第1章二次函數(shù)1.形如的函數(shù)叫做二次函數(shù)。其中：a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng).2.二次函數(shù)有三種表達(dá)式，分別為：（1）一般式：.（2）頂點(diǎn)式：.優(yōu)點(diǎn)：已知頂點(diǎn)（h，k）（3）交點(diǎn)式：.優(yōu)點(diǎn)：已知拋物線與x軸交點(diǎn)（x1,0）、（x2,0）3.求二次函數(shù)解析式時(shí)，當(dāng)不知道頂點(diǎn)或與x軸交點(diǎn)時(shí)，通常用一般式求解；已知頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，選用頂點(diǎn)式求解更簡單；已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，用交點(diǎn)式求解更簡單。4.二次函數(shù)一般式往頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化方法：①提取二次項(xiàng)系數(shù)；②將括號內(nèi)的部分配成一個(gè)完全平方式＋一個(gè)常數(shù)的形式；③將常數(shù)部分寫開，得頂點(diǎn)式5.二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，它的對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是；當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)。6.|a|的幾何意義：|a|決定拋物線的開口大小，|a|越大，拋物線開口越??；|a|越小，拋物線開口越大.7.拋物線的平移口訣：“左加右減（x），上加下減（整體）”8.圖象的旋轉(zhuǎn)、對稱規(guī)律：已知頂點(diǎn)式關(guān)于x軸對稱時(shí)：→；關(guān)于y軸對稱時(shí)：→；關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱時(shí)：→；關(guān)于平面內(nèi)一點(diǎn)（p,q）成中心對稱時(shí)：→；9.二次函數(shù)圖象與a、b、c的關(guān)系a的特征與作用b的特征與作用(a與b“左同右異”）c的特征與作用二次函數(shù)圖象題符號判斷類問題大致分為以下幾種基本情形∶①a、b、c單個(gè)字母的判斷，a由開口判斷，b由對稱軸判斷（左同右異），c由圖象與y軸交點(diǎn)判斷;②含有a、b兩個(gè)字母時(shí)，考慮對稱軸;③含有a、b、c三個(gè)字母，且a和b系數(shù)是平方關(guān)系，給x取值，結(jié)合圖像判斷，含有a、b、c三個(gè)字母，a和b系數(shù)不是平方關(guān)系，想辦法消掉一到兩個(gè)字母再判斷∶④含有b2和4ac，考慮頂點(diǎn)坐標(biāo)，或考慮△.⑤其他類型，可考慮給x取特殊值，聯(lián)立方程進(jìn)行判斷;也可結(jié)合函數(shù)最值，圖像增減性進(jìn)行判斷。10.當(dāng)a＞0時(shí)，若，則y隨x的增大而減?。蝗?，則y隨x的增大而增大；此時(shí)函數(shù)的有最小值為；當(dāng)a＜0時(shí)，若則y隨x的增大而增大；若，則y隨x的增大而減?。淮藭r(shí)函數(shù)的有最大值為11.利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值多出現(xiàn)在銷售問題中，利用二次函數(shù)解決銷售中最大利潤問題一般步驟如下：①設(shè)未知數(shù)，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示銷售單價(jià)或銷售量及銷售收入②用含未知數(shù)的代數(shù)式表示銷售商品成本③用含未知數(shù)的關(guān)系式分別表示銷售利潤，根據(jù)銷售利潤=單件利潤×銷售量，得到函數(shù)表達(dá)式④根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求出最值及取得最值時(shí)的自變量的值12.結(jié)合二次函數(shù)表達(dá)式及其性質(zhì)的實(shí)際問題，比如圖形運(yùn)動問題，面積問題等；首先根據(jù)題意列出自變量與函數(shù)值之間的二次函數(shù)關(guān)系，然后解決實(shí)際問題13.結(jié)合二次函數(shù)圖象的實(shí)際問題，比如拋球問題、噴水問題和拱橋問題，都需要通過圖象相關(guān)的已知條件的描述求出對應(yīng)圖象的二次函數(shù)表達(dá)式，然后解決圖象中要解決的實(shí)際問題14.最值問題的實(shí)際應(yīng)用，一般都是先求出對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合表達(dá)式反映的最值情況解決實(shí)際問題中的最值問題。如圖形的最大面積、經(jīng)營問題的最大利潤、等。