1/3專(zhuān)題4.3數(shù)列求通項(xiàng)與求和方法全歸納（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律數(shù)列的常見(jiàn)遞推式求通項(xiàng)掌握幾種經(jīng)典遞推型的轉(zhuǎn)化方法（如累加、累乘、構(gòu)造法）高頻中檔考點(diǎn)，常在解答題第一問(wèn)出現(xiàn)數(shù)列求和的常用方法能根據(jù)通項(xiàng)特征選擇合適求和方法（裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減、分組求和）高頻核心考點(diǎn)，解答題重點(diǎn)考查。知識(shí)點(diǎn)01由an與Sn由題目給出an與S可以考慮退位相減，構(gòu)造Sn?1，然后根據(jù)Sn注意：構(gòu)造Sn?1后，n知識(shí)點(diǎn)02累加法求通項(xiàng)公式an+1=an+f(n)&知識(shí)點(diǎn)03累乘法求通項(xiàng)公式an+1an=f(n)型（f(n)&a知識(shí)點(diǎn)04構(gòu)造數(shù)列法求通項(xiàng)公式a目標(biāo)把a(bǔ)n+1=pan+q拆分成(an+1+A)=p(aa目標(biāo)把a(bǔ)n+1=pan+kn+b拆分成(an+1+A(n+1)+B)=p(a兩邊同時(shí)除以qn+1，得an+1q知識(shí)點(diǎn)05倒數(shù)法求通項(xiàng)公式an?1化成1an?知識(shí)點(diǎn)06遞推式求周期性數(shù)列同函數(shù)的周期性一致，數(shù)列也具有周期性。以下舉出幾個(gè)常見(jiàn)周期數(shù)列的特征。an+1=Aan+Ban+1+aa分段式數(shù)列以上幾種數(shù)列，當(dāng)覺(jué)得可能為周期數(shù)列時(shí)，可計(jì)算出幾項(xiàng)來(lái)驗(yàn)證一下周期性。知識(shí)點(diǎn)07裂項(xiàng)相消法求和對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)變換，使得裂項(xiàng)后產(chǎn)生可以連續(xù)相互抵消的項(xiàng)．抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，但是前后所剩項(xiàng)數(shù)一定相同．下面給出一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)模型。模型1：等差型（1）（2）（3）（4）對(duì)等差型的分式，例14n2?1，先對(duì)分母進(jìn)行因式分解(2n?1)(2n+1)，把目標(biāo)分解成12模型2：根式型（1）（2）（3）利用分母有有理化的方法。模型3：指數(shù)型（1）（2）方法類(lèi)似等差型。知識(shí)點(diǎn)08錯(cuò)位相減法求和等比數(shù)列的求和方法即錯(cuò)位相減法。若有差數(shù)列an,等比數(shù)列bn，對(duì)數(shù)列找出等比數(shù)列bn的公比q(q≠1,0)然后用Sn?qS知識(shí)點(diǎn)09倒序相加法求和等差數(shù)列的求和方法即倒序相加法。若數(shù)列整個(gè)順序顛倒后，同原數(shù)列放一起，每個(gè)相同序號(hào)的兩項(xiàng)的和相等，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．知識(shí)點(diǎn)10分組求和若數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．題型一由an與Sn解｜題｜技｜巧根據(jù)Sn消Sn求得a消an求得S如果題目給出的是某個(gè)有規(guī)律的數(shù)列連加時(shí)，要聯(lián)想到是S【典例1】（24-25高二上?江蘇南京?期末）已知數(shù)列滿足，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件，利用與間的關(guān)系，得到，從而有，再利用裂項(xiàng)相消法，即可求解.【詳解】因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，②，由①②得到，得到，又時(shí)，，滿足，所以，則，所以，則數(shù)列的前項(xiàng)和為，故選：D.【典例2】（24-25高二上?廣東深圳?期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意構(gòu)造得，由等比數(shù)列定義和通項(xiàng)公式可得，從而得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，而，故，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以．故選：C【變式1】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，求數(shù)列的通項(xiàng)．【答案】【分析】利用將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到與的關(guān)系式，再通過(guò)變形得到的表達(dá)式，然后利用累乘法求出的表達(dá)式，最后根據(jù)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且要單獨(dú)驗(yàn)證時(shí)的情況.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，得，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，那么，?dāng)，，當(dāng)時(shí)，，滿足，數(shù)列的通項(xiàng)為.【變式2】（多選）（24-25高二上?廣東深圳?期末）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，，則（

）A．為常數(shù)列 B．為單調(diào)遞增數(shù)列C． D．的前n項(xiàng)和恒小于1【答案】ABD【分析】由數(shù)列的遞推式和數(shù)列的通項(xiàng)與求和的關(guān)系，推得，，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析，可得結(jié)論．【詳解】由，，可得，解得，當(dāng)時(shí)，由，可得，相減可得，即，即有，即，對(duì)也成立，所以為常數(shù)列，故A正確；，為單調(diào)遞增數(shù)列，故B正確；，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；，則的前n項(xiàng)和為，故D正確．故選：題型二累加法求通項(xiàng)公式解｜題｜技｜巧根據(jù)an+1?a【典例1】（24-25高二上?安徽淮南?期末）已知數(shù)列，，對(duì)于任意正整數(shù)n，都滿足，則．【答案】/【分析】化簡(jiǎn)得，用累加法和裂項(xiàng)相消公式求出即可求解的值.【詳解】因?yàn)?，所以，則，，……，，，所以當(dāng)時(shí)，，又滿足上式，所以，所以，.故答案為：.【典例2】（24-25高二上?浙江杭州?期末）已知數(shù)列滿足，，則的最大值為（

