因式分解（第1課時(shí)）

解：（1）x(x＋1)＝x2＋x；

計(jì)算：

（1）x(x＋1)；

（2）(x＋1)(x－1)；

（3）(x＋1)(x＋1)．

（2）(x＋1)(x－1)＝x2－1；

（3）(x＋1)(x＋1)＝x2＋2x＋1．問題

觀察這些式子，你發(fā)現(xiàn)了什么？單項(xiàng)式×多項(xiàng)式多項(xiàng)式×多項(xiàng)式多項(xiàng)式×多項(xiàng)式一個(gè)多項(xiàng)式一個(gè)多項(xiàng)式一個(gè)多項(xiàng)式

（1）x(x＋1)＝x2＋x；

（2）(x＋1)(x－1)＝x2－1；

（3）(x＋1)(x＋1)＝x2＋2x＋1．

答：利用整式的乘法運(yùn)算，有時(shí)可以將幾個(gè)整式的乘積化為一個(gè)多項(xiàng)式的形式．

反過來，可以將一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的乘積的形式嗎？思考

請把下列多項(xiàng)式寫成整式的乘積的形式：

（1）x2＋x＝_____________；

（2）x2－1＝_____________；

（3）x2＋2x＋1＝_____________．x(x＋1)

(x＋1)(x－1)(x＋1)2x2＋x＝x(x＋1)；x2－1＝(x＋1)(x－1)；x2＋2x＋1＝(x＋1)2．

上面我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的乘積的形式，像這樣的式子變形叫作這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式．因式分解思考

觀察下面的動(dòng)圖，你發(fā)現(xiàn)因式分解與整式的乘法有什么關(guān)系？pa＋pb＋pc

p(a＋b＋c)因式分解整式乘法

因式分解與整式乘法的關(guān)系：因式分解與整式乘法是方向相反的變形．練習(xí)

下列變形中，屬于因式分解變形的是__________．（填序號）（1）a(b＋c)＝ab＋ac；

（2）x3＋2x2－3＝x2(x＋2)－3；（3）a2－b2＝(a＋b)(a－b)；（4）a2－2a＋1＝(a－1)2．

解析：（1）由整式的乘積轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式的形式，屬于整式的乘法；

（2）多項(xiàng)式變形后仍為多項(xiàng)式的形式，不屬于因式分解；

（3）（4）都由多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成整式的乘積的形式，屬于因式分解．√√××（3）（4）探究

觀察多項(xiàng)式ma＋mb－mc，它的各項(xiàng)有什么特點(diǎn)？mamb－mcmmmm公共的因式

你能嘗試分解因式ma＋mb－mc嗎？公因式

多項(xiàng)式ma＋mb－mc，它的各項(xiàng)都有一個(gè)公共的因式m，我們把因式

m叫作這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式．探究由m(a＋b－c)＝ma＋mb－mc，可得ma＋mb－mc＝m(a＋b－c)．

這樣就把

ma＋mb－mc分解成兩個(gè)因式乘積的形式．其中一個(gè)因式m是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式a＋b－c是ma＋mb－mc除以m所得的商．

你能嘗試分解因式ma＋mb－mc嗎？ma＋mb－mc＝m(a＋b－c)．

一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫作提公因式法．提公因式法思考

如何尋找公因式？6a3b2－2ab3c－4ab2

的公因式是什么？最大公因數(shù)相同字母2a

b

a

b2一看系數(shù)

二看字母三看字母指數(shù)最低次冪

答：6a3b2－2ab3c－4ab2

的公因式是2ab2．確定公因式要做到“三定”（1）定系數(shù)：各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，取各系數(shù)絕對值的最大公因數(shù)；（2）定字母：公因式的字母是各項(xiàng)都含有的字母；（3）定指數(shù)：各項(xiàng)都含有的字母的指數(shù)，取最小的指數(shù)．確定公因式的方法練習(xí)

找出下列各題中的公因式：（1）ax＋ay＋a；

（2）3mx－6nx2；（3）4a2b＋10ab2；

（4）12x2yz－9x3y2．公因式：a公因式：3x公因式：2ab公因式：3x2y

例1

分解因式：

（1）mx2＋my2；

（2）3x2－4xy2＋x．

解:（1）mx2＋my2＝m(x2＋y2)．（2）3x2－4xy2＋x＝x·3x

－x·4y2＋x·1＝x(3x－4y2＋1)．將x提出后，括號內(nèi)的第三項(xiàng)為1．

例2

把8a3b2＋12ab3c分解因式．

分析：先找出8a3b2與12ab3c的公因式4ab2，再提出公因式．提出公因式4ab2后，另一個(gè)因式2a2＋3bc

的兩項(xiàng)就不再有公因式了．

解：8a3b2＋12ab3c

＝4ab2·2a2＋4ab2·3bc

＝4ab2(2a2＋3bc)．

如果提出公因式4ab，另一個(gè)因式是否還有公因式？

解：8a3b2＋12ab3c＝4ab·2a2b＋4ab·3b2c＝4ab(2a2b＋3b2c)．

如果提出公因式4ab，另一個(gè)因式還有公因式b．

提公因式時(shí)要注意找系數(shù)的最大公因數(shù)，相同字母的最低次冪．

例3

分解因式:

（2）因?yàn)?b－a)2＝

(a－b)2，所以各項(xiàng)含有公因式4(a－b)2，也可以用提公因式法分解因式．

分析：（1）b＋c是2a(b＋c)和－3(b＋c)的公因式，可以用提公因式法分解因式．

（1）2a(b＋c)－3(b＋c)

；

（2）

4

(a－b)3＋8(b－a)2．

解：（1）2a(b＋c)－3(b＋c)

＝(b＋c)(2a－3)．

如何檢查因式分解是否正確？

（2）4

(a－b)3＋8(b－a)2

＝4

(a－b)2·(a－b)＋4(a－b)2·2

＝

4

(a－b)2

(a－b＋2)．

如何檢查因式分解是否正確？