南通(如皋)2026高三第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.已知復(fù)數(shù)z=(1+2i3)i,則z=

A.1+2iB.1-2iC.2-iD.2+i

2.已知全集U={x|1≤x≤4},集合,則CA=

A.{x|1≤x≤2或3≤x≤4}B.{x|1≤x<2或3<x≤4}

C.{x|1≤x≤2或3<x≤4}D.{x|1≤x<2或3≤x≤4}

3.一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：1,2,3,4,6,8,x,18,22,23.若它們的70百分位數(shù)是中位數(shù)的兩倍，則x的值為

A.10B.11C.12D.14

4.已知雙曲線C,頂點到漸近線的距離為,則離心率e=

A.√2C.42D.2

5.已知等比數(shù)列{a},若2a2=a?a?,S?=S2+2S?,則S?=

A.128B.255C.256D.511

6.在△ABC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=5,c=acosB,,則△ABC面積為

A.12B.9C.6D.3

7.已知函數(shù)f(x)=(x+1)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，則a+2b=

A.-10B.10C.2D.-2

8.已知半徑為5,圓心角為π的扇形鐵片P-AB如圖一，將其裁剪成如圖二的形狀并制成一個倒立的圓

錐桶(如圖三，含蓋，且連接處損耗不計),該圓錐桶內(nèi)能放入的最大球內(nèi)注滿了水(球厚薄忽略不計),

將水倒入圓錐筒內(nèi)，則水面高度為

B

圖1圖2圖3

B.D.

1

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是

A.

B.若f(x?)=f(x?)=1,

C.將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g(x)=2sin2x

D.當(dāng)x∈[0,2π]時，曲線y=sinx與f(x)有4個交點

10.在棱長為1的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點E,F滿足DE=ED,

BF=λAA?+μAD(0≤λ≤1,0≤μ≤1),則

A.BD?//平面AEC

B.若AF與平面BCC?B?所成角為,則F點的軌跡長度為

C.當(dāng)λ+μ=1時，滿足到直線AB與到平面A?B?C?D?的距離相等的點F有兩個

D.當(dāng)時，四面體FBB?A?外接球體積為

11.甲、乙兩個盒子中分別裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的1個黑球和2個紅球.現(xiàn)從兩個盒子中各任取一個球

放入對方盒子中稱為一次操作，重復(fù)進行n(n∈n*)次操作后，甲盒子中恰有0個黑球，1個黑球，2個黑球

分別記為事件A,B,C.則

A.

C.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2

12.若函數(shù)f(x)=e-2x有大于零的極值點，則實數(shù)a的取值范圍是

13.已知隨機變量X～N(2,4),且P(X<0)=P(X>a),則的展開式中常數(shù)項為·

14.已知F是拋物線C:x2=4y的焦點，1是準(zhǔn)線，過F作圓A:x2+y2-6y+6=0的切線，與拋物線C交

于點M,N兩點(M在N的上方),過M作I的垂線，垂足為P,則△MFP的面積為·

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)△ABC中，

(1)求角C;

(2)若角C為銳角，M是BC邊上的一點，CM=2MB=2,AM=2√2,求△ABC的面積.

16.(15分)已知數(shù)列{a,}的各項均為正數(shù)，前n項和為S。,且a=1,a+=√S+1+√Sn.

(1)證明：

{√S}是等差數(shù)列；

(2),數(shù)列的前n項和為T,不等式λ<T,對任意正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)λ

的取值范圍.

3

17.(15分)如圖，已知圓臺0?0?,AB,CD,EF均為母線，四邊形ABCD為圓臺的軸截面，且

BC=2AD=4,AE=√2.

(1)證明：AE//BF;

(2)求異面直線EF與BC所成角；

(3)已知二面角B-EF-C的余弦值為,求圓臺的高O?O?的長.

C

4

18.(17分)已知函數(shù),k∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的極值；

(2)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

①求k的值；

②證明：不等式f(x)+xlnx>x2+x-1恒成立.

