一、教學(xué)背景分析：從“整式乘法”到“因式分解”的思維跨越演講人2025八年級數(shù)學(xué)上冊因式分解提公因式法課件01教學(xué)背景分析：從“整式乘法”到“因式分解”的思維跨越教學(xué)背景分析：從“整式乘法”到“因式分解”的思維跨越作為一線數(shù)學(xué)教師，我始終認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)應(yīng)像串珍珠——既要看到每一顆“知識珍珠”的獨(dú)特光澤，也要理清串聯(lián)它們的“思維主線”。今天要講的“提公因式法”，正是八年級數(shù)學(xué)“因式分解”單元的起始課，也是后續(xù)學(xué)習(xí)公式法、分組分解法的基礎(chǔ)。1課標(biāo)與教材定位《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確要求：“能進(jìn)行簡單的整式乘法運(yùn)算（其中多項(xiàng)式相乘僅指一次式之間和一次式與二次式相乘）；會用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過兩次）進(jìn)行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）。”人教版八年級上冊“因式分解”章節(jié)，緊接“整式的乘法與因式分解”單元，是整式乘法的逆運(yùn)算。提公因式法作為最基本的因式分解方法，其本質(zhì)是乘法分配律的逆向應(yīng)用，這一思想將貫穿整個代數(shù)學(xué)習(xí)。2學(xué)情與認(rèn)知基礎(chǔ)面對八年級學(xué)生，我觀察到他們已熟練掌握整式乘法（尤其是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式）、最大公約數(shù)、同底數(shù)冪乘法等知識，具備“從具體到抽象”的歸納能力，但對“逆向思維”的理解仍需強(qiáng)化。例如，部分學(xué)生能順利計算“3x(x+2)=3x2+6x”，卻難以從“3x2+6x”反推分解為“3x(x+2)”。這種“正向熟練、逆向陌生”的認(rèn)知特點(diǎn)，正是本節(jié)課需要突破的關(guān)鍵點(diǎn)。02教學(xué)目標(biāo)設(shè)計：三維目標(biāo)下的“分解”與“建構(gòu)”教學(xué)目標(biāo)設(shè)計：三維目標(biāo)下的“分解”與“建構(gòu)”基于上述分析，我將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：1知識與技能目標(biāo)1理解因式分解的概念，明確因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系；3熟練運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解，能處理首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)、公因式含多項(xiàng)式等變式問題。2掌握公因式的定義，能準(zhǔn)確識別多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式（包括系數(shù)、字母及指數(shù)）；2過程與方法目標(biāo)通過“計算比較—?dú)w納特征—總結(jié)步驟—應(yīng)用驗(yàn)證”的探究過程，經(jīng)歷從具體實(shí)例到一般方法的抽象概括；01在“找公因式—提公因式—查結(jié)果”的操作中，發(fā)展逆向思維與代數(shù)運(yùn)算能力；02通過小組合作解決實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)建模意識。033情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)A在“化復(fù)雜為簡單”的分解過程中，感受數(shù)學(xué)的簡潔美與邏輯美；B通過解決生活中的因式分解問題（如面積計算、規(guī)律探究），體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；C在糾錯與反思中，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的學(xué)習(xí)習(xí)慣。03教學(xué)重難點(diǎn)突破：從“公因式識別”到“規(guī)范分解”1教學(xué)重點(diǎn)：提公因式法的操作步驟與應(yīng)用提公因式法的核心是“一提二查”：先提取各項(xiàng)的公因式，再檢查分解結(jié)果是否徹底。其中“提”的過程需嚴(yán)格遵循“系數(shù)取最大公約數(shù)，字母取相同字母的最低次冪”的規(guī)則，這是學(xué)生必須掌握的操作規(guī)范。2教學(xué)難點(diǎn)：公因式的準(zhǔn)確識別與符號處理實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生常出現(xiàn)三類錯誤：系數(shù)公因式錯誤：如將“6x2y+9xy2”的系數(shù)公因式誤取為6（正確應(yīng)為3）；字母公因式遺漏：如分解“4a3b-8a2b2+12ab3”時，漏掉字母“a”或“b”；符號處理不當(dāng)：當(dāng)多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時，未正確變號（如將“-2x2+4x”分解為“-2x(x+2)”，正確應(yīng)為“-2x(x-2)”）。