1/3專題3.4圓錐曲線二級結(jié)論小題歸納（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律焦半徑、焦點(diǎn)弦掌握焦半徑的坐標(biāo)式、角度式公式，焦點(diǎn)弦長、定比模型重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題壓軸。焦點(diǎn)三角形面積、周長掌握橢圓雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式、周長公式。高頻必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題，熟練公式，會推導(dǎo)會用。垂徑定理與第三定義掌握點(diǎn)差法推導(dǎo)垂徑定理與第三定義。高頻必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題。橢圓與雙曲線公焦點(diǎn)掌握橢圓雙曲線共焦的性質(zhì)。重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題。焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與外接圓掌握橢圓雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與外接圓的性質(zhì)重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在壓軸小題。雙曲線的漸近線掌握雙曲線的漸近線一些?？嫉慕Y(jié)論性質(zhì)。高頻必考點(diǎn)，考雙曲線就離不開漸近線的性質(zhì)。阿基米德三角形掌握阿基米德三角形的結(jié)論、性質(zhì)。重難必考點(diǎn)，考拋物線的多選題蒙日圓掌握蒙日圓相關(guān)的結(jié)論。重難點(diǎn)，常出現(xiàn)在小題知識點(diǎn)01焦半徑、焦點(diǎn)弦1、橢圓焦半徑設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的一個焦點(diǎn)，∠PFO=θ焦半徑坐標(biāo)式①焦點(diǎn)在軸：焦半徑(左加右減)；②

焦點(diǎn)在軸：焦半徑(上加下減)．焦半徑角度公式：PF2、雙曲線焦半徑設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的一個焦點(diǎn)，∠PFO=θ①焦點(diǎn)在軸：在左支，在右支；②焦點(diǎn)在軸：在下支，在上支．焦半徑角度公式：PF=3、拋物線焦半徑設(shè)為拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，∠PFO=θ①焦點(diǎn)在軸：焦半徑PF=x②

焦點(diǎn)在軸：焦半徑PF=y焦半徑角度公式PF4、定比模型橢圓、雙曲線的過焦點(diǎn)的弦AB傾斜角為α，斜率為k，若焦點(diǎn)分得AF|BF|=λ，則e知識點(diǎn)02焦點(diǎn)三角形的周長與面積1、橢圓面積橢圓焦點(diǎn)為，，P為橢圓上的點(diǎn)，，則，PF1?PF2、雙曲線的面積雙曲線的焦點(diǎn)為F1、F2，P為雙曲線上的點(diǎn)，∠F1S3、若P(x知識點(diǎn)03垂徑定理與第三定義橢圓的垂徑定理與第三定義已知直線l與橢圓E:x2a2+y2b已知A，B為橢圓E:x2雙曲線的垂徑定理與第三定義已知直線l與雙曲線E:x2a2?y2b如圖，已知A，B為雙曲線E:x另外，若A，B為雙曲線漸近線上兩點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，若斜率都存在同樣也有k知識點(diǎn)04橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)F1,F2，P是它們的一個公共點(diǎn)，設(shè)∠1、由△F1PF2、根據(jù)e12=c2知識點(diǎn)05焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與外接圓橢圓的焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C:x2結(jié)論一、e=IM結(jié)論二、有xI=e雙曲線的焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓結(jié)論一、雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)恒為a知識點(diǎn)06雙曲線的漸近線雙曲線漸近線的一些性質(zhì)：雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b.以兩焦點(diǎn)F1F2過雙曲線上點(diǎn)P作兩漸近線的平行線PA，PB，它們和漸近線圍成的平行四邊形的面積為定值ab過雙曲線上點(diǎn)P作兩漸近線的垂線PA，PB，則有PAPB=過雙曲線上點(diǎn)P作雙曲線的切線交兩漸近線于A、B兩點(diǎn)，則△AOB為雙曲線的漸近三角形，則P是AB的中點(diǎn)，OA?知識點(diǎn)07阿基米德三角形阿基米德三角形指圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形。1、阿基米德焦點(diǎn)三角形性質(zhì)（弦AB過焦點(diǎn)F時(shí)）性質(zhì)1：MF性質(zhì)2：MN//x軸；性質(zhì)3：S2、阿基米德三角形一般性質(zhì)（弦AB不經(jīng)過焦點(diǎn)F時(shí)）性質(zhì)1、阿基米德三角形底邊上的中線PM平行于拋物對稱軸．性質(zhì)2、若阿基米德三角形的底邊即弦AB過定點(diǎn)拋物線內(nèi)部的定點(diǎn)Cx0,y0，則點(diǎn)P的軌跡為直線y0y=p半代入得出切線PA，PB的方程，再得出則xp=性質(zhì)3、若P點(diǎn)軌跡為直線ax+by+c=0，且該直線與拋物線沒有公共點(diǎn)，則定點(diǎn)Cc設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，半代入得出切點(diǎn)弦AB的直線方程，進(jìn)而得出定點(diǎn)C的坐標(biāo)性質(zhì)4、阿基米德三角形的面積的最大值為a3性質(zhì)5、∠PFA=∠PFB，PF2=AF×BF知識點(diǎn)08蒙日圓蒙日圓是圓錐曲線的幾何性質(zhì)之一，其核心特征是：?圓錐曲線外一點(diǎn)作兩條互相垂直的切線，切線交點(diǎn)的軌跡構(gòu)成一個圓?。以下是具體性質(zhì)和結(jié)論：1、橢圓的蒙日圓：x2+y2=a2+b22、雙曲線的蒙日圓：x2+y2=a2?b2題型一焦半徑、焦點(diǎn)弦解｜題｜技｜巧焦半徑、焦點(diǎn)弦的角度式公式均由圓錐曲線的第二定義推導(dǎo)而來，即圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)跟到準(zhǔn)線的距離比等于離心率e。熟悉角度式公式，要會推導(dǎo)，能應(yīng)用。【典例1】（24-25高二上·湖北武漢·期末）已知橢圓的上，下焦點(diǎn)分別為，，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的上焦點(diǎn)重合，過的傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，點(diǎn)是拋物線上在第一象限的點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線與x軸的交點(diǎn)為，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意以及橢圓的幾何性質(zhì)得，，以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及其在點(diǎn)處的切線方程，進(jìn)而即可求解.【詳解】解：由題可知，直線AB的斜率k為，設(shè)，則橢圓的離心率，所以，，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以拋物線方程為，故在點(diǎn)處的切線方程為，令，，因?yàn)?，所以是首?xiàng)2，公比的等比數(shù)列，即故選：A.【典例2】（多選）（24-25高二上·吉林·期末）過拋物線C：的焦點(diǎn)F作弦AB交拋物線于，兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．拋物線C的準(zhǔn)線方程為 B．C． D．【答案】ACD【分析】設(shè)AB直線方程為，根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，設(shè)而不求法及根與系數(shù)的關(guān)系，即可分別求解．【詳解】物線C：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，焦點(diǎn)F為，準(zhǔn)線方程為，選項(xiàng)正確；設(shè)AB直線方程為，聯(lián)立，可得，又，，，，選項(xiàng)正確；，，，選項(xiàng)正確；，，，選項(xiàng)錯誤．故選：ACD.【變式1】（多選）（24-25高二上·湖北武漢·期末）拋物線的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)的傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．若，則 D．【答案】BCD【分析】由題設(shè)直線AB的方程，聯(lián)立拋物線方程結(jié)合韋達(dá)定理可判斷A，B；再依次應(yīng)用拋物線焦點(diǎn)弦長公式和焦半徑公式計(jì)算即可判斷C，D..【詳解】對于AB，由拋物線的方程可知，，即，，直線AB的斜率不可能為0，設(shè)其方程為，聯(lián)立，消去x，得，，故，故A錯誤，B正確；對于C，若，則，則，C正確；對于D，由拋物線的定義知，，又，，即選項(xiàng)D正確.故選:BCD【變式2】（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若直線的傾斜角為45°，且，則橢圓的離心率是．【答案】/【分析】如圖，設(shè)，，由，，橢圓的定義及余弦定理可得，據(jù)此可得答案.【詳解】如圖，為橢圓右焦點(diǎn)，由題可得，設(shè)，則，又，則由余弦定理：.設(shè)，則，又，則由余弦定理：.從而，所以.故答案為：

