1/3專題3.5圓錐曲線壓軸大題歸納（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律面積最值掌握面積的表達(dá)式、求最值最常用的方法。高頻必考點(diǎn)，在圓錐曲線大題第二問出現(xiàn)，跟函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考求最值。面積比考察幾何轉(zhuǎn)化能力，將面積比轉(zhuǎn)化為線段比、坐標(biāo)比。高頻必考點(diǎn)，在圓錐曲線大題第二問出現(xiàn)。三點(diǎn)共線問題考察幾何轉(zhuǎn)化能力，將三點(diǎn)共線問題轉(zhuǎn)化為斜率相等、向量共線等。高頻必考點(diǎn)，在圓錐曲線大題第二問出現(xiàn)。四點(diǎn)共圓問題考察幾何轉(zhuǎn)化能力，將四點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為斜率問題或?qū)踊パa(bǔ)等。高頻必考點(diǎn)，在圓錐曲線大題第二問出現(xiàn)。定點(diǎn)問題掌握定點(diǎn)問題的運(yùn)算方法，怎么進(jìn)行猜想證明，消參。重點(diǎn)必考點(diǎn)，在圓錐曲線大題第二問出現(xiàn)。點(diǎn)在定直線上掌握點(diǎn)在定直線上的運(yùn)算方法，怎么進(jìn)行猜想證明，消參。重點(diǎn)必考點(diǎn)，在圓錐曲線大題第二問出現(xiàn)。定值問題掌握定值問題的運(yùn)算方法，怎么進(jìn)行猜想證明，消參。重點(diǎn)必考點(diǎn)，在圓錐曲線大題第二問出現(xiàn)。定比點(diǎn)差法掌握定比點(diǎn)差法的應(yīng)用條件及方法的運(yùn)用基礎(chǔ)必考點(diǎn)，在一些條件下，用定必點(diǎn)差法比傳統(tǒng)曲直聯(lián)立跟韋達(dá)定理更方便。移動(dòng)齊次化掌握移動(dòng)齊次化的應(yīng)用條件及方法的運(yùn)用基礎(chǔ)必考點(diǎn)，斜率和差的條件下，用移動(dòng)齊次化比傳統(tǒng)曲直聯(lián)立跟韋達(dá)定理更方便。非對(duì)稱韋達(dá)掌握非對(duì)稱韋達(dá)的應(yīng)用方法?；A(chǔ)必考點(diǎn)，在非對(duì)稱條件出現(xiàn)的情況下，應(yīng)用非對(duì)稱韋達(dá)常用的方法處理。知識(shí)點(diǎn)01面積最值求面積最值這類問題的核心是：將面積表示為某個(gè)變量的函數(shù)，然后通過代數(shù)方法求該函數(shù)的最值。