針對這些難點(diǎn)，我設(shè)計了“三步識別法”（見3.3.2）與“符號三檢查”（見3.4.2），通過具體案例強(qiáng)化理解。04教學(xué)過程設(shè)計：從“情境引入”到“遷移應(yīng)用”的遞進(jìn)式探究教學(xué)過程設(shè)計：從“情境引入”到“遷移應(yīng)用”的遞進(jìn)式探究4.1情境引入：為什么需要因式分解？——從生活問題到數(shù)學(xué)本質(zhì)“同學(xué)們，上周學(xué)校要在一塊長為(3a+2b)米、寬為2a米的長方形空地上種植草皮。后勤主任讓我?guī)兔τ嬎悴萜っ娣e，我列出了算式‘2a(3a+2b)’，但施工隊需要知道展開后的表達(dá)式，于是我計算得到‘6a2+4ab’?，F(xiàn)在問題來了：如果反過來，施工隊給了我展開后的面積‘6a2+4ab’，我該如何還原成原來的長和寬呢？”通過這個貼近生活的問題，學(xué)生自然聯(lián)想到“整式乘法的逆過程”，引出因式分解的定義：把一個多項(xiàng)式化成幾個整式的積的形式，叫做因式分解。此時，我會引導(dǎo)學(xué)生對比整式乘法與因式分解的關(guān)系（如表1），強(qiáng)調(diào)二者是“互逆變形”，就像“拆禮物”與“包禮物”——包禮物（整式乘法）是將幾個整式組合成一個多項(xiàng)式，拆禮物（因式分解）則是將多項(xiàng)式分解為幾個整式的積。|整式乘法|因式分解|014.2新知建構(gòu)：什么是公因式？——從單項(xiàng)式到多項(xiàng)式的逐步抽象|----------|----------||3x(x+2)=3x2+6x|3x2+6x=3x(x+2)||(a+b)(a-b)=a2-b2|a2-b2=(a+b)(a-b)|0203042.1公因式的定義探究為了讓學(xué)生直觀感受“公因式”，我先給出三組單項(xiàng)式，讓學(xué)生找它們的共同因式：第一組：6和9→共同因數(shù)3；第二組：6a和9a→共同因式3a；第三組：6a2b和9ab2→共同因式3ab（系數(shù)3，字母a、b，指數(shù)均為1）。通過觀察，學(xué)生能歸納出：多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個多項(xiàng)式的公因式。此時，我補(bǔ)充強(qiáng)調(diào)“公因式可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式”（如后續(xù)會遇到的“(x+y)”作為公因式的情況）。2.2公因式的識別步驟結(jié)合具體例子，總結(jié)“三步識別法”：系數(shù)部分：取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)（如“8x2y-12xy3”中，8和12的最大公約數(shù)是4）；字母部分：取各項(xiàng)都含有的相同字母（如上述例子中，兩項(xiàng)都含x和y）；指數(shù)部分：取相同字母的最低次冪（x的最低次冪是1，y的最低次冪是1，因此公因式為4xy）。為強(qiáng)化理解，我設(shè)計了“找公因式”的小組競賽：每組隨機(jī)抽取一個多項(xiàng)式（如“15a3b2-20a2b3+25ab?”），限時1分鐘寫出公因式，正確率高的小組分享方法。學(xué)生在競爭中加深了對“三步驟”的記憶。4.3提公因式法：如何“提”？——從模仿到獨(dú)立操作的技能形成3.1定義與原理在明確公因式后，引出提公因式法的定義：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個因式的積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。其數(shù)學(xué)原理是乘法分配律的逆用，即“ma+mb+mc=m(a+b+c)”（其中m是公因式）。為了讓學(xué)生理解“逆用”的本質(zhì)，我用具體數(shù)字驗(yàn)證：如“3×5+3×7=3×(5+7)”是分配律的正向應(yīng)用，而“15+21=3×5+3×7=3×(5+7)”則是逆向分解，兩者本質(zhì)相同。3.2操作步驟與例題示范通過例題逐步演示提公因式法的步驟（以“12a3b2-18a2b3+6a2b2”為例）：3.2操作步驟與例題示范：找公因式系數(shù)：12、18、6的最大公約數(shù)是6；1指數(shù)：a的最低次冪是2（a3→a2，a2→a2），b的最低次冪是2（b2→b2，b3→b2）；2因此公因式是6a2b2。3第二步：提公因式4將每一項(xiàng)除以公因式，得到商式：512a3b2÷6a2b2=2a；6-18a2b3÷6a2b2=-3b；76a2b2÷6a2b2=1；8所以原式=6a2b2(2a-3b+1)。9字母：各項(xiàng)都含a和b；103.2操作步驟與例題示范：找公因式第三步：檢查驗(yàn)證將分解結(jié)果展開，看是否等于原式：6a2b2×2a=12a3b2，6a2b2×(-3b)=-18a2b3，6a2b2×1=6a2b2，相加后與原式一致，說明分解正確。