題型二焦點(diǎn)三角形的周長與面積解｜題｜技｜巧熟記焦點(diǎn)三角形的周長公式、面積公式【典例1】（多選）（24-25高二上·四川達(dá)州·期末）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓，左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，為橢圓上且不在軸上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的取值范圍是B．當(dāng)焦距為4時(shí)，離心率為C．當(dāng)離心率為時(shí)，的周長為D．當(dāng)長軸長為時(shí)，的面積最大值為4【答案】CD【分析】根據(jù)橢圓方程以及幾何性質(zhì)可得AB錯誤，由焦點(diǎn)三角形周長計(jì)算可得C正確，根據(jù)面積最大值的表達(dá)式可得D正確.【詳解】對于A，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，因此可得，即A錯誤；對于B，當(dāng)焦距為4時(shí)可得，即，可得，所以；因此離心率為，即B錯誤；對于C，結(jié)合B選項(xiàng)可得，；所以的周長為，即C正確；對于D，當(dāng)長軸長為時(shí)可得，又，所以的面積最大值為，即D正確.故選：CD【典例2】（多選）（24-25高二上·陜西西安·期末）設(shè)雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且不與雙曲線C的頂點(diǎn)重合，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則雙曲線C的兩條漸近線的方程是B．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則雙曲線C的離心率大于3C．若，則的面積等于D．若雙曲線C為等軸雙曲線，且，則【答案】BCD【分析】對于A雙曲線的兩條漸近線的方程是即可判斷，對于B將點(diǎn)代入雙曲線方程即可得，由即可判斷，對于C若，則有，根據(jù)雙曲線的定義有，最后由面積公式即可判斷，對于D若雙曲線C為等軸雙曲線，則，得，由，得，，代入余弦定理即可判斷.【詳解】對于A：當(dāng)，時(shí)，雙曲線的兩條漸近線的方程是，故A錯誤；對于B：若點(diǎn)，則，故B正確；對于C：若，則有，根據(jù)雙曲線的定義有，所以有，所以的面積為，故C正確；對于D：若雙曲線C為等軸雙曲線，則，所以，因?yàn)?，，，在中，由余弦定理有，故D正確.故選：BCD.【變式1】（多選）（24-25高二上·江蘇宿遷·期末）已知，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的離心率為 B．存在點(diǎn)使得C．若，則 D．面積的最大值為12【答案】BCD【分析】根據(jù)離心率的公式即可判斷A；設(shè)，根據(jù)向量的數(shù)量積即可判斷B；根據(jù)橢圓的定義可判斷C；由點(diǎn)在左右頂點(diǎn)時(shí)，面積的最大值，可判斷D.【詳解】由，則，，，焦點(diǎn)在軸上，，，對于A，離心率，故A錯誤；對于B，設(shè)，，，若，則,即，解得，故存在點(diǎn)A使得，故B正確；

