上海市嘉定區(qū)外國(guó)語學(xué)校2026屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高三年級(jí)抽取的學(xué)生數(shù)為（）A.10 B.15C.20 D.302．已知實(shí)數(shù)，滿足不等式組，若，則的最小值為（）A. B.C. D.3．“若”為真命題，那么p是（

）A. B.C. D.4．由1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中1與2不能相鄰的排法總數(shù)為（）A.20 B.36C.60 D.725．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，則的最小值是（）A.20 B.40C.60 D.806．設(shè)，，，…，，，則（）A. B.C. D.7．橢圓：的左焦點(diǎn)為，橢圓上的點(diǎn)與關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則的值是（）A.3 B.4C.6 D.88．已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.2C. D.49．關(guān)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列說法正確的是（）A.如果，則，，成等差數(shù)列B.如果，則，，成等比數(shù)列C.如果，則，，成等差數(shù)列D.如果，則，，成等差數(shù)列10．已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且垂直于x軸．若直線AB的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（0,4）關(guān)于直線x－y+1＝0的對(duì)稱點(diǎn)為（）A.(－1,2) B.(2,－1)C.(1,3) D.(3,1)12．在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“”是“”的________條件.（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選擇一項(xiàng)填空.）14．半徑為的球的表面積為_______15．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_____________________.16．已知數(shù)列滿足，且．則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）曲線與曲線在第一象限的交點(diǎn)為.曲線是()和()組成的封閉圖形.曲線與軸的左交點(diǎn)為、右交點(diǎn)為.（1）設(shè)曲線與曲線具有相同的一個(gè)焦點(diǎn)，求線段的方程；（2）在（1）的條件下，曲線上存在多少個(gè)點(diǎn)，使得，請(qǐng)說明理由.（3）設(shè)過原點(diǎn)的直線與以為圓心的圓相切，其中圓的半徑小于1，切點(diǎn)為.直線與曲線在第一象限的兩個(gè)交點(diǎn)為..當(dāng)對(duì)任意直線恒成立，求的值.18．（12分）點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù).（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）點(diǎn)在（1）中軌跡上運(yùn)動(dòng)軸，為垂足，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)軌跡方程.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程，曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值.20．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且過點(diǎn).（1）求圓C的方程；（2）若圓C與直線交于A，B兩點(diǎn)，且，求m的值.21．（12分）已知是等差數(shù)列，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，，（1）求證：面面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)M，使得二面角為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)抽取比例乘以即可求解.【詳解】由題意可得應(yīng)從高三年級(jí)抽取的學(xué)生數(shù)為，故選：C.2、B【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，然后根據(jù)線性規(guī)劃的幾何意義求得答案.【詳解】作出不等式組所對(duì)應(yīng)的可行域如圖三角形陰影部分，平行移動(dòng)直線直線，可以看到當(dāng)移動(dòng)過點(diǎn)A時(shí)，在y軸上的截距最小,聯(lián)立，解得，當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)直線即過點(diǎn)時(shí)，取得最小值為，故選：B3、A【解析】求不等式的解集，根據(jù)解集判斷p.【詳解】由解得-2<x<4，所以p是.故選：A.4、D【解析】先排3，4，5，然后利用插空法在4個(gè)位置上選2個(gè)排1，2.【詳解】先排3，4，5,,共有種排法，然后在4個(gè)位置上選2個(gè)排列1,2，有種排法，則1與2不能相鄰的排法總數(shù)為種，故選：D.5、C【解析】首先畫出可行域，找到最優(yōu)解，得到關(guān)系式作為條件，再去求的最小值.【詳解】畫出的可行域，如下圖：由得由得；由得；目標(biāo)函數(shù)取最大值時(shí)必過N點(diǎn)，則則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故選：C6、B【解析】根據(jù)已知條件求得的規(guī)律，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】，，，，，……，以此類推，，所以.故選：B7、D【解析】令橢圓C的右焦點(diǎn)，由已知條件可得四邊形為平行四邊形，再利用橢圓定義計(jì)算作答.【詳解】令橢圓C的右焦點(diǎn)，依題意，線段與互相平分，于是得四邊形為平行四邊形，因此，而橢圓：的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，所以.故選：D8、C【解析】先求出，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的模求解即可【詳解】，，則，故選：C9、B【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合取特值、推理計(jì)算等方法逐一分析各個(gè)選項(xiàng)并判斷即可作答.【詳解】對(duì)于A，若，取，而，即，，不成等差數(shù)列，A不正確；對(duì)于B，若，則，即，，成等比數(shù)列，B正確；對(duì)于C，若，取，而，，，不成等差數(shù)列，C不正確；對(duì)于D，a，b，c是實(shí)數(shù)，若，顯然都可以為負(fù)數(shù)或者0，此時(shí)a，b，c無對(duì)數(shù)，D不正確.故選：B10、D【解析】根據(jù)題意表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線AB的斜率為，列方程可求出橢圓的離心率【詳解】由題意得，，當(dāng)時(shí)，，得，由題意可得點(diǎn)在第一象限，所以，因?yàn)橹本€AB的斜率為，所以，化簡(jiǎn)得，所以，，得（舍去），或，所以離心率，故選：D11、D【解析】設(shè)出點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可【詳解】解：設(shè)點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線x－y+1＝0的對(duì)稱點(diǎn)是(a,b),則，解得：，故選：D12、B【解析】以為空間的一個(gè)基底，求出空間向量求的夾角即可判斷作答.