特別要注意的是，實(shí)際問題中x有取值范圍，需要在取值范圍中考慮函數(shù)值的最大最小值，同時(shí)也要結(jié)合增減性一同判斷。15.二次函數(shù)的圖象與一元二次方程間的關(guān)系當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸無交點(diǎn)；同樣的，可以通過觀察一元二次方程對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷其系數(shù)的關(guān)系，或根據(jù)x軸交點(diǎn)的具體位置，估計(jì)出一元二次方程的解。一、二次函數(shù)及其表達(dá)式1.二次函數(shù)的定義錯(cuò)誤：在二次函數(shù)的定義一般表達(dá)式中，忽略a≠0；或忽略最高次數(shù)為2的條件。注意：二次函數(shù)一般式中，a≠0，且最高次次數(shù)為2，在判斷時(shí)，應(yīng)先化簡函數(shù)表達(dá)式，合并同類項(xiàng)。存在字母參數(shù)的，應(yīng)討論。例1（24-25九年級上·廣西防城港·期中）已知關(guān)于x的函數(shù)y=(1)當(dāng)m為何值時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)？(2)當(dāng)m為何值時(shí)，此函數(shù)是一次函數(shù)？2.求解二次函數(shù)表達(dá)式錯(cuò)誤：在代入三組（x，y）的數(shù)據(jù)，解三元一次方程組時(shí)容易出錯(cuò)。注意：三元一次方程的計(jì)算要過關(guān)，在代入時(shí)也要注意不要代錯(cuò)位置。例2關(guān)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，已知當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=﹣2；x=0時(shí)，y=3；x=4時(shí)，y=3.根據(jù)題意列式并解決問題錯(cuò)誤：對實(shí)際應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系不夠熟悉。注意：圖形問題需要掌握基本的周長面積計(jì)算方式，以及圖形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用等；實(shí)際應(yīng)用題要根據(jù)題意列式，行程問題的速度、時(shí)間與路程關(guān)系，經(jīng)營問題的單價(jià)、數(shù)量與銷售額關(guān)系，增長率問題等這些都要熟悉。例3某工廠計(jì)劃為一批長方體形狀的產(chǎn)品表面涂上油漆，長方體的長和寬相等，高比長多0.5m（1）長方體的長和寬用x(m)（2）如果涂漆每平方米所需要的費(fèi)用是5元，油漆每個(gè)長方體所需費(fèi)用用y（元）表示，那么y的表達(dá)式是什么？例4如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，動點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動的時(shí)間是ts，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接EF．(1)若四邊形AEFD為菱形，則t值為多少？(2)在點(diǎn)D、E的運(yùn)動過程中，設(shè)四邊形ADFE的面積為y，請求出y與t的函數(shù)關(guān)系式？二、二次函數(shù)的圖象（一）y=ax2及其圖象1.二次項(xiàng)系數(shù)a對圖象開口的影響錯(cuò)誤：混淆a的正負(fù)與開口方向，或單純認(rèn)為a越大開口越大（越?。┳⒁猓篴＞0時(shí)開口向上，a＜0時(shí)開口向下；當(dāng)要比較開口大小時(shí)，要比較|a|，|a|越大，開口越小。例5（24-25九年級上·河南周口·期末）已知二次函數(shù)y1=a1x2，y2=a2x2，y3A．a(chǎn)3<aC．a(chǎn)4<a2.數(shù)形結(jié)合解決問題錯(cuò)誤：拋物線表示的二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)表達(dá)式無法建立聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合的意識與數(shù)學(xué)建模的意識不足。比如不會將點(diǎn)的坐標(biāo)正確地代入二次函數(shù)表達(dá)式，比如不會建立二次函數(shù)圖象模型解決橋洞隧道問題。注意：點(diǎn)在圖象上?點(diǎn)的坐標(biāo)代入對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式。根據(jù)這個(gè)，可以解決：（1）已知二次函數(shù)表達(dá)式與點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)），求該點(diǎn)的縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）.