1/32專題03直線和圓錐曲線的位置關(guān)系（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定（基礎(chǔ)必考點）基礎(chǔ)目標(biāo)：能熟練聯(lián)立方程，準(zhǔn)確用判別式判定橢圓、拋物線與直線的位置關(guān)系，準(zhǔn)確率達100%.能力目標(biāo)：主動考慮“直線斜率不存在”“雙曲線漸近線”等特殊場景，避免漏判、誤判.題型分布：選擇題/填空題（1題，5分）+解答題第一問（鋪墊作用，3-4分），總分值8-9分.考查頻率：期末必考點，無試卷例外命題陷阱：常設(shè)“直線垂直x軸”“雙曲線與漸近線平行”的干擾項，考查細節(jié)處理能力載體偏好：橢圓（基礎(chǔ)判定）、雙曲線（特殊情況）、拋物線（斜率范圍求解）.弦長問題（高頻解答考點）基礎(chǔ)目標(biāo)：能根據(jù)曲線類型選擇弦長公式，代入數(shù)據(jù)準(zhǔn)確計算（計算失誤率≤5%）能力目標(biāo)：結(jié)合三角形面積公式，解決綜合計算問題.題型分布：解答題第二問（核心得分點，4-5分），少數(shù)情況出現(xiàn)在填空題考查頻率：高頻考點，90%以上試卷會涉及載體偏好：橢圓（最主要，計算量適中）、拋物線（焦點弦特例?？迹┑梅蛛y點：計算過程中忽略“先驗證”（弦長存在的前提），導(dǎo)致步驟不完整扣分.中點弦問題（中頻考點）基礎(chǔ)目標(biāo)：能獨立用兩種方法求解“已知中點求直線”“已知直線求中點”的基礎(chǔ)問題能力目標(biāo)：主動驗證中點弦的存在性（如判斷中點是否在橢圓內(nèi)部），避免“不存在的弦”的錯誤結(jié)論.題型分布：選擇題/填空題（1題，5分）或解答題第一問（3-4分）考查頻率：中頻，60%-70%試卷會考查.命題特點：常給出“中點坐標(biāo)”“弦過定點”等條件，直接套用方法即可求解，難度中等.易錯陷阱：雙曲線中點弦中，忽略“中點與原點連線平行于漸近線時無弦”的情況.定點/定值問題（壓軸高頻考點）基礎(chǔ)目標(biāo)：掌握“參數(shù)分離”“特殊值驗證”的核心思路，能在提示下完成證明.能力目標(biāo)：獨立分析含參數(shù)的表達式，規(guī)范書寫“設(shè)參→化簡→求解”的步驟，突破壓軸問.題型分布：解答題壓軸問（最后1問，5-6分）考查頻率：高頻，80%以上試卷以壓軸形式考查載體偏好：橢圓（最主要，性質(zhì)穩(wěn)定易化簡）、拋物線（焦點相關(guān)定值?？迹╇y度梯度：前半步驟（設(shè)參、聯(lián)立）較基礎(chǔ)，后半步驟（化簡消參）需技巧，區(qū)分度高.最值/范圍問題（選考壓軸考點）基礎(chǔ)目標(biāo)：能針對單一類型問題（如長度最值），選擇一種方法求解能力目標(biāo)：根據(jù)題目條件靈活選擇最優(yōu)方法（如“面積范圍”優(yōu)先用函數(shù)法，“距離最值”優(yōu)先用幾何法），規(guī)范書寫范圍推導(dǎo)過程.題型分布：僅部分試卷（約40%-50%）的解答題壓軸問考查考查頻率：選考，非必考點載體偏好：橢圓（最主要，幾何性質(zhì)易結(jié)合）、拋物線（參數(shù)范圍問題?？迹┑梅株P(guān)鍵：明確變量的取值范圍（如橢圓上點的橫坐標(biāo)），避免函數(shù)求最值時忽略定義域.綜合應(yīng)用（輔助考點）基礎(chǔ)目標(biāo)：能將向量、斜率條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式（如轉(zhuǎn)化為）能力目標(biāo)：結(jié)合弦長、中點弦等考點，解決“向量條件+長度/面積”的綜合問題.題型分布：不單獨出題，作為其他考點的“附加條件”考查（如“弦長問題+向量垂直”“定點問題+斜率乘積”）考查頻率：輔助高頻，幾乎所有綜合題都會涉及命題特點：通過向量、斜率條件增加題目綜合性，但轉(zhuǎn)化難度低，核心仍在基礎(chǔ)考點載體偏好：橢圓（向量結(jié)合最頻繁）、拋物線（斜率相關(guān)較簡單）.一、考點1：位置關(guān)系的判定（基礎(chǔ)必考點）1.基礎(chǔ)知識點判定核心邏輯：通過“直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立→消去一個變量（如）→得到整式方程（一元一次/一元二次）→分析方程解的個數(shù)”判斷位置關(guān)系.三類整式方程處理：一元一次方程（如聯(lián)立后得，）：1個解→直線與曲線相交（特殊：雙曲線中可能是與漸近線平行）.一元二次方程（，）：通過判別式判斷解的個數(shù).無實數(shù)解的整式方程：直線與曲線相離.特殊場景：直線斜率不存在（垂直軸，方程為）：直接代入曲線方程，看的解是否存在及個數(shù).雙曲線（如）：直線與漸近線（）平行時，聯(lián)立得一元一次方程，僅有1個交點（仍屬相交，非相切）.2.核心概念與公式判別式公式（僅一元二次方程）：：2個不同實數(shù)解→直線與曲線相交.：1個實數(shù)解（重根）→直線與曲線相切.：無實數(shù)解→直線與曲線相離.雙曲線漸近線方程（標(biāo)準(zhǔn)式）：的漸近線為；的漸近線為.3.易錯點聯(lián)立方程后未先判斷整式方程類型（一元一次/二次），直接用判別式（如直線與雙曲線漸近線平行時，得一元一次方程，無判別式，易誤判為“無交點”或“相切”）.忽略直線斜率不存在的情況（如判斷“與橢圓的位置關(guān)系”，易漏代入直接用斜率分析，導(dǎo)致錯判）.計算判別式時符號錯誤（如展開時，誤算為，正確應(yīng)為）.4.?？冀Y(jié)論橢圓（，）與直線相交的條件：（聯(lián)立后化簡結(jié)果，可直接用）.拋物線（，）與直線相切的條件：（聯(lián)立后化簡結(jié)果）.雙曲線（）與直線有兩個交點的條件：且（排除與漸近線平行的情況）.