初中2024學(xué)年第一學(xué)期初三年級(jí)12月學(xué)情摸查數(shù)學(xué)試卷第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1.沒有哪一門學(xué)科能像數(shù)學(xué)這樣，利用如此多的符號(hào)圖形展現(xiàn)一系列完備且完美的世界．下面是由4個(gè)數(shù)學(xué)式子繪制成的完美曲線，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.2.下列說法正確的是（）A.“明天下雨的概率為”，意味著明天有的時(shí)間下雨B.若拋擲圖釘釘尖向上的概率為，則拋擲100次圖釘，釘尖向上的次數(shù)為40次C.汽車?yán)鄯e行駛沒有出現(xiàn)故障，是必然事件D.經(jīng)過有信號(hào)燈的十字路口時(shí)，遇到紅燈是隨機(jī)事件3.用配方法解方程，原方程變形為（）A. B. C. D.4.對(duì)于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）A.與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為 B.與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小 D.對(duì)稱軸為直線5.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則的度數(shù)是（）A B. C. D.6.如圖，某校團(tuán)委準(zhǔn)備在藝術(shù)節(jié)期間舉辦學(xué)生繪畫展覽，為美化畫面，在長為30cm、寬為20cm的矩形畫面四周鑲上寬度相等的彩紙，并使美化后整個(gè)圖形的面積恰好是原畫面面積的2倍，若設(shè)彩紙的寬度為，根據(jù)題意可列方程（）A. B.C D.7.如圖，在中，點(diǎn)在上，，交于，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B. C. D.8.如圖，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，則當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是（）A. B. C.或 D.或9.如圖所示，在等腰三角形中，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接取的中點(diǎn)，連接，若，則以下選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.10.如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為CA上的動(dòng)點(diǎn)，連BP，過點(diǎn)A作AM⊥BP于M．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長為（）Aπ B.π C.π D.2π第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）11.若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，寫出的一個(gè)值可以是________．（寫出一個(gè)即可）12.有一個(gè)半徑為扇形，將扇形圍成一個(gè)底面半徑為的圓錐，則該扇形的圓心角的度數(shù)為______．13.在一次試驗(yàn)中，每個(gè)電子元件“”的狀態(tài)有通電、斷開兩種可能，并且這兩種狀態(tài)的可能性相等，則圖中，之間電流能夠正常通過的概率是______．14.如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是A、B，C在弧AB上，過C的切線分別交PA、PB于點(diǎn)D、E．若PB＝10，則△PDE的周長為_____．15.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，若規(guī)定，若m，n是的兩個(gè)根，則______．16.如圖，在中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則為等邊三角形；⑤若，則．其中結(jié)論正確的序號(hào)是______．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.解下列方程：．18.如圖，在中，D，E分別是邊，上的點(diǎn)，連接，且，，．求證：．19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．（1）將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，則坐標(biāo)為________，并在圖中畫出；（2）旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為________（結(jié)果保留）．20.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：無論m為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)?shù)男边?，且兩直角邊a和b恰好是該方程的兩個(gè)根，求m的值．21.圓周率π是無限不循環(huán)小數(shù)．歷史上，祖沖之、劉微、韋達(dá)、歐拉等數(shù)學(xué)家都對(duì)π有過深入的研究．目前，超級(jí)計(jì)算機(jī)已計(jì)算出π的小數(shù)部分超過萬億位，有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0~9這10個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，接近相同．