一、設(shè)參建模設(shè)直線：根據(jù)題意設(shè)出直線方程。如果直線過定點(diǎn)，使用點(diǎn)斜式y(tǒng)=k(x?x?)+y?最為常見。如果直線與y軸平行，需單獨(dú)考慮。設(shè)交點(diǎn)：設(shè)出直線與圓錐曲線兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)A(x?,y?),B(x?,y?)。二、聯(lián)立方程將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去x或y，得到一個(gè)關(guān)于x(或y)的一元二次方程。三、表達(dá)目標(biāo)量1、弦長(zhǎng)公式設(shè)M(x1?，??①設(shè)直線為y=kx+m上，代入化簡(jiǎn)，得|MN|=1+②設(shè)直線方程為x=ty+m，代入化簡(jiǎn)，得|MN|=2、三角形的面積①SΔ②SΔ③在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△OMN的頂點(diǎn)分別為O(0?，??0)，M(x四、求最值目標(biāo)量（弦長(zhǎng)或面積）通常表示為一個(gè)關(guān)于參數(shù)（如斜率k）的函數(shù)f(k)。定義域優(yōu)先：在求最值前，必須確定參數(shù)的取值范圍。常用求最值方法：配方法：適用于二次函數(shù)?；静坏仁椒ǎ哼m用于能化為a+b≥2ab或ab≤導(dǎo)數(shù)法：當(dāng)函數(shù)形式復(fù)雜（如分式、高次）時(shí)，這是最通用的方法。求導(dǎo)，找駐點(diǎn)，判斷單調(diào)性。知識(shí)點(diǎn)02面積比求面積比的核心在于將面積的比值轉(zhuǎn)化為線段比、坐標(biāo)比或直接面積表達(dá)式之比，然后利用韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的思想進(jìn)行整體代換，最終化為一個(gè)變量的函數(shù)來(lái)求解或證明定值、或求范圍。利用幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化比值共線或共點(diǎn)三角形：如果兩個(gè)三角形有公共頂點(diǎn)或底邊在同一直線上，它們的面積比往往等于對(duì)應(yīng)底邊或高線的比值。這是最有效的簡(jiǎn)化方法。平行線：題目中若存在平行線，必然產(chǎn)生相似三角形，要充分利用其帶來(lái)的比例關(guān)系。分解復(fù)雜圖形：對(duì)于復(fù)雜的多邊形面積比，可以將其分割成若干個(gè)三角形面積之和或差，然后分別計(jì)算這些三角形的面積，再求比值?！霸O(shè)而不求”的極致運(yùn)用不僅對(duì)交點(diǎn)坐標(biāo)“設(shè)而不求”，對(duì)于比值中出現(xiàn)的復(fù)雜項(xiàng)，有時(shí)可以將其視為一個(gè)整體，在化簡(jiǎn)過程中可能會(huì)被約去，從而避免繁瑣的計(jì)算。變量歸一化當(dāng)問題中有多個(gè)變量時(shí)，要努力利用已知條件（如點(diǎn)共線、線垂直等）找到變量之間的關(guān)系，減少自由變量的個(gè)數(shù)，最終將比值化為單變量函數(shù)或常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)03三點(diǎn)共線問題在圓錐曲線大題中證明三點(diǎn)共線是一個(gè)經(jīng)典問題。其核心思想是：將幾何共線關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系式。利用三點(diǎn)

A(x?,斜率相等：從三點(diǎn)中任意選擇兩點(diǎn)構(gòu)成兩條直線，證明兩直線斜率相等，注意斜率不存在的情況。向量共線：如果向量

AB

與向量

AC（或

BC）共線（即平行），則

A點(diǎn)在直線上：求出直線

AB

的方程，然后證明點(diǎn)

C

的坐標(biāo)滿足該方程。知識(shí)點(diǎn)04四點(diǎn)共圓問題以四點(diǎn)共圓為背景的圓錐曲線大題是壓軸題中的經(jīng)典類型，最經(jīng)典例題為2021年新高考I卷中的21題。其核心在于

“如何將幾何的圓問題轉(zhuǎn)化為可操作的代數(shù)條件”

。四點(diǎn)共圓中常用的幾何性質(zhì)有以下幾點(diǎn)一、對(duì)角互補(bǔ)當(dāng)四點(diǎn)在某種對(duì)稱結(jié)構(gòu)下，常可簡(jiǎn)化為兩組對(duì)邊的斜率互為相反數(shù)。則直接轉(zhuǎn)化為直線的斜率關(guān)系，非常適合與韋達(dá)定理結(jié)合。二、相交弦定理（冪定理）若四點(diǎn)共圓，兩條弦AC，BD相交于P點(diǎn)，滿足