二、考點2：弦長問題（高頻解答考點）1.基礎(chǔ)知識點弦長定義：直線與曲線相交，兩個交點間的線段長度.核心計算思路：方法1：先求兩交點坐標(biāo)、，再用距離公式（計算量大，少用）.方法2：聯(lián)立方程得一元二次方程，用韋達定理和判別式簡化計算（通用方法，必掌握）.焦點弦特殊情況：過圓錐曲線焦點的弦（如拋物線的焦點，橢圓的右焦點），有專屬簡化公式.2.核心概念與公式通用弦長公式（直線斜率為，聯(lián)立后一元二次方程，）：推導(dǎo)依據(jù)：，.公式：.若直線斜率不存在（）：弦長（代入曲線方程得的兩個解，作差取絕對值）.拋物線焦點弦公式（，）：若焦點弦端點為、，則.若焦點弦斜率為，則（垂直軸時不存在，弦長，即通徑）.韋達定理公式：，（用于計算，避免求交點）.3.易錯點計算弦長前未驗證（弦長存在的前提是直線與曲線相交，無交點則無弦長，步驟不寫會扣分）.混淆“直線斜率存在/不存在”的公式（如直線與拋物線的弦長，誤代入公式，正確應(yīng)為直接求）.拋物線焦點弦公式記錯開口方向（如（）的焦點弦長，誤用，正確應(yīng)為）.根號內(nèi)計算錯誤（如，誤算為，漏乘5到）.4.?？冀Y(jié)論橢圓（）的通徑（垂直長軸的焦點弦）長度：（?？甲疃探裹c弦）.拋物線的焦點弦性質(zhì)：，（可快速計算焦點弦長或斜率）.直線過定點與橢圓相交，弦長最大值為橢圓長軸長（當(dāng)直線過橢圓中心時）.三、考點3：中點弦問題（中頻考點）1.基礎(chǔ)知識點中點弦定義：過某點且以該點為中點的圓錐曲線的弦（如“以為中點的橢圓弦”）.兩種核心求解方法：方法1：聯(lián)立方程+韋達定理（普適性強，適用于所有曲線）步驟：設(shè)直線方程（如）→聯(lián)立曲線方程→得一元二次方程→用韋達定理→解出→得直線方程.方法2：點差法（計算量小，適用于橢圓、雙曲線、拋物線，需驗證）步驟：設(shè)弦端點、，中點→代入曲線方程→兩式相減→用，和→推導(dǎo)與的關(guān)系→得直線方程.關(guān)鍵驗證：點差法求出直線后，需聯(lián)立曲線方程驗證（避免“不存在的弦”，如中點在橢圓外時無弦）.2.核心概念與公式點差法推導(dǎo)的斜率公式（核心）：橢圓：中點弦斜率（為中點，）.雙曲線：中點弦斜率（）.拋物線：中點弦斜率（，為中點）.韋達定理與中點關(guān)系：，（為聯(lián)立后一元二次方程二次項系數(shù)，為一次項系數(shù)）.3.易錯點點差法求出直線后，未驗證（如“求以為中點的橢圓的弦”，用點差法得直線，但代入橢圓無解，實際無此弦，漏驗證會錯答）.忽略中點在曲線內(nèi)部的隱含條件：橢圓中點弦：中點需滿足（在橢圓內(nèi)部），否則無弦.拋物線中點弦：中點需滿足（在拋物線內(nèi)部）.點差法中分母為0的情況（如中點，橢圓點差法斜率公式分母，此時直線垂直軸，需單獨設(shè)求解）.4.?？冀Y(jié)論橢圓中，若中點弦過原點，則弦為橢圓直徑，此時弦的斜率與端點坐標(biāo)滿足（為弦的一個端點坐標(biāo)），且弦長最大值為（長軸）.拋物線（）的中點弦：若弦過定點，則中點滿足（推導(dǎo)自點差法，可直接用于求中點軌跡方程）.雙曲線中點弦不存在的特殊情況：當(dāng)中點與原點連線的斜率（即平行于漸近線）時，無滿足條件的中點弦.四、考點4：定點/定值問題（壓軸高頻考點）1.基礎(chǔ)知識點定點定義：直線或曲線在參數(shù)（如斜率、截距）變化時，始終經(jīng)過的固定點（坐標(biāo)與參數(shù)無關(guān)）.定值定義：含變量（如交點坐標(biāo)、直線斜率）的表達式，其值始終為常數(shù)（與變量無關(guān)）.核心處理思路：定點問題：設(shè)含參數(shù)的方程（如直線，其中與存在關(guān)聯(lián)）→整理為“參數(shù)×+=0”的形式→令且，解方程組得定點坐標(biāo).定值問題：設(shè)變量（如直線斜率、交點橫坐標(biāo)）→用韋達定理或曲線方程化簡目標(biāo)表達式→消去變量，證明結(jié)果為常數(shù).常用輔助技巧：特殊值法（先取2個特殊參數(shù)值，求對應(yīng)直線/曲線的交點，即為疑似定點；定值可先算特殊情況的值，再證明一般情況）.2.核心概念與公式參數(shù)分離通用形式（以直線含參數(shù)為例）：若直線方程整理為，則定點滿足.示例：直線可整理為，定點為.定值化簡常用公式：韋達定理：，（聯(lián)立后一元二次方程）.橢圓/拋物線方程代入：如橢圓上點滿足，可用于替換化簡.向量相關(guān)定值轉(zhuǎn)化：若涉及（為原點），則，可結(jié)合韋達定理化簡為定值.3.易錯點參數(shù)分離不徹底（如直線，誤整理為，未消去分母，正確應(yīng)為，再按和分離參數(shù)）.特殊值法僅取1個特殊情況（如僅取求直線，無法確定定點，需取和，求兩直線交點）.定值化簡時忽略曲線方程代入（如橢圓中未用替換，導(dǎo)致無法消去變量）.忘記驗證“一般情況”（特殊值法求出定點/定值后，需證明對任意參數(shù)/變量均成立，否則步驟不完整）.4.常考結(jié)論橢圓中，過定點的直線與橢圓交于兩點，若（定點在橢圓上），則直線恒過定點（即定點本身）.拋物線（）的焦點弦：（定值，與焦點弦斜率無關(guān)）.橢圓中，若在橢圓上且（為原點），則原點到直線的距離（定值）.五、考點5：最值/范圍問題（選考壓軸考點）1.基礎(chǔ)知識點常見類型：長度最值：橢圓/雙曲線上一點到定直線的距離最值、過定點的直線與曲線相交的弦長最值.面積范圍：以曲線弦為底、定點為頂點的三角形面積范圍（如，為原點）、曲線內(nèi)接四邊形面積范圍.參數(shù)范圍：直線斜率/截距的取值范圍（如直線與曲線有交點時）、曲線交點橫/縱坐標(biāo)的范圍.核心求解方法：函數(shù)法：設(shè)變量（如點的橫坐標(biāo)、直線斜率）→將目標(biāo)量（如距離、面積）表示為變量的函數(shù)→求函數(shù)在定義域內(nèi)的最值/范圍.