（2）已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的二次函數(shù)表達(dá)式.（3）已知拋物線信息，建立平面直角坐標(biāo)系求解二次函數(shù)表達(dá)式，并結(jié)合（1）的方法解決實(shí)際問題.例6（24-25九年級上·甘肅張掖·期末）已知二次函數(shù)y=x2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A2,例7（2025·遼寧鐵嶺·二模）如圖，四邊形OABC是正方形，且點(diǎn)A，C恰好在拋物線y=12x2上，點(diǎn)B在y軸上，則例8某隧道橫斷面由拋物線與矩形的三邊組成，尺寸如圖所示.(1)以隧道橫斷面拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)某卡車空車時(shí)能通過此隧道,現(xiàn)裝載一集裝箱箱寬3m,車與箱共高4.5m,此車能否通過隧道?并說明理由(二）y=a（x-h）2+k及其圖象1.正確認(rèn)識二次函數(shù)頂點(diǎn)表達(dá)式錯(cuò)誤：在判斷對稱軸或者頂點(diǎn)時(shí)，橫坐標(biāo)經(jīng)常搞錯(cuò)正負(fù)符號。如認(rèn)為y=2（x-1）2+2的對稱軸為注意：y=2（x-1）2+2是符合頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k例9（24-25九年級上·甘肅慶陽·期中）拋物線y=3x+1A．x=1 B．x=-1 C．x=4例10（24-25九年級上·浙江金華·期中）二次函數(shù)y=-x22.一般表達(dá)式向頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化錯(cuò)誤：無法掌握將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式的步驟，尤其在兩個(gè)方面：①丟失二次項(xiàng)系數(shù)a，②配平方時(shí)常數(shù)項(xiàng)配平后忘記補(bǔ)回來，或者補(bǔ)回來時(shí)忘記乘以括號外的二次項(xiàng)系數(shù)，或者補(bǔ)回來的時(shí)候混淆加還是減。具體案例如下：y=2x錯(cuò)誤①：y=y=錯(cuò)誤②：y=2y=2（x2－2x+1）+4得到y(tǒng)=2（x-1）2注意：關(guān)于轉(zhuǎn)化y=2x（1）提出二次項(xiàng)系數(shù)（可保留常數(shù)項(xiàng)），得到：y=2（2）括號內(nèi)配方，并在常數(shù)項(xiàng)上補(bǔ)回，得到y(tǒng)=2（3）化為頂點(diǎn)式，得到：y=例11（24-25九年級上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=-23.圖象平移與表達(dá)式的變化規(guī)則錯(cuò)誤：錯(cuò)誤理解“左加右減，上加下減”，如將y=2（x-1）2+2向右平移注意：y=2（x-1）2+2向右平移2個(gè)單位的正確結(jié)果為y=2（x-3例12（24-25九年級上·重慶秀山·期末）將拋物線y=x-32+1先向右平移4.圖象平移、對稱等變換的擴(kuò)展錯(cuò)誤：在二次函數(shù)圖象其他變化中，無法舉一反三得確定頂點(diǎn)和開口方向，得到新圖象錯(cuò)誤的表達(dá)式。注意：二次函數(shù)圖象的其他變換，和平移的原則是一樣的，最主要是確認(rèn)兩點(diǎn)：①新的頂點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)圖象變換時(shí)，頂點(diǎn)也隨之變換，但只要知道了頂點(diǎn)的信息，圖象表達(dá)式就知道了一大半；②圖象開口是否變化，如果不變，則a不變；如果變化，則a變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)。具體如下：原式變換新的頂點(diǎn)開口變化新的表達(dá)式y(tǒng)=a頂點(diǎn)：（h，k）關(guān)于x軸對稱（h，﹣k）變化y=關(guān)于y軸對稱（﹣h，k）不變y=a關(guān)于原點(diǎn)中心對稱（﹣h，﹣k）變化y=關(guān)于頂點(diǎn)中心對稱（h，k）變化y=例13（24-25九年級上·廣西欽州·期中）將二次函數(shù)y=4x-22+1A．直線x=-2 B．直線x=2 C．直線x=-1（三）二次函數(shù)圖象上的求解問題6.求二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)錯(cuò)誤：不會將有字母參數(shù)的點(diǎn)代入對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式中求解這個(gè)點(diǎn)，或代入時(shí)出錯(cuò)。注意：與y=ax2中求點(diǎn)的問題類似，只要將點(diǎn)正確代入到對應(yīng)二次函數(shù)y=a（x-h）例14（24-25九年級上·江西南昌·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y=-2x-(1)當(dāng)a=3時(shí)，若點(diǎn)A4，b(2)小明說該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在直線y=-127.