1．（24-25高二上·江蘇揚州·期中）已知拋物線的準線與軸的交點為．(1)求拋物線的方程；(2)若經(jīng)過點的直線與拋物線相切，求直線的方程；(3)若過點的直線與拋物線交于兩點，證明：為定值．2．（24-25高二上·河北·期中）已知點，，中恰有兩個點在拋物線上，(1)求的標準方程；(2)若點，在上，且，證明：直線過定點．3．（24-25高二上·四川攀枝花·期中）已知點，，動點滿足，動點的軌跡為記為.(1)求軌跡的方程.(2)若為上一點，且點到軸的距離，求內(nèi)切圓的半徑的取值范圍.(3)若直線與交于，兩點，，分別為的左、右頂點，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.4．（24-25高二上·山西·期中）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，虛軸長為2.(1)求雙曲線C的方程；(2)直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，點D與點A關(guān)于x軸對稱.(i)求m的取值范圍；(ii)求證：直線過定點.5．（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知橢圓的焦點為，，左、右頂點分別為，點為橢圓上異于的動點，的周長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)直線交直線于點，連接交橢圓于點，直線，的斜率分別為，.（i）求證：為定值；（ii）設(shè)直線，證明：直線過定點.6．（24-25高二上·吉林·階段練習）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率.(1)求雙曲線C的方程；(2)記雙曲線C的右頂點為，過點作直線，與C的左支分別交于兩點，且，為垂足.（i）證明：直線恒過定點，并求出點坐標；（ii）判斷是否存在定點，使得為定值，若存在說明理由并求出點坐標.

專題03立體幾何中的折疊和開放性問題（考題猜想，易錯必刷2大題型）【題型一】折疊問題【題型二】開放性問題【題型一】折疊問題一、解答題1．（23-24高二下·甘肅臨夏·期末）如圖1，在中，，，若沿中位線AD把折起，使，如圖2，此時直線PB與CD所成角的大小為．

(1)求BC的長；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)2(2)【分析】（1）以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，借助線線角的空間向量法求解；（2）利用空間向量法求二面角的余弦值．【詳解】（1）由于，，，平面，故平面，又因為，所以兩兩垂直，故分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為，且A為PB的中點，所以，設(shè)，則，所以A0,0,0，B1,0,0，，P0,0,1，則，．

因為直線PB與CD所成角的大小為，所以，即，解得或（舍去）．所以BC的長為2；（2）設(shè)平面PBD的法向量為m=因為，PD=0,1,?1，，所以，令，則，，，設(shè)平面PBC的法向量為n=a,b,c，所以令，則，，．所以，由幾何體的特征可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為．2．（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）某校一個數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻甍”這個五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計了一道數(shù)學探究題，如圖1，E，F(xiàn)，G分別是邊長為4的正方形的三邊的中點，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，連接就得到了一個“芻甍”（如圖2）．(1)若是四邊形對角線的交點，求證：平面；(2)若二面角的平面角為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過構(gòu)造平行四邊形的方法來證得平面.（2）根據(jù)二面角的知識求得，建立空間直角坐標系，利用向量法求得平面與平面夾角的余弦值．【詳解】（1）取線段中點，連接，由圖1可知，四邊形是矩形，且，在圖2中，且，且，四邊形是平行四邊形，則，由于平面，平面，平面．（2）由已知，四邊形是矩形，折疊前后都有，由于平面，所以平面，由于，所以平面，由于平面，所以，所以是二面角的平面角，所以，，則，，以為坐標原點，所在直線分別為軸和軸建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，，平面的一個法向量，設(shè)平面的一個法向量n=x,y,z由，得，于是平面的一個法向量，，平面與平面夾角的余弦值為．3．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）如圖1，梯形中，，過，分別作，，垂足分別為、.若，，，將梯形沿，折起，且平面平面（如圖2）.(1)證明：；(2)若，在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長，若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析【分析】利用面面垂直性質(zhì)定理可得平面，（1）（法一）利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可得.（法二）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，求出可得答案；（2）求出平面的一個法向量，設(shè)在線段上存在一點且，則，設(shè)直線與平面所成的角為，利用線面角的向量求法求出再結(jié)合的范圍可得答案.【詳解】（1）∵平面平而，平而，平面平面，，∴平面，（法一）又平而，則，又正方形中，，且，平面，則平面，又平面，則.（法二）∵平而，，∴以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，∴，，，，，∴，，∴，∴；（2）∵，∴平面，∴，∴，，設(shè)平面的一個法向量為，令，則，設(shè)在線段上存在一點且，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則，不滿足，所以不存在點滿足題意.4．（23-24高二上·山東聊城·期末）圖1是由，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF組成的一個平面圖形，其中，，，將直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分別沿AC，CB折起使得CD，CG重合，連接EF，如圖2.(1)求圖2中的點B到平面ACDE的距離；(2)證明圖2中的A，B，F(xiàn)，E四點共面，并求平面ABFE與平面ACDE夾角的余弦值.【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定證明線面垂直，建立空間直角坐標系，求出平面ACDE的法向量，利用點到平面距離的向量公式求解即可；（2）利用共面向量基本定理證明四點共面，求出平面ABFE的法向量，利用平面夾角的向量公式求解即可.【詳解】（1）由題意可知，圖2中，，又，平面BCDF，平面BCDF，所以平面BCDF，在平面BCDF內(nèi)，過D作于點H，則，又，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，以C為原點，以CA，CB所在直線分別為x軸，y軸，以過點C且與DH平行的直線為z軸，建立如圖空間直角坐標系，由題意可得，，，，，，，設(shè)平面ACDE的法向量為，則，得，令，則，，所以為平面ACDE的一個法向量，所以點B到平面ACDE的距離為，即點B到平面ACDE的距離為.（2）因為，所以圖2中的A，B，F(xiàn)，E四點共面，由（1）知，，，所以，設(shè)平面ABFE的法向量為，則，得，令，則，，所以為平面ABFE的一個法向量，又是平面ACDE的一個法向量，所以，即平面ABFE與平面ACDE夾角的余弦值為.【點睛】結(jié)論點睛：若直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則①兩異面直線所成的角為，；②直線與平面所成的角為，；③二面角的大小為，.5．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，為的中點，線段與交于點（如圖1）.將沿折起到位置，使得（如圖2）.(1)求證：平面平面；(2)線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）連接、，由平面幾何的知識得到，即，，即可得到，從而得到平面，即可得證；（2）建立空間直角坐標系，設(shè)，利用空間向量法得到方程，求出，即可得解.【詳解】（1）因為，，所以，，所以，則，則，又P為的中點，連接，則且，，所以為菱形，同理可得為菱形，所以，所以，連接，則，又，所以，即，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）線段上存在點，使得與平面所成角的正弦值為.因為平面，所以，，兩兩互相垂直，如圖，以點為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，，，設(shè)，因為，，所以，設(shè)與平面所成角為，則，即，，解得或（舍去），所以線段上存在點，且，使得與平面所成角的正弦值為.6．（23-24高二上·江西南昌·期末）已知平行四邊形ABCD如圖甲，，沿AC將折起，使點D到達點P位置，且，連接PB得三棱錐如圖乙．(1)證明；平面ABC；(2)在線段PC上是否存在點M，使二面角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，且【分析】（1）推導出，證明出平面，可得出，利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的等式，結(jié)合求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：翻折前，因為四邊形為平行四邊形，，則，因為，則，，由余弦定理可得，所以，，則，同理可證，翻折后，則有，，因為，，、平面，所以，平面，因為平面，則，因為，、平面，所以，平面，（2）因為平面，，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，設(shè)，其中，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，，易知平面的一個法向量為，則，整理可得，因為，解得，因此，線段上存在點，使二面角的余弦值為，且.【題型二】開放性問題一、解答題1．（23-24高二下·江蘇鹽城·階段練習）如圖，在四棱錐中，平面平面，為棱的中點．

