一、從生活到數(shù)學(xué)：折疊問題的核心邏輯演講人1.從生活到數(shù)學(xué)：折疊問題的核心邏輯2.矩形性質(zhì)的深度回顧：折疊問題的“地基”3.折疊問題的四大類型與解題策略4.常見易錯點(diǎn)與突破策略5.實(shí)戰(zhàn)演練：從基礎(chǔ)到拔高6.總結(jié)與升華目錄2025八年級數(shù)學(xué)下冊矩形的折疊問題專項練習(xí)課件作為一名深耕初中數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的一線教師，我始終相信：幾何問題的魅力在于“動”與“靜”的轉(zhuǎn)化，而矩形的折疊問題正是這種轉(zhuǎn)化的典型載體。它不僅能檢驗學(xué)生對矩形基本性質(zhì)的掌握，更能培養(yǎng)空間想象、邏輯推理和方程建模的綜合能力。今天，我們就圍繞“矩形的折疊問題”展開專項突破，從基礎(chǔ)概念到復(fù)雜題型，逐步拆解，讓每一個折疊操作都成為思維提升的階梯。01從生活到數(shù)學(xué)：折疊問題的核心邏輯1折疊現(xiàn)象的生活原型在課堂上，我常讓學(xué)生觀察身邊的折疊現(xiàn)象：課本的內(nèi)頁對折、試卷的邊緣翻折、手工課上的紙船折疊……這些看似普通的操作，背后都隱藏著數(shù)學(xué)本質(zhì)——軸對稱變換。折疊的本質(zhì)是將圖形的一部分以某條直線（折痕）為對稱軸，映射到另一部分的位置上。對于矩形而言，其本身的軸對稱性（對邊中點(diǎn)連線為對稱軸）與折疊操作的對稱性形成天然呼應(yīng)，這是解決問題的關(guān)鍵切入點(diǎn)。2折疊問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)從數(shù)學(xué)定義出發(fā)，折疊操作滿足以下核心性質(zhì)（板書時我會用紅筆標(biāo)注）：對應(yīng)邊相等：折疊前后，被覆蓋的線段與原線段關(guān)于折痕對稱，即(AB=A'B')（(A')為(A)的對應(yīng)點(diǎn)）；對應(yīng)角相等：折疊前后的角大小不變，即(\angleABC=\angleA'B'C')；折痕是對稱軸：折痕垂直平分對應(yīng)點(diǎn)的連線，即折痕(l)是(AA')的垂直平分線，滿足(l\perpAA')且(l)平分(AA')。這些性質(zhì)如同“折疊問題的鑰匙”，后續(xù)所有分析都需以此為基礎(chǔ)展開。02矩形性質(zhì)的深度回顧：折疊問題的“地基”矩形性質(zhì)的深度回顧：折疊問題的“地基”要解決矩形的折疊問題，必須先牢固掌握矩形的核心性質(zhì)（此處可讓學(xué)生集體背誦，再由教師補(bǔ)充拓展）：1矩形的定義與基本性質(zhì)矩形是“有一個角是直角的平行四邊形”，其基本性質(zhì)可歸納為“三特一軸”：01角特殊：四個角都是直角（(90^\circ)）；02邊特殊：對邊平行且相等（(AB=CD)，(AD=BC)）；03對角線特殊：對角線相等且互相平分（(AC=BD)，(AO=OC=BO=OD)）；04軸對稱性：矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對邊中點(diǎn)連線），也是中心對稱圖形（對稱中心為對角線交點(diǎn)）。052矩形與折疊的“天然適配”正因為矩形的四個角都是直角，折疊后形成的新圖形中必然存在大量直角三角形；而矩形的對邊相等、對角線相等，則為利用勾股定理、全等三角形或相似三角形解題提供了便利。例如，當(dāng)我們將矩形的一個角折疊到對邊上時，折痕與矩形邊形成的三角形往往是等腰三角形或直角三角形，這是解題的常見突破口。03折疊問題的四大類型與解題策略折疊問題的四大類型與解題策略通過對近五年中考真題和人教版教材習(xí)題的梳理，矩形的折疊問題可分為四大類：求角度、求邊長、求面積、存在性問題。接下來，我們逐一拆解，結(jié)合例題講解“觀察—標(biāo)記—建模—求解”的四步解題法。1類型一：求角度——抓住“對應(yīng)角相等”與“直角”典型例題：如圖1，矩形(ABCD)中，(AB=4)，(BC=6)，將(\triangleABC)沿(AC)折疊，點(diǎn)(B)落在點(diǎn)(B')處，求(\angleB'CD)的度數(shù)。