系數(shù)a，b，c與圖象的關(guān)系錯(cuò)誤：a與c的正負(fù)值較好判斷，但判斷b時(shí)不會用“左同右異”原則結(jié)合a的正負(fù)。在判斷含有a和b字母的代數(shù)式的大小、判斷同時(shí)含有a，b和c字母的代數(shù)式時(shí)不能找到較好的途徑解決。注意：利用圖象判斷關(guān)于a，b，c相關(guān)的代數(shù)式，主要注意一下幾點(diǎn)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象①單個(gè)系數(shù)的判斷，a看開口，開口向上a為正，反之為負(fù)；c看圖象與y軸交點(diǎn)，交點(diǎn)即（0，c）；b要結(jié)合對稱軸位置和a的正負(fù)來看，即“左同右異”，即當(dāng)圖象對稱軸在y軸左側(cè)時(shí)，b與a的符號相同；反之b與a的符號相反。這是基于對稱軸的正負(fù)決定的，如右圖中可知，對稱軸在y軸左側(cè)（-b2a＜二次函數(shù)y=a②判斷關(guān)于a和b表示的代數(shù)式的大小，首先根據(jù)對稱軸的具體位置列不等式，如判斷對稱軸是否大于（或）小于1，是否大于（或小于）﹣1，這是最常見的，還是要結(jié)合圖象反映的信息來具體列式，同時(shí)注意在化簡不等式時(shí)a的正負(fù)。如右圖中，可知對稱軸-b2a＞﹣1，化簡可得b③判斷關(guān)于a，b，c同時(shí)存在的代數(shù)式的大小，首先考慮使用特殊值法，即將圖象中體現(xiàn)的當(dāng)x等于某個(gè)具體值時(shí)函數(shù)值的正負(fù)，來列不等式，如右圖中可知，當(dāng)x=﹣1時(shí)，y＜0，所以當(dāng)x=﹣1代入得到a－b+c＜0；同時(shí)看到當(dāng)x=1時(shí)，y=2，所以有a+b+c=2；④判斷復(fù)雜的代數(shù)式，要結(jié)合已求得的一些代數(shù)的值或者正負(fù)，綜合判斷，比如從③的結(jié)論a－b+c＜0和a+b+c=2可知，兩式相減得b＜1；兩式相加得a+c＜1.例15（24-25九年級上·廣東江門·期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=-1，且過點(diǎn)12,0，有下列結(jié)論①abc>0例16（2025·四川自貢·二模）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與x軸交于點(diǎn)①abc<0；②a-b+c=0；③3a+2三、二次函數(shù)的性質(zhì)1.用公式法求最值錯(cuò)誤：尤其當(dāng)a＜0時(shí)，代入到4ac-b注意：先將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一般式，代入時(shí)一定首先確定a，b，c的值，然后再利用公式。例17求函數(shù)y=例18（24-25九年級上·山西臨汾·期末）已知二次函數(shù)y=mx2+(2.根據(jù)增減性比較函數(shù)值的大小錯(cuò)誤：不結(jié)合增減性和開口方向，只根據(jù)x的大小盲目判斷對應(yīng)函數(shù)值的大小。注意：在二次函數(shù)中通過圖象性質(zhì)判斷函數(shù)值的大小，要結(jié)合增減性來判斷。具體情況有以下幾種（假設(shè)比較對象為y1，y2，對應(yīng)的橫坐標(biāo)為x1，x2。對稱軸為x=x0，對應(yīng)的最值為y0）：開口方向x0與x1、x2的關(guān)系圖示y1、y2與y0的大小a＞0，開口向上x1＜x2＜x0xx03x23x13y0＜y2＜y1x1＜x0＜x2xx03x23x13y0＜y2＜y1x0＜x1＜x2xx03x23x13y0＜y2＜y1a＜0，開口向下x1＜x2＜x0xx03x23x13y1＜y2＜y0x1＜x0＜x2xx03x23x13y1＜y2＜y0x0＜x1＜x2xx03x23x13y1＜y2＜y0例19（24-25八年級下·湖南長沙·期末）若點(diǎn)A-2,y1,B2,A．y1<y2<y3 B．3.根據(jù)對稱性求交點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸錯(cuò)誤：當(dāng)二次函數(shù)圖象不完整時(shí)，無法通過二次函數(shù)的性質(zhì)確定完整圖象，并得到有效信息，如與x軸的交點(diǎn)。注意：結(jié)合對稱性，我們可以通過已知的點(diǎn)和對稱軸得出其對稱點(diǎn)的信息，也可以通過兩個(gè)縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)得到對稱軸的信息。