2016年山東省濟寧市汶上二中中考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A． B． C．∠B=∠D D．∠C=∠AED3．過⊙O內(nèi)一點M的最長弦長為10cm，最短弦長為8cm，那么OM的長為（）A．3cm B．6cm C．cm D．9cm4．一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，則它的一個根是（）A．﹣2 B． C．﹣4 D．25．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以A為圓心，AD為半徑的圓與BC切于點M，與AB交于點E，若AD=2，BC=6，則長為（）A． B． C． D．3π6．函數(shù)y=ax+1與y=ax2+bx+1（a≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．7．圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度數(shù)的比為2：3：6，∠D的度數(shù)為（）A．45° B．67.5° C．135° D．112.5°8．如圖是一枚六面體骰子的展開圖，則擲一枚這樣的骰子，朝上一面的數(shù)字是朝下一面的數(shù)字的3倍的概率是（）A． B． C． D．9．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（）A． B． C． D．10．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，則CF等于（）A． B．1 C． D．2二、填空題（共5小題，每小題3分，滿分15分）11．若關(guān)于x的一元二次方程（x﹣k）2=1﹣2k有實數(shù)根，則k的取值范圍是．12．若方程x2﹣3x﹣1=0的兩根為x1、x2，則的值為．13．已知點A（2a+3b，﹣2）和點B（8，3a+2b）關(guān)于原點對稱，則a+b=．14．如圖，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的一半，則線段AC的中點P變換后在第一象限對應(yīng)點的坐標(biāo)為．15．如圖，圓錐的軸截面是邊長為6cm的正三角形ABC，P是母線AC的中點．則在圓錐的側(cè)面上從B點到P點的最短路線的長為．三、解答題（共7小題，滿分55分）16．對于任何實數(shù)，我們規(guī)定符號的意義是：=ad﹣bc．按照這個規(guī)定請你計算：當(dāng)x2﹣3x+1=0時，的值．17．如圖：直線y=kx+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，tan∠OAB=，點C（x，y）是直線y=kx+3上與A、B不重合的動點．（1）求直線y=kx+3的解析式；（2）當(dāng)點C運動到什么位置時△AOC的面積是4．18．如圖，某校一幢教學(xué)大樓的頂部豎有一塊“傳承文明，啟智求真”的宣傳牌CD、小明在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿山坡向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求這塊宣傳牌CD的高度．（測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）19．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8．半徑為的⊙M與射線BA相切，切點為N，且AN=3．將Rt△ABC繞A順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到Rt△ADE，點B、C的對應(yīng)點分別是點D、E．（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△ADE；（2）求出Rt△ADE的直角邊DE被⊙M截得的弦PQ的長度；（3）判斷Rt△ADE的斜邊AD所在的直線與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由．20．閱讀探索：“任意給定一個矩形A，是否存在另一個矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半？”（完成下列空格）（1）當(dāng)已知矩形A的邊長分別為6和1時，小亮同學(xué)是這樣研究的：設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組：，消去y化簡得：2x2﹣7x+6=0，∵△=49﹣48＞0，∴x1=，x2=，∴滿足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的邊長分別為2和1，請你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B．（3）如果矩形A的邊長為m和n，請你研究滿足什么條件時，矩形B存在？21．如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE．（1）求證：CE=CF；（2）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？（3）運用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的長．22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點．（1）求拋物線的解析式；（2）若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=﹣x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標(biāo)．