不等式法：用基本不等式（，）或二次不等式（判別式）求范圍.幾何法：數(shù)形結(jié)合，利用曲線幾何性質(zhì)（如橢圓的范圍、）或圓的半徑/距離性質(zhì).2.核心概念與公式長度最值相關(guān)公式：點到直線的距離：（橢圓上點到定直線的距離最值，可設(shè)點坐標(biāo)為橢圓參數(shù)形式，，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值）.弦長公式：（弦長最值可結(jié)合判別式或函數(shù)單調(diào)性求解）.面積范圍相關(guān)公式：三角形面積：（底為弦長，高為定點到直線的距離）.（，）面積：（避免求距離，直接用坐標(biāo)計算）.函數(shù)最值公式：二次函數(shù)（）在上的最值：若對稱軸，則最值在頂點或端點；若對稱軸不在區(qū)間內(nèi)，最值在端點.3.易錯點函數(shù)法中忽略變量定義域（如橢圓上點的橫坐標(biāo)，求二次函數(shù)的最值時，誤按全體實數(shù)求頂點最值，未結(jié)合的范圍）.基本不等式應(yīng)用不滿足“三相等”條件（如求的最大值，誤直接用，但未驗證即是否在定義域內(nèi)）.幾何法中誤解最值的幾何意義（如橢圓上點到定點的距離最值，誤認為是定點到橢圓中心的距離加減半徑，正確應(yīng)為結(jié)合橢圓參數(shù)方程或函數(shù)法求解）.面積范圍計算時漏乘系數(shù)（如面積公式誤寫為，遺漏）.4.常考結(jié)論橢圓上一點到定直線的最短距離：（當(dāng)直線與橢圓相離時，若相交則最短距離為0）.過橢圓中心的弦（直徑）為底時，橢圓內(nèi)接三角形面積最大值：（高最大為短半軸或長半軸，取決于底的方向）.拋物線（）上一點到定點的距離最小值：當(dāng)時，最小值為；當(dāng)時，最小值為.六、考點6：綜合應(yīng)用（輔助考點）1.基礎(chǔ)知識點向量與圓錐曲線結(jié)合：通過向量條件（垂直、共線、數(shù)量積定值）轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，結(jié)合弦長、中點弦等考點求解.斜率與圓錐曲線結(jié)合：利用斜率乘積/和為定值的條件，推導(dǎo)直線過定點或弦的性質(zhì).核心轉(zhuǎn)化邏輯：將幾何條件（向量、斜率）轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式→聯(lián)立曲線方程→用韋達定理或基礎(chǔ)考點方法（如弦長、中點弦）求解.2.核心概念與公式向量條件轉(zhuǎn)化公式：向量垂直：.向量共線：（為實數(shù)）且.向量數(shù)量積定值：（為常數(shù)）.斜率相關(guān)轉(zhuǎn)化公式：斜率乘積定值：（為常數(shù)）.斜率和定值：（為常數(shù)）.3.易錯點向量垂直轉(zhuǎn)化錯誤（如誤寫為，正確應(yīng)為）.斜率計算忽略“分母為0”的情況（如時，不存在，需單獨討論在軸上的情況）.綜合題中思路混亂（未拆解考點，如“向量垂直+弦長”問題，應(yīng)先轉(zhuǎn)化向量條件得，再結(jié)合韋達定理求弦長，分步求解）.代入曲線方程時符號錯誤（如雙曲線方程，代入點坐標(biāo)時誤寫為，導(dǎo)致后續(xù)計算全錯）.4.?？冀Y(jié)論橢圓中，若（為原點），則弦長的最小值為，最大值為（長軸）.拋物線（）中，若直線過定點且，則（定點為拋物線的準(zhǔn)線與軸交點的對稱點）.雙曲線中，若（漸近線斜率平方），則直線恒過原點.題型一直接判定直線與曲線的位置關(guān)系（選擇/填空/解答第一問，基礎(chǔ)必考）解｜題｜技｜巧1.聯(lián)立方程：設(shè)直線方程（如，若斜率可能不存在，需單獨討論）與圓錐曲線方程，消去（或）得整式方程（或）.2.判斷方程類型：若為一元一次方程（二次項系數(shù)為0）：→有1個解→相交（雙曲線中需注明“與漸近線平行”）.若為一元二次方程（二次項系數(shù)）：→計算判別式（為方程的系數(shù)）.3.下結(jié)論：→相交；→相切；→相離.4.特殊情況補充：若直線斜率不存在（如），直接代入曲線方程得的解，解的個數(shù)對應(yīng)位置關(guān)系.【典例1】（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點為圓上任意一點，線段的垂直平分線交半徑于點，當(dāng)點在圓上運動時，記點的軌跡為.(1)求的方程；(2)若點，試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；【典例2】（24-25高二下·上海浦東新·期中）已知雙曲線.(1)若雙曲線的離心率為，求的值；(2)若直線與圓相切，證明：直線與雙曲線的左右兩支各有一個公共點.【變式1】（24-25高二上·內(nèi)蒙古興安盟·月考）已知拋物線的焦點為F，過F的直線與C交于兩點，．(1)求的值；(2)求直線與C的公共點個數(shù).【變式2】（2024·上海閔行·一模）已知圓，雙曲線，直線，其中．(1)當(dāng)時，求雙曲線的離心率；(2)若與圓相切，證明：與雙曲線的左右兩支各有一個公共點；【變式3】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為.(1)求的方程；(2)已知點，證明：線段的垂直平分線與橢圓恰有一個公共點；題型二求直線與曲線有交點時參數(shù)（斜率/截距）的范圍（解答第一問，基礎(chǔ)必考）答｜題｜模｜板1.設(shè)參數(shù)：設(shè)直線參數(shù)（如斜率、截距），寫出直線方程（斜率不存在時單獨討論）.2.聯(lián)立消元：聯(lián)立直線與曲線方程，得一元二次方程（，否則無兩個交點）.3.列不等式：由“有交點”得（相交2個點用，相切1個點用），代入整理不等式.4.