如下圖①所示，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)除了（4,0），還有（-2,0）；如圖②所示，在已知圖象與x軸交點(diǎn)為（-1,0）和（3,0）時(shí)，其對稱軸即為x=1；如圖③所示，已知對稱軸為x=﹣1，且估計(jì)其中一個(gè)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在﹣3~﹣2之間，那么另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就在0~1之間。①①②③例20（2025·貴州·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=axA．直線x=12 B．直線x=1 C．直線例21（24-25九年級上·江蘇徐州·期中）如圖是函數(shù)y=ax2+bx+4.用合理的方式求解二次函數(shù)的表達(dá)式錯(cuò)誤：求解二次函數(shù)的表達(dá)式，不根據(jù)已知條件合理使用更加方便的表達(dá)式來作待定系數(shù)法，或者對頂點(diǎn)式的待定系數(shù)法求解表達(dá)式的方式不熟練，尤其是根據(jù)已知頂點(diǎn)判斷頂點(diǎn)式寫法的時(shí)候出錯(cuò)。注意：不同的已知條件，可以采用不同的方式待定系數(shù)法，然后求解二次函數(shù)表達(dá)式。具體情況如下：主要條件待定系數(shù)法方式其他條件已知圖象上兩點(diǎn)及以上設(shè)一般式：y=a再確認(rèn)一個(gè)已知點(diǎn)并代入，解三元一次方程組已知頂點(diǎn)設(shè)頂點(diǎn)式：y=a再確認(rèn)一個(gè)已知點(diǎn)并代入，解一元一次方程已知對稱軸設(shè)頂點(diǎn)式：y=a再確認(rèn)兩個(gè)已知點(diǎn)并代入，解二元一次方程組已知x軸上兩個(gè)交點(diǎn)設(shè)交點(diǎn)式：y=a再確認(rèn)一個(gè)已知點(diǎn)并代入，解解一元一次方程例22（24-25八年級下·上?！て谀┮阎粧佄锞€的形狀與y=12x2+72的形狀相同，對稱軸為x例23（24-25九年級上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）已知拋物線y=ax2+bx+(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線過點(diǎn)2,m，1,n，求5.二次函數(shù)圖象相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用錯(cuò)誤：不能理解題意，提煉出關(guān)于二次函數(shù)圖象的已知條件來計(jì)算出表達(dá)式，比如圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)、頂點(diǎn)的坐標(biāo)、在x軸或者y軸上的特殊點(diǎn)，起點(diǎn)和落點(diǎn)等這些特殊點(diǎn)。注意：學(xué)會根據(jù)題意確定二次函數(shù)圖象相關(guān)的已知條件，主要有：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)。有些已知條件描述了實(shí)際問題中某個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上的橫縱坐標(biāo)，可以據(jù)此確定點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）在（1）的基礎(chǔ)上，如果確定某點(diǎn)是頂點(diǎn)，就可以更快確定二次函數(shù)圖象的表達(dá)式。（3）實(shí)際問題在坐標(biāo)系中的體現(xiàn)，尤其是地面都是與x軸對應(yīng)，因此落地點(diǎn)即為x軸上的點(diǎn)的意思，求解時(shí)應(yīng)使得函數(shù)值為0.（4）實(shí)際問題中求解的問題也可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)中的圖象問題，比如求物體掉落在多遠(yuǎn)處，即已知函數(shù)值y的情況下求該點(diǎn)x的值；比如求某處立柱的長就是在已知x的值的情況下求解y的值。例24（24-25九年級上·遼寧大連·階段練習(xí)）小明對實(shí)心球投擲訓(xùn)練錄像進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)心球在行進(jìn)過程中高度ym與水平距離x?m之間的函數(shù)圖象如圖所示（P

例25（2025·新疆烏魯木齊·二模）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)：如何調(diào)整籃球的投球高度素材1如圖是小亮投球示意圖的一部分，小亮距離籃圈中心距離（水平距離）AB=5m，籃圈距地面高度BD=3.3m．小亮站在素材2如圖，點(diǎn)C為籃球出手位置，當(dāng)籃球運(yùn)動到最高點(diǎn)E時(shí)，高度為1.8m，即EF=1.8m，此時(shí)水平距離CF=3m，以點(diǎn)C