對于C，在中，，若，則，當(dāng)為通徑時(shí)，，當(dāng)為長軸時(shí)，，所以，此時(shí)滿足，故C正確；對于D，當(dāng)點(diǎn)在左右頂點(diǎn)時(shí)，面積的最大值，即.故選：BCD.【變式2】（多選）（25-26高二上·四川達(dá)州·月考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上不同于左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的周長為16 B．面積的最大值為12C．存在點(diǎn)P，使得∠ D．的取值范圍為【答案】BCD【分析】求出給定橢圓的長短半軸長及半焦距，再結(jié)合橢圓的定義及幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，

對于A：的周長為，A錯誤；對于B：設(shè)，，則，B正確；對于C：由，得以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓與橢圓相交，當(dāng)P為此交點(diǎn)時(shí)，，因此存在點(diǎn)P，使得∠，C正確；對于D：，，D正確.故選：BCD題型三垂徑定理與第三定義解｜題｜技｜巧遇到弦的中點(diǎn)或者兩個關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)時(shí)，又跟斜率一起出現(xiàn)，可以考慮使用垂徑定理與第三定義的結(jié)論?！镜淅?】（多選）（24-25高二上·四川內(nèi)江·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，P為橢圓C上的一動點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，四邊形的周長為定值8B．當(dāng)為直角三角形時(shí)，C．當(dāng)直線PA，PB的斜率都存在時(shí)，其斜率之積為D．當(dāng)直線與的斜率之差為2時(shí)，【答案】ACD【分析】由題意，根據(jù)橢圓的定義即可判斷A；當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入三角形面積公式中即可判斷B；設(shè)出A，B，P的坐標(biāo)，結(jié)合斜率公式即可判斷C；將直線與的斜率之差表述出來，結(jié)合點(diǎn)P在橢圓上，可得，代入三角形面積公式中即可判斷D.【詳解】對于A：因?yàn)闄E圓，所以，，，即，，則四邊形的周長為，正確；對于B：當(dāng)時(shí)，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，解得，取，則，錯誤；對于C：因?yàn)橹本€交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)，，，因?yàn)?，兩式相減并整理得，因?yàn)?，，所以，正確；對于D：易知，，所以，整理得，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以，解得，則，正確．故選：ACD【典例2】（多選）（24-25高二上·湖北武漢·期末）已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)A作的一條切線與雙曲線交于點(diǎn)B，若AB中點(diǎn)為P，且，過點(diǎn)A作的另一條切線與雙曲線交于點(diǎn)D，設(shè)直線AB，AD的斜率分別為，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線方程為 B．雙曲線的離心率C． D．過定點(diǎn)【答案】ABD【分析】根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)代入方程化簡得出即求出離心率判斷B，得出軌跡方程可判斷A，結(jié)合點(diǎn)到直線距離及韋達(dá)定理即可判斷C，應(yīng)用斜率公式計(jì)算求解得出定點(diǎn)判斷D.【詳解】設(shè)，，將，代入雙曲線方程得：①，②，①-②得：，即，由題可知，，，所以，又因?yàn)槭茿B中點(diǎn)，所以，，即，所以，則，故B正確;由題得，，所以雙曲線方程為，故A正確；圓M的圓心為，半徑為r，設(shè)切線方程為，則，即，則，是上述方程的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理可得，故C錯誤;由，則，，設(shè)AD的中點(diǎn)為Q，由①可得：，即：，，因?yàn)?，，所以③，④，因?yàn)?，將③④分別代入，則：，即⑤，，即⑥，⑤-⑥得：，所以直線BD過定點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.【變式1】（24-25高二上·河南·月考）如圖，已知，是雙曲線的右支上的兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，且，若直線的斜率為，則該雙曲線的離心率為．【答案】【分析】作圖，取的中點(diǎn)并連接，得到，，從而求出直線的斜率，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到的值，再根據(jù)離心率的公式計(jì)算即可得結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，由雙曲線的對稱性可知為線段的中點(diǎn)，則，所以．由直線的斜率，得，則直線的斜率．設(shè)，，則兩式相減，得，化簡得，即，所以該雙曲線的離心率．故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要用到了點(diǎn)差法，即利用直線和圓錐曲線的兩個交點(diǎn)，并把交點(diǎn)代入圓錐曲線的方程，并作差。求出兩交點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)和直線斜率的關(guān)系，然后再結(jié)合題中的相應(yīng)條件建立等式便可解決問題.【變式2】（多選）（25-26高二上·福建漳州·期中）已知點(diǎn)，若斜率為1的直線l與橢圓C：（）交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)P在橢圓C上，則的值可能為（