3.3變式訓(xùn)練：突破易錯點(diǎn)針對學(xué)生易犯的錯誤，設(shè)計以下變式題：變式1：首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)分解：-4x2y+6xy2-2xy分析：公因式為-2xy（若取正公因式2xy，則首項(xiàng)變?yōu)?2x，易漏符號）；正確分解：-2xy(2x-3y+1)（展開驗(yàn)證：-2xy×2x=-4x2y，-2xy×(-3y)=6xy2，-2xy×1=-2xy，與原式一致）。3.3變式訓(xùn)練：突破易錯點(diǎn)變式2：公因式為多項(xiàng)式分解：2a(x+y)-3b(x+y)分析：公因式是(x+y)，將其視為一個整體；正確分解：(x+y)(2a-3b)（展開驗(yàn)證：2a(x+y)-3b(x+y)=原式）。變式3：漏項(xiàng)問題分解：3x3y2-6x2y3+9x2y2錯誤示范：3x2y2(x-2y)（漏了最后一項(xiàng)的商式“3”）；正確分解：3x2y2(x-2y+3)（展開后3x2y2×3=9x2y2，與原式一致）。通過這些變式，學(xué)生深刻理解了“提公因式后，括號內(nèi)的項(xiàng)數(shù)應(yīng)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同”“符號隨公因式的符號變化”等關(guān)鍵規(guī)則。3.3變式訓(xùn)練：突破易錯點(diǎn)4應(yīng)用提升：從“代數(shù)運(yùn)算”到“實(shí)際問題”的遷移數(shù)學(xué)的價值在于應(yīng)用。我設(shè)計了以下實(shí)際問題，讓學(xué)生感受提公因式法的實(shí)用性：3.3變式訓(xùn)練：突破易錯點(diǎn)幾何面積計算如圖（課件展示），大長方形的長為(2a+b)，寬為a，內(nèi)部有兩個小長方形，長分別為a和b，寬均為c。求陰影部分的面積（用因式分解表示）。分析：陰影面積=大長方形面積-兩個小長方形面積=a(2a+b)-ac-bc=2a2+ab-ac-bc。通過提公因式法分解：=a(2a+b)-c(a+b)（無法直接分解）→重新觀察，可分組為(2a2-ac)+(ab-bc)=a(2a-c)+b(a-c)（仍不徹底）→正確思路：提取公因式(a+b)？不，原式=2a2+ab-ac-bc=2a2-ac+ab-bc=a(2a-c)+b(a-c)，發(fā)現(xiàn)無法直接提取，需換方法（此處為后續(xù)分組分解法鋪墊）。3.3變式訓(xùn)練：突破易錯點(diǎn)幾何面積計算問題2：規(guī)律探究觀察下列等式：32-3=3×(3-1)=3×242-4=4×(4-1)=4×352-5=5×(5-1)=5×4…猜想：n2-n=?（用因式分解表示），并驗(yàn)證當(dāng)n=100時的值。學(xué)生通過觀察，很快得出n2-n=n(n-1)，并計算1002-100=100×99=9900，體會到因式分解在簡化計算中的作用。3.3變式訓(xùn)練：突破易錯點(diǎn)5小結(jié)與反思：從“會操作”到“明本質(zhì)”的思維升華通過學(xué)生自主總結(jié)、教師補(bǔ)充的方式，梳理本節(jié)課的核心內(nèi)容：知識脈絡(luò)：因式分解定義→公因式識別→提公因式法步驟→應(yīng)用與驗(yàn)證；方法技巧：“三步找公因式”（系數(shù)、字母、指數(shù)）、“三查結(jié)果”（項(xiàng)數(shù)、符號、展開驗(yàn)證）；數(shù)學(xué)思想：逆向思維（整式乘法的逆運(yùn)算）、整體思想（將多項(xiàng)式公因式視為整體）、轉(zhuǎn)化思想（復(fù)雜多項(xiàng)式→簡單整式積）。我特別強(qiáng)調(diào)：“提公因式法不僅是一種代數(shù)技巧，更是一種‘化繁為簡’的思維方式。未來學(xué)習(xí)分式化簡、解方程時，這種分解思想會一直陪伴著你們?！?5作業(yè)設(shè)計：分層遞進(jìn)，滿足不同學(xué)習(xí)需求作業(yè)設(shè)計：分層遞進(jìn)，滿足不同學(xué)習(xí)需求為落實(shí)“因材施教”，作業(yè)分為三個層次：1基礎(chǔ)鞏固（必做）01分解下列各式：02(1)15x3y2-10x2y303(2)-4a3b2+6a2b-2ab04(3)(x+y)m-(x+y)n2能力提升（選做）已知x+y=5，xy=3，求x2y+xy2的值（提示：先因式分解再代入）；若多項(xiàng)式2x2+4x的公因式與多項(xiàng)式ax2+bx的公因式相同，求a與b的關(guān)系。3拓展探究（興趣選做）查閱資料，了解因式分解在密碼學(xué)中的應(yīng)用（如RSA算法中的大數(shù)分解），寫一篇200字的數(shù)學(xué)日記。06板書設(shè)計：核心內(nèi)容可視化板書設(shè)計：核心內(nèi)容可視化2025八年級數(shù)學(xué)上冊因式分解提公因式法07定義對比定義對比整式乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc（正向）因式分解：ma+mb+mc=m(a+b+c)（逆向）08公因式識別公因式識別步驟：1.系數(shù)→最大公約數(shù)；2.字母→相同字母；3.指數(shù)→最低次冪09提公因式法步驟提公因式法步驟1.找公因式；2.提公因式（商式=原項(xiàng)÷公因式）；3.檢