）A．420 B．380 C．342 D．6【答案】A【分析】條件可變形為①，將代入遞推公式可得或；當(dāng)時(shí)，②.①-②化簡(jiǎn)變形可得或.當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列.由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，再利用累加法即可求解.【詳解】，①.當(dāng)時(shí)，，解得或.當(dāng)時(shí)，②.①-②得，或.當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列.要使取得最大值，則，，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得.，，，…，，以上式子相加得，.故的最大值為420.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列通項(xiàng)公式與數(shù)列求和，解題關(guān)鍵是當(dāng)時(shí)，兩條件式作差變形后可得或.對(duì)第二種情況變形后利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與累加法即可求解.【變式1】（24-25高二上?廣東廣州?期末）已知數(shù)列中，則數(shù)列通項(xiàng)公式．【答案】【分析】先將的表達(dá)式化簡(jiǎn)，再依次寫(xiě)出，，，的式子，將這些式子累加，消去中間項(xiàng)，從而得到與的關(guān)系，進(jìn)而求出.【詳解】化簡(jiǎn)的表達(dá)式：所以.利用累加法求當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；.將以上個(gè)式子累加得：已知，則：.故答案為：.【變式2】（24-25高二上?江蘇連云港?期末）已知數(shù)列滿足，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用累加法求，再求其最小值.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，，，，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足關(guān)系，所以，，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，故選：D.題型三累乘法求通項(xiàng)公式解｜題｜技｜巧根據(jù)an+1an=f(n)對(duì)左右兩邊進(jìn)行累【典例1】（24-25高二上?浙江溫州?期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，對(duì)于恒成立，則的最小值為（

）A． B．0 C．1 D．4【答案】B【分析】由累乘法求得，再結(jié)合錯(cuò)位相減求和，即可求解.【詳解】由題，，又符合上式，所以則，①，，②，由①-②，得，所以，若對(duì)于恒成立，即對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，所以，所以.故選：B【典例2】（多選）（24-25高二上?江蘇南通?期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且則（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為【答案】ABD【分析】利用給定條件求解數(shù)列單調(diào)性判斷A，利用累乘法求出數(shù)列通項(xiàng)公式判斷B，利用等差數(shù)列求和公式結(jié)合給定條件判斷C，利用裂項(xiàng)相消法求和判斷D即可.【詳解】由題意得，且，可知，則為正項(xiàng)遞增數(shù)列，得到，即，故A正確；由，則時(shí)，，又符合上式，故，當(dāng)時(shí)，，故B正確；由等差數(shù)列求和公式得，則，故C錯(cuò)誤；而，故數(shù)列的前n項(xiàng)和為，故D正確.故選：ABD【變式1】（24-25高二上?浙江衢州?期末）已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足，，則（

）A．2 B． C．2024 D．【答案】D【分析】用相減法求得的關(guān)系，用連乘法求得結(jié)論．【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減，得，所以，所以，所以，所以，因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以故選：D．【變式2】（24-25高二上?江蘇淮安?期末）數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用累乘法求出通項(xiàng)公式，再由錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】由可得，累乘可得，即，所以，也符合該式，故.所以，①，②①②可得，因此，.故選：D題型四構(gòu)造法求通項(xiàng)公式解｜題｜技｜巧構(gòu)造法求通項(xiàng)公式均可以用待定系數(shù)法，構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列，通過(guò)待定系數(shù)來(lái)拆分f(n)項(xiàng)?！镜淅?】（24-25高二上?廣西貴港?期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且的等差中項(xiàng)為），則（

）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】根據(jù)的關(guān)系，構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并確定為等差數(shù)列，最后應(yīng)用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以，又，所以，所以是等差數(shù)列.因?yàn)椋?故選：D【典例2】（25-26高二上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）已知數(shù)列中，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用條件證明數(shù)列是等差數(shù)列并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，將代入即可得解.【詳解】已知，兩邊同時(shí)除以，可得，即.又當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：A【變式1】（25-26高二上?福建莆田?