）A． B． C．1 D．3【答案】BCD【分析】首先利用點(diǎn)差法求出，然后設(shè)，寫出的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為1，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，，把代入橢圓方程得，兩式相減得，整理得，即，所以，所以橢圓方程為，設(shè)，則，由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍為，適合題意的有BCD中的數(shù)值，故選：BCD題型四橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)解｜題｜技｜巧橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，則焦距一致，且焦點(diǎn)三角形一致?！镜淅?】（24-25高二上·吉林長春·期末）已知點(diǎn)，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個公共點(diǎn)，且，若雙曲線的離心率的取值范圍是，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為、，利用圓錐曲線的定義與余弦定理建立、、的關(guān)系式，進(jìn)而推導(dǎo)出，結(jié)合，利用不等式的性質(zhì)算出的取值范圍．【詳解】設(shè)橢圓的長軸長為2m，雙曲線的實(shí)軸長為2n，它們的焦距為2c，且設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則根據(jù)橢圓與雙曲線的定義，可得，解得在中，，由余弦定理得，即，整理得兩邊都除以c，可得，設(shè)橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則可得，整理得，因?yàn)椋?，可得，所以，可得，可得故選：【典例2】（24-25高二上·重慶·期末）已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，且，記橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線定義可求得，再利用勾股定理以及離心率定義化簡計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，它們的半焦距都為；易知，解得；又，利用勾股定理可得，即，整理可得，即，即，所以.故選：D【變式1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P、Q是它們關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個交點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)M，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為【答案】1【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，焦距為，利用橢圓與雙曲線的性質(zhì)、余弦定理得，再應(yīng)用“1”的代換及基本不等式求目標(biāo)式的最小值.【詳解】不妨設(shè)橢圓和雙曲線的中心均在原點(diǎn)，對稱軸均為坐標(biāo)軸，如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，焦距為，部分設(shè)點(diǎn)在第一象限，根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得，所以，因?yàn)?，所以，根?jù)對稱性知四邊形為平行四邊形，所以，所以為等邊三角形，所以，在中，由余弦定理得，化簡得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故的最小值是1．故答案為：1【變式2】（多選）（24-25高二上·江蘇無錫·期末）已知橢圓：與雙曲線：有公共焦點(diǎn)，，與在第一象限的交點(diǎn)為P，且，記與的離心率分別為與.下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則B．若，則C．的最小值為1D．記的內(nèi)心為M，若垂直于x軸，則垂足H為的右頂點(diǎn)【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓與雙曲線的定義，結(jié)合它們離心率的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】令，由，得，對于A，，解得，，解得，因此，A正確；對于B，由，，得，則，，而，則，B正確；對于C，，則，，C錯誤；對于D，令的內(nèi)切圓切分別于點(diǎn)，由軸于，得為圓切的切點(diǎn)，顯然，由，得，因此，解得，即點(diǎn)為的右頂點(diǎn)，D正確.故選：ABD

題型五焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與外接圓解｜題｜技｜巧圓與三角形切點(diǎn)分得三角形邊長關(guān)系，找內(nèi)切圓圓心的位置。內(nèi)切圓的圓心是三角形角分線的交點(diǎn)，再者可以考察角分線定理。還可以通過面積公式，算內(nèi)切圓的半徑?！镜淅?】（24-25高二上·山東煙臺·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與交于兩點(diǎn)，，則橢圓離心率的值為；當(dāng)時(shí)，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，外接圓圓心為，則的值為．【答案】【分析】直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組利用弦長公式求得，結(jié)合弦長可得，進(jìn)而可求離心率，結(jié)合，求得橢圓的方程，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，進(jìn)而利用外心與內(nèi)心的性質(zhì)求得的坐標(biāo)，進(jìn)而可求.【詳解】由題意可得直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消去，得，整理得，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以，所以離心率；當(dāng)時(shí)，可得，所以橢圓的方程為，所以，直線的方程為，代入橢圓方程得，解得或，可得，故在軸上，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，所以，所以，所以，即，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以的垂直平分線的方程為，即，的垂直平分線的方程為，即，聯(lián)立，解得，所以，所以.故答案為：；；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組求得弦長，利用已知可得，進(jìn)而可求離心率.【典例2】（24-25高二上·遼寧大連·期末）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作傾斜角為的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，若，的內(nèi)切圓半徑分別為，，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】聯(lián)立直線與雙曲線，求出點(diǎn)和，根據(jù)雙曲線定義，結(jié)合焦點(diǎn)三角形的面積、周長公式，可分別求得和的內(nèi)切圓半徑，，相乘即可.【詳解】雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線過且傾斜角為，故方程為.聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，得，解得或，故不妨設(shè)交點(diǎn)，，則，，在和中，有和，所以，，則的周長為，的周長為，分別設(shè)和的內(nèi)切圓半徑為，，則，，又，，所以，解得，同理可得，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由題設(shè)先求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再雙曲線定義以及兩點(diǎn)間距離公式求出兩三角形的三邊，再利用與三角形內(nèi)切圓相關(guān)的三角形面積公式即可求解.【變式1】（多選）（24-25高二上·河北保定·期末）已知，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，M為橢圓C上一動點(diǎn)，I為內(nèi)切圓的圓心，連接MI并延長交x軸于Q，若，則（

）A．橢圓C的離心率B．的取值范圍為C．若l是C在M點(diǎn)處的切線，過，分別作l的垂線，垂足為A，B，則D．點(diǎn)I的軌跡方程為【答案】ABD【分析】A.根據(jù)角平分線定理，以及橢圓的性質(zhì)，即可判斷；B.根據(jù)向量數(shù)量積的極化恒等式，以及的范圍，即可判斷；C.根據(jù)橢圓的切線方程，以及代入點(diǎn)到直線的距離公式，即可判斷；D.【詳解】連接，，，，故A正確；，因?yàn)?，所以，，則，的取值范圍為，故B正確；設(shè)，直線l的方程為，即，則，，故C錯誤；設(shè)，，由等面積可得，，即，故D正確.故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的幾何性質(zhì)，以及內(nèi)切圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合坐標(biāo)解決問題.【變式2】（多選）（24-25高三上·山東泰安·月考）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．過的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限．的內(nèi)心為，與軸的交點(diǎn)為，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為，則下列說法正確的有（