問題解決任務(wù)1籃球運(yùn)動的高度ym與水平距離x任務(wù)2小亮出手時(shí)起點(diǎn)不變，運(yùn)動路線的頂點(diǎn)不變，小亮出手的高度距地面多少米時(shí)能將籃球投至籃圈中心？6.根據(jù)增減性求解函數(shù)值的取值范圍錯(cuò)誤：在求解函數(shù)值的取值范圍時(shí)沒有充分考慮x的取值范圍，注意：（1）當(dāng)不涉及x的取值范圍時(shí)，開口向上，y的取值范圍是≥最小值；開口向下，y的取值范圍是≤最大值。（2）當(dāng)涉及到x具體的取值范圍時(shí)，需要根據(jù)取值范圍和最值對應(yīng)的x0的值的包含關(guān)系，確定最終函數(shù)值的取值范圍。一般情況下，先結(jié)合本內(nèi)容中第三項(xiàng)“2.根據(jù)增減性比較函數(shù)值的大小”的知識點(diǎn)來比較x取值范圍兩端的函數(shù)值，確定端點(diǎn)函數(shù)值大小，再結(jié)合最值，確定x在取值范圍內(nèi)函數(shù)值的最大值和最小值，寫出函數(shù)值的取值范圍。（3）解決實(shí)際問題時(shí)特別要注意，x的取值范圍不是直接給出，也需要通過題意描述具體分析并計(jì)算得出。（4）含有字母參數(shù)的x的取值范圍，需要討論x的取值范圍內(nèi)是否包含了對稱軸，分情況說明函數(shù)值的取值范圍或最大最小值。具體也需要結(jié)合第三項(xiàng)“2.根據(jù)增減性比較函數(shù)值的大小”中的各類情況。例26（24-25九年級下·甘肅武威·開學(xué)考試）設(shè)二次函數(shù)y=x2+bx+2b-3，當(dāng)例27（24-25九年級上·河南平頂山·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax(1)求該拋物線的解析式；(2)若(5,n),(m(3)當(dāng)-3≤x≤3時(shí)，直接寫出y7.根據(jù)函數(shù)值的取值范圍，討論x的取值。錯(cuò)誤：通過求解當(dāng)函數(shù)值取得最大值或者最小值對應(yīng)的x的值，直接得出x的取值范圍。沒有根據(jù)題意要求進(jìn)行討論。注意：在具體求解確定x的取值范圍時(shí)，應(yīng)能包盡包。如果x的取值范圍有字母參數(shù)，則同樣需要討論x的取值范圍是否包含了對稱軸，這樣的情況比較復(fù)雜，常見的如：關(guān)于二次函數(shù)y=2（1）4≤x≤t時(shí)，4≤y≤20。此時(shí)因?yàn)?≤x≤t的范圍均在對稱軸右側(cè)，函數(shù)值y隨著x的增大而增大，因此當(dāng)x=t時(shí)，y=20，解得t=6，可知x的取值范圍。（2）1≤x≤t時(shí)，4≤y≤10。因先判斷x的取值范圍是否包含對稱軸，因?yàn)槎魏瘮?shù)的最小值為2，由4≤y≤10可知，沒有包含，因此x的去取值范圍在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減小，因此只有當(dāng)x=t時(shí)，y=4，解得t=2，可知x的取值范圍。（3）1≤x≤t時(shí)，2≤y≤10。因?yàn)閥最小值為2，因此明確可知x的取值范圍包含了對稱軸，所以t＞3，又因?yàn)閤=1時(shí)，y=10，結(jié)合增減性和對稱性可知，t應(yīng)不大于5，所以3≤t≤5。（4）1≤x≤t時(shí)，2≤y≤20。因?yàn)閥最小值為2，因此明確可知x的取值范圍包含了對稱軸，所以t＞3，又因?yàn)閤=1時(shí)，y=10，結(jié)合增減性和對稱性可知，只有當(dāng)x=t時(shí)，y=20，解得t=6，可知x的取值范圍。......通過以上不同情況的舉例我們發(fā)現(xiàn)，想要知道x的取值范圍，或知道x的取值范圍中字母參數(shù)的值，就一定要結(jié)合對稱軸和x的取值范圍位置關(guān)系、圖象的增減性和對稱性等要素綜合討論分析，才能得出結(jié)果。例28（23-24九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)y=x2-2x+3，當(dāng)0≤x≤例29已知函數(shù)y＝﹣x2+2x+6，當(dāng)0≤x＜m時(shí)，函數(shù)值的取值范圍是6≤y≤7，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．例30（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)(-1,m)，(2,n(1)當(dāng)m=n時(shí)，求(2)在（1）的條件下，當(dāng)-3<x<2(3)若-1≤x≤2時(shí)，函數(shù)的最小值為-例31（24-25九年級下·浙江杭州·階段練習(xí)）二次函數(shù)y=x2-2(1)若m=2(2)若存在實(shí)數(shù)k，使得y2-1=ky(3)當(dāng)m-1≤x≤2m+1時(shí)，隨著x增大，y先減小再增大，y的最大值與四、二次函數(shù)的應(yīng)用1.最值問題中x的取值范圍錯(cuò)誤：沒有計(jì)算x的取值范圍的意識，只考慮列式并計(jì)算。注意：應(yīng)充分讀題，提煉條件，關(guān)注x在實(shí)際應(yīng)用中的限制，據(jù)此求出x的取值范圍。結(jié)合圖象及其性質(zhì)，求出符合實(shí)際要求的最值，并解答實(shí)際問題中的最值問題。