5

19.(17分)已知雙曲線C

,F(-2,0),F?(2,0)分別為左、右焦點，點A(2,√2)

在雙曲線C上.

(1)求雙曲線的方程；

(2)如圖，在雙曲線的右支上任取一點P(x?,y。),以P為切點作雙曲線右支的切線，交兩漸近線于

M?,N?兩點，過M,N?兩點分別作兩漸近線的平行線交于點P,過P作直線M?N?的平行線分別交兩漸近

線于M,N?兩點，再過M?,N?兩點分別作兩漸近線的平行線交于點P?,一直反復(fù)操作，可得P,P?,P?…P.

①證明：點O,P?,P,P?,P?,……,P,在同一條直線上，并求該直線方程；

②記△P?M:N,(i=1,2,…,n)的面積為S?,記,證明：

6

南通(如皋)2026高三第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.已知復(fù)數(shù)z=(1+2i3)i,則z=

A.1+2iB.1-2iC.2-iD.2+i

【答案】C

z=(1-2i)i=i-2i2=2+i,z=2-i,選C.

2.已知全集U={x|1≤x≤4},集合,則CA=

A.{x|1≤x≤2或3≤x≤4}B.{x|1≤x<2或3<x≤4}

C.{x|1≤x≤2或3<x≤4}D.{x|1≤x<2或3≤x≤4}

【答案】D

CA={x|1≤x<2或3≤x≤4},選D.

3.一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：1,2,3,4,6,8,x,18,22,23.若它們的70百分位數(shù)是中位數(shù)的兩倍，則x的值為

A.10B.11C.12D.14

【答案】A

l共10個數(shù)據(jù)，中位數(shù)為7,10×70%=7,第70百分?jǐn)?shù)

∴x=10,選A.

4.已知雙曲線C:頂點到漸近線的距離為,則離心率e=

A.√2c.42D.2

【答案】A

頂點(a,0)到漸近線bx-ay=0的距離

∴2ab=c2=a2+b2,∴a=b,∴e=√2,選A.

5.已知等比數(shù)列{a,},若2a2=a?a?,S?n=S2+2S,則S?=

A.128B.255C.256D.511

【答案】B

7

2a2=a?a?=a?a?,∴2a?=a?,∴q=2,S?=S2+2S?,

∴a?+2a?=a2+2a,∴a=1,,選B.

6.在△ABC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=5,c=acosB,,則△ABC面積為

A.12B.9C.6D.3

【答案】C

c=acosB,∴sinC=sinAcosB,

∴sinAcosB+sinBcosA=sinAcosB

∴sinBcosA=0,∴cosA=0,∴或

,∴b=3,c=4或b=4,c=3,

7.已知函數(shù)f(x)=(x+1)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，則a+2b=

A.-10B.10C.2D.-2

【答案】C

f(x)關(guān)于(1,0)對稱，則f(1)=0,∴a+b=-1①,

f(0)+f(2)=0,∴b+3(4+2+b)=0②,

由①②解得·a+2b=-4+6=2,選C.

函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，找到兩組對稱的就可以求出參數(shù)的值，除非錯題，否則算出來的參數(shù)不會

出錯。

8.已知半徑為5,圓心角為π的扇形鐵片P-AB如圖一，將其裁剪成如圖二的形狀并制成一個倒立的圓

錐桶(如圖三，含蓋，且連接處損耗不計),該圓錐桶內(nèi)能放入的最大球內(nèi)注滿了水(球厚薄忽略不計),

將水倒入圓錐筒內(nèi)，則水面高度為

B

圖1圖2圖3

8

【答案】D

解析】方法一：設(shè)PC=r,則小圓直徑5-r,則

∴r=3,底面圓半徑1,圓錐高2√2,設(shè)圓錐內(nèi)切球半徑為R

圓錐體積,水深x,則截面半徑

現(xiàn)在小圓錐體

方法二：設(shè)⊙O半徑為r,∴PQ=5-2r,

B

∴圓錐母線長l=3,圓錐高PP′=2√2,設(shè)其內(nèi)切球為球O'

O'E⊥PR于點E,設(shè)O'E=OP′=r',.