）A．若雙曲線漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為B．若，且，則雙曲線的離心率為C．若，，則的取值范圍是D．若直線的斜率為，，則雙曲線的離心率為【答案】BD【分析】根據(jù)漸近線斜率與夾角的關(guān)系可判斷A錯誤；根據(jù)雙曲線定義以及勾股定理計(jì)算可判斷B正確；由內(nèi)切圓性質(zhì)可得所在直線方程為，根據(jù)直線的傾斜角范圍與漸近線關(guān)系可得，即C錯誤；利用三角形相似以及余弦定理計(jì)算可得D正確.【詳解】對于A，若雙曲線漸近線的夾角為，則或，故可得或，即A錯誤；對于B，設(shè)，則由以及雙曲線定義可得，故，則又，即可得，因此，解得，又，即，可得，即，故雙曲線的離心率為，即B正確；對于C，如下圖所示：令的內(nèi)切圓切分別為，則，所以，令點(diǎn)，而，因此，解得；又，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，同理可得的橫坐標(biāo)也為，即所在直線方程為；設(shè)直線的傾斜角為，則，在中，，在中，，又，可得漸近線斜率為，且，因?yàn)榫谟抑希?，即，因此，可知C錯誤；對于D，由可得,故，而，可得，又直線的斜率為，所以，由余弦定理可得，解得，即則雙曲線的離心率為，可得D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在求解焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓問題時(shí)，要利用雙曲線定義以及切線長性質(zhì)得出內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用內(nèi)心性質(zhì)可求出半徑.題型六雙曲線的漸近線解｜題｜技｜巧對雙曲線而言，考察的最多的就是漸近線的性質(zhì)。所以要熟練掌握雙曲線的?？嫉囊恍┬再|(zhì)?！镜淅?】（2025高二上·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線，橢圓上一點(diǎn)（不在的漸近線上），過點(diǎn)分別作平行于雙曲線兩條漸近線的直線，分別交漸近線于，兩點(diǎn)，且，則（

）A． B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】先把點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)成參數(shù)形式，再由平行關(guān)系可得直線，的方程，與淅近線方程聯(lián)立可得E，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)，再由四邊形是平行四邊形及可得.【詳解】由雙曲線，得，，故雙曲線的漸近線為，設(shè)，，，如圖：故直線的方程為，直線的方程為.由，解得，即；由，解得，即.再由四邊形是平行四邊形，且，，所以.故選：B．【典例2】（24-25高二下·四川眉山·期末）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率為，點(diǎn)P是C的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過作的平分線的垂線，垂足是M，，則點(diǎn)P到C的兩條漸近線距離之積為．【答案】【分析】首先畫出圖形，根據(jù)題意先確定是等腰三角形，然后根據(jù)雙曲線的定義可求得，然后根據(jù)離心率求得雙曲線的方程，從而得到漸近線方程，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)半焦距為，延長交于點(diǎn)，由于是的平分線，，所以是等腰三角形，所以，且是的中點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義可知，即.由于是的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，又雙曲線的離心率為，所以，所以雙曲線的方程為.所以，雙曲線的漸近線方程為.設(shè)，點(diǎn)到兩漸近線的距離為，則.又點(diǎn)在雙曲線的右支上，所以，即.則點(diǎn)到兩漸近線的距離為.故答案為：.

【變式1】（25-26高二上·安徽·月考）過雙曲線上一點(diǎn)向的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，.若的面積為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出，再由三角形面積公式求出面積，解方程得出，即可求出離心率.【詳解】如圖，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線的方程為，所以，設(shè)漸近線的傾斜角為，此時(shí)，易知，因?yàn)?，所以，所以的面積，解得，則雙曲線的離心率.故選：A【變式2】（25-26高二上·河北滄州·期中）已知雙曲線：與橢圓有公共的左、右焦點(diǎn)，，以線段為直徑的圓與雙曲線及其漸近線在第一象限內(nèi)分別交于點(diǎn)，，且線段的中點(diǎn)在另一條漸近線上，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為.【答案】6【分析】由橢圓的方程寫出焦點(diǎn)，的坐標(biāo)，得到以線段為直徑的圓的方程，與雙曲線的漸近線聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入另一條漸近線求得的值，得到雙曲線的方程，與圓的方程聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積等于求得其面積.【詳解】由橢圓知，所以.雙曲線：的漸近線方程為.以線段為直徑的圓的方程為.由，得，所以，所以.記線段的中點(diǎn)為，則.點(diǎn)在上，所以，解得，所以.所以雙曲線的方程為：.由，得，所以.所以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為.故答案為：.題型七阿基米德三角形解｜題｜技｜巧阿基米德三角形是拋物線小題中重難考點(diǎn)，指圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形。配合切線方程及三角形的一些性質(zhì)。【典例1】（多選）（24-25高二上·安徽宣城·期末）拋物線的焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，過點(diǎn)F作傾斜角為的直線l，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)C，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．三角形ABC面積的最小值為4 D．的最小值為【答案】ACD【分析】求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)可判斷A；根據(jù)焦半徑公式可判斷B；根據(jù)弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合三角形面積公式判斷C；利用焦半徑公式結(jié)合基本不等式以及韋達(dá)定理可判斷D.【詳解】由可得，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，對于A，當(dāng)時(shí)，可得，，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去y，化簡整理得，解得或，所以，，所以，故B錯誤；對于C，設(shè)直線l的方程為，與拋物線方程聯(lián)立消去x，化簡整理得，設(shè)，則，，所以又點(diǎn)C到直線l的距離，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，三角形ABC面積的最小值為4，故C正確；對于D，由拋物線的定義得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故D正確.故選：ACD.【典例2】（多選）（25-26高二上·江西九江·月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．焦點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4B．C．若的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則D．若，則【答案】ABD【分析】對A，由拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程可求解判斷；對BCD，設(shè)直線，設(shè)，則聯(lián)立直線與拋物線，利用韋達(dá)定理求解判斷.【詳解】對于A：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為：，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，A正確；對于B：設(shè)直線，設(shè)，則由得，所以，又由拋物線定義可得，所以，B正確；對于C：若的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，得，所以，，C錯誤；對于D：若，則，又，所以，整理得，又，所以，即，因?yàn)椋?，所以，解得，所以，D正確；故選：ABD.【變式1】（多選）（24-25高三上·江蘇·期末）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，A，B為拋物線上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，B作拋物線C的切線，交于點(diǎn)M，且與x軸分別交于點(diǎn)D，E，則（