分析過程（邊畫邊講，用不同顏色粉筆區(qū)分原圖形與折疊部分）：觀察：折疊后(\triangleABC\cong\triangleAB'C)，故(\angleBAC=\angleB'AC)，(\angleABC=\angleAB'C=90^\circ)；標(biāo)記：在圖中標(biāo)注已知邊長(AB=4)，(BC=6)，則(AC=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13})；1類型一：求角度——抓住“對應(yīng)角相等”與“直角”找關(guān)聯(lián)角：(\angleBAC=\arctan\left(\frac{BC}{AB}\right)=\arctan\left(\frac{6}{4}\right)=\arctan(1.5))，則(\angleB'AC=\arctan(1.5))；計算目標(biāo)角：(\angleB'CD=90^\circ-\angleACB-\angleB'CA)，而(\angleACB=\arctan\left(\frac{AB}{BC}\right)=\arctan\left(\frac{4}{6}\right)=\arctan\left(\frac{2}{3}\right))，由于(\angleB'CA=\angleACB)（折疊對應(yīng)角），故(\angleB'CD=90^\circ-2\arctan\left(\frac{2}{3}\right))。1類型一：求角度——抓住“對應(yīng)角相等”與“直角”總結(jié)：求角度問題的關(guān)鍵是利用折疊的“對應(yīng)角相等”性質(zhì)，結(jié)合矩形的直角條件，將目標(biāo)角轉(zhuǎn)化為已知角的和或差，必要時用三角函數(shù)輔助計算。2類型二：求邊長——構(gòu)建方程，利用勾股定理典型例題：如圖2，矩形(ABCD)中，(AB=8)，(AD=10)，將邊(AD)沿折痕(AE)折疊，使點(diǎn)(D)落在(BC)邊上的點(diǎn)(F)處，求(EF)的長。分析過程（此處可讓學(xué)生先嘗試，再講解）：標(biāo)記已知與未知：設(shè)(DE=x)，則(EF=x)（折疊對應(yīng)邊相等），(EC=8-x)；利用矩形性質(zhì)找邊長：(AF=AD=10)（折疊對應(yīng)邊相等），在(\triangleABF)中，(AB=8)，(AF=10)，由勾股定理得(BF=\sqrt{10^2-8^2}=6)，故(FC=BC-BF=10-6=4)；2類型二：求邊長——構(gòu)建方程，利用勾股定理在(\triangleEFC)中列方程：(EF^2=EC^2+FC^2)，即(x^2=(8-x)^2+4^2)；解方程：展開得(x^2=64-16x+x^2+16)，化簡得(16x=80)，解得(x=5)，故(EF=5)?？偨Y(jié)：求邊長問題的核心是“設(shè)未知數(shù)+勾股定理”。折疊會產(chǎn)生相等的線段（如(DE=EF)），而矩形的對邊相等（(BC=AD)）、直角（(\angleB=\angleC=90^\circ)）為構(gòu)建直角三角形提供了條件，通過設(shè)未知數(shù)列方程是最常用的方法。3類型三：求面積——拆分圖形，結(jié)合邊長與高典型例題：如圖3，矩形(ABCD)中，(AB=6)，(BC=8)，將矩形沿對角線(BD)折疊，點(diǎn)(C)落在點(diǎn)(C')處，求重疊部分（(\triangleBED)）的面積。分析過程（強(qiáng)調(diào)“重疊部分”的對稱性）：確定重疊部分形狀：折疊后(\triangleBCD\cong\triangleBC'D)，故(\angleCBD=\angleC'BD)，又(AD\parallelBC)（矩形對邊平行），故(\angleADB=\angleCBD)（內(nèi)錯角相等），因此(\angleEBD=\angleEDB)，即(\triangleBED)是等腰三角形（(BE=DE)）；3類型三：求面積——拆分圖形，結(jié)合邊長與高設(shè)未知數(shù)表示邊長：設(shè)(BE=DE=x)，則(AE=AD-DE=8-x)；在(\triangleABE)中用勾股定理：(AB^2+AE^2=BE^2)，即(6^2+(8-x)^2=x^2)；解方程求(x)：(36+64-16x+x^2=x^2)，化簡得(16x=100)，(x=6.25)；計算面積：(S_{\triangleBED}=\frac{1}{2}\timesDE\timesAB=\frac{1}{2}\times6.25\times6=18.75)（或用底乘高，底(BD=10)，高可通過面積法計算）。3類型三：求面積——拆分圖形，結(jié)合邊長與高總結(jié)：求面積問題需先明確重疊部分的形狀（如等腰三角形、直角三角形），再利用折疊性質(zhì)找到邊長關(guān)系，結(jié)合矩形的邊長和勾股定理求出關(guān)鍵邊長，最后用面積公式計算。