月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．?dāng)?shù)列的前20項(xiàng)的和為250【答案】ACD【分析】由和的關(guān)系可得，進(jìn)而可得，將代入可得，計(jì)算可判斷ABC，求得，分和求解即可判斷D.【詳解】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足時(shí)，，，時(shí)，，由得，化簡(jiǎn)得，兩邊同除以，得，因此，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以，即，代入得對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：數(shù)列中，所以，令，得，則前項(xiàng)和需分和討論：當(dāng)時(shí)，，則前5項(xiàng)和為；當(dāng)時(shí)，，則前項(xiàng)和為：，故D正確.故選：ACD【變式2】（25-26高三上?河南新鄉(xiāng)?期中）在數(shù)列中，，，則.【答案】【分析】由已知的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列，求得該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】由，得.由，得，則，所以.所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以.所以.故答案為：.題型五倒數(shù)法求通項(xiàng)公式解｜題｜技｜巧先能識(shí)別出遞推式符合倒數(shù)成等差數(shù)列，直接除以an+1an【典例1】（24-25高二上?福建福州?期末）已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等比數(shù)列從而得，代入即可求解.【詳解】易知，從而由題意，即，也就是數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而，所以，解得.故選：A.【典例2】24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中）已知數(shù)列滿足，，若成立，則的最大值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】分析可知數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而可得，根據(jù)題意利用裂項(xiàng)相消法可得，運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，可得，可得數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，則，即，則，可得，因?yàn)?，可得，解得，即所求的最大值?.故選：B.【變式1】（25-26高二上?浙江寧波?期中）已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．的前項(xiàng)和D．的前項(xiàng)和【答案】BCD【分析】運(yùn)用構(gòu)造法求出數(shù)列的解析式后，易知其既是正項(xiàng)數(shù)列，又是遞減數(shù)列，其最大項(xiàng)為，再運(yùn)用分組求和法與裂項(xiàng)相消法分別解決選項(xiàng)C，D中的數(shù)列求和問(wèn)題.【詳解】由題可得，可構(gòu)造為，又，因此是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.，得.對(duì)于A：由的解析式，易知其為遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)楣?又因?yàn)闉檫f減數(shù)列，其最大項(xiàng)為.故B正確；對(duì)于C：，其前項(xiàng)和.故C正確；對(duì)于D：設(shè).又注意到，.因此因此的前項(xiàng)和.故D正確.故選：BCD.【變式2】（24-25高二下?河南南陽(yáng)?期中）已知數(shù)列中，，且，則．【答案】【分析】將兩邊取倒數(shù)，即可得到，從而求出的通項(xiàng)，即可得解.【詳解】由，可得，即，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以．故答案為：題型六由遞推關(guān)系求周期數(shù)列解｜題｜技｜巧周期數(shù)列的樣式可以參考前面給出的幾種形態(tài)，當(dāng)符合要求時(shí)，具體的數(shù)列周期可自行計(jì)算出?！镜淅?】（24-25高二上·福建南平·期末）已知數(shù)列滿足：，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題可先根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再找出數(shù)列的周期，最后根據(jù)周期求出的值.【詳解】解：因?yàn)榍宜裕?，，，，，所以?shù)列是周期數(shù)列，且周期為4，所以.故選：C.【典例2】（24-25高二上·河北邢臺(tái)·期末）已知數(shù)列滿足.若，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】利用和數(shù)列遞推公式，依次求出數(shù)列的項(xiàng)，得出其周期，利用周期性即可求得.【詳解】因，由依次對(duì)賦值，可得，，，，，可見(jiàn)數(shù)列的最小正周期為4，故.故選：B.【變式1】（多選）（25-26高三上·山西·月考）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)之積為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】先判斷數(shù)列是周期為的數(shù)列，從而可判斷AB的正誤，再求得，，，可判斷C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.【詳解】，所以，，所以數(shù)列是周期為的數(shù)列.由題意，，，所以，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；而，故，故B選項(xiàng)正確；所以，又為數(shù)列的前項(xiàng)之積，所以，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)閿?shù)列是周期為的數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)之積，所以，故D選項(xiàng)正確.故選：BD【變式2】（24-25高二上·廣西貴港·期末）若數(shù)列滿足，則.【答案】/0.8【分析】根據(jù)遞推式寫(xiě)出前幾項(xiàng)，得到數(shù)列的周期，利用周期性求項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是周期為4的周期數(shù)列，故.故答案為：題型七錯(cuò)位相減法求和解｜題｜技｜巧等比數(shù)列的求和方法即錯(cuò)位相減法。