遼寧撫順市六校聯(lián)合體2026屆高二上數(shù)學期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在遞增等比數(shù)列中，為其前n項和．已知，，且，則數(shù)列的公比為（）A.3 B.4C.5 D.62．已知命題若直線與拋物線有且僅有一個公共點，則直線與拋物線相切，命題若，則方程表示橢圓.下列命題是真命題的是A. B.C. D.3．設數(shù)列的前項和為，且，則（）A. B.C. D.4．已知兩定點和，動點在直線上移動，橢圓C以A，B為焦點且經過點P，則橢圓C的短軸的最小值為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，那么的值為（）A. B.C. D.6．如圖是拋物線拱形橋，當水面在時，拱頂離水面，水面寬，若水面上升，則水面寬是（）（結果精確到）（參考數(shù)值：）A B.C. D.7．已知分別是雙曲線的左、右焦點，動點P在雙曲線的左支上，點Q為圓上一動點，則的最小值為（）A.6 B.7C. D.58．在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有相關關系的圖是（）A.（1）（2） B.（1）（3）C.（2） D.（2）（3）9．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點A的坐標為，點P是雙曲線在第二象限的部分上一點，且，點Q是線段的中點，且，Q關于直線PA對稱，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.10．設雙曲線與橢圓：有公共焦點，.若雙曲線經過點，設為雙曲線與橢圓的一個交點，則的余弦值為（）A. B.C. D.11．如果橢圓上一點到焦點的距離等于6，則線段的中點到坐標原點的距離等于（）A.7 B.10C.12 D.1412．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，下頂點為，直線與橢圓的另一個交點為，若為等腰三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點P在圓上，已知，，則的最小值為___________.14．曲線在x=1處的切線方程為__________.15．過橢圓上一點作軸的垂線，垂足為，則線段中點的軌跡方程為___________.16．已知兩點和則以為直徑的圓的標準方程是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右頂點坐標分別是，，短軸長等于焦距.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點，線段的中點為，求.18．（12分）已知直線，圓.（1）證明：直線l與圓C相交；（2）設l與C的兩個交點分別為A、B，弦AB的中點為M，求點M的軌跡方程；（3）在（2）的條件下，設圓C在點A處的切線為，在點B處的切線為，與的交點為Q.試探究：當m變化時，點Q是否恒在一條定直線上？若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.19．（12分）已知在數(shù)列中，，且.（1）求，，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的通項公式及前n項和.20．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，都是等腰直角三角形，，，，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.21．（12分）已知橢圓：過點，其左、右頂點分別為，，上頂點為，直線與直線的斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，直線：分別與線段（不含端點）和線段的延長線交于，兩點，直線與橢圓的另一交點為，求證：，，三點共線.22．（10分）要設計一種圓柱形、容積為500mL的一體化易拉罐金屬包裝，如何設計才能使得總成本最低？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由已知結合等比數(shù)列的性質可求出、，然后結合等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】解：由題意得：是遞增等比數(shù)列又，，故故選：B2、B【解析】若直線與拋物線的對稱軸平行，滿足條件，此時直線與拋物線相交，可判斷命題為假；當時，，命題為真，根據(jù)復合命題的真假關系，即可得出結論.【詳解】若直線與拋物線的對稱軸平行，直線與拋物線只有一個交點，直線與拋物不相切，可得命題是假命題，當時，，方程表示橢圓命題是真命題，則是真命題.故選:B.【點睛】本題考查復合命題真假的判斷，屬于基礎題.3、C【解析】利用，把代入中，即可求出答案.【詳解】當時，.當時，.故選：C.4、B【解析】根據(jù)題意，點關于直線對稱點的性質，以及橢圓的定義，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設點關于直線的對稱點，則，解得，即.根據(jù)橢圓的定義可知，，當、、三點共線時，長軸長取最小值，即，由且，得，因此橢圓C的短軸的最小值為.故選：B.5、D【解析】直接求導，代入計算即可.【詳解】，故.故選：D.6、C【解析】先建立直角坐標系，設拋物線方程為x2＝my，將點坐標代入拋物線方程求出m，從而可得拋物線方程，再令y＝代入拋物線方程求出x，即可得到答案【詳解】解：如圖建立直角坐標系，設拋物線方程為x2＝my，由題意，將代入x2＝my，得m＝，所以拋物線的方程為x2＝，令y＝，解得，所以水面寬度為2.24×817.9m故選：C7、A【解析】由雙曲線的定義及三角形的幾何性質可求解.【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為1，，，當，，三點共線時，最小，最小值為，而，所以故選：A8、D【解析】根據(jù)圖形可得（1）具有函數(shù)關系；（2）（3）的散點分布在一條直線或曲線附近，具有相關關系；（4）的散點雜亂無章，不具有相關關系.