求解范圍：解不等式得參數(shù)范圍，若有特殊情況（如雙曲線需排除與漸近線平行的斜率），補充排除條件.5.綜上：寫出參數(shù)的最終取值范圍.【典例1】（25-26高二上·北京順義·期中）已知橢圓（）長軸長為4，且橢圓C的離心率，其左右焦點分別為，.直線.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)直線l與橢圓C有兩個公共點時，求m的取值范圍；【典例2】（2025高二上·全國·專題練習(xí)）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，P是C上異于A，B的一點，直線，的斜率分別為，且．(1)求雙曲線C的方程；(2)已知過點的直線，交C的左，右兩支于D，E兩點（異于A，B）．（i）求m的取值范圍；【變式1】（25-26高二上·江蘇揚州·期中）已知雙曲線左、右頂點分別為、，過點的直線交雙曲線于、兩點.(1)若離心率時，求的值；(2)若，過點且斜率為的直線與雙曲線只有一個交點，求的值；【變式2】（25-26高二上·江蘇揚州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的兩個焦點分別是，，并且經(jīng)過點.(1)求橢圓的離心率；(2)直線：與橢圓交于不同的兩點.（?。┣蟮娜≈捣秶?；【變式3】（25-26高二上·江蘇無錫·期中）已知圓C1：，圓C2：，動圓M與圓C2外切，同時與圓C1內(nèi)切，(1)求動圓圓心M的軌跡方程C；(2)若直線l：與C有且只有一個公共點，求m的值.題型三求通用弦長（直線與橢圓/雙曲線/拋物線相交的弦長，解答第二問，高頻）答｜題｜模｜板1.前置判定：先聯(lián)立直線與曲線方程，驗證（確保弦存在，步驟必寫，避免扣分）.2.用韋達定理：設(shè)弦端點、，由一元二次方程得：，，計算.3.代弦長公式：若直線斜率存在：.若直線斜率不存在（）：（代入曲線方程得，作差取絕對值）.4.計算結(jié)果：代入數(shù)據(jù)化簡，得弦長具體數(shù)值或含參數(shù)的表達式.【典例1】（25-26高二上·江蘇南通·期中）已知點，，直線，相交于點，且它們的斜率之積是，記點的軌跡方程為曲線．(1)求曲線的方程；(2)直線與曲線交于，兩點，求線段的長．【典例2】（25-26高二上·江蘇連云港·期中）已知雙曲線C：.(1)若直線l：與雙曲線C有且僅有一個公共點，求k的值；(2)若直線l：與雙曲線C相交于A，B兩點，求.【變式1】（25-26高二上·湖南·期中）已知為坐標(biāo)原點，拋物線：的焦點為，點在拋物線上，且．(1)求拋物線的方程；(2)若經(jīng)過點的直線與拋物線交于點，，且，求．【變式2】（25-26高二上·上海松江·期中）已知雙曲線的離心率為為上一點．(1)求的方程；(2)過的右焦點且傾斜角為的直線交于兩點，為坐標(biāo)原點，求的長度.【變式3】（25-26高二上·天津·期中）已知橢圓：的焦距為2，離心率為.(1)求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出橢圓的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的取值范圍、頂點坐標(biāo)、長軸與短軸的長度.(2)經(jīng)過橢圓的左焦點作傾斜角為的直線，直線與橢圓相交于，兩點，求線段的長；題型四求拋物線焦點弦長（解答第二問，高頻，結(jié)合焦點性質(zhì)）答｜題｜模｜板1.確定拋物線與焦點：明確拋物線方程（如，焦點），判斷直線是否過焦點.2.選公式：已知端點坐標(biāo)：用（或，若拋物線開口向上/向下）.已知直線斜率：用（垂直軸時不存在，弦長）.3.補全計算：若未知或，聯(lián)立焦點弦方程與拋物線方程，用韋達定理求，再代入公式.4.得結(jié)果：化簡計算，寫出焦點弦長.【典例1】（25-26高二上·河北邯鄲·期中）已知焦點為的拋物線上的動點到直線距離的最小值為.(1)求的值；(2)過焦點的直線與交于兩點，若，試說明直線與的位置關(guān)系.【典例2】（25-26高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線交于A，B兩點．(1)求拋物線C的方程；(2)求的最小值．【變式1】（24-25高二下·四川達州·開學(xué)考試）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，過的直線與交于，兩點.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線的傾斜角為45°，求.【變式2】（24-25高二上·貴州貴陽·期末）已知拋物線的焦點為，點是上的一點，且.(1)求拋物線的方程；(2)過拋物線的焦點作直線，與拋物線交于兩點，若，求直線的傾斜角.題型五已知直線求弦的中點坐標(biāo)（選擇/填空，中頻）答｜題｜模｜板1.設(shè)直線方程：已知直線斜率或截距，寫出直線方程（如）.2.聯(lián)立消元：聯(lián)立直線與曲線方程，得一元二次方程，驗證.3.用韋達定理求中點橫坐標(biāo)：.4.求中點縱坐標(biāo)：將代入直線方程，得.5.寫中點：最終中點坐標(biāo)為.【典例1】（24-25高二下·河南·期末）設(shè)橢圓過點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，求線段中點的坐標(biāo)．【典例2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線經(jīng)過點，離心率為．(1)求的方程．(2)已知的左、右焦點分別為、，直線與相交于、兩點，若的斜率為，求線段的中點的軌跡方程．【變式1】（2025高三·全國·專題練習(xí)）求直線被拋物線截得線段的中點坐標(biāo)．