PA·PB=PC·PD。對(duì)于四點(diǎn)共圓問題，要建立起強(qiáng)大的信心：它看似是“圓”的問題，但本質(zhì)上是通過一些優(yōu)美的幾何定理（如對(duì)角互補(bǔ)），被轉(zhuǎn)化成了一個(gè)純粹的直線斜率關(guān)系問題，從而能夠完美地融入我們熟悉的韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的框架中予以解決。知識(shí)點(diǎn)05定點(diǎn)問題找到動(dòng)直線（或動(dòng)點(diǎn)）方程中參數(shù)（如斜率k）的“不變部分”。將方程整理為關(guān)于參數(shù)的恒等式，令其系數(shù)為零，即可求出定點(diǎn)（或定直線）。一、直接推導(dǎo)設(shè)參：設(shè)出動(dòng)直線的方程。通常已知直線過某個(gè)定點(diǎn)或已知斜率，常用點(diǎn)斜式：y=kx+m。尋找關(guān)系：利用題目條件（如直線與圓錐曲線相切、相交，或與其他幾何條件如垂直、中點(diǎn)等相關(guān)），找到一個(gè)關(guān)于k和m的關(guān)系式。消參定型：將找到的k和m關(guān)系式代回原始的直線方程y=kx+m中。得到只含一個(gè)參數(shù)的解析式。關(guān)鍵步驟：將此方程整理為關(guān)于參數(shù)k的方程，要使這個(gè)方程對(duì)所有k值都成立，則k的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)必須同時(shí)為零。對(duì)于y?C=k(x?D)形式，定點(diǎn)顯然是(D,C)。對(duì)于更復(fù)雜的形式，將方程按k的冪次項(xiàng)整理，令各項(xiàng)系數(shù)為零，解方程組即可求出定點(diǎn)(x,y)。二、先猜后證法當(dāng)直接推導(dǎo)復(fù)雜或難以進(jìn)行時(shí)，此方法能指明方向，簡(jiǎn)化計(jì)算。猜定點(diǎn)：特殊位置法：取參數(shù)（如斜率k）的兩個(gè)特殊值（如0,斜率不存在（豎直直線）,1,-1等），畫出兩條對(duì)應(yīng)的特殊位置直線。求交點(diǎn)：解這兩條特殊直線的交點(diǎn)，該點(diǎn)即為猜測(cè)的定點(diǎn)(x0證定點(diǎn)：則動(dòng)直線的方程可以化簡(jiǎn)為y?y0=f(k)(x?x0)知識(shí)點(diǎn)06點(diǎn)在定直線上將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示為某個(gè)參數(shù)（通常是斜率k）的函數(shù)，然后消參，得到一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程，即為定直線方程。主要步驟為：1、設(shè)參并表示動(dòng)點(diǎn)2、建立關(guān)系3、消參4、得到定直線方程在解題過程中，可以使用幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化，先猜后證等方法幫助解決計(jì)算問題知識(shí)點(diǎn)07定值問題將待證的目標(biāo)量（如斜率積、線段乘積、面積等）用參數(shù)（通常是斜率

k）表示出來(lái)，通過代數(shù)運(yùn)算消去參數(shù)，若結(jié)果是一個(gè)常數(shù)常見的定值類型有：1、斜率的和、積、比為定值2、線段長(zhǎng)度、乘積或倒數(shù)和為定值3、面積為定值4、向量數(shù)量積為定值“先猜后證”：取參數(shù)的特殊值（如

k=0,

k=1,

k→∞），快速計(jì)算出目標(biāo)量的值。這個(gè)值很可能就是定值。這不僅能預(yù)知結(jié)果、增強(qiáng)信心，還能用來(lái)驗(yàn)證最終化簡(jiǎn)結(jié)果是否正確?！霸O(shè)而不求”的極致運(yùn)用：不僅對(duì)交點(diǎn)坐標(biāo)“設(shè)而不求”，對(duì)于復(fù)雜的中間量，也保持其整體形式，在后續(xù)運(yùn)算中可能會(huì)相互抵消。參數(shù)關(guān)系式的挖掘：定值問題的核心往往在于題目中隱藏的參數(shù)關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)08定比點(diǎn)差法定比點(diǎn)差法是解決圓錐曲線中涉及線段定比分點(diǎn)或中點(diǎn)問題的一柄利器。它繞開了傳統(tǒng)的聯(lián)立和韋達(dá)定理，直接從點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系入手，具有思路清晰、計(jì)算簡(jiǎn)捷的特點(diǎn)。核心思想：“設(shè)分點(diǎn)，代曲線，作差化簡(jiǎn)”直線與圓錐曲線相交于A、B兩點(diǎn)，若P點(diǎn)滿足線性關(guān)系A(chǔ)P=λPB（λ≠?1),，通過將

A，B坐標(biāo)代入曲線方程，然后利用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式作差，直接建立起點(diǎn)