）A．若，則點(diǎn)B．若，則直線恒過定點(diǎn)C．若直線過點(diǎn)，則點(diǎn)M恒在直線上D．若直線過點(diǎn)F，則【答案】BCD【分析】根據(jù)焦半徑公式求點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷A，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，即可判斷B，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，并且利用導(dǎo)數(shù)求切線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，求交點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷C,根據(jù)C的和過程，分別求點(diǎn)的坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)間距離公式，判斷D.【詳解】A.設(shè)，，則，則，即，故A錯誤；B.設(shè)直線，，，聯(lián)立拋物線方程得，，即，，，所以，得，所以直線恒過定點(diǎn)，故B正確；C.，所以直線方程為，聯(lián)立，得得，，，則，所以切線，即，同理切線，聯(lián)立，，得，，則焦點(diǎn)恒在直線上，故C正確；D.由C可知，，，，所以，，所以，故D正確.故選：BCD【變式2】（多選）（25-26高三上·廣東湛江·月考）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線，P為C上不與O重合的動點(diǎn)，以P為圓心，1為半徑作圓，過點(diǎn)作圓P的兩條切線交圓P于M,N兩點(diǎn)，則（

）A．l始終與圓P相離 B．無最值C．存在點(diǎn)P，使得 D．時(shí)，P到l的距離為3【答案】AB【分析】對于A，利用圓心到直線的距離與圓的半徑比較即得；對于B，先求出的取值范圍，再根據(jù)等面積求出的表達(dá)式，推得，即可判斷；對于C，通過計(jì)算的斜率，利用，可判斷不重合，排除該項(xiàng)；對于D，通過反向思考，由結(jié)論作為條件，推出矛盾，從而排除D項(xiàng).【詳解】對于A，因拋物線的準(zhǔn)線，則，解得，故．設(shè)，則，那么P到l的距離為，即l與圓相離，故A正確；對于B，設(shè)點(diǎn)，則，因，則四邊形AMPN的面積為，可得，故B正確；對于C，因?yàn)椋珹P的斜率為，而OP的斜率為，兩者相等當(dāng)且僅當(dāng)，而這與題意矛盾，所以與不可能垂直，故C錯誤；對于D，運(yùn)用反向思考，若點(diǎn)P到l的距離為3，則易得，由對稱性，不妨取，則，由已知，且，可得O，M，P三點(diǎn)共線，由，可得，此時(shí)PM斜率為，而AM的斜率為，此時(shí)，，即AM與PM不垂直，這與題意矛盾，故D錯誤．故選：AB．題型八蒙日圓解｜題｜技｜巧以蒙日圓為背景出題，但是題目本質(zhì)還是考圓錐曲線。記住橢圓雙曲線的蒙日圓方程?！镜淅?】（24-25高二上·福建寧德·期末）加斯帕爾蒙日是世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家.他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”.若長方形G的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯誤的是（

）A．橢圓M的離心率為 B．橢圓M的蒙日圓方程為C．若G為正方形，則G的邊長為 D．長方形G的面積的最大值為14【答案】D【分析】由橢圓的性質(zhì)，結(jié)合矩形的面積公式及基本不等式的應(yīng)用求解．【詳解】已知橢圓，則，，，結(jié)合題意得，該橢圓的“蒙日圓”的半徑為，對于A，橢圓M的離心率為，正確；對于B，橢圓M的蒙日圓方程為，正確；對于C，若G為正方形，設(shè)G的邊長為m，則，即，正確；對于D，G的長為m，寬為n，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即長方形G的面積的最大值為28，錯誤．故選：D【典例2】（多選）（24-25高二上·廣東揭陽·期末）畫法幾何的創(chuàng)始人法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，、為橢圓上兩個動點(diǎn)．直線的方程為．則下列結(jié)論正確的有（