【變式2】（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點且離心率為，設(shè)直線與橢圓相交于兩點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線的斜率為1，求線段中點的軌跡方程；【變式3】（24-25高三下·福建福州·開學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點，雙曲線經(jīng)過點，左、右焦點分別為.(1)求的離心率；(2)一組平行于的直線與相交，證明這些直線被截得的線段的中點在同一條直線上.題型六已知中點求弦所在直線方程（解答第一問，中頻）答｜題｜模｜板1.設(shè)點：設(shè)弦端點、，中點（已知條件給出）.2.代入曲線：將代入圓錐曲線方程，得兩個等式：橢圓：，；拋物線：，.3.作差推導(dǎo)斜率：兩式相減，整理得：橢圓：，代入，，，得（橢圓）；拋物線：（拋物線）.4.寫直線方程：用點斜式，整理為一般式.5.驗證：聯(lián)立直線與曲線方程，計算，確認弦存在（若，說明無此弦）.【典例1】（25-26高二上·陜西西安·期中）已知是曲線上的動點，且動點與定點的距離和到直線的距離的比是常數(shù)．(1)求曲線的軌跡方程；(2)若過點的直線和曲線相交于，兩點，且為線段的中點，求直線的方程．【典例2】（25-26高三上·陜西漢中·開學(xué)考試）已知雙曲線的實軸長為，離心率為.直線與雙曲線相交于兩點．(1)求雙曲線的方程；(2)若的中點為，求直線的方程．【變式1】（25-26高二上·江蘇泰州·期中）已知圓的圓心是拋物線的焦點.(1)求拋物線的方程；(2)若直線交拋物線于，兩點，且點是弦的中點，求直線的方程.【變式2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線，經(jīng)過點能否作一條直線，使與雙曲線交于點，且點是線段的中點?若存在這樣的直線，求出它的方程;若不存在，說明理由.【變式3】（2025高三·全國·專題練習(xí)）為橢圓內(nèi)一定點，過點作一弦，使此弦被點平分，求此弦所在直線的方程．題型七求直線斜率的取值范圍答｜題｜模｜板1.設(shè)直線方程：設(shè)直線為（已知或與有關(guān)）.2.聯(lián)立消元：聯(lián)立直線與曲線方程，得一元二次方程（）.3.列不等式：由“直線與曲線有交點”（或題目條件，如“弦長≥2”）得（或?qū)?yīng)不等式），代入，整理為關(guān)于的不等式.4.解不等式：求解一元二次不等式（或分式不等式），得的取值范圍.5.補充特殊情況：若直線斜率不存在時符合條件，需加入范圍【典例1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓E的焦點在x軸上，離心率為，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點．(1)求橢圓E的方程．(2)直線與橢圓E相交于A，B兩點，O為原點，在OA，OB上分別存在異于點的點M，N，使得點O在以MN為直徑的圓外，求直線斜率k的取值范圍．【典例2】（24-25高二上·江西·期中）已知雙曲線的離心率為，點的坐標(biāo)是，為坐標(biāo)原點．(1)若雙曲線的離心率，求實數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，設(shè)過點的直線與雙曲線的左支交于，兩個不同的點，求該直線斜率的取值范圍．【變式1】（24-25高二上·安徽宿州·期末）已知雙曲線的焦點在軸上，其漸近線方程為，實軸長為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線與雙曲線的左、右支各交于一點，求該直線斜率的取值范圍.【變式2】（2025·福建廈門·三模）焦點在軸上的等軸雙曲線，其頂點到漸近線的距離為，直線過點與雙曲線的左、右支分別交于點、.(1)求雙曲線的方程；(2)若線段的中垂線與軸交于點，求直線的斜率；(3)若點關(guān)于原點的對稱點在第三象限，且，求直線斜率的取值范圍.【變式3】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知，為雙曲線：的左、右焦點，在拋物線的準(zhǔn)線上，且點在的一條漸近線上．(1)求的方程；(2)過點的直線與的右支交于，兩點，若，求直線斜率的取值范圍．題型八求橢圓/雙曲線/拋物線上一點到定直線的距離最值（解答壓軸問，選考）答｜題｜模｜板1.設(shè)參數(shù)坐標(biāo)：用橢圓參數(shù)方程設(shè)點，如橢圓上一點為（為參數(shù)）.2.寫距離公式：代入點到直線距離公式，得： .3.化簡三角函數(shù)：將分子整理為（其中，為輔助角）.4.求最值：利用，得：最大值：；最小值：（若直線與橢圓相離，最小值為）.【典例1】（25-26高二上·重慶·月考）已知橢圓，直線，則橢圓C上的點P到直線l的距離的最小值為．【典例2】（25-26高三上·貴州貴陽·期中）若點是拋物線上的動點，點是直線上的動點，則的最小值為.【變式1】（24-25高二下·浙江·月考）若動點P在直線上，動點Q在曲線上，則的最小值為．【變式2】（24-25高二上·貴州黔西·期末）已知拋物線與直線，點為拋物線上一動點，則當(dāng)點到直線的距離最小時，點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式3】（25-26高二上·浙江·期中）已知橢圓，為上的一動點，則點到直線距離的最大值為（