定比點(diǎn)差法通過巧妙地構(gòu)造方程間的加權(quán)差，利用平方差公式和定比分點(diǎn)公式，直接溝通了分點(diǎn)坐標(biāo)、曲線參數(shù)和弦的斜率，實(shí)現(xiàn)了“化曲為直”，是解決此類結(jié)構(gòu)化問題的典范方法。知識(shí)點(diǎn)09平移齊次化1、齊次化常用于處理與斜率相關(guān)的問題，如過某定點(diǎn)的兩條直線的斜率之和與斜率之積。此時(shí)我們可以將曲線方程構(gòu)造成x2,xy,y2的齊次式方程，再除以2、如果目標(biāo)點(diǎn)不在原點(diǎn)，則需要平移圖形，將公共點(diǎn)平移到原點(diǎn)，無(wú)論如何平移，直線斜率是不變的.注意平移口訣是“左加右減，上減下加”.知識(shí)點(diǎn)10非對(duì)稱韋達(dá)我們常規(guī)解決圓錐曲線問題時(shí)，都是用到韋達(dá)定理，根據(jù)x1+x2=?ba?,?x1x1x2x1x2題型一面積最值解｜題｜技｜巧將面積表示為某個(gè)變量的函數(shù)，然后通過代數(shù)方法求該函數(shù)的最值。

【典例1】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，位于第一象限的點(diǎn)在拋物線C上，且．直線l過焦點(diǎn)F且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)．(1)若l的傾斜角為，求弦長(zhǎng)的值；(2)若過F且與l垂直的直線交C于M，N兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值，【典例2】（24-25高二上·河北保定·期末）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，，離心率.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F(xiàn)，求四邊形EPFQ面積的取值范圍.【變式1】（24-25高二上·廣西玉林·期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為和，短軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)若直線過橢圓右焦點(diǎn)，與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程；(3)若直線的斜率為，與橢圓交于、兩點(diǎn)，記以、為直徑的圓的面積分別為、，的面積為，求的最大值.【變式2】（24-25高二上·浙江金華·期末）已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，下上頂點(diǎn)分別為．(1)若為直角三角形，的面積為，求橢圓方程．(2)過右焦點(diǎn)的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)（P，Q分別在第一、四象限），連接并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)N；①若，求橢圓的離心率e．②在（1）條件下，求四邊形面積的取值范圍．題型二面積比解｜題｜技｜巧求面積比的核心在于將面積的比值轉(zhuǎn)化為線段比、坐標(biāo)比或直接面積表達(dá)式之比，最終化為一個(gè)變量的函數(shù)來(lái)求解或證明定值、或求范圍?！镜淅?】（24-25高二上·河南焦作·期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，且.(1)求的方程；(2)若為上不同于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的兩條切線，，分別交軸于點(diǎn)P，Q，交軸于點(diǎn)，.①證明：；②證明：（S表示面積）.【典例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知橢圓的下頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)分別為，橢圓上的點(diǎn)到距離的最小值為，且拋物線截軸所得的線段長(zhǎng)為的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)．(1)求橢圓的方程；(2)過原點(diǎn)的直線與相交于B，C兩點(diǎn)，直線AB，AC分別與相交于P，Q兩點(diǎn)．

①證明：直線AB與直線AC的斜率之積為定值；

②記和的面積分別是，，求的最小值．【變式1】（25-26高二上·黑龍江大慶·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸、軸與兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線.記，直線的方程為，直線與曲線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)，點(diǎn)均位于軸右側(cè)）.記直線和的交點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為.(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記，的面積分別為，，求的最小值.【變式2】（24-25高二上·江蘇南京·月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，離心率為.(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)．（i）記直線，的斜率分別為，，證明：是定值；（ii）設(shè)G為直線和的交點(diǎn)，記，的面積分別為，，求的最小值．題型三三點(diǎn)共線問題解｜題｜技｜巧利用三點(diǎn)

