福建省示范名校2026屆高二數學第一學期期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點為F，且點F與圓上點的距離的最大值為6，則拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.2．若、且，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.3．已知直線，，若，則實數（）A. B.C.1 D.24．“五一”期間，甲、乙、丙三個大學生外出旅游，已知一人去北京，一人去兩安，一人去云南.回來后，三人對去向作了如下陳述：甲：“我去了北京，乙去了西安.”乙：“甲去了西安，丙去了北京.”丙：“甲去了云南，乙去了北京.”事實是甲、乙、丙三人陳述都只對了一半(關于去向的地點僅對一個).根據以上信息，可判斷下面說法中正確的是（）A.甲去了西安 B.乙去了北京C.丙去了西安 D.甲去了云南5．已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.6．命題“，均有”的否定為（）A.，均有 B.，使得C.，使得 D.，均有7．若正整數N除以正整數m后的余數為n，則記為，如.如圖所示的程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的“中國剩余定理”.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.168．已知A（3，2），點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上移動，為使取得最小值，則點P的坐標為（）A.（0，0） B.（2，2）C. D.9．如圖，在正方體中，點E是上底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．若，則下列不等式不能成立是（）A. B.C. D.11．函數的圖象如圖所示，則下列大小關系正確的是（）A.B.C.D.12．如圖，已知二面角平面角的大小為，其棱上有、兩點，、分別在這個二面角的兩個半平面內，且都與垂直.已知，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線的一個法向量________.14．從雙曲線上一點作軸的垂線，垂足為，則線段中點的軌跡方程為___________.15．在空間直角坐標系中，已知向量，則在軸上的投影向量為________.16．已知平面的法向量分別為，，若，則的值為___三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，點到兩點的距離之和等于4，設點的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）設直線與交于兩點，為何值時？18．（12分）如圖所示，、分別為橢圓的左、右焦點，A，B為兩個頂點，已知橢圓C上的點到、兩點的距離之和為4.（1）求a的值和橢圓C的方程；（2）過橢圓C的焦點作AB的平行線交橢圓于P，Q，求的面積19．（12分）2021年10月16日，搭載“神舟十三號”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關新聞．某機構將關注這件事的時間在2小時以上的人稱為“天文愛好者”，否則稱為“非天文愛好者”，該機構通過調查，從參與調查的人群中隨機抽取100人進行分析，得到下表（單位：人）：天文愛好者非天文愛好者合計女203050男351550合計5545100（1）能否有99%的把握認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關？（2）現從抽取的女性人群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進行分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數為X，求X的分布列和數學期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82820．（12分）在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，已知直線：mx－（2－m）y－4=0與直線h：x+y－2=0的交點M在第一三象限的角平分線上.（1）求實數m的值；（2）若點P在直線l上且，求點P的坐標.21．（12分）在四面體ABCD中，CB=CD，，且E，F分別是AB，BD的中點，求證：（I）直線；（II）．22．（10分）著名的“康托爾三分集”是由德國數學家康托爾構造的，是人類理性思維的產物，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段記為第一次操作；再將剩下的兩個閉區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮.每次操作后剩下的閉區(qū)間構成的集合即是“康托爾三分集”.例如第一次操作后的“康托爾三分集”為.（1）求第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）定義的區(qū)間長度為，記第n次操作后剩余的各區(qū)間長度和為，求；（3）記n次操作后“康托爾三分集”的區(qū)間長度總和為，若使不大于原來的，求n的最小值.（參考數據：，）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】先求得拋物線的焦點坐標，再根據點F與圓上點的距離的最大值為6求解.【詳解】因為拋物線的焦點為F，且點F與圓上點的距離的最大值為6，所以，解得，所以拋物線準線方程為，故選：D2、B【解析】構造函數，利用函數在上的單調性可判斷AB選項；構造函數，利用函數在上的單調性可判斷CD選項.【詳解】對于AB選項，構造函數，其中，則，所以，函數在上單調遞增，因為、且，則，即，A錯B對；對于CD選項，構造函數，其中，則.當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，故函數在上不單調，無法確定與的大小關系，故CD都錯.故選：B.3、D【解析】根據兩條直線的斜率相等可得結果.【詳解】因為直線，，且，所以，故選：D.4、D【解析】根據題意，先假設甲去了北京正確，則可分析其他人的陳述是否符合題意，再假設乙去西安正確，分析其他人的陳述是否符合題意，即可得答案.