若有差數(shù)列an、等比數(shù)列bn【典例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由數(shù)列的通項(xiàng)與求和的關(guān)系，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得所求.（2）由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，可得，再由參數(shù)分離和不等式恒成立思想，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，可得所求取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，解得，當(dāng)時(shí)，由，可得，相減可得，對(duì)也成立，由此可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2），則兩式相減可得：,整理可得,若對(duì)任意的，恒成立,即為恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可以看出在處取得最小值，所以從后才開(kāi)始遞增，即當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的取值范圍為.【典例2】（24-25高二上·廣東清遠(yuǎn)·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，.(2).【分析】（1）把當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，代入，化簡(jiǎn)求出，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出；（2）由（1）和條件求出，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)椋瑪?shù)列是公比為3的等比數(shù)列，所以.故，.（2）由（1）可知，，，①，②由①-②得：，，∴.【變式1】（24-25高二上·甘肅甘南·期末）已知數(shù)列中，，.(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）利用已知條件轉(zhuǎn)化推出是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，然后求解通項(xiàng)公式；（2）化簡(jiǎn)，然后利用錯(cuò)位相減法求和求解即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，，又，所以，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故，所以，．（2），所以，，令，①則，②①②得：，，故，所以，．【變式2】（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）運(yùn)用關(guān)系式，得到，再用等比數(shù)列公式計(jì)算即可；（2）先求出，再用錯(cuò)位相減求和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，整理得，因此數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；由得，即，所以數(shù)列是常數(shù)列，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由（1）知，，則，于是，兩式相減得，所以.題型八分組求和法求和解｜題｜技｜巧一般分段數(shù)列、奇偶數(shù)列、絕對(duì)值數(shù)列會(huì)用到分組求和，根據(jù)規(guī)律把數(shù)列先分組，再按照其余的求和方法分別對(duì)其求和即可?！镜淅?】（24-25高二上·浙江金華·期末）已知數(shù)列滿足，且，該數(shù)列前20項(xiàng)和．【答案】1078【分析】由遞推公式得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此計(jì)算出數(shù)列的.【詳解】∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是等差數(shù)列，∴，∴.故答案為：1078.【典例2】（24-25高二上·安徽·期末）在遞增的等比數(shù)列中，，且是和的等差中項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件求出，結(jié)合可得公比，由此計(jì)算可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用分組求和法可得.【詳解】（1）∵是和的等差中項(xiàng)，∴，∵，∴，解得，故.設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得或（舍），∴，∴.（2）由（1）得，∴.【變式1】（24-25高二上·安徽六安·期末）已知數(shù)列滿足，.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）遞推關(guān)系兩邊同除以可得，兩邊同時(shí)減1，化簡(jiǎn)后利用等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式求解即可；（2）利用錯(cuò)位相減法與分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】（1）由，兩邊同除以可得，化為，又因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)以為公比的等比數(shù)列，所以，則；（2）即，設(shè)①，則②，①減②得：，所以所以.【變式2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知首項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）分析可知數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，即可得，即求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）整理可得，利用分組求和結(jié)合等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)?，可得，且，可知?shù)列是以首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，則，可得，當(dāng)時(shí)，，且符合上式，所以.（2）由（1）可知：，可得，所以.題型九倒序相加法求和解｜題｜技｜巧等差數(shù)列的求和可以用到倒序相加法，通常也會(huì)跟函數(shù)聯(lián)合在一起，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)，再來(lái)使用倒序相加的方法來(lái)求和?！镜淅?】（2025高二?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，，求的值．【答案】【分析】計(jì)算得出為常數(shù)，再運(yùn)用倒序相加法求和即可．【詳解】因?yàn)椋裕?，所以．【典?】（24-25高二下?陜西西安?月考）若等差數(shù)列滿足，則（