,設(shè)水倒入圓錐后，水面半徑為r。,高為2√2r

,∴高為,選：D.

圓錐展開圖，求出圓錐的母線，底面圓的半徑，高，然后求出內(nèi)切球的半徑，求出水的體積，然

后倒入到圓錐中求出水的高度。

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是

A.

B.若f(x?)=f(x?)=1,

C.將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g(x)=2sin2x

D.當(dāng)x∈[0,2π]時，曲線y=sinx與f(x)有4個交點

【答案】ABD

f(x)max=2,∴A=2,f(x)=2sin(wx+4),

,@=2,f(x)=2sin(2x+φ),

∴y軸右側(cè)第一條對稱軸

A對.

f(x)=1,則,x=k?π,k?∈Z或

10

f(x)向右平移個單位變

錯.

如圖兩圖像有4個交點，D對，選ABD.

v=2sin(2a+6)

3

衛(wèi)

拉π

”

位”y=sinz

10.在棱長為1的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點E,F滿足DE=ED?,

BF=λAA?+μAD(0≤λ≤1,0≤μ≤1),則

A.BD?//平面AEC

B.若AF與平面BCC?B?所成角為,則F點的軌跡長度為

C.當(dāng)λ+μ=1時，滿足到直線AB與到平面AB?C?D?的距離相等的點F有兩個

D.當(dāng)時，四面體FBB?A?外接球體積為

【答案】AD

記AC∩BD=G,∵DE=ED?,∴E為DD?中點，又G為BD中

點，∴EG為△DBD?的中位線，∴EG//BD?,EGc平面AEC,BD?c平面

AEC,∴EG//平面AEC,A對.

如圖建系，BF=λ(0,0,1)+μ(-1,0,0)=(-μ,0,2),F(1-μ,1,2),

AF=(-μ,1,2),平面BCC?B?的法向量AB=(0,1,0),∴AF與AB所成角為45°,

∴μ2+λ2=1,軌跡為個圓，軌跡長度為

B錯.

11

Z

F(1-μ,1,2)到平面A?B?C?D?的距離d?,平面A?B?C?D?的法向量

n=DD?=(0,0,1),AB=(0,1,0),AF=(-μ,1,2),

F到AB的距離。

又∵λ+μ=1,∴λ=0,μ=1,F只有一個點，C錯.

,設(shè)球心O(x,y.z),半徑R,

D對.

立體幾何無難題，建系基本可以解決所有問題，只是對于A選項，沒有必要建系，不建系更好的

理解。

11.甲、乙兩個盒子中分別裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的1個黑球和2個紅球.現(xiàn)從兩個盒子中各任取一個球

放入對方盒子中稱為一次操作，重復(fù)進行n(n∈N*)次操作后，甲盒子中恰有0個黑球，1個黑球，2個黑球

分別記為事件An,Bn,Cn.則

A.B.

12

【答案】ACD

對.

方法一,A

,C對.

為首項，為公比的等比數(shù)列

是以

,D對，選ACD.

方法二：初始甲盒1黑2紅，乙盒：1黑2紅

對于A,,A正確.

對于B,

,B錯.

,C正確.

13

對于D,

,D正確.

選：ACD.

方法三：狀態(tài)轉(zhuǎn)移與遞推

記X為第n次操作后甲盒子中黑球個數(shù)，則X∈{0,1,2},且總黑球數(shù)守恒為2.

從兩個盒子各取一球并交換是對稱操作，因此在任意n,有P(A,)=P(Cn).為便

于書寫，記pn=P(Bn)=P(Xn=1),un=P(A,)=P(X=0),

vn=P(Cn)=P(Xn=2).分別從甲、乙各取一球，交換后X。的變化只與當(dāng)前狀態(tài)

有關(guān)，構(gòu)成三狀態(tài)馬爾可夫鏈.逐一列出三種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移：

當(dāng)X=0:甲0黑3紅，乙2黑1紅.乙取黑概率乙取紅概率甲只能取紅，

,P(0→2)=0.