A(x?,【典例1】（24-25高二上·四川瀘州·期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，離心率為2，分別為的左，右頂點(diǎn)，A為雙曲線上一點(diǎn)，且．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)在上．（?。┤酎c(diǎn)A在第一象限且直線的斜率為－2，求證：直線的斜率之和為定值；（ⅱ）若，過的直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，，過且斜率為的直線與過且斜率為的直線交于點(diǎn)，若．求證：三點(diǎn)共線．【典例2】（24-25高二下·河南南陽(yáng)·期末）已知橢圓：（）的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)到長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為和，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求的方程.(2)過點(diǎn)且不與軸重合的直線與交于兩點(diǎn).（?。┤舻拿娣e為，求的方程；（ⅱ）若線段的中點(diǎn)為，在點(diǎn)處分別作的切線，兩切線相交于點(diǎn)，求證：，，三點(diǎn)共線.【變式1】（24-25高二上·河北邢臺(tái)·期末）若橢圓上的兩個(gè)不同的點(diǎn)滿足0，則稱為該橢圓的一組“相伴點(diǎn)對(duì)”，記作.已知橢圓的焦距為，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，證明橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)滿足“相伴點(diǎn)對(duì)”，并求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)（2）中的兩個(gè)點(diǎn)分別是，若直線與直線的斜率之積為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，連接交橢圓于另一點(diǎn)，連接交橢圓于另一點(diǎn)，證明：三點(diǎn)共線.【變式2】（25-26高二上·重慶渝北·期中）已知橢圓的方程為，過點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)若為橢圓的右焦點(diǎn)，M，N是橢圓上的兩點(diǎn)且直線MN與曲線相切，證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是.題型四四點(diǎn)共圓解｜題｜技｜巧四點(diǎn)共圓本質(zhì)上是通過一些幾何性質(zhì)（如對(duì)角互補(bǔ)），轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問題，從而能夠完美地融入我們熟悉的韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的框架中予以解決?！镜淅?】（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知雙曲線E經(jīng)過點(diǎn)(1)求E的方程．(2)若直線l經(jīng)過E的右焦點(diǎn)F且與E的左、右兩支分別交于點(diǎn)C，D（C與A不重合），的中點(diǎn)為M，l與直線交于點(diǎn)G，直線與E交于另一點(diǎn)N，證明：（i）軸；（ii）四點(diǎn)共圓．【典例2】（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，位于第一象限的點(diǎn)為上一點(diǎn)，，且垂直于軸.(1)求拋物線的方程；(2)已知直線與交于，兩點(diǎn)，求證：，，，四點(diǎn)共圓.【變式1】（24-25高二上·山東煙臺(tái)·期末）已知雙曲線的離心率為2，且過點(diǎn)．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過的右焦點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），①證明：以為直徑的圓恒過定點(diǎn)，并求出的坐標(biāo)；②對(duì)于①中的，設(shè)過的中點(diǎn)且與軸平行的直線與的右支交于點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為，證明：．【變式2】（24-25高三下·江蘇·月考）已知為離心率為的橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線與交于兩點(diǎn)（在第一象限）.(1)求的方程；(2)求的面積的最大值；(3)若直線與軸交于點(diǎn)，求證：四點(diǎn)共圓.題型五定點(diǎn)問題解｜題｜技｜巧推薦先猜后證法【典例1】（25-26高二上·江蘇常州·期中）橢圓的離心率為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)作關(guān)于軸對(duì)稱的直線，，與橢圓交于，兩點(diǎn)，且直線不平行軸，那么直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)；若不是，說明理由.【典例2】（25-26高二上·湖北武漢·期中）已知橢圓：的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，直線與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)且平行于的直線與直線交于點(diǎn).（?。┤?，求直線的斜率；（ⅱ）軸上是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【變式1】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為．(1)求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)．（i）當(dāng)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，求直線的方程．（ii）若直線分別與軸交于兩點(diǎn)，且，試探究此時(shí)直線是否恒過一個(gè)定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)，若不是，說明理由．【變式2】（24-25高二上·廣西梧州·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，離心率為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)；①若直線過橢圓右焦點(diǎn)，且的面積為求實(shí)數(shù)k的值；②若直線過定點(diǎn)，且，在x軸上是否存在點(diǎn)使得以、為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，則求出實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.題型六點(diǎn)在定直線上解｜題｜技｜巧在解題過程中，可以使用幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化，先猜后證等方法幫助解決計(jì)算問題【典例1】（24-25高二下·福建福州·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，且橢圓上一點(diǎn)M到的距離的最大值為3，已知直線l過且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求直線l的方程；(3)設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)D，過D作直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，且，直線AP與BQ交于點(diǎn)N，探究：點(diǎn)N是否在某條定直線上，若存在，求出該直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【典例2】（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知橢圓的離心率為，A，B分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作斜率不為0的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn).（i）證明：點(diǎn)在定直線上；（ii）求的最大值.【變式1】（25-26高二上·陜西西安·期中）已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，上焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)雙曲線的下焦點(diǎn)為，若，求；(3)記雙曲線的上、下頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過的直線與雙曲線的上支交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，直線與交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．【變式2】（24-25高二上·山東煙臺(tái)·期末）已知橢圓上的點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的最大距離為3．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（異于）．①若的面積為，求直線的方程；②若直線與直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一條定直線上．題型七定值問題解｜題｜技｜巧將待證的目標(biāo)量（如斜率積、線段乘積、面積等）用參數(shù)（通常是斜率