（1）從π的小數(shù)部分隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)字，估計(jì)這個(gè)數(shù)字（不等于0）是3的倍數(shù)的概率為_________；（2）我校進(jìn)行校園文化建設(shè)，擬從以上4位科學(xué)家的畫像中隨機(jī)選用2幅，求其中有一幅是祖沖之的概率．（用畫樹狀圖或列表方法求解）22.大圓O和小圓O為同心圓，正六邊形為大圓O的內(nèi)接正六邊形，連接．連接與交于點(diǎn)K，同時(shí)小圓O與相切于點(diǎn)K．（1）求證：是小圓O的切線．（2）若，求陰影部分的面積．（結(jié)果用表示）23.如圖平面直角坐標(biāo)系中，運(yùn)動(dòng)員通過助滑道后在點(diǎn)A處起跳經(jīng)空中飛行后落在著陸坡上的點(diǎn)處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分．從起跳到著陸的過程中，運(yùn)動(dòng)員到地面的豎直距離y（單位：m）與他在水平方向上移動(dòng)的距離（單位：m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，已知，，落點(diǎn)到的水平距離是，到地面的豎直高度是．（1）求y與的函數(shù)表達(dá)式；（2）進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)員在空中飛行過程中，其水平方向移動(dòng)的距離（m）與飛行時(shí)間t（秒）具備一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)他在起跳點(diǎn)騰空時(shí)，，；當(dāng)他在點(diǎn)著陸時(shí)，飛行時(shí)間為5秒．①求與t的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)運(yùn)動(dòng)員與著陸坡在豎直方向上的距離達(dá)到最大時(shí)，求出此時(shí)他飛行時(shí)間t的值．24.如圖，在⊙O中，AB為弦，CD為直徑，且AB⊥CD，垂足為E，P為上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接PD．（1）求證：∠APD＝∠BPD；（2）利用尺規(guī)在PD上找到點(diǎn)I，使得I到AB、AP的距離相等，連接AD（保留作圖痕跡，不寫作法）．求證：∠AIP+∠DAI＝180°；（3）在（2）的條件下，連接IC、IE，若∠APB＝60°，試問：在P點(diǎn)的移動(dòng)過程中，是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由．25.如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)(點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè))，與軸交于點(diǎn)，．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式．（2）如圖1，連接，點(diǎn)是直線上方拋物線上的點(diǎn)，連接，．交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）如圖2，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，連接形成的中，是否存在點(diǎn)，使或等于？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

2024學(xué)年第一學(xué)期初三年級(jí)12月學(xué)情摸查數(shù)學(xué)試卷第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1.沒有哪一門學(xué)科能像數(shù)學(xué)這樣，利用如此多的符號(hào)圖形展現(xiàn)一系列完備且完美的世界．下面是由4個(gè)數(shù)學(xué)式子繪制成的完美曲線，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．中心對(duì)稱圖形：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．詳解】解：根據(jù)題意可得：是中心對(duì)稱圖形的是“”，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形的定義，解題的關(guān)鍵是掌握中心對(duì)稱圖形：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．2.下列說法正確的是（）A.“明天下雨的概率為”，意味著明天有的時(shí)間下雨B.若拋擲圖釘釘尖向上的概率為，則拋擲100次圖釘，釘尖向上的次數(shù)為40次C.汽車?yán)鄯e行駛沒有出現(xiàn)故障，是必然事件D.經(jīng)過有信號(hào)燈的十字路口時(shí)，遇到紅燈是隨機(jī)事件【答案】D【解析】【分析】本題考查概率的意義，事件的分類．根據(jù)概率的意義，事件分類逐個(gè)判斷即可得到答案．【詳解】解：A、“明天下雨的概率為”是說明天大約有可能下雨，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、拋擲圖釘釘尖向上的概率為，則拋擲100次圖釘，釘尖向上的次數(shù)可能為40次，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、汽車?yán)鄯e行駛沒有出現(xiàn)故障，是隨機(jī)事件，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、經(jīng)過有信號(hào)燈的十字路口時(shí)，遇到紅燈是隨機(jī)事件，原說法正確，符合題意；故選：D．3.用配方法解方程，原方程變形為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程—配方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟．利用解一元二次方程—配方法：先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：解：，故選：A．4.對(duì)于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）A.與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為 B.與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小 D.對(duì)稱軸為直線【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)逐一判斷即可求解，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，故A不符合題意；，圖象與x軸沒有交點(diǎn)，故B不符合題意；∵，即：拋物線的開口向上，且對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，故C不符合題意，D符合題意；故選：D．5.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到，根據(jù)圓周角定理即可得到的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，，∴，∵∴，∴，故選：B．6.