）A．的蒙日圓的方程為B．在直線上存在點(diǎn)，橢圓上存在、，使得C．記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為D．若矩形的四條邊均與相切，則矩形面積的最大值為．【答案】ABD【分析】由在蒙日圓上可得蒙日圓的方程，結(jié)合離心率可得、關(guān)系，由此可知A正確；由過且在蒙日圓上，可知當(dāng)、恰為切點(diǎn)時(shí)，，知B正確；根據(jù)橢圓定義可將轉(zhuǎn)化為，可知時(shí)，取得最小值，由點(diǎn)到直線距離公式可求得最小值，代入可得的最小值，知C錯誤；由題意知，蒙日圓為矩形的外接圓，由矩形外接圓特點(diǎn)可知矩形長寬與圓的半徑之間的關(guān)系，利用基本不等式可求得矩形面積最大值，知D正確．【詳解】對于A選項(xiàng)，過可作橢圓的兩條互相垂直的切線：，，所以，在蒙日圓上，則蒙日圓方程為，由，得，所以，橢圓的蒙日圓方程為，故A正確；對于B選項(xiàng)，由直線的方程知，直線過，又滿足蒙日圓方程，所以，在圓上，當(dāng)、恰為過作橢圓兩條互相垂直切線的切點(diǎn)時(shí)，，故B正確；對于C選項(xiàng)，因?yàn)樵跈E圓上，所以，，所以，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為到直線的距離，又到直線的距離，所以，，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，當(dāng)矩形的四條邊均與相切時(shí)，蒙日圓為矩形的外接圓，所以，矩形的對角線為蒙日圓的直徑，設(shè)矩形的長和寬分別為、，則，所以，矩形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即矩形面積的最大值為，故D正確.故答案為：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查圓錐曲線中的新定義問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)蒙日圓的定義，結(jié)合點(diǎn)在蒙日圓上，得到蒙日圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而結(jié)合圓的方程來判斷各個選項(xiàng)．【變式1】（24-25高二上·湖北咸寧·期末）加斯帕爾·蒙日是18~19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”.已知橢圓：，若直線：上存在點(diǎn)P，過P可作C的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的取值范圍是.【答案】【分析】首先通過橢圓的四條特殊切線可知道蒙日圓的半徑，問題轉(zhuǎn)化為直線與蒙日圓有交點(diǎn)問題，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系列式即可求解。【詳解】由題可知，點(diǎn)在橢圓的蒙日圓上，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，問題轉(zhuǎn)化為直線和蒙日圓有公共點(diǎn).由橢圓方程，如圖當(dāng)長方形的邊與橢圓的軸平行時(shí)，長方形的邊長分別為和，其對角線長為，因此蒙日圓半徑為，所以蒙日圓方程為，因此，需滿足圓心到直線的距離不大于半徑，即，所以，所以橢圓離心率，所以.故答案為：【變式2】（25-26高二上·黑龍江·期中）已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，它的圓心與橢圓的中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和.已知橢圓及其蒙日圓，且橢圓的離心率為，點(diǎn)分別為蒙日圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，分別與相切于點(diǎn)，則四邊形與四邊形的面積的比值為．【答案】【分析】根據(jù)蒙日圓的定義得到點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，然后聯(lián)立直線和橢圓的方程得到點(diǎn)，最后計(jì)算面積求比值即可.【詳解】蒙日圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，不妨設(shè)為蒙日圓與軸正、負(fù)半軸交點(diǎn)，為蒙日圓與軸負(fù)、正半軸交點(diǎn)，可知.則直線的方程為，由，消得到，令，解得，，所以，所以，所以四邊形的面積為，易知四邊形為正方形，且，所以四邊形的面積為，所以四邊形與四邊形的面積的比值為，因?yàn)闄E圓離心率為，所以，得，即，所以.故答案為：.期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時(shí)間：10分鐘）1．（多選）（25-26高二上·陜西延安·期中）已知，是橢圓：的兩個焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的離心率為 B．弦長的取值范圍為C．面積的最大值為12 D．存在點(diǎn)使得【答案】CD【分析】根據(jù)離心率的公式即可判斷A；根據(jù)橢圓性質(zhì)可判斷B，由點(diǎn)在左右頂點(diǎn)時(shí)，面積的最大值，可判斷C,根據(jù)向量的數(shù)量積即可判斷D；【詳解】由，則，，，焦點(diǎn)在軸上，，，對于A，離心率，故A錯誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，，所以弦長的取值范圍為,故B錯誤；對于C，當(dāng)點(diǎn)在左右頂點(diǎn)時(shí)，面積的最大值，即.故C正確；對于D,對于B，設(shè)，，，若，則,即，解得，故存在點(diǎn)A使得，故D正確；故選：CD2．（多選）（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，、是圓與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)為該平面內(nèi)異于、的動點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說法正確的是（）A．若，則曲線的離心率為B．若，則曲線方程為C．若，則曲線有漸近線，其漸近線方程為D．若，，過原點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，則面積最大值為【答案】ACD【分析】根據(jù)斜率的乘積、雙曲線、橢圓、三角形的面積等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題、，設(shè)，有，，且.對于A選項(xiàng)，，即，則，，所以離心率為，A正確；對于B選項(xiàng)，，即，B錯誤；對于C選項(xiàng)，，即，則，，所以，曲線有漸近線，其漸近線方程為，C正確；對于D選項(xiàng)，，即，由題意可知，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，有，則，，所以，而點(diǎn)到直線的距離為，所以，所以當(dāng)時(shí)，面積取最大值，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．3．（24-25高三下·天津·開學(xué)考試）已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，焦距為4，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的左、右支分別交于兩點(diǎn)，，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先直線方程與橢圓方程聯(lián)立，再根據(jù)條件，以及韋達(dá)定理，建立等量關(guān)系，即可求離心率.【詳解】由條件可知，，過點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為，設(shè)，因?yàn)?，所以，得，即?lián)立，得，所以，，①，②由①②可得，又因?yàn)榈?，且，得，，所以雙曲線的離心率.故選：B4．（24-25高二上·江西上饒·期末）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，斜率為1的直線過左焦點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的面積是，若線段的長度的取值范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合橢圓的定義和的內(nèi)切圓半徑表示的面積，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離和線段表示的面積，列式可得關(guān)于的關(guān)系，再根據(jù)的取值范圍可求離心率的取值范圍.【詳解】如圖：因?yàn)榈膬?nèi)切圓的面積是，所以的內(nèi)切圓的半徑為1.結(jié)合橢圓的定義：.由到直線：的距離為：，所以.由，又，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用兩種方法表示的面積，得到的關(guān)系，再求離心率的取值范圍.5．（多選）（24-25高三上·河南·期末）已知拋物線上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為4，直線經(jīng)過交于點(diǎn)，分別過作的切線，且兩切線交于點(diǎn)，則（

）A．的方程為B．若，則的中點(diǎn)到軸的距離為10C．是直角三角形D．若的中點(diǎn)為，則直線與軸垂直【答案】ACD【分析】根據(jù)拋物線的定義、導(dǎo)數(shù)與切線方程、直線交點(diǎn)等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對于A，上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，則，所以的方程為，故A正確；對于B，焦點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)?，則，即，所以的中點(diǎn)到軸的距離為5，故B錯誤；對于，設(shè)直線，由得，則，且，因?yàn)?，所以，所以是直角三角形，故C正確；對于D，切線的方程為，又，所以切線的方程為.同理，切線的方程為.由且，解得，即.又，所以垂直于軸，故D正確.故選：ACD期末重難突破練（測試時(shí)間：10分鐘）1．（多選）（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)為，，A，B分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的動點(diǎn)（P不在x軸上），下列選項(xiàng)正確的是（