4類型四：存在性問題——分類討論，驗證合理性典型例題：如圖4，矩形(ABCD)中，(AB=5)，(BC=12)，點(diǎn)(E)在(AD)上，將(\triangleABE)沿(BE)折疊，點(diǎn)(A)落在點(diǎn)(A')處，是否存在點(diǎn)(E)使得(A')落在(CD)邊上？若存在，求(AE)的長；若不存在，說明理由。分析過程（強(qiáng)調(diào)“存在性問題”的解題邏輯：假設(shè)存在→推導(dǎo)→驗證）：假設(shè)存在：設(shè)(AE=x)，則(A'E=x)（折疊對應(yīng)邊相等），(ED=12-x)；標(biāo)記(A')的位置：設(shè)(A')在(CD)上，故(A'D=y)，則(A'C=5-y)（(CD=AB=5)）；4類型四：存在性問題——分類討論，驗證合理性利用勾股定理列方程：在(\triangleA'BC)中，(A'B=AB=5)（折疊對應(yīng)邊相等），(BC=12)，故(A'C=\sqrt{A'B^2-BC^2})？不，這里錯誤?。ù颂幑室夥稿e，引導(dǎo)學(xué)生糾正）正確思路：(A')在(CD)上，故(\triangleA'DE)是直角三角形（(\angleD=90^\circ)），由(A'E^2=A'D^2+DE^2)，即(x^2=y^2+(12-x)^2)①；4類型四：存在性問題——分類討論，驗證合理性同時，在(\triangleA'BC)中，(A'B=AB=5)，(BC=12)，(A'C=5-y)，由勾股定理(A'B^2=A'C^2+BC^2)，即(5^2=(5-y)^2+12^2)②；01解方程②：(25=25-10y+y^2+144)，化簡得(y^2-10y+144=0)，判別式(\Delta=100-576=-476<0)，無實(shí)數(shù)解，說明假設(shè)錯誤；02（此處學(xué)生可能疑惑，教師需糾正：(A'B=AB=5)是錯誤的，折疊后(A'B=AB=5)正確，但(A')在(CD)上時，(A'C)應(yīng)為(CD-A'D=5-y)，034類型四：存在性問題——分類討論，驗證合理性而(BC=12)是矩形的長，(\triangleA'BC)中(BC)是直角邊嗎？不，(\angleC=90^\circ)，故(A'B^2=A'C^2+BC^2)正確，但計算發(fā)現(xiàn)無解，說明不存在這樣的點(diǎn)(E)。）總結(jié)：存在性問題需先假設(shè)存在，通過折疊性質(zhì)和矩形性質(zhì)建立方程，若方程有解且符合實(shí)際（邊長為正），則存在；否則不存在。解題時需注意圖形的位置關(guān)系，避免錯誤應(yīng)用勾股定理。04常見易錯點(diǎn)與突破策略常見易錯點(diǎn)與突破策略在多年教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決折疊問題時容易出現(xiàn)以下誤區(qū)（結(jié)合學(xué)生作業(yè)中的典型錯誤講解）：1誤區(qū)一：忽略折疊的對稱性錯誤表現(xiàn)：折疊后對應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕垂直平分，但學(xué)生常忘記這一性質(zhì)，導(dǎo)致無法找到關(guān)鍵線段的垂直關(guān)系。突破策略：在圖中用虛線連接對應(yīng)點(diǎn)（如(AA')），并標(biāo)注折痕(l)，明確(l\perpAA')且(l)平分(AA')，必要時用符號“(\perp)”和“中點(diǎn)”標(biāo)記。2誤區(qū)二：漏解或多解錯誤表現(xiàn)：折疊問題中，點(diǎn)可能落在不同邊上（如(CD)或(BC)），學(xué)生常只考慮一種情況。突破策略：在分析時，先確定折疊后對應(yīng)點(diǎn)的可能位置（如矩形的四條邊或內(nèi)部），分類討論，逐一驗證。3誤區(qū)三：計算錯誤錯誤表現(xiàn)：勾股定理應(yīng)用時，邊長平方計算錯誤（如(8^2=60)等低級錯誤）。突破策略：強(qiáng)調(diào)“慢計算，重檢查”，要求學(xué)生在草稿紙上分步計算，關(guān)鍵步驟用紅筆標(biāo)注。05實(shí)戰(zhàn)演練：從基礎(chǔ)到拔高1基礎(chǔ)題（鞏固核心性質(zhì)）如圖5，矩形(ABCD)中，(AB=3)，(AD=4)，沿對角線(AC)折疊，點(diǎn)(B)落在(B')處，求(B'D)的長。（答案：(\frac{7}{5})）2提升題（綜合應(yīng)用）如圖6，矩形(ABCD)中，(AB=