如：x在實(shí)際問題中一般大于0，銷售問題中售價(jià)x一般大于進(jìn)價(jià)，在點(diǎn)的運(yùn)動中x表示時(shí)間的，一般到終點(diǎn)即停止不會無限大...例32（2025·廣東東莞·二模）東莞“啟航文化”公司設(shè)計(jì)生產(chǎn)一種學(xué)生畢業(yè)紀(jì)念冊，并投放市場，已知制造成本為18元/件.經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)為32元時(shí)，每月的銷售量為36（萬件）；銷售單價(jià)為24元時(shí)，每月的銷售量為52（萬件）；如果每月的銷售量y（萬件）與銷售單價(jià)x（元/件）成一次函數(shù)關(guān)系．(1)求每月銷售量y（萬件）與銷售單價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)市場監(jiān)管部門規(guī)定，這種產(chǎn)品的銷售利潤率不能高于50%，同時(shí)廠家要求這種產(chǎn)品每月的制造成本不能超過9002.幾何動點(diǎn)中的最值問題錯(cuò)誤：最大的問題是在解決幾何問題時(shí)，無法根據(jù)幾何性質(zhì)列等式，從而列出二次函數(shù)表達(dá)式來。比如利用勾股定理表示線段長，用時(shí)間t的代數(shù)式分別表示出相關(guān)線段的長，再列出面積相關(guān)的二次函數(shù)表達(dá)式。注意：學(xué)會用未知數(shù)x表示相關(guān)幾何線段、角的代數(shù)式。比如動點(diǎn)問題，當(dāng)函數(shù)值y表示三角形的面積時(shí)，就要用時(shí)間t分別表示出該三角形底邊的代數(shù)式，高的代數(shù)式，然后用面積公式列出二次函數(shù)，同時(shí)注意t的取值范圍（有的時(shí)間里沒有構(gòu)造的三角形，有的時(shí)間里三角形面積的列式方式不一樣）。例33（2025·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，動點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，分別沿射線AB和射線AC的方向勻速運(yùn)動，且速度相等，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)F也隨之停止運(yùn)動，連接EF，以EF為邊向下作正方形EFGH，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動的路程為x(1)當(dāng)x=2時(shí)，y=_______；當(dāng)x=8時(shí)，(2)求點(diǎn)E在整個(gè)運(yùn)動過程中y的最大值．3.經(jīng)營問題中列式時(shí)要考慮的多項(xiàng)收入或支出錯(cuò)誤：在計(jì)算函數(shù)值利潤時(shí)，列式是所有銷售收入－所有消耗成本和進(jìn)貨成本，很多時(shí)候往往會漏掉比如消耗成本，比如每天人工的成本，也有比如涉及到銷售收入的低價(jià)促銷獲益，或者補(bǔ)貼等等。注意：應(yīng)該充分讀題，將所有題干條件分門別類并表示出其值，在最終列式時(shí)避免遺漏。例34（2025·新疆·模擬預(yù)測）現(xiàn)有一個(gè)小果園種植甲、乙兩種果樹，種植x棵甲果樹（x為正整數(shù)），每年所獲得的利潤W1（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式為W1=-8x2+mx-60，且當(dāng)x=20時(shí)，W1=6340；種植z棵乙果樹（z（棵）1040W249207920(1)求出W1關(guān)于x，W2關(guān)于(2)若這個(gè)小果園計(jì)劃種植甲果樹的數(shù)量是乙果樹數(shù)量的一半，求當(dāng)種植多少棵甲果樹時(shí)，兩種果樹所獲得的年總利潤最大？最大是多少？4.拋球問題中確定特定位置物體的高度的問題錯(cuò)誤：沒有數(shù)形結(jié)合的意識，尤其是無法將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)圖象中要解決的數(shù)學(xué)問題。注意：我們在前面討論過，實(shí)際問題要問的問題，要能解讀成二次函數(shù)圖象上的問題，具體有：（1）要求某處物體高度，就是二次函數(shù)圖象中，該處橫坐標(biāo)代入解得y的值，再翻譯成實(shí)際問題中的高度，并解決問題。（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若要求該處物體是否通過某個(gè)高度，只要求出y的值，與實(shí)際問題中的高度進(jìn)行比較即可。常見于解決排球、乒乓球過網(wǎng)，足球進(jìn)門等問題。（3）實(shí)際問題中的最高點(diǎn)即圖象的頂點(diǎn)。例35（2024·浙江杭州·二模）問題：如何設(shè)計(jì)擊球路線？情境：某校羽毛球社團(tuán)的同學(xué)們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)學(xué)知識對羽毛球技術(shù)進(jìn)行分析，下面是他們對擊球線路的分析．