當(dāng)X=1:甲、乙均1黑2紅.獨立取球并交換：

P(1→0)=P(甲黑

當(dāng)X=2:甲2黑1紅，乙0黑3紅.甲取黑概率,甲取紅概率,乙只能取紅，

,P(2→0)=0.

據(jù)此得轉(zhuǎn)移矩陣(按狀態(tài)0,1,2排列):

初始為(0,1,0),即X?=1.

A:P(B?)由上面1→1的轉(zhuǎn)移概率，

14

B:P(A?|B?)先算

再算P?=P(B?)=P(0→1)·P(X?=0)+P(1→1)·P(X?=1)

C:P(A?+B?)按并事件公式：P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B),

并記號A?+B?表示并事件A?UB?·

C對.

D:由全概率pn+=P(Xn+1=1)=P(0→1)·un+P(1→1)·pn+P(2→1)·vn

.而un+v,=1-Pn,故得到遞推

最終,D對.綜上：A、C、D正確，B錯誤.

方法四：直接枚舉

開始X?=1時，兩個盒子的取球組合共有3×3=9等可能結(jié)果，每個結(jié)果概率

其中使X?=1的有：甲紅乙紅(4種)與甲黑乙黑(1種),合計5種，

故使X?=0與X?=2各2種，古.與方法二一致.

由X?=0,1,2分層，利用轉(zhuǎn)移概率：

.與方法二計算一致.

改編一：單邊偏置

題：甲、乙兩個盒子中分別裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的1個黑球和2個紅球.現(xiàn)從兩個盒子中各任取一個

球放入對方盒子中稱為一次操作.改動：甲盒取球仍等概率取色；乙盒若同時存在黑、紅兩色，則取黑的概

率為,取紅的概率為；若某色不存在則必取另一色.重復(fù)進行n(n∈N)次操作后，甲盒子中恰有0個黑

球，1個黑球，2個黑球分別記為事件A,B,Cn.則()

15

A.B.

C.

【改編題答案】ACD

【改編題解析】記X,為第n次操作后甲盒黑球個數(shù)，X,∈{0,1,2},并設(shè)

un=P(A,)=P(X=0),pn=P(B。)=P(Xn=1),v,=P(Cn)=P(Xn=2).初態(tài)

X?=1,故u?=0,po=1,vo=0.轉(zhuǎn)移概率

根據(jù)題設(shè)的單邊偏置(僅乙盒偏置，且兩色并存時)可得：

若X=0:甲0黑3紅，乙2黑1紅.甲必取紅，乙取黑概率,取紅概率

,P(O→2)=0.

若X=1:甲乙均1黑2紅.甲取黑取紅乙取黑黑

P(1→1)=P(甲紅且乙紅)+P(甲黑且

若X=2:甲2黑1紅，乙0黑3紅.乙必取紅；甲取黑、取紅

,P(2→0)=0.

按狀態(tài)序(0,1,2)的轉(zhuǎn)移矩陣為

A:從X?=1起一輪，,A對.

計算P?,P(A?∩B?),P(A?|B?),由一步分布：

16

故B錯.

推導(dǎo)pn(驗證D)

全概率：

改編二：雙邊同偏

題：甲、乙兩個盒子中分別裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的1個黑球和2個紅球.現(xiàn)從兩個盒子中各任取一個

球放入對方盒子中稱為一次操作.改動：若某盒同時存在黑、紅兩色，則兩盒均(以同一偏好參數(shù)

取黑的概率為,取紅的概率為;若某色不存在則必取另一色.重復(fù)進行n(neN)次操作后，記事件

A,B,C,同上.則()

D.P(A,)=P(C,)對一切n成立

【改編題答案】ABCD

【改編題解析】仍記un,Pn,v,如上，初態(tài)u?=0,Po=1,v?=0.此時兩盒完全對稱，

故對所有n有un=vn,D對.