2016年山東省濟寧市汶上二中中考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：①是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；②是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；③是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；④是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故選B．【點評】掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．2．如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A． B． C．∠B=∠D D．∠C=∠AED【考點】相似三角形的判定．【專題】幾何綜合題．【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對各個選項進(jìn)行分析，從而得到最后答案．【解答】解：∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE選項B中不是夾這兩個角的邊，所以不相似，故選B．【點評】此題考查了相似三角形的判定：①如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似．3．過⊙O內(nèi)一點M的最長弦長為10cm，最短弦長為8cm，那么OM的長為（）A．3cm B．6cm C．cm D．9cm【考點】垂徑定理；勾股定理．【專題】壓軸題．【分析】先根據(jù)垂徑定理求出OA、AM的長，再利用勾股定理求OM．【解答】解：由題意知，最長的弦為直徑，最短的弦為垂直于直徑的弦，如圖所示．直徑ED⊥AB于點M，則ED=10cm，AB=8cm，由垂徑定理知：點M為AB中點，∴AM=4cm，∵半徑OA=5cm，∴OM2=OA2﹣AM2=25﹣16=9，∴OM=3cm．故選：A．【點評】本題利用了垂徑定理和勾股定理求解．4．一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，則它的一個根是（）A．﹣2 B． C．﹣4 D．2【考點】一元二次方程的解．【分析】將x=﹣2代入方程ax2+bx+c=0中的左邊，得到4a﹣2b+c，由4a﹣2b+c=0得到方程左右兩邊相等，即x=﹣2是方程的解．【解答】解：將x=﹣2代入ax2+bx+c=0的左邊得：a×（﹣2）2+b×（﹣2）+c=4a﹣2b+c，∵4a﹣2b+c=0，∴x=﹣2是方程ax2+bx+c=0的根．故選A．【點評】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．5．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以A為圓心，AD為半徑的圓與BC切于點M，與AB交于點E，若AD=2，BC=6，則長為（）A． B． C． D．3π【考點】等腰梯形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)；弧長的計算．【專題】壓軸題．【分析】連接AM，因為M是切點，所以AM⊥BC，過點D作DN⊥BC于N，由等腰梯形的性質(zhì)可得到BM=AM=2，從而可求得∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式即可求得長．【解答】解：連接AM，因為M是切點，所以AM⊥BC，過點D作DN⊥BC于N，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)容易求得BM=AM=2，所以∠B=45°，所以∠EAD=135°，根據(jù)弧長公式的長為，故選A．【點評】本題考查等腰梯形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)及弧長公式的理解及運用．6．函數(shù)y=ax+1與y=ax2+bx+1（a≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)a的符號，分類討論，結(jié)合兩函數(shù)圖象相交于（0，1），逐一排除；【解答】解：當(dāng)a＞0時，函數(shù)y=ax2+bx+1（a≠0）的圖象開口向上，函數(shù)y=ax+1的圖象應(yīng)在一、二、三象限，故可排除D；當(dāng)a＜0時，函數(shù)y=ax2+bx+1（a≠0）的圖象開口向下，函數(shù)y=ax+1的圖象應(yīng)在一二四象限，故可排除B；當(dāng)x=0時，兩個函數(shù)的值都為1，故兩函數(shù)圖象應(yīng)相交于（0，1），可排除A．正確的只有C．故選C．【點評】應(yīng)該識記一次函數(shù)y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)等．7．圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度數(shù)的比為2：3：6，∠D的度數(shù)為（）A．45° B．67.5° C．135° D．112.5°【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】設(shè)∠A=x，則∠B=3x，∠C=4x，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補求出x的值，進(jìn)而得出∠B的度數(shù)，從而得出∠D的度數(shù)．【解答】解：∵圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度數(shù)的比為2：3：6，∴設(shè)∠A=2x，則∠B=3x，∠C=6x，∵∠A+∠C=180°，即2x+6x=180°，解得x=22.5°，∴∠B=3x=3×22.5°=67.5°，∴∠D=180°﹣67.5°=112.5°．