(1)證明：平面；(2)若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段上是否存在點Q，使得點Q到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）存在，【分析】（1）通過證明四邊形是平行四邊形，可得，即可證明；（2）（i）建立空間直角坐標系，利用向量法求解；（ii）利用點到面距離的向量法求解即可.【詳解】（1）取的中點N，連接，如圖所示：為棱的中點，

，，∴四邊形是平行四邊形，，又平面平面平面．

（2），∵平面平面，平面平面平面，平面，又平面，而，

∴以點D為坐標原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖：則，為棱的中點，

（i），設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，平面的一個法向量為，

，根據(jù)圖形得二面角為鈍角，則二面角的余弦值為

（ii）假設(shè)在線段上存在點Q，使得點Q到平面的距離是，設(shè)，則，

由（2）知平面的一個法向量為，，∴點Q到平面的距離是，

．2．（23-24高二上·福建廈門·期末）如圖，在平行六面體中，平面，，，.(1)求證：；(2)線段上是否存在點，使得平面與平面的夾角為？若存在，求的長；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析【分析】（1）解法一：利用空間向量法，，從而得證；解法二：在平面內(nèi)過點作的垂線，垂足為，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，利用坐標運算得，從而得證；解法三：通過證明平面，則，利用勾股定理得證，從而得證；（2）假設(shè)存在點滿足條件，利用兩平面夾角公式可解.【詳解】（1）解法一：因為平面，平面，所以，所以因為，所以又因為，所以，化簡得所以，所以解法二：在平面內(nèi)過點作的垂線，垂足為，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，，，，設(shè)，則，所以，由得，所以，又因為，所以，解得，所以，，，，所以，所以；解法三：在平面中，過作的垂線，垂足為，連結(jié)交于.因為平面，平面，所以，因為平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，則，所以，所以，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，所以，所以；（2）由（1）得平面的一個法向量為，假設(shè)存在點滿足條件，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，由，得，令，則，，所以，所以，因為平面與平面的夾角為，即，解得，又因為，所以舍去，所以線段上不存在點使得平面與平面的夾角為.3．（23-24高二上·河南·期末）如圖，在四棱錐中，為中點，平面平面，，.(1)求證：平面；(2)在棱上是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，為中點【分析】（1）取中點，連接，證明四邊形為平行四邊形，則，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）取中點，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明平面，過點作的平行線，以為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）取中點，連接，因為分別為中點，則，即四邊形為平行四邊形，則，又平面平面，則平面；（2）存在點，證明如下：取中點，連接，因為，則，又平面平面，平面平面平面，則平面，過點作平行線，交于，因為平面，則，過點作的平行線，則以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，注意到，則，故，則，設(shè)，則，設(shè)m=x,y,z為平面則，即，令，則，則平面的一個法向量，設(shè)n=a,b,c為平面則，即，令，則，則平面的一個法向量，因為二面角余弦值為，則，解得，故當為中點