如圖，某校團(tuán)委準(zhǔn)備在藝術(shù)節(jié)期間舉辦學(xué)生繪畫展覽，為美化畫面，在長為30cm、寬為20cm的矩形畫面四周鑲上寬度相等的彩紙，并使美化后整個(gè)圖形的面積恰好是原畫面面積的2倍，若設(shè)彩紙的寬度為，根據(jù)題意可列方程（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)原畫的長、寬及四周彩紙的寬，可得出原畫四周鑲上彩紙后的長為，寬為，再結(jié)合原畫四周鑲上彩紙后的面積等于原畫面面積的2倍，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：原畫面是長為，寬為的矩形，且彩紙的寬度為，原畫四周鑲上彩紙后的長為，寬為．根據(jù)題意得：，即．故選：D．7.如圖，在中，點(diǎn)在上，，交于，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)已知得出，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故C正確；∴，即，故A正確；∴，故B正確；相似三角形的面積比等于相似比的平方，故，故D錯(cuò)誤．故選：D．8.如圖，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，則當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)圖象找到一次函數(shù)圖象在拋物線圖象上方時(shí)自變量的取值范圍即可得到答案．【詳解】解：∵直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，∴當(dāng)一次函數(shù)圖象在拋物線圖象上方時(shí)自變量的取值范圍為，∴不等式的解集為，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是，故選：B．9.如圖所示，在等腰三角形中，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接取的中點(diǎn)，連接，若，則以下選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同時(shí)也利用了等腰三角形的性質(zhì)，首先利用等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到，接著利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：等腰三角形中，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴為等邊三角形，∴，，∴，為的中點(diǎn)，，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；∴，∴，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；∵，∴，故選項(xiàng)D正確，不符合題意．故選：C．10.如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為CA上的動(dòng)點(diǎn)，連BP，過點(diǎn)A作AM⊥BP于M．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長為（）A.π B.π C.π D.2π【答案】A【解析】【詳解】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，連接NQ，如圖所示：∵N為BM的中點(diǎn)，Q為AB的中點(diǎn)，∴NQ為△BAM的中位線，∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，∴點(diǎn)N的路徑是以QB的中點(diǎn)O為圓心，AB長為半徑的圓交CB于D的，∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°，∴為⊙O的周長，∴線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長為：π，故選：A．第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）11.若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，寫出的一個(gè)值可以是________．（寫出一個(gè)即可）【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的解法，正確理解題意、掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，一元二次方程有實(shí)數(shù)根，于是只要使c的值為負(fù)數(shù)即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，∴的值可以是1（答案不唯一）．故答案為：1（答案不唯一）．12.有一個(gè)半徑為的扇形，將扇形圍成一個(gè)底面半徑為的圓錐，則該扇形的圓心角的度數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】本題考查扇形的弧長和圓錐的底面周長，根據(jù)扇形的弧長等于圓錐底面周長列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)該扇形的圓心角的度數(shù)為，由題意可得：，解得，故答案為：．13.在一次試驗(yàn)中，每個(gè)電子元件“”的狀態(tài)有通電、斷開兩種可能，并且這兩種狀態(tài)的可能性相等，則圖中，之間電流能夠正常通過的概率是______．【答案】##0.25【解析】【分析】本題主要考查了樹狀圖法求概率，概率公式等知識(shí)點(diǎn)，正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．畫出樹狀圖，共有種等可能的結(jié)果，，之間電流能夠正常通過的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有種等可能的結(jié)果，，之間電流能夠正常通過的結(jié)果有種，，之間電流能夠正常通過的概率為，故答案為：．14.如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是A、B，C在弧AB上，過C的切線分別交PA、PB于點(diǎn)D、E．若PB＝10，則△PDE的周長為_____．【答案】20．【解析】【分析】根據(jù)切線長定理求出AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，代入求出△PDE的周長為2PB即可．【詳解】解：∵PA、PB、DE是圓O的切線，切點(diǎn)分別是A、B、C，∴AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，∴△PED的周長是：PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+DA+PE+BE＝PA+PB＝2PB＝20．