）A．2025 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，利用倒序相加法，可得答案.【詳解】由等差數(shù)列滿足，則對(duì)于，，當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)，則，兩式相加可得，解得.故選：B.【變式1】（24-25高二下?黑龍江哈爾濱?月考）若等差數(shù)列滿足，則（

）A．2025 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，利用倒序相加法，可得答案.【詳解】由等差數(shù)列滿足，則對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)，則，兩式相加可得，解得.故選：C.【變式2】（24-25高二下?廣東佛山?月考）已知，若等比數(shù)列滿足，則（

）A． B．1013 C．2025 D．2026【答案】D【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再計(jì)算，再利用倒序相加計(jì)算結(jié)果．【詳解】因，數(shù)列是等比數(shù)列，有，因?yàn)椋?，故有設(shè)，則，則，則.故選：D.題型十裂項(xiàng)相消法求和解｜題｜技｜巧難點(diǎn)在對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)的方法上，對(duì)常見(jiàn)的幾種裂項(xiàng)方式熟練掌握，等差分式、分母有理化、指數(shù)型這三種考察的比較多?！镜淅?】（24-25高二上·貴州畢節(jié)·期末）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用的關(guān)系式探究數(shù)列的特性，再求出其通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得，進(jìn)而證得不等式成立.【詳解】（1）數(shù)列中，由，得，兩式相減得，而，則，又，，因此，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列所以的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，，所以.【典例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知數(shù)列滿足，且，，，設(shè)．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，；(2).【分析】（1）轉(zhuǎn)化已知條件，求得，即可證明為等比數(shù)列，結(jié)合逐差法，即可求得；（2）根據(jù)（1）中所求，利用裂項(xiàng)求和法求得，再根據(jù)恒成立問(wèn)題，求得的最大值，即可求得的取值范圍.【詳解】（1），故可得，又，即，故數(shù)列為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則；故，則，即，故.（2），故的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意恒成立，則，即恒成立；令，則，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列的最大項(xiàng)為，故恒成立，也即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式1】（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)是否存在正整數(shù)m，n，（）使得成等差數(shù)列？若存在，求出，m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，，.【分析】（1）由等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式列出等式求出首項(xiàng)、公差即可；（2）由裂項(xiàng)相消法求和即可；（3）由等差中項(xiàng)列出等式求解即可.【詳解】（1）由，可得：，解得：，所以；（2）由（1）可得：，所以，所以（3）假設(shè)存在正整數(shù)m，n，（），使得成等差數(shù)列，則，即，即，取，可得：，所以存在，，.【變式2】（24-25高二上·江蘇蘇州·期末）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且且.(1)證明：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，可得，進(jìn)而兩式相減，可得，進(jìn)而可得是等比數(shù)列，可求通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法可求得，進(jìn)而可證結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可得，兩式相減并整理得，所以.又，所以，又，滿足上式，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以；（2）由（1）知=，所以.因?yàn)?，所以遞增，所以，即.期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1．（24-25高二上?浙江杭州?期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】先求，再利用與關(guān)系求出，再檢驗(yàn)是否符合即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，不符合上式，所以.故答案為：2．（24-25高二上?江蘇?期末）在數(shù)列中，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由累加法和裂項(xiàng)相消法求通項(xiàng)即可得出答案.【詳解】由可得：，．經(jīng)驗(yàn)證，也適合上式.故選：B.3．（24-25高二上?江蘇連云港?期末）已知數(shù)列中，，則.【答案】【分析】根據(jù)已知條件，利用累乘法求通項(xiàng).【詳解】，，，即，.故答案為：.4．（2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】變形給定等式，利用構(gòu)造法求出通項(xiàng)公式，再由遞增數(shù)列建立不等式求出范圍.【詳解】由數(shù)列為遞增數(shù)列，，得，由，得，即，因此，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，整理得，而，則，整理得，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：C5．