）A． B． C．2 D．題型九求的面積范圍（解答壓軸問）答｜題｜模｜板1.設(shè)直線方程：設(shè)直線為（斜率不存在時單獨討論），聯(lián)立與曲線方程，驗證.2.求弦長與高：弦長；原點到直線的距離.3.寫面積表達式：.4.轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)：利用聯(lián)立方程中與的關(guān)系（如橢圓中），消去一個變量（如），得關(guān)于的函數(shù).5.求范圍：根據(jù)變量定義域（如），結(jié)合二次函數(shù)或基本不等式求的取值范圍.【典例1】（25-26高二上·陜西渭南·期中）已知橢圓的離心率為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不過橢圓頂點的動直線與橢圓交于A、B兩點，求（為原點）面積的最大值.【典例2】（2025·山東濟南·一模）已知雙曲線的離心率為，點為坐標(biāo)原點，過的右焦點的直線交的右支于兩點，當(dāng)軸時，.(1)求的方程；(2)過點作直線的垂線，垂足為.①證明：直線過定點；②求面積的最小值.【變式1】（24-25高二下·廣東深圳·期末）已知雙曲線經(jīng)過，，三個點中的兩個，若為原點，點在上，點在直線上，且.(1)求的漸近線方程：(2)求面積S的最小值：(3)證明：直線與定圓相切，并求出該定圓的方程.【變式2】（2024·甘肅張掖·一模）已知曲線上任意一點滿足．(1)化簡曲線的方程；(2)已知圓（為坐標(biāo)原點），直線經(jīng)過點且與圓相切，過點作直線的垂線，交于、兩點，求面積的最小值．【變式3】（25-26高二上·廣西柳州·期中）已知橢圓離心率為，過點．(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓右焦點作直線交橢圓于、兩個不同的點，記的面積為S，求S的最大值及取得最大值時直線的方程．題型十證明表達式為定值（解答壓軸問，高頻）答｜題｜模｜板1.設(shè)變量：設(shè)目標(biāo)表達式中的變量（如直線斜率、交點坐標(biāo)），寫出目標(biāo)表達式（如）.2.聯(lián)立消元：聯(lián)立直線與曲線方程，得一元二次方程，用韋達定理得，.3.化簡目標(biāo)表達式：將、（或曲線方程）代入目標(biāo)表達式，如：.4.消去變量：展開并代入韋達定理結(jié)果，化簡后消去、等變量，得到常數(shù)（如）.5.下結(jié)論：說明表達式的值與變量無關(guān)，即為定值.【典例1】（25-26高二上·浙江·期中）已知橢圓過，直線交橢圓于，兩點，且為線段中點，設(shè)直線和直線（為坐標(biāo)原點）的斜率分別為和．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)直線和直線的斜率分別為和都存在時，證明：為定值；(3)若關(guān)于的對稱點在橢圓上，證明：的面積為定值．【典例2】（25-26高三上·湖南·期中）已知橢圓的離心率為，上?下頂點分別為，且.（1）求的方程.（2）是橢圓的左頂點，是上除頂點外的任意一點，直線與交于點，直線與軸交于點，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為.（i）求點的坐標(biāo)（用表示）；（ii）證明：為定值.【變式1】（25-26高二上·江蘇揚州·期中）已知雙曲線過點，且右焦點為，直線與雙曲線的右支交于兩點.(1)求雙曲線的方程；(2)若線段的中點為，求直線的方程；(3)若直線過，交軸于點，且，求證：為定值.【變式2】（25-26高二上·江蘇宿遷·期中）已知雙曲線的漸近線方程為，且點在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程；(2)點為雙曲線的左右頂點，為雙曲線上異于的點，求的值；(3)點在雙曲線上，且為垂足，證明：存在定點，使得為定值.【變式3】（25-26高二上·河北邯鄲·期中）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，點在雙曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點，為雙曲線的左、右頂點，直線與雙曲線交于，兩點，直線，分別與直線交于，兩點.（i）當(dāng)時，求；（ii）求點與點的縱坐標(biāo)的比值.題型十一證明直線/曲線過定點（解答壓軸問，高頻）答｜題｜模｜板1.設(shè)含參方程：設(shè)直線方程（如，其中與有關(guān)聯(lián)，或設(shè)參數(shù)的直線方程）.2.聯(lián)立化簡：聯(lián)立直線與曲線方程，利用韋達定理或曲線性質(zhì)，推導(dǎo)與的關(guān)系（如）.3.參數(shù)分離：將直線方程整理為“參數(shù)×表達式1+表達式2=0”，如整理為.4.求定點：令兩個表達式均為0，解方程組：，得定點.5.驗證：取2個特殊參數(shù)值（如、），求對應(yīng)直線的交點（如時直線為，時直線為，交點為），與步驟4求得的定點一致，證明直線恒過該定點.【典例1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，不過點的直線與橢圓相交于兩點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若弦的中點的縱坐標(biāo)為，求面積的最大值；(3)若，求證：直線過定點.【典例2】（25-26高二上·河南·期中）已知雙曲線經(jīng)過兩點，其左?右焦點分別為，過點的直線與的右支交于兩點.(1)求的方程；(2)若的周長為，求直線的方程；(3)記點，直線與的左支分別交于點，證明：直線過定點.【變式1】（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知拋物線，斜率為的直線交于兩點，且線段中點縱坐標(biāo)為4．(1)求拋物線的方程；(2)若直線不過點，且直線交于另一點，記直線的斜率為，（i）求證：；（ii）求證：直線過定點．