即△PDE的周長是20．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，把△PDE的周長轉(zhuǎn)化成含有PB的式子，題型較好，難度適中．15.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，若規(guī)定，若m，n是的兩個(gè)根，則______．【答案】2026【解析】【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系，可得出，，再由新規(guī)定得出，最后整體代入求值即可．【詳解】解：∵m，n是的兩個(gè)根，∴，即，∵規(guī)定，∴．16.如圖，在中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則為等邊三角形；⑤若，則．其中結(jié)論正確的序號(hào)是______．【答案】①②③⑤【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①；先證明，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可判斷②；證明四點(diǎn)共圓，可判定③，如果為等邊三角形，求得，推出是等邊三角形，得到是等邊三角形，而不一定是等邊三角形，即可判斷④；當(dāng)時(shí)，，由為邊的中點(diǎn)，得出，即可判斷⑤，據(jù)此即可求解．【詳解】解：①∵于點(diǎn)，于點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，∴，，∴，故①正確；②在與中，∵，，∴，∴，∴，故②正確；③∵于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴，∴四點(diǎn)共圓，∴，故③正確，④∵，∴，如果為等邊三角形，則，∴，∴是等邊三角形，∴，則是等邊三角形，而不一定是等邊三角形，故④錯(cuò)誤；⑤當(dāng)時(shí)，∵于點(diǎn)∴，，∴，∵為邊的中點(diǎn)，∴，∴為等腰直角三角形，∴，故⑤正確；∴結(jié)論正確的序號(hào)是①②③⑤，故答案為：①②③⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定，勾股定理，等邊三角形判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.解下列方程：．【答案】，【解析】【分析】本題考查解一元二次方程，先移項(xiàng)，再提取公因式進(jìn)行因式分解得到兩個(gè)一元一次方程，解一元一次方程即可．【詳解】解：，，，∴或，∴，．18.如圖，在中，D，E分別是邊，上的點(diǎn)，連接，且，，．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，即可證明．【詳解】證明：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．（1）將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，則坐標(biāo)為________，并在圖中畫出；（2）旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為________（結(jié)果保留）．【答案】（1）點(diǎn)坐標(biāo)為，畫圖見解析；（2）．【解析】【分析】（）分別作出三個(gè)頂點(diǎn)繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接即可；（）先利用勾股定理求出線段，再根據(jù)扇形的面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可；本題考了查旋轉(zhuǎn)變換和扇形面積計(jì)算問題，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義和扇形面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】如圖所示：∴點(diǎn)坐標(biāo)為，即為所求；【小問2詳解】∵，，，∴，，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積，故答案為：．20.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：無論m何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)?shù)男边?，且兩直角邊a和b恰好是該方程的兩個(gè)根，求m的值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式及勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)．（1）根據(jù)即可證明無論m取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)的實(shí)數(shù)根；（2）根據(jù)勾股定理及根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于m的方程，解出m即可得出答案．【小問1詳解】解：關(guān)于的一元二次方程，，無論m為何值，，，無論為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；【小問2詳解】解：和恰好是方程的兩個(gè)根，，，是直角三角形，斜邊為，，∴，∴，整理，得，解得，，又時(shí)，，不符合題意舍去，．21.圓周率π是無限不循環(huán)小數(shù)．歷史上，祖沖之、劉微、韋達(dá)、歐拉等數(shù)學(xué)家都對(duì)π有過深入的研究．目前，超級(jí)計(jì)算機(jī)已計(jì)算出π的小數(shù)部分超過萬億位，有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0~9這10個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，接近相同．