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，球網(wǎng)AB與y軸的水平距離OA=3m，擊球點(diǎn)P在擊球方案：扣球羽毛球的飛行高度ym與水平距離xm近似滿足一次函數(shù)關(guān)系C1：y=-0.4x吊球羽毛球的飛行高度ym與水平距離xm近似滿足二次函數(shù)關(guān)系C2，此時(shí)當(dāng)羽毛球飛行的水平距離是1高遠(yuǎn)球羽毛球的飛行高度ym與水平距離xm近似滿足二次函數(shù)關(guān)系C3：y=a探究：(1)求扣球和吊球時(shí)，求羽毛球飛行滿足的函數(shù)表達(dá)式；(2)①若選擇扣球的方式，剛好能使球過網(wǎng)，求球網(wǎng)AB的高度為多少；②若選擇吊球的方式，求羽毛球落地點(diǎn)到球網(wǎng)的距離；(3)通過對本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若高遠(yuǎn)球的擊球位置P保持不變，接球人站在離球網(wǎng)4m處，他可前后移動各1m，接球的高度為2.8m1．（24-25九年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）A．y=x2C．y=2x-2．（2025·遼寧阜新·二模）關(guān)于二次函數(shù)y=-x-A．圖象經(jīng)過原點(diǎn) B．開口向上C．對稱軸是直線x=-2 D．最高點(diǎn)是3．（24-25九年級下·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）將二次函數(shù)y=x2-4x+3A．y=x-62-C．y=x+22-4．（2025·山西呂梁·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=a-2x2-A．a(chǎn)<2 B．a(chǎn)≤3 C．a(chǎn)<3且a≠2 D5．（24-25九年級下·河南周口·期中）九年級同學(xué)在研究某種化學(xué)試劑的揮發(fā)情況時(shí)，發(fā)現(xiàn)可以用數(shù)學(xué)的相關(guān)知識解決問題．小組同學(xué)在A，B兩種不同的場景下做對比實(shí)驗(yàn)，得到該試劑在揮發(fā)過程中剩余質(zhì)量yA，yB(克)隨時(shí)間x(分鐘A．yA是關(guān)于xB．yB是關(guān)于xC．當(dāng)y=15時(shí)，A場景用的時(shí)間大于BD．10分鐘時(shí)，A場景剩余質(zhì)量小于B場景剩余質(zhì)量6．（24-25九年級上·山東煙臺·期中）已知二次函數(shù)y=axA．y1<y2<y3 B．7．（24-25九年級上·重慶永川·期中）飛機(jī)著陸后滑行的距離s（單位：m）關(guān)于滑行時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)解析式是s=60t-A．200 B．400 C．600 D．8008．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）已知二次函數(shù)y=-x-12A．-14≤y≤1 B．1≤y≤2 C9．（2025·四川廣元·三模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+①cb②2a③3a④關(guān)于x的方程ax⑤a<其中結(jié)論正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)10．（2025·河北石家莊·模擬預(yù)測）一種高腳杯如圖1所示，其杯肚部分外輪廓線為拋物線的一部分，圖2為其杯肚的截面圖，已知杯口AB=8cm，杯深CD=12cm．如圖3，若將盛有部分液體的高腳杯傾斜45°（即AB與液面FG所在直線相交，所夾較小角為45°），液面FG與CD交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E距杯口AB的距離ED=7A．22cm B．1023cm C11．（24-25九年級下·浙江·假期作業(yè)）若關(guān)于x的函數(shù)y=2-ax2-12．（2025·廣東廣州·二模）拋物線y=(x13．（24-25八年級下·浙江金華·期末）已知二次函數(shù)圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為4,0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,1，則該二次函數(shù)的解析式為．14．（24-25九年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知拋物線y=ax2-x-1與x軸交于A15．（2025·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=ax2+2ax+ca<0的圖象上有兩點(diǎn)16．（2025·廣西來賓·模擬預(yù)測）投壺是中國古代宴飲時(shí)做的一種投擲游戲