一步概率(兩盒同偏

Xn=2:

Xn=1:兩盒均1黑2紅，于是

故,A對.

遞推與求解

全概率：Pn+=q(u+v,)+(q2+(1-q)2)pn=q+(2q2-3q+1)pn

當(dāng)

時，2q2-3q+1=2

,B對，且極限

點評：馬爾科夫鏈問題，前三個選項計算量很小，很好理解，最后一個選項，先證明p(An)=p(Cn)。

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若函數(shù)f(x)=e-2x有大于零的極值點，則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】(0,2)

f'(x)=ae-2=0,,∴0<a<2.

13.已知隨機變量X～N(2,4),且P(X<0)=P(X>a),則的展開式中常數(shù)項為

【答案】60

X～N(2,4),P(X<0)=P(X>a),∴a=4,

展開式第r+1

r=2,T?=60,常數(shù)項為60.

點評：由正態(tài)分布的對稱性求a,然后求二項展開式通項公式。

14.已知F是拋物線C:x2=4y的焦點，I是準(zhǔn)線，過F作圓A:x2+y2-6y+6=0的切線，與拋物線C交

于點M,N兩點(M在N的上方),過M作I的垂線，垂足為P,則△MFP的面積為_··

【答案】4√3

數(shù)學(xué)解析】方法一：圓A:x2+(y-3)2=3,F(0,1),

切線：y=kx+1即kx-y+1=0

或

∠NMP=60°,

18

方法二：暴力算也可以!

圓A:x2+y2-6y+6=0→x2+(y-3)2=3,圓心O?(0,3),r=√3.

設(shè)過F的切線斜率為k,其方程為y=kx+1.

從而

聯(lián)立拋物線：x2=4y=4(kx+1)→x2-4kx-4=0.x=2k±2√k2+1.

分兩條切線討論，求與拋物線的兩個交點M,N,假設(shè)M在N的上方.

①當(dāng)

代回y=kx+1或.得·

②當(dāng)時：

無論取哪條切線，都有M的坐標(biāo)為(±2√3,3),,只差橫坐標(biāo)符號，N為

過M向準(zhǔn)線1:y=-1作垂線，垂足P的坐標(biāo)為P(xm,-1)=(±2√3,-1).

因為MP垂直于1,故MP為豎直線段，長度MP=yu-(-1)=3+1=4.

以MP為底，三角形△MFP的高即點F(0,1)到直線x=x的距離，

為d(F,x=xμ)=|xM-0|=|xM|=2√3.

于是面積·MP··2√3=4√3.兩條切線面積一致.

拓展與深挖(暴力算的話)

1、這給出一個結(jié)論：任何過F的直線與拋物線x2=4y的兩交點的縱坐標(biāo)互為倒

數(shù).對本題切線由于,再由y?y?=1與y?解得

2、面積的坐標(biāo)型速算：對拋物線x2=4y上任一點M(xM,yM),到準(zhǔn)線的垂距

MP=yM+1,而三角形△MFP取底MP時的高是點F到直線x=xM的距離|xM|·

19

所以.本題代入xu=±2√3立即得4√3.

3、一般化模板：若改成拋物線x2=4py(p>0),焦點F(0,p),準(zhǔn)線過

F作與以y軸為對稱軸的圓x2+(y-a)2=r2(a>p,d=|a-p)的切線y=kx+p.

切線條件.與拋物線聯(lián)立x2=4p(kx+p)

.若取在上的那個交點M,則

→x=2p(|A+√z2+1)

本題對應(yīng)p=1,a=3,r=√3,代入立得4√3.

點評：先求直線方程，由直線的斜率可以求焦半徑，然后求面積，作為14計算量很小了.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)△ABC中，

(1)求角C;

(2)若角C為銳角，M是BC邊上的一點，CM=2MB=2,AM=2√2,求△ABC的面積.