【變式2】（25-26高二上·江蘇常州·期中）橢圓的離心率為，過點的動直線與橢圓相交于，兩點，當(dāng)直線平行于軸時，直線被橢圓截得線段長為.(1)求橢圓的方程；(2)已知點，過點作關(guān)于軸對稱的直線，，與橢圓交于，兩點，且直線不平行軸，那么直線是否過定點？若是，求出定點；若不是，說明理由.【變式3】（25-26高二上·重慶·期中）已知圓和圓，動圓與圓、圓都外切或都內(nèi)切，記點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若過點的直線與曲線的兩個交點分別在軸兩側(cè)．①求直線斜率的取值范圍；②若是點關(guān)于軸的對稱點，證明：直線過定點，并求出該定點．題型十二向量垂直（）結(jié)合弦長/面積（解答綜合問，高頻）答｜題｜模｜板1.轉(zhuǎn)化向量條件：由得核心等式（必寫推導(dǎo)依據(jù)：向量垂直則數(shù)量積為0）.2.聯(lián)立與韋達：設(shè)直線方程為（斜率不存在時單獨討論），聯(lián)立與圓錐曲線方程（如橢圓），得一元二次方程，驗證（確保交點存在），由韋達定理得：，.3.代入向量等式化簡：將、代入，展開整理：→，代入韋達定理結(jié)果，得到與的關(guān)系式（如，橢圓場景）.4.結(jié)合目標(biāo)考點計算：若求弦長：代入通用弦長公式，將步驟3中與的關(guān)系代入，化簡得弦長（可能為定值或含參數(shù)表達式）.若求面積：先求原點到直線的距離，再用面積公式，代入和的表達式，結(jié)合與的關(guān)系化簡（常為定值或可求范圍）.5.補充特殊情況：若直線斜率不存在（），代入曲線方程得，由得，結(jié)合曲線方程求解，驗證是否符合條件，避免漏解.6.總結(jié)結(jié)果：寫出弦長或面積的最終值（或范圍），明確是否需舍去不符合的情況.【典例1】（2025高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)為坐標(biāo)原點，若橢圓與直線交于兩點，且，圓過點．(1)求的方程及圓的半徑；(2)若點在上，且，判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由．【典例2】（24-25高二上·遼寧·月考）“對號函數(shù)”的圖象也可以看成是以與為漸近線的雙曲線.設(shè)函數(shù)，若將其圖象看成雙曲線.(1)求雙曲線的焦點坐標(biāo)；(2)將雙曲線繞著坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)，使焦點落到x軸上，得到雙曲線，設(shè)雙曲線的右焦點為F，過F的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，當(dāng)時，求直線l的方程.【變式1】（24-25高二上·河北唐山·期中）已知雙曲線的離心率為，實軸長為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)設(shè)直線與雙曲線交于兩點，是否存在滿足（其中為坐標(biāo)原點）若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【變式2】（25-26高三上·重慶·月考）已知橢圓的離心率為，以原點為圓心?橢圓的短半軸長為半徑的與直線相切.(1)求橢圓的方程；(2)過定點斜率為的直線與橢圓交于兩點，若求實數(shù)的值及的面積.【變式3】（24-25高二下·上海閔行·期末）在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（）的長軸長為，離心率為，直線與軸交于點，與相交于、兩點．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若的斜率為，且，求的值；題型十三斜率乘積/和為定值結(jié)合定點（解答壓軸綜合問，中頻）答｜題｜模｜板1.明確斜率條件：設(shè)題目給出的斜率定值（如，為常數(shù)，橢圓中常為），轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式：→.2.設(shè)直線方程：設(shè)直線的方程為（或斜截式，避免討論斜率不存在），聯(lián)立與曲線方程得一元二次方程（或），驗證，得韋達定理結(jié)果.3.代入斜率等式化簡：將、（或、）代入，展開后代入韋達定理，整理得參數(shù)關(guān)系（如，為常數(shù)）.4.分析定點/定值：若證直線過定點：將參數(shù)關(guān)系代入直線方程，整理為“參數(shù)×表達式1+表達式2=0”（如），令表達式1和2為0，解得定點（如）.若證其他定值：結(jié)合步驟3的參數(shù)關(guān)系，代入目標(biāo)表達式（如、，為定點），化簡得常數(shù).5.驗證特殊情況：當(dāng)直線斜率為0（或垂直x軸）時，代入驗證是否符合結(jié)論，確保通用性.6.下結(jié)論：明確直線過定點或表達式為定值，完整書寫解題結(jié)果.【典例1】（25-26高二上·廣東東莞·期中）已知橢圓，點P為C的上頂點．(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線l與橢圓C交于異于P的兩點A和B，設(shè)直線PA、PB的斜率分別為、．當(dāng)時，判斷直線l是否經(jīng)過定點？若是，請求出這一定點；若不是，請說明理由．【典例2】（25-26高二上·河南南陽·月考）已知A，B是雙曲線的左、右頂點，，點在C上．(1)求C的方程．(2)M是C左支上一點（異于點A），設(shè)直線交直線于點P，連接，直線與C的另一個交點為N，設(shè)直線，的斜率分別為，．（?。┳C明：為定值．（ii）證明：直線恒過定點．【變式1】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知雙曲線（，）的一條漸近線方程為，且過點.