k）表示出來(lái)，通過代數(shù)運(yùn)算消去參數(shù)，若結(jié)果是一個(gè)常數(shù)【典例1】（25-26高二上·浙江·期中）已知橢圓過，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且為線段中點(diǎn)，設(shè)直線和直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為和．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)直線和直線的斜率分別為和都存在時(shí)，證明：為定值；(3)若關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，證明：的面積為定值．【典例2】（25-26高二上·山東菏澤·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，若在曲線的方程中，以（且）代替得到曲線的方程，則稱是由曲線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線，稱為伸縮比.已知橢圓：，橢圓：（）是由曲線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)為上異于其左、右頂點(diǎn)，的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，過分別作橢圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，設(shè)直線，的斜率為，，證明：為定值.【變式1】（25-26高二上·重慶·月考）已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離之比是常數(shù).(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)已知定點(diǎn)，直線的方程為，直線上有一動(dòng)點(diǎn)，軌跡上有一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；(3)若，為軌跡上不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，當(dāng)面積取最大值時(shí)，是否存在兩定點(diǎn)S，T，使為定值？若存在，求出這個(gè)定值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式2】（24-25高二上·安徽·期末）已知曲線的離心率為，分別為的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，面積的最大值為，點(diǎn)為的左頂點(diǎn)．(1)求曲線的方程；(2)證明：為定值；(3)已知雙曲線，若所在直線與雙曲線的左支分別交于點(diǎn)，點(diǎn)（均異于點(diǎn)），過點(diǎn)作的垂線，垂足為，證明：存在點(diǎn)使得為定值．題型八定比點(diǎn)差法解｜題｜技｜巧定比點(diǎn)差法通過巧妙地構(gòu)造方程間的加權(quán)差，利用平方差公式和定比分點(diǎn)公式，直接溝通了分點(diǎn)坐標(biāo)、曲線參數(shù)和弦的斜率，實(shí)現(xiàn)了“化曲為直”，是解決此類結(jié)構(gòu)化問題的典范方法?！镜淅?】（25-26高三上·山西太原·月考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，的周長(zhǎng)為6，橢圓的離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)，試判斷是否為定值？請(qǐng)說明理由．【典例2】（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，延長(zhǎng)，分別與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線的斜率為，求的值.【變式1】（25-26高二上·山東淄博·期中）已知橢圓I的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，左，右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓Γ交于M、N兩點(diǎn)，(點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方)，與y軸交于點(diǎn)E.(1)求橢圓Γ的離心率；(2)若直線l過點(diǎn)時(shí)，設(shè)求證：為定值，并求出該值；(3)當(dāng)為何值時(shí)，恒為定值，并求此時(shí)三角形面積的最大值.【變式2】（25-26高二上·湖北·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8，橢圓的離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；(3)設(shè)，試判斷是否為定值？請(qǐng)說明理由．題型九平移齊次化解｜題｜技｜巧處理斜率和、斜率積時(shí)，可以考慮用平移齊次化方法去解決?！镜淅?】（25-26高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，射線與橢圓交于點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線過點(diǎn)且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；(3)過點(diǎn)作斜率為，的兩條直線分別與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，證明：直線過定點(diǎn).【典例2】（24-25高二上·河南許昌·期末）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，且的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為，作于點(diǎn)．①證明：直線過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)；②是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式1】（24-25高三上·山西陽(yáng)泉·期末）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PB交直線于點(diǎn)T，連接AT交橢圓C于點(diǎn)Q，直線AP，AQ的斜率分別為，．