（2026高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】將條件變?yōu)椋鶕?jù)等比數(shù)列的定義，可證是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，可得，變形可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義，可證是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，整理計(jì)算，即可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，即，又，所以是?為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，即，左右同除得：，所以，即，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則，所以.期末重難突破練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1．（2026高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，，，則．【答案】【分析】結(jié)合遞推公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)建一個(gè)等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出構(gòu)建的數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得解.【詳解】將兩邊同時(shí)除以，得，即．由等差數(shù)列的定義知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，故．故答案為：.2．（24-25高二上·河南洛陽(yáng)·期末）任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過(guò)8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），，當(dāng)時(shí)，（

）A．92 B．106 C．113 D．120【答案】A【分析】先根據(jù)題意得到的值，再根據(jù)數(shù)列的周期性求得，從而得解.【詳解】依題意，，故，又，所以．所以．故選：A.3．（多選）（24-25高二上?江蘇?期末）數(shù)列滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由數(shù)列各項(xiàng)不為兩邊同除以得，構(gòu)造等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)，求出相應(yīng)項(xiàng)可判斷AB；再結(jié)合不等式性質(zhì)與二項(xiàng)式定理求范圍，進(jìn)而放縮求解和的范圍判斷CD.【詳解】首先證明數(shù)列中任意一項(xiàng)不為.證明：假設(shè)數(shù)列中存在某項(xiàng)，由，得，將代入得則有，即，同理依次遞推可知，這與矛盾.故假設(shè)錯(cuò)誤，即數(shù)列中從第2項(xiàng)起均不為.又已知，故數(shù)列中任意一項(xiàng)不為，得證.由證明結(jié)論可得，由，兩邊同除以得，即，兩邊同加上整理得，，又，所以，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以.A項(xiàng)，，故A正確；B項(xiàng)，，則，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，，其中，，則，所以，故C正確；D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí).綜上，，故D正確故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造法得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再求出，再一一分析即可.4．（24-25高二上·江蘇南京·期末）已知無(wú)窮數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值集合為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，分為偶數(shù)和奇數(shù)討論，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可得，結(jié)合條件分析得解.【詳解】因?yàn)椋?dāng)為偶數(shù)時(shí)，，且時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，且時(shí)，；由對(duì)任意，，故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則實(shí)數(shù)只能為1.故選：B.5．（多選）（24-25高三上?浙江寧波?期末）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為．則（

）A．函數(shù)的對(duì)稱中心為B．函數(shù)為奇函數(shù)C．不等式的解集為D．若，，則的最小值為【答案】ACD【分析】A：計(jì)算的和是否為即可判斷；B：設(shè)，計(jì)算的和是否為即可判斷；C：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱中心即可判斷；D：利用數(shù)列求和得到，再根據(jù)基本不等式求最小值即可.【詳解】.所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，A正確；令，則，由A知，，所以.所以不是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以，，C正確；由A知，，且，，.又因?yàn)椋?時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即，，時(shí)等號(hào)成立；時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即，，時(shí)等號(hào)成立；所以若，，則的最小值為，D正確.故選：ACD.期末綜合拓展練（測(cè)試時(shí)間：15分鐘）1．（24-25高二上·江蘇蘇州·期末）已知數(shù)列和，數(shù)列的前n項(xiàng)和，（），數(shù)列滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).(3).【分析】（1）由求出數(shù)列的通項(xiàng)，再根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