故選D．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即圓內(nèi)接四邊形的對角互補．8．如圖是一枚六面體骰子的展開圖，則擲一枚這樣的骰子，朝上一面的數(shù)字是朝下一面的數(shù)字的3倍的概率是（）A． B． C． D．【考點】專題：正方體相對兩個面上的文字．【分析】讓朝上一面的數(shù)字恰好等于朝下一面上的數(shù)字的3倍的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為朝上一面的數(shù)字恰好等于朝下一面上的數(shù)字的3倍的概率．【解答】解：拋擲這個立方體，共6種情況，其中2，6；1，3；4，5是相對的面，6朝上，3朝上共2種情況，可使朝上一面的數(shù)字恰好等于朝下一面上的數(shù)字的3倍，故其概率為：，故選：B．【點評】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．9．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（）A． B． C． D．【考點】由三視圖判斷幾何體．【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．【解答】解：俯視圖為不規(guī)則四邊形，只有C符合．故選C．【點評】本題考查由三視圖確定幾何體的形狀，可運用排除法來解答．10．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，則CF等于（）A． B．1 C． D．2【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；解一元一次方程；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，根據(jù)三角形的角平分線的性質(zhì)得到DF=EF，由勾股定理求出AE、BE，證△ABE∽△ECF，得出=，代入求出即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，∵AF平分∠DAE，EF⊥AE，∴DF=EF，由勾股定理得：AE2=AF2﹣EF2，AD2=AF2﹣DF2，∴AE=AD=5，在△ABE中由勾股定理得：BE==3，∴EC=5﹣3=2，∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴=，∴=，∴CF=．故選C．【點評】本題主要考查對矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，求出AE、BE的長和證出△ABE∽△ECF是解此題的關(guān)鍵．二、填空題（共5小題，每小題3分，滿分15分）11．若關(guān)于x的一元二次方程（x﹣k）2=1﹣2k有實數(shù)根，則k的取值范圍是k≤．【考點】根的判別式．【專題】計算題．【分析】由于方程左邊為完全平方式，則右邊必須為非負(fù)數(shù)，即1﹣2k≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得1﹣2k≥0，解得k≤．故答案為k≤．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．12．若方程x2﹣3x﹣1=0的兩根為x1、x2，則的值為﹣3．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】由方程x2﹣3x﹣1=0的兩根為x1、x2，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求得x1+x2=3，x1+x2=﹣1，又由=，代入求解即可求得答案．【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣1=0的兩根為x1、x2，∴x1+x2=3，x1+x2=﹣1，∴==﹣3．故答案為：﹣3．【點評】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及分式的加減運算．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握：若二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時，x1+x2=﹣p，x1x2=q性質(zhì)的應(yīng)用．13．已知點A（2a+3b，﹣2）和點B（8，3a+2b）關(guān)于原點對稱，則a+b=．【考點】關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)．【分析】根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反可得，解方程組可得a、b的值，進(jìn)而可計算出a+b的值．【解答】解：由題意得：，解得，a+b=2﹣=，故答案為：．【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點，關(guān)鍵是掌握點的坐標(biāo)的變化規(guī)律．14．如圖，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的一半，則線段AC的中點P變換后在第一象限對應(yīng)點的坐標(biāo)為（2，）．【考點】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】位似變換中對應(yīng)點的坐標(biāo)的變化規(guī)律：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或﹣k，根據(jù)此題是線段AC的中點P變換后在第一象限對應(yīng)點的坐標(biāo)進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（2，2），B（4，2），C（6，4），∴AC的中點是（4，3），∵將△ABC縮小為原來的一半，∴線段AC的中點P變換后在第一象限對應(yīng)點的坐標(biāo)為：（2，）．