（1）從π的小數(shù)部分隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)字，估計(jì)這個(gè)數(shù)字（不等于0）是3的倍數(shù)的概率為_________；（2）我校進(jìn)行校園文化建設(shè)，擬從以上4位科學(xué)家的畫像中隨機(jī)選用2幅，求其中有一幅是祖沖之的概率．（用畫樹狀圖或列表方法求解）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了概率公式計(jì)算，畫樹狀圖或列表法計(jì)算概率，熟練掌握概率計(jì)算公式，準(zhǔn)確畫出樹狀圖或列表是解題的關(guān)鍵．（1）這個(gè)事件中有10種等可能性，其中是3，6，9都是3倍數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算即可；（2）畫出樹狀圖計(jì)算即可．【小問1詳解】解：∵這個(gè)事件中有10種等可能性，其中是3，6，9都是3的倍數(shù)，∴估計(jì)這個(gè)數(shù)字（不等于0）是3的倍數(shù)的概率為故答案為：；【小問2詳解】解：畫樹狀圖如圖所示：∵共有12種等可能的結(jié)果，其中有一幅是祖沖之的畫像有6種情況．∴（其中有一幅是祖沖之）．22.大圓O和小圓O為同心圓，正六邊形為大圓O的內(nèi)接正六邊形，連接．連接與交于點(diǎn)K，同時(shí)小圓O與相切于點(diǎn)K．（1）求證：是小圓O的切線．（2）若，求陰影部分的面積．（結(jié)果用表示）【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，設(shè)交于H，可證明垂直平分，則，再由切線的性質(zhì)得到，進(jìn)而可證明，得到，據(jù)此可證明結(jié)論；（2）證明是等邊三角形，則可求出的長，進(jìn)而求出的長，求出，則可求出，最后根據(jù)即可求出答案．【小問1詳解】證明：如圖所示，連接，設(shè)交于H，∵正六邊形為大圓O的內(nèi)接正六邊形，∴，∴，又∵，∴垂直平分，∴，∵小圓O與相切于點(diǎn)K，∴，又∵，∴，∴，∴點(diǎn)H在小圓O上，又∵，∴是小圓O的切線；【小問2詳解】解：∵正六邊形為大圓O的內(nèi)接正六邊形，∴，∴是等邊三角形，∵小圓O與相切于點(diǎn)K，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓綜合，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，熟知切線的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．23.如圖平面直角坐標(biāo)系中，運(yùn)動(dòng)員通過助滑道后在點(diǎn)A處起跳經(jīng)空中飛行后落在著陸坡上的點(diǎn)處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分．從起跳到著陸的過程中，運(yùn)動(dòng)員到地面的豎直距離y（單位：m）與他在水平方向上移動(dòng)的距離（單位：m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，已知，，落點(diǎn)到的水平距離是，到地面的豎直高度是．（1）求y與的函數(shù)表達(dá)式；（2）進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)員在空中飛行過程中，其水平方向移動(dòng)的距離（m）與飛行時(shí)間t（秒）具備一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)他在起跳點(diǎn)騰空時(shí)，，；當(dāng)他在點(diǎn)著陸時(shí)，飛行時(shí)間為5秒．①求與t的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)運(yùn)動(dòng)員與著陸坡在豎直方向上的距離達(dá)到最大時(shí)，求出此時(shí)他飛行時(shí)間t的值．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）將，代入，得，計(jì)算求解即可；（2）①設(shè)，將，代入，得，計(jì)算求解，然后作答即可；②設(shè)直線的解析式為，將代入得，，計(jì)算求解可確定直線的解析式為，設(shè)運(yùn)動(dòng)員飛行過程中的某一位置為，如圖，過作軸交于點(diǎn)，設(shè)，則，則，由，可得當(dāng)時(shí)，最大，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【小問1詳解】解：由題意可得過點(diǎn)，，將，代入，得，解得，∴與的函數(shù)關(guān)系式為；【小問2詳解】①解：設(shè)，將，代入，得，解得，∴；②解：由題意得設(shè)直線的解析式為，將代入得，，解得，，∴直線的解析式為，設(shè)運(yùn)動(dòng)員飛行過程中的某一位置為，如圖，過作軸交于點(diǎn)，設(shè)，則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，一次函數(shù)解析式等知識(shí)．熟練掌握二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．24.如圖，在⊙O中，AB為弦，CD為直徑，且AB⊥CD，垂足為E，P為上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接PD．（1）求證：∠APD＝∠BPD；（2）利用尺規(guī)在PD上找到點(diǎn)I，使得I到AB、AP的距離相等，連接AD（保留作圖痕跡，不寫作法）．求證：∠AIP+∠DAI＝180°；（3）在（2）的條件下，連接IC、IE，若∠APB＝60°，試問：在P點(diǎn)的移動(dòng)過程中，是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）2【解析】【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可證明；（2）作∠BAP的平分線交BP于I，證明∠DAI=∠AID，進(jìn)而命題可證；（3）連接BI，AC，先計(jì)算得∠AIB=120°，從而確定I在以D為圓心，AD為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)“射影定理”得AD2=DE?CD，進(jìn)而證明△DI′E∽△DCI′，從而求得結(jié)果．【小問1詳解】解：證明：∵直徑CD⊥弦AB，∴，∴∠APD=∠BPD；【小問2詳解】如圖，作∠BAP的平分線，交PD于I，證：∵AI平分∠BAP，∴∠PAI=∠BAI，∴∠AID=∠APD+∠PAI=∠APD+BAI，∵，∴∠DAB=∠APD，∴∠DAI=∠DAB+∠BAI=∠APD+∠BAI，∴∠AID=∠DAI，∵∠AIP+∠DAI=180°，∴∠AIP+∠DAI=180°；【小問3詳解】如圖2，連接BI，AC，OA，OB，∵AI平分∠BAP，PD平分∠APB，∴BI平分∠ABP，∠BAI=∠BAP，∴∠ABI=∠ABP，∵∠APB=60°，∴∠PAB+∠PBA=120°，∴∠BAI+∠ABI=（∠BAP+∠ABP）=60°，∴∠AIB=120°，∴點(diǎn)I的運(yùn)動(dòng)軌跡是，∴DI=DA，∵∠AOB=2∠APB=120°，∵AD⊥AB，∴，∴∠AOB=∠BOD=60°，∵OA=OD，∴△AOD是等邊三角形，∴AD=AO，∵CD是⊙O的直徑，∴∠DAC=90°，∵CD⊥AB