）A．存在點(diǎn)P使得B．的周長為C．直線PA與直線PB的斜率乘積為D．的最小值為【答案】BD【分析】首先求出、、，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知當(dāng)在橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)取得最大值，即可判斷A；根據(jù)橢圓的定義判斷B；設(shè)，求出即可判斷C；利用基本不等式判斷D.【詳解】橢圓，則，，，則，，對于A：當(dāng)在橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)取得最大值，不妨取，此時(shí)，所以為銳角，所以不存在點(diǎn)使得，故A錯誤；對于B：因?yàn)椋?，所以的周長為，故B正確；對于C：因?yàn)椋?，設(shè)，則，故C錯誤；對于D：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故D正確；故選：BD2．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知雙曲線與橢圓有相同的左、右焦點(diǎn)，分別為，，以線段為直徑的圓與雙曲線及其漸近線在第一象限內(nèi)分別交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在另一條漸近線上，則的面積為（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】A【分析】首先求出，的坐標(biāo)以及以線段為直徑的圓的方程，聯(lián)立圓和可得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入，結(jié)合即可求出雙曲線方程，再與圓的方程聯(lián)立可得點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，所以，，，以線段為直徑的圓的方程為，雙曲線的漸近線方程為，由可得，即，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，，所以，中點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線上，所以，即，所以，又由解得，，所以雙曲線，聯(lián)立可得，解得，因?yàn)樵诘谝幌笙蓿?，所以的面積，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是求出中點(diǎn)坐標(biāo)，代入結(jié)合解出雙曲線方程，求出點(diǎn)坐標(biāo).3.（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知點(diǎn)，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們在第一象限的一個公共點(diǎn)，且，若和的離心率分別為，，則的取值范圍是.【答案】【分析】由橢圓方程和雙曲線方程的定義可得，進(jìn)而由得，設(shè)，由，可得，，由可得.【詳解】設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為，，所以，可得，設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)椋?，即，化簡得，即，即，令，則，取，因?yàn)?，，所以，，所以，故，則，時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，所以故答案為?．（25-26高二上·重慶·期中）已知雙曲線，其左右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，與雙曲線左支交于點(diǎn)中點(diǎn)為．若內(nèi)切圓半徑為，則直線的斜率為．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義及三角形的面積公式，求得.代入雙曲線的方程，并由得點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，c為半徑的圓上，聯(lián)立雙曲線和圓的方程，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得到直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，可求得，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的斜率.【詳解】如圖：由題可知，化簡得，即.因?yàn)椋?，所以，所以雙曲線，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，c為半徑的圓上，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足，解得，即.所以直線的斜率為，所以直線的方程為.當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，聯(lián)立，得，所以或，所以.所以，所以直線的斜率為.根據(jù)雙曲線的對稱性，可得當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，直線的斜率為.直線的斜率為.故答案為：5．（24-25高二上·河北石家莊·期中）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左支交于，兩點(diǎn)，記的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】根據(jù)雙曲線定義及內(nèi)切圓性質(zhì)可知軸于點(diǎn)，且為雙曲線的左焦點(diǎn)，設(shè)，，根據(jù)直角三角形正切值可得，結(jié)合，可得離心率.【詳解】如圖所示，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓圓心，且圓與各邊分別相切于，，，則，，，又點(diǎn)在雙曲線左支，則，則，且軸，即點(diǎn)在直線上，同理點(diǎn)在直線上，即軸于點(diǎn)，且，設(shè)，則，則，，即，又，則，化簡可得，即，解得或（舍），故答案為：.期末綜合拓展練（測試時(shí)間：15分鐘）1．（多選）（25-26高二上·江西撫州·月考）已知橢圓，我們把圓稱為的蒙日圓，為原點(diǎn)，點(diǎn)在上，延長與的蒙日圓交于點(diǎn)，則（）A．的最大值為B．若為的中點(diǎn)，則的離心率的最小值為C．過點(diǎn)不可能作兩條互相垂直的直線都與相切D．若點(diǎn)在上，則的蒙日圓面積最小為【答案】ABD【分析】根據(jù)圓及橢圓的幾何性質(zhì)判斷A，根據(jù)為的中點(diǎn)建立關(guān)于的齊次不等式，從而得到離心率的最值可判斷B，舉反例排除C，利用點(diǎn)在橢圓上與基本不等式“1”的妙用可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，又橢圓，所以，所以，故A正確；對于B，若為的中點(diǎn)，則，則，故，B正確；對于C，取，則直線，互相垂直，且都與相切，C錯誤；對于D，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的蒙日圓面積最小為，D正確.故選：ABD.2．（多選）（25-26高二上·云南昆明·月考）某學(xué)校數(shù)學(xué)課外興趣小組研究發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，稱為該橢圓的“蒙日圓”.利用此結(jié)論解決下列問題：已知橢圓的離心率為，，為的左、右焦點(diǎn)且，為上一動點(diǎn)，直線.說法中正確的有（

）A．橢圓的“蒙日圓”的面積為B．對直線上任意點(diǎn)，都有C．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為D．橢圓的“蒙日圓”的兩條弦，都與橢圓相切，則面積的最大值為3【答案】ACD【分析】根據(jù)條件，得出，，從而得出橢圓的方程，進(jìn)而判斷出選項(xiàng)C的正誤；對于選項(xiàng)A，根據(jù)“蒙日圓”的定義，作出橢圓的兩條特殊切線，從而找出蒙日圓上的一個