1/3專題4.3數(shù)列求通項(xiàng)與求和方法全歸納（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律數(shù)列的常見遞推式求通項(xiàng)掌握幾種經(jīng)典遞推型的轉(zhuǎn)化方法（如累加、累乘、構(gòu)造法）高頻中檔考點(diǎn)，常在解答題第一問出現(xiàn)數(shù)列求和的常用方法能根據(jù)通項(xiàng)特征選擇合適求和方法（裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減、分組求和）高頻核心考點(diǎn)，解答題重點(diǎn)考查。知識點(diǎn)01由an與Sn由題目給出an與S可以考慮退位相減，構(gòu)造Sn?1，然后根據(jù)Sn注意：構(gòu)造Sn?1后，n知識點(diǎn)02累加法求通項(xiàng)公式an+1=an+f(n)&知識點(diǎn)03累乘法求通項(xiàng)公式an+1an=f(n)型（f(n)&a知識點(diǎn)04構(gòu)造數(shù)列法求通項(xiàng)公式a目標(biāo)把a(bǔ)n+1=pan+q拆分成(an+1+A)=p(aa目標(biāo)把a(bǔ)n+1=pan+kn+b拆分成(an+1+A(