【詳解】由題意得，甲、乙、丙三人的陳述都只對了一半，假設甲去了北京正確，對于甲的陳述：則乙去西安錯誤，則乙去了云南；對于乙的陳述：甲去了西安錯誤，則丙去了北京正確；對于丙的陳述：甲去了云南錯誤，乙去了北京也錯誤，故假設錯誤.假設乙去了西安正確，對于甲的陳述：則甲去了北京錯誤，則甲去了云南；對于乙的陳述：甲去了西安錯誤，則丙去了北京正確；對于丙的陳述：甲去了云南正確，乙去了北京錯誤，此種假設滿足題意，故甲去了云南.故選：D5、A【解析】利用空間向量基本定理進行計算.【詳解】.故選：A6、C【解析】全稱命題的否定是特稱命題【詳解】根據全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“，均有”的否定為“，使得”故選：C7、C【解析】根據“中國剩余定理”，進而依次執(zhí)行循環(huán)體，最后求得答案.【詳解】由題意，第一步：，余數不為1；第二步：，余數不為1；第三步：，余數為1，執(zhí)行第二個判斷框，余數不為2；第四步：，執(zhí)行第一個判斷框，余數為1，執(zhí)行第二個判斷框，余數為2.輸出的i值為13.故選：C.8、B【解析】設點P到準線的距離為，根據拋物線的定義可知，即可根據點到直線的距離最短求出【詳解】如圖所示：設點P到準線的距離為，準線方程為，所以，當且僅當點為與拋物線的交點時，取得最小值，此時點P的坐標為故選：B9、B【解析】建立空間直角坐標系，利用向量夾角求解.【詳解】以為原點，為軸正方向建立空間直角坐標系如圖所示，設正方體棱長為2，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B10、C【解析】利用不等式的性質可判斷ABD，利用賦值法即可判斷C，如.【詳解】解：因為，所以，所以，，，故ABD正確；對于C，若，則，故C錯誤.故選：C.11、C【解析】根據導數的幾何意義可得答案.【詳解】因為函數在某點處的導數值表示的是此點處切線的斜率，所以由圖可得，故選：C12、C【解析】以、為鄰邊作平行四邊形，連接，計算出、的長，證明出，利用勾股定理可求得的長.【詳解】如下圖所示，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，因為，，則，又因為，，，故二面角的平面角為，因為四邊形為平行四邊形，則，，因為，故為等邊三角形，則，，則，，，故平面，因為平面，則，故.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（答案不唯一）【解析】根據給定直線方程求出其方向向量，再由法向量意義求解作答.【詳解】直線的方向向量為，而，所以直線的一個法向量.故答案為：14、.【解析】根據題意，設，進而根據中點坐標公式及點P已知雙曲線上求得答案.【詳解】由題意，設，則，則，即，因為，則，即的軌跡方程為.15、【解析】根據向量坐標意義及投影的定義得解.【詳解】因為向量，所以在軸上的投影向量為.故答案為:16、【解析】由平面互相垂直可知其對應的法向量也垂直，然后用空間向量垂直的坐標運算求解即可.【詳解】∵，∴平面的法向量互相垂直，∴，即，解得,故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題意可得：點的軌跡為橢圓，設標準方程為：，則，，，解出可得橢圓的標準方程（2）設，，直線方程與橢圓聯立，化為：，恒成立，由，可得，把根與系數的關系代入解得【詳解】解：（1）由題意可得：點的軌跡為橢圓，設標準方程為：，則，，，可得橢圓的標準方程為：（2）設，，聯立，化為：，恒成立，，，，，，解得．滿足當時，能使【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交弦長問題、數量積運算性質、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題18、（1）a＝2，（2）【解析】（1）由題意可得a＝2，，求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意可求出的坐標，則可求出直線PQ的方程，然后將直線方程與橢圓方程聯立，消去，利用根與系數的關系，求出的值，從而可求出的值【小問1詳解】由橢圓定義可得2a＝4，所以a＝2，又因點在橢圓C上，所以，解得：，所以a的值為2，橢圓C的方程為【小問2詳解】由橢圓的方程可得，，，所以，所以直線PQ的方程為，設，，由可得，所以，，所以，所以19、（1）有（2）分布列見解析，【解析】（1）依題意由列聯表計算出卡方，與參考數值比較，即可判斷；（2）按照分層抽樣得到有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”，記“天文愛好者”的人數為X，則X的可能值為0，1，2，即可求出所對應的概率，從而得到分布列與數學期望；【小問1詳解】解：由題意，所以有99%的把握認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關.【小問2詳解】解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文愛好者”有20人，“非天文愛好者”有30人，所以按分層抽樣在50個女性人群中抽取5人，則有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數為X，則X的可能值為0，1，2，∴，，，X的分布列如下表：X012P20、（1）3（2）【解析】（1）求出直線與直線的交點坐標，代入直線的方程可得值；（2）設，代入已知等式可求得值，得坐標【小問1詳解】由得，即所以，【小問2詳解】由（1）直線方程是，在直線上，設，則，解得，所以點坐標為21、（I）證明見解析（II）證明見解析【解析】證明：（I）E，F分別為AB，BD的中點（II），又，所以22、（1）（2）（3）【解析】（1）根據“康托爾三分集”的定義，即可求得第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）根據“康托爾三分集”的定義，分別求得前幾次的剩余區(qū)間長度的和，求得其通項公式，即可求解；（3）由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，結合題意，得到，利用對數的運算公式，即可求解.【小問1詳解】解：根據“康托爾三分集”的定義可得：第一次操作后的“康托爾三分集”為，第二次操作后的“康托爾三分集”為；【小問2詳解】解：將定義的區(qū)間長度為，根據“康托爾三分