【詳解】在四面體OABC中，不共面，則，令，依題意，，設(shè)與AC所成角的大小為，則，而，解得，所以與AC所成角的大小為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、充分不必要【解析】由不等式的性質(zhì)可知，由得，反之代入進(jìn)行驗(yàn)證，然后根據(jù)充分性與必要性的定義進(jìn)行判斷，即可得出所要的答案【詳解】解：由不等式的性質(zhì)可知，由得，故“”成立可推出“”，而，當(dāng)，則，所以“”不能保證“”，故“”是“”成立的充分不必要條件.故答案為：充分不必要【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，結(jié)合不等式的性質(zhì)，屬于較簡(jiǎn)單題型14、.【解析】由球的表面積公式計(jì)算【詳解】由題意.故答案為：15、【解析】首先判定點(diǎn)在曲線上，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得答案.【詳解】由題意可知點(diǎn)在曲線上，而，故曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以切線方程：，即，故答案為：16、【解析】倒數(shù)型求數(shù)列通項(xiàng)公式，第一步求倒數(shù)，第二步構(gòu)造數(shù)列，求通項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）一共2個(gè)，理由見解析；（3）答案見解析.【解析】（1）先求曲線的焦點(diǎn)，再求點(diǎn)的坐標(biāo)，分焦點(diǎn)為左焦點(diǎn)或右焦點(diǎn)，求線段的方程；（2）分點(diǎn)在雙曲線或是橢圓的曲線上，結(jié)合條件，說明點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）首先設(shè)出直線和圓的方程，利用直線與圓相切，以及直線與曲線相交，分別表示，并計(jì)算得到的值.【詳解】（1）兩個(gè)曲線相同的焦點(diǎn)，，解得：，即雙曲線方程是，橢圓方程是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是,聯(lián)立兩個(gè)曲線，得，，即，當(dāng)焦點(diǎn)是右焦點(diǎn)時(shí)，線段的方程當(dāng)焦點(diǎn)時(shí)左焦點(diǎn)時(shí)，，，線段的方程（2），假設(shè)點(diǎn)在曲線上單調(diào)遞增∴所以點(diǎn)不可能在曲線上所以點(diǎn)只可能在曲線上，根據(jù)得可以得到當(dāng)左焦點(diǎn)，，同樣這樣的使得不存在所以這樣的點(diǎn)一共2個(gè)（3）設(shè)直線方程，圓方程為直線與圓相切，所以，，根據(jù)得到補(bǔ)充說明：由于直線的曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，受參數(shù)的影響，蘊(yùn)含著如下關(guān)系，∵，當(dāng)，存在，否則不存在這里可以不需討論，因?yàn)轭}目前假定直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的大前提，當(dāng)共焦點(diǎn)時(shí)存在不存在.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓和雙曲線相交的綜合應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是曲線由橢圓和雙曲線構(gòu)成，所以研究曲線上的點(diǎn)時(shí)，需分兩種情況研究問題.18、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)題意用表示出與，再代入，再化簡(jiǎn)即可得出答案。（2）設(shè)，利用表示出點(diǎn)，再將點(diǎn)代入橢圓，化簡(jiǎn)即可得出答案?！驹斀狻浚?）由題意知，所以化簡(jiǎn)得：（2）設(shè)，因?yàn)?，則將代入橢圓得化簡(jiǎn)得【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程，一般求某點(diǎn)的軌跡方程，只需要設(shè)該點(diǎn)為，利用所給條件建立的關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可。屬于基礎(chǔ)題。19、（1）直線的普通方程為；曲線C的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】（1）根據(jù)轉(zhuǎn)換關(guān)系將參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可；（2）將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，利用韋達(dá)定理即可得出答案.【小問1詳解】解：將直線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去得，則直線的普通方程為，由曲線C的極坐標(biāo)方程為，得，即，由得曲線C的直角坐標(biāo)方程為；【小問2詳解】解：點(diǎn)滿足，故點(diǎn)在直線上，將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式（為參數(shù)），代入曲線C的直角坐標(biāo)方程為，得，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以.20、（1）（2）或【解析】（1）由已知設(shè)圓C的方程為，點(diǎn)代入計(jì)算即可得出結(jié)果.（2）由已知可得圓心C到直線的距離,利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可求得值.【小問1詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓C的圓心在直線上，.則圓C的方程為，圓C過點(diǎn)，則，解得：則，圓C的圓心坐標(biāo)為.則圓C的方程為；【小問2詳解】圓心C到直線的距離.則，解得或21、（1）（2）【解析】（1）由題意得解方程組求出，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，（2）因?yàn)槭枪葹榈牡缺葦?shù)列，又，，所以，從而可得，然后利用分組求和法求解即可【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由題意得解得，.所以.【小問2詳解】因?yàn)槭枪葹榈牡缺葦?shù)列，又，，所以，所以.所以.22、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO、，在三角形中分別證明和，再利用勾股定理證明，結(jié)合線面垂直的判定定理可證明平面，再由面面垂直的判定定理即可證明結(jié)果.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)點(diǎn)M存在，設(shè)，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平面的法向量，利用空間向量的方法根據(jù)二面角的平面角為可求出的值.【詳解】（1）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO,,，為等腰直角三角形，所以，；側(cè)面為菱形，，所以三角形