【詳解】對（1），所有的點都在曲線上，故具有函數(shù)關系；對（2），所有的散點分布在一條直線附近，具有相關關系；對（3），所有的散點分布在一條曲線附近，具有相關關系；對（4），所有的散點雜亂無章，不具有相關關系.故選：D.9、C【解析】由角平分線的性質可得，結合已知條件即可求雙曲線的離心率.【詳解】由題設，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C10、A【解析】求出雙曲線方程，根據(jù)橢圓和雙曲線的第一定義求出的長度，從而根據(jù)余弦定理求出的余弦值【詳解】由題得，雙曲線中，所以，雙曲線方程為：，假設在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得：，解得：，，所以根據(jù)余弦定理，故選：A11、A【解析】可由橢圓方程先求出，在利用橢圓的定義求出，利用已知求解出，再取的中點，連接，利用中位線，即可求解出線段的中點到坐標原點的距離.【詳解】因為橢圓，，所以，結合得，，取的中點，連接，所以為的中位線，所以.故選：A.12、B【解析】由橢圓定義可得各邊長，利用三角形相似，可得點坐標，再根據(jù)點在橢圓上，可得離心率.【詳解】如圖所示：因為為等腰三角形，且，又，所以，所以，過點作軸，垂足為，則，由，，得，因為點在橢圓上，所以，所以，即離心率，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】推導出極化恒等式，即，結合最小值為，求出最小值.【詳解】由題意，取線段AB中點，則，，兩式分別平方得：①，②，①－②得：，因為圓心到距離為，所以最小值為，又，故最小值為：.故答案為：14、【解析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線方程的斜率并求出，再由點斜式寫出切線方程即可.【詳解】由題設，，則，而，所以在x=1處的切線方程為，即.故答案為：.15、【解析】相關點法求解軌跡方程.【詳解】設，則，則，即，因為，代入可得，即的軌跡方程為.故答案為：16、【解析】根據(jù)的中點是圓心，是半徑，即可寫出圓的標準方程.【詳解】因為和，故可得中點為，又，故所求圓的半徑為，則所求圓的標準方程是：.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由橢圓頂點可知，又短軸長等于焦距可知，求出，即可寫出橢圓方程（2）根據(jù)“點差法”可求直線的斜率，寫出直線方程，聯(lián)立橢圓方程可得，，代入弦長公式即可求解.【詳解】（1）依題意，解得.故橢圓方程為.（2）設的坐標分別為，，直線的斜率顯然存在，設斜率為，則，兩式相減得，整理得.因為線段的中點為，所以，所以直線的方程為，聯(lián)立，得，則，，故.【點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程及簡單幾何性質，“點差法”，弦長公式，屬于中檔題.18、（1）證明見解析；（2）；（3）點Q恒在直線上，理由見解析.【解析】（1）求出直線過定點，得到在圓內部，故證明直線l與圓C相交；（2）設出點，利用垂直得到等量關系，整理后即為軌跡方程；（3）利用Q、A、B、C四點共圓，得到此圓方程，聯(lián)立，求出相交弦的方程，即直線的方程，根據(jù)直線過的定點，得到，從而得到點Q恒在直線上.【小問1詳解】證明：直線過定點，代入得：，故在圓內，故直線l與圓C相交；【小問2詳解】圓的圓心為，設點，由垂徑定理得：，即，化簡得：，點M的軌跡方程為：【小問3詳解】設點，由題意得：Q、A、B、C四點共圓，且圓的方程為：，即，與圓C的方程聯(lián)立，消去二次項得：，即為直線的方程，因為直線過定點，所以，解得：，所以當m變化時，點Q恒在直線上.【點睛】本題的第三問是稍有難度的，處理方法是根據(jù)四點共圓，直徑的端點坐標，求出此圓的方程，與曲線聯(lián)立后得到相交弦的方程，是處理此類問題的關鍵.19、（1），，證明見解析（2），【解析】（1）根據(jù)遞推關系求出，，對遞推公式變形，即可得證；（2）結合（1）求得通項公式，分組求和.【小問1詳解】因為，且所以，，∵，∴，∵，∴，且，∴數(shù)列是等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可知是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，即，即；.20、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）由三角形的中位線定理可證得MN∥AB，再由線面垂直的判定定理可證得結論，（2）由已知可得AB⊥BC，VC⊥AC，再由已知結合面面垂直的性質定理可得VC⊥平面ABC，從而有AB⊥VC，然后由線面垂直的判定定理可證得結論【小問1詳解】證明：∵M，N分別為VA，VB的中點，∴MN∥AB，∵AB?平面CMN，MN?平面CMN，∴AB∥平面CMN【小問2詳解】證明：∵△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝CV，∴AB⊥BC，VC⊥AC，∵平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，∴VC⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，∴AB⊥VC，又VC∩BC＝C，∴AB⊥平面VBC21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由和，聯(lián)立求解；（2）由（1）易得直線：，直線：，，分別與x=t聯(lián)立，求得M，N坐標，設，利用，得到，然后兩邊乘以，結合點P在橢圓上化簡得到即可，【詳解】（1）在橢圓中，，，，則，，由題意得：，又，解得，，所以橢圓的方程為.（2）由（1）可知，，，，則直線：，直線：，由題意，，聯(lián)立，同