數(shù)學(xué)解析】

(1)sinAcosC-cosAsinC+2cosAsinC=√2sinBsinC,

sin(A+C)=√2sinBsinC

→sinB=√2sinBsinC,:

(2)∵C為銳角，∵CM=2MB=2

A

∴CM=2,MB=1,在△ACM中，

.(b-√2)2=6,b=√6+√2,

20

16.(15分)已知數(shù)列{a,}的各項均為正數(shù)，前n項和為S,且a?=1,an+1=√S+1+√Sn.

(1)證明：

{√S}是等差數(shù)列；

(2),數(shù)列{b,}的前n項和為T,不等式λ<T,對任意正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)λ

的取值范圍.

數(shù)學(xué)解析】

(1)S+-S?=√S+1+√S?→√S+-√Sn=1,∴√S?=1+(n-1)-1=n

成首項為1,公差為1的等差數(shù)列.

{√S}

(2)由(1)知S?=n2,n≥2時，a?=S,-S?1=n2-(n-1)2=2n-1,a=1也

滿足上式

∴a=2n-1,

λ<(Tn)mn,n為偶數(shù)時，T才可能最小，此

,即λ的取值范圍

17.(15分)如圖，已知圓臺O?O?,AB,CD,EF均為母線，四邊形ABCD為圓臺的軸截面，且

BC=2AD=4,AE=√2.

(1)證明：AE//BF;

(2)求異面直線EF與BC所成角；

(3)已知二面角B-EF-C的余弦值為求圓臺的高O?O?的長.

21

C

F

數(shù)學(xué)解析】

(1)證明：取BF中點G,BO?中點H,連接O?H,EG,

∵EF為圓臺的一條母線，∴OE//O?F

且O?E=1,O?F=2,∴,又

∴四邊形O?EGH為平行四邊形

OH=EG,又∵OH=AB,∴EG=AB,四邊形ABFE為平行四邊形，

∴AE//BF.

(2)∵AE=√2,AD=2,∠AED=90°,∴DE=√2,∴E為AD中點，F(xiàn)為

BC中點，F(xiàn)O?⊥BC,設(shè)O?O?=h,

如圖建系，∴E(1,0,h),F(2,0,0),B(0,-2,0),C(0,2,0)

B

∴EF=(1,0,-h),BC=(0,4,0),EF·BC=0,∴EF⊥BC,

22

∴直線EF與BC所成角大小為

(3)仿(2)建系，BE=(1,2,h),EF=(1,0,-h),FC=(-2,2,0)

設(shè)平面BEF與平面EFC的一個法向量分別為n?=(x?,y1,z),n?=(x?,V?,z?)

→n=(h,-h,1),→n?=(h,h,1)

∴O?O?=1..

18.(17分)已知函數(shù),k∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的極值；

(2)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

①求k的值；

②證明：不等式f(x)+xlnx>x2+x-1恒成立.

(1)f(x)=e-ke?*-2,

①當(dāng)k≥0時，f'(x)>0,f(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)無極值.

②當(dāng)k<0時，,當(dāng)時，f'(x)<0,f(x)單

調(diào)遞減；當(dāng)時，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

無極大值.

(2)方法一：①∵f(x)為偶函數(shù)，

∴f(-x)=f(x)→e?*-k·e?-2=e-ke?×-2,

即e-e×=k(e?-e),(e-e*)(1+k)=0對Vx∈R恒成立，二k=-1

②f(x)=e?+e?-2?證：e?+e?*-2+xlnx-x2-x+1>0

即證：e?+e?x+xlnx-x2-x-1>0

(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”),∴xlnx≥x-1

只需證：e?+e×-x2-2>0對Vx>0恒成立

令F(x)=e+e?×-x2-2,F'(x)=e-e*-2x,F"(x)=e+e?*-2≥2-2=0

∴F'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，∴F(x)>F(0)=0,

∴e×+e?*-x2-2>0對Vx>0恒成立，得證!

方法二；①由偶函數(shù)定義f(x)=f(-x)(Vx∈R).

f(x)-f(-x)=(e-2-ke?*)-(e?-2-ke*)=(1+k)(e-e?×).