（i）求證：為定值；（ii）設(shè)直線PQ：，證明：直線PQ過定點(diǎn)．【變式2】（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓，點(diǎn)P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，設(shè)D為PQ的中點(diǎn)，且D的軌跡為曲線E．(1)求曲線E的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線l與曲線E交于M、N兩點(diǎn)，已知OM，直線l，ON的斜率，k，成等比數(shù)列，記以O(shè)M，ON為直徑的圓的面積分別為，，試探究是否為定值，若是，求出此值；若不是，說明理由．題型十非對(duì)稱韋達(dá)解｜題｜技｜巧x1x2x1x2【典例1】（25-26高二上·廣東廣州·期中）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為、，左、右焦點(diǎn)分別為、．過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、，且的周長(zhǎng)為．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求四邊形面積的最大值．(3)記直線、的斜率分別為、，證明：為定值．【典例2】（24-25高二上·山東棗莊·期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的方程；(2)過作點(diǎn)直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，（i）在軸上存在一點(diǎn)，使得兩條直線恰好關(guān)于軸對(duì)稱，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）再過該點(diǎn)作軸的垂線與交于點(diǎn)，過作直線與平行，交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，求的值．【變式1】（25-26高二上·山東日照·期中）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)等于8.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率為別為，，求證：為定值.【變式2】（25-26高三上·陜西·月考）已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)距離的2倍.點(diǎn)在曲線上．(1)求的方程；(2)若直線，關(guān)于軸對(duì)稱，求直線MN的斜率的取值范圍；(3)若，直線過且直線與，交于P，Q，證明：為定值.期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1.（24-25高二上·江西上饒·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上．過點(diǎn)的直線與及圓依次相交于點(diǎn)，如圖．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：為定值；(3)過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，求與的面積之積的最小值．2.（24-25高二上·湖北武漢·期末）已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為，是橢圓左右頂點(diǎn)，過做橢圓的切線，取橢圓上軸上方任意兩點(diǎn)（在的左側(cè)），并過兩點(diǎn)分別作橢圓的切線交于點(diǎn)，直線交點(diǎn)的切線于，直線交點(diǎn)的切線于，過作的垂線交于．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，直線與的斜率分別為與，求的值；(3)求證：．3．（25-26高二上·北京·期中）已知橢圓，其離心率為，且過點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A和B，求直線HA，HB的斜率之和；(3)過點(diǎn)的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)（異于點(diǎn)H），設(shè)直線HP，HQ的斜率分別為，，證明：為定值．4．（25-26高三上·安徽·月考）已知橢圓的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為，左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，的面積為.(1)求橢圓的方程.(2)設(shè)是橢圓上異于的兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，且滿足=，求證：直線過定點(diǎn).5．（25-26高二上·浙江溫州·期中）已知拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)（在左側(cè)），給定點(diǎn)、在拋物線上．(1)用表示；(2)若，，，四點(diǎn)共圓，求實(shí)數(shù)的值；(3)在（2）的條件下，求過，，，四點(diǎn)的圓的方程．期末重難突破練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，.離心率為，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，且的最大值為3.(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P在第一象限且軸，求的角平分線所在直線的方程；(3)過右焦點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為D（異于點(diǎn)B），直線交x軸于點(diǎn)E，記與的面積分別為，.求證：為定值.2．（24-25高二下·河南南陽(yáng)·期末）已知拋物線：上一點(diǎn)到拋物線M的焦點(diǎn)的距離為2，圓E：，如圖，過E的直線與上述兩條曲線自上而下依次交于A，B，C，D四點(diǎn)，.(1)求拋物線M的方程；(2)當(dāng)，，作D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N，求證：T，A，N三點(diǎn)共線；(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，直線，分別交拋物線M于P，