故答案為：（2，）．【點評】本題主要考查位似變換中對應(yīng)點的坐標(biāo)的變化規(guī)律，利用圖形得出AC的中點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．15．如圖，圓錐的軸截面是邊長為6cm的正三角形ABC，P是母線AC的中點．則在圓錐的側(cè)面上從B點到P點的最短路線的長為．【考點】平面展開-最短路徑問題；等邊三角形的性質(zhì)；圓錐的計算．【分析】求出圓錐底面圓的周長，則以AB為一邊，將圓錐展開，就得到一個以A為圓心，以AB為半徑的扇形，根據(jù)弧長公式求出展開后扇形的圓心角，求出展開后∠BAC=90°，連接BP，根據(jù)勾股定理求出BP即可．【解答】解：圓錐底面是以BC為直徑的圓，圓的周長是BCπ=6π，以AB為一邊，將圓錐展開，就得到一個以A為圓心，以AB為半徑的扇形，弧長是l=6π，設(shè)展開后的圓心角是n°，則=6π，解得：n=180，即展開后∠BAC=×180°=90°，AP=AC=3，AB=6，則在圓錐的側(cè)面上從B點到P點的最短路線的長就是展開后線段BP的長，由勾股定理得：BP===3，故答案為：3．【點評】本題考查了圓錐的計算，平面展開﹣最短路線問題，勾股定理，弧長公式等知識點的應(yīng)用，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．三、解答題（共7小題，滿分55分）16．對于任何實數(shù)，我們規(guī)定符號的意義是：=ad﹣bc．按照這個規(guī)定請你計算：當(dāng)x2﹣3x+1=0時，的值．【考點】整式的混合運算—化簡求值．【專題】新定義．【分析】應(yīng)先根據(jù)所給的運算方式列式并根據(jù)平方差公式和單項式乘多項式的運算法則化簡，再把已知條件整體代入求解即可．【解答】解：=（x+1）（x﹣1）﹣3x（x﹣2）=x2﹣1﹣3x2+6x=﹣2x2+6x﹣1∵x2﹣3x+1=0，∴x2﹣3x=﹣1．∴原式=﹣2（x2﹣3x）﹣1=2﹣1=1．故的值為1．【點評】本題考查了平方差公式，單項式乘多項式，弄清楚規(guī)定運算的運算方法是解題的關(guān)鍵．17．如圖：直線y=kx+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，tan∠OAB=，點C（x，y）是直線y=kx+3上與A、B不重合的動點．（1）求直線y=kx+3的解析式；（2）當(dāng)點C運動到什么位置時△AOC的面積是4．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．【分析】（1）根據(jù)直線y=kx+3與y軸分別交于B點，以及tan∠OAB=，即可得出A點坐標(biāo)，從而得出一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)△AOC的面積是4，得出三角形的高，即可求出C點的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵直線y=kx+3與y軸交于B點，∴B（0，3），∵tan∠OAB=，∴OA=4，∴A（4，0），∵直線y=kx+3過A（4，0），∴4k+3=0，∴k=﹣，∴直線的解析式為：y=﹣x+3；（2）∵A（4，0），∴AO=4，∵△AOC的面積是4，∴△AOC的高為：2，∴C點的縱坐標(biāo)為2或﹣2，∵直線的解析式為：y=﹣x+3經(jīng)過C點，∴2=﹣x+3，或﹣2=﹣x+3，解得x=，或x=∴點C點坐標(biāo)為（，2）或（，﹣2）時，△AOC的面積是4．【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)已知得出C點的縱坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵．18．如圖，某校一幢教學(xué)大樓的頂部豎有一塊“傳承文明，啟智求真”的宣傳牌CD、小明在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿山坡向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求這塊宣傳牌CD的高度．（測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【分析】過B分別作AE、DE的垂線，設(shè)垂足為F、G．分別在Rt△ABF和Rt△ADE中，通過解直角三角形求出BF、AF、DE的長，進(jìn)而可求出EF即BG的長；在Rt△CBG中，∠CBG=45°，則CG=BG，由此可求出CG的長；根據(jù)CD=CG+GE﹣DE即可求出宣傳牌的高度．【解答】解：過B作BF⊥AE，交EA的延長線于F，作BG⊥DE于G．Rt△ABF中，i=tan∠BAF==，∴∠BAF=30°，∴BF=AB=5，AF=5．∴BG=AF+AE=5+15．Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5+15．Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15．∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7m．答：宣傳牌CD高約2.7米．【點評】此題綜合考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．19．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8．半徑為的⊙M與射線BA相切，切點為N，且AN=3．將Rt△ABC繞A順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到Rt△ADE，點B、C的對應(yīng)點分別是點D、E．