上式欲對一切x恒為0,只能取k=-1(因為e?-ex≠0)

此時f(x)=e*+e?×-2.

②證明：φ(x)=(x2+x-1)=(e?+e?*-2-x2)+(xlnx-x+1).

分兩部分分別處理：關(guān)于e+e?×:由基本不等式

相加得e2+e?1≥2+t2,且當(dāng)且僅當(dāng)t=0取等號.取t=x得

e?+e?×-2-x2>0(Vx>0).

關(guān)于xlnx-x+1:設(shè)H(x)(x>0),則H'(x)=Inx,

故H在(0,+∞)上凸，且在x=1處取得最小值H(1)=0,

從而xlnx-x+1≥0(Vx>0),等號僅在x=1處成立.

將兩部分合并：φ(x)=(e?+e?*-2-x2)+(xlnx-x+1)>0(Vx>0).

于是f(x)+xlnx>x2+x-1(Vx>0)

綜上：在x>0上第一項正，第二項非負(fù)，二者之和正，故為不等式.

拓展與深挖

1、偶函數(shù)判別：一般式Ae+Be?×+C為偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)A=B.本題對應(yīng)

A=1,B=-k,故1=-k→k=-1.此對稱系數(shù)判別，一眼給出結(jié)論.

2、不等式升級:由冪級數(shù)

等號僅在x=0取到.因而在本題條件x>0下

3、改編：若題改為f(x)=αe+βe??+y

①極值：當(dāng)αβ<0時有唯一極小值，極值點在

24

②偶性：f為偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)α=β.

③若令α=β=1,可把e+e?*寫成2coshx,并利用迅速得到與本

題一樣的結(jié)論.

點評：第一問屬于導(dǎo)數(shù)含參分類討論的類型，第二題的第一小問比較常規(guī)，第二問屬于借助導(dǎo)數(shù)證明不

等式的類型，其中考察的本質(zhì)其實就是兩個重要的不等式，屬于拆分函數(shù)證明不等式的證明思路，可見平時

多收集重要不等式還是很有必要的.

19.(17分)已知雙曲線

,F(-2,0),F?(2,0)分別為左、右焦點，點A(2,√2)

在雙曲線C上.

(1)求雙曲線的方程；

(2)如圖，在雙曲線的右支上任取一點P。(x?,y。),以P?為切點作雙曲線右支的切線，交兩漸近線于

M?,N?兩點，過M?,N?兩點分別作兩漸近線的平行線交于點P,過P作直線M?N。的平行線分別交兩漸近

線于M?,N?兩點，再過M?,N?兩點分別作兩漸近線的平行線交于點P?,一直反復(fù)操作，可得P,P2,P?…P..

①證明：點O,P?,P,P2,P?,……,P,在同一條直線上，并求該直線方程；

②記△P-M;N;(i=1,2,…,n)的面積為S,記，,證明：

…∴雙曲線方程為：

(2)①切線M?N?方程為x?x-yoy=2,x2-y2=2,

兩條漸近線方程分別為y=x和y=-x

聯(lián)立·

25

M?P方程：

N?P方程：,兩式聯(lián)立→P(2x?,2y。)

直線M?N?方程

以此類推可得P,(2”x。,2”y。),n∈N,∴,0,P?,P,P?,…,P,在定直線

②仿①知,i∈N

二直線MN,方程為:x?x-y。y=2+1,P?-1(22-1x?,22-1y。)到直線M?N?的距離

,n≥2時，

方法二；(1)x2-y2=2

26

(2)①點P(x?,y。)處切線x?x-yoy=2

與漸近線y=x的交點M?:

與漸近線y=-x的交點N?:

過M。作y=-x的平行線：

過N?作y=x的平行線：

兩線交于P.聯(lián)立得·

從而i

利用x2-y2=2化簡：P(2x?,2y。)

接著過P作M?N?的平行線.由于M?N?的方程是