設(shè)A，B分別是C的左、右頂點，M，N是C的右支上異于點B的兩點.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線AM，BN的斜率分別為，，若，求證：直線MN恒過定點.【變式2】（24-25高二上·吉林長春·月考）已知點，是平面上一動點，以為直徑的圓與軸相切，設(shè)動點的軌跡為曲線．(1)求曲線的軌跡方程；(2)已知點，為不過點的直線與曲線的交點，直線的斜率記為，直線的斜率記為，若，求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo)．【變式3】（25-26高三上·湖北·期中）已知、分別是橢圓的左、右頂點，動點滿足，過作于，線段交橢圓于點；過作，交橢圓于點.(1)設(shè)直線、的斜率分別為、，求的值；(2)求證：直線過定點；(3)設(shè)線段的垂直平分線交橢圓于、兩點，若，求直線的斜率.期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：45分鐘）一、解答題1．（25-26高二上·廣東惠州·期中）已知雙曲線C的方程為實軸長和離心率均為2．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過且傾斜角為45°的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，求的值．2．（25-26高二上·江蘇揚州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的兩個焦點分別是，，并且經(jīng)過點.(1)求橢圓的離心率；(2)直線：與橢圓交于不同的兩點.（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）若，求的值.3．（25-26高二上·湖南衡陽·期中）已知動點到點的距離比它到直線的距離小2，記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)直線與曲線交于兩點，若線段的中點坐標(biāo)為，求直線的方程.4．（25-26高二上·安徽·期中）已知點在拋物線上，直線與拋物線交于A，B兩點.(1)求的方程；(2)設(shè)直線與的斜率分別為，，.①證明：直線的斜率為定值；②若的面積為6，求所在直線方程.5．（25-26高二上·北京·期中）已知橢圓：（）的右頂點為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線與橢圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點，若的面積為，求直線的方程.6．（25-26高三上·安徽·月考）已知橢圓的離心率為，短軸長為.(1)求C的方程；(2)若直線與C交于兩點，O為坐標(biāo)原點，的面積為，求t的值.線的漸近線相同，且經(jīng)過點．(1)求雙曲線的方程；(2)若斜率為的直線過雙曲線的左焦點，分別交雙曲線于、兩點，求證：.8．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知雙曲線的左頂點為，離心率為3，是上的兩點.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若線段的中點為，求直線的方程；(3)若（不在直線上），證明：直線過定點.期末重難突破練（測試時間：120分鐘）一、解答題1．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知拋物線的焦點為F，，O為坐標(biāo)原點，拋物線C上存在點P，使得.(1)求拋物線C的方程；(2)已知過點F的直線交拋物線C于A，B兩點，△AOB的面積為，求以線段AB為直徑的圓的方程.2．（25-26高二上·天津·期末）已知橢圓的長軸長為4，焦距為2.(1)求橢圓的方程和離心率；(2)設(shè)為橢圓的右頂點，若直線與橢圓有唯一的公共點(在第一象限)，直線與軸的正半軸交于點，直線與直線交于點(為原點)，且，求直線的方程.3．（25-26高二上·北京·期中）已知橢圓的上頂點為，四個頂點組成的四邊形面積為.(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線與橢圓交于兩點，點關(guān)于軸的對稱點為點，求證：直線恒過定點，并求出定點坐標(biāo)4．（25-26高三上·河北承德·期中）已知橢圓的焦距為2，點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若為橢圓上的動點，求的取值范圍;(3)若點在橢圓上，點在直線上，且(O為坐標(biāo)原點)，判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.5．（25-26高二上·河南濮陽·期中）已知雙曲線E：（，）的左、右焦點分別為，，離心率為，P為E上一點，且．(1)求E的方程；(2)過點且不與x軸重合的直線l交E于A，B兩點，點B關(guān)于x軸的對稱點為，求證：直線恒過點．6．（25-26高二上·江蘇宿遷·期中）已知橢圓的焦距為，且經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點，點是軸上的一點，過點作直線的垂線，垂足為.是否存在點，使得為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.7．（25-26高二上·新疆克拉瑪依·期中）已知橢圓與橢圓有相同的焦點，并且過．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線與橢圓交于兩點，求面積的最大值及此時的直線方程．8．（25-