（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△ADE；（2）求出Rt△ADE的直角邊DE被⊙M截得的弦PQ的長度；（3）判斷Rt△ADE的斜邊AD所在的直線與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由．【考點】切線的判定；作圖-旋轉(zhuǎn)變換．【專題】綜合題．【分析】（1）把三角形ABC繞A旋轉(zhuǎn)120°就能得到圖形．（2）連接MQ，過M點作MF⊥DE，由AN=3，AC=4，求出NE的長；在Rt△MFQ中，利用勾股定理可求出QF，根據(jù)垂徑定理知QF就是弧長PQ的一半．（3）過M作AD的垂線設(shè)垂足為H，然后證MH與⊙M半徑的大小關(guān)系即可；連接AM、MN，由于AE是⊙M的切線，故MN⊥AE，在Rt△AMN中，通過解直角三角形，易求得∠MAN=30°，由此可證得AM是∠DAE的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到MH=MN，由此可證得⊙M與AD相切．【解答】解：（1）如圖Rt△ADE就是要畫的圖形（2）連接MQ，過M點作MF⊥DE，垂足為F，由Rt△ABC可知，AC=AB，根據(jù)翻折變換的知識得到AC=AE=4，NE=AE﹣AN=4﹣3=1，在Rt△MFQ中，解得FQ=，故弦PQ的長度2．（3）AD與⊙M相切．證明：過點M作MH⊥AD于H，連接MN，MA，則MN⊥AE，且MN=，在Rt△AMN中，tan∠MAN==，∴∠MAN=30°，∵∠DAE=∠BAC=60°，∴∠MAD=30°，∴∠MAN=∠MAD=30°，∴MH=MN，∴AD與⊙M相切．【點評】本題主要考查切線的判定，掌握切線的性質(zhì)很重要，難度不大．20．閱讀探索：“任意給定一個矩形A，是否存在另一個矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半？”（完成下列空格）（1）當(dāng)已知矩形A的邊長分別為6和1時，小亮同學(xué)是這樣研究的：設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組：，消去y化簡得：2x2﹣7x+6=0，∵△=49﹣48＞0，∴x1=2，x2=，∴滿足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的邊長分別為2和1，請你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B．（3）如果矩形A的邊長為m和n，請你研究滿足什么條件時，矩形B存在？【考點】一元二次方程的應(yīng)用．【專題】幾何圖形問題．【分析】（1）直接利用求根公式計算即可；（2）參照（1）中的解法解題即可；（3）解法同上，利用根的判別式列不等關(guān)系可求m，n滿足的條件．【解答】解：（1）由上可知（x﹣2）（2x﹣3）=0∴x1=2，x2=；（2）設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意，得消去y化簡，得2x2﹣3x+2=0∵△=9﹣16＜0∴不存在矩形B；（3）（m+n）2﹣8mn≥0．設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意，得消去y化簡，得2x2﹣（m+n）x+mn=0△=（m+n）2﹣8mn≥0即（m+n）2﹣8mn≥0時，滿足要求的矩形B存在．【點評】此類題目要讀懂題意，準(zhǔn)確的找到等量關(guān)系列方程組，要會靈活運用根的判別式在不解方程的情況下判斷一元二次方程的解的情況．21．如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE．（1）求證：CE=CF；（2）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？（3）運用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的長．【考點】等腰三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的判定．【專題】證明題；壓軸題；探究型．【分析】（1）利用已知條件，可證出△BCE≌△DCF（SAS），即CE=CF．（2）借助（1）的全等得出∠BCE=∠DCF，∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°﹣∠GCE=45°，即∠GCF=∠GCE，又因為CE=CF，CG=CG，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD．（3）過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，先證四邊形ABCG是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）．再設(shè)DE=x，利用（1）、（2）的結(jié)論，在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE．【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF．∴CE=CF．（2）解：GE=BE+GD成立．∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD．即∠ECF=∠BCD=90°．又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，∴△ECG≌△FCG．∴EG=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．（3）解：過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，又∠CGA=90°，AB=BC，∴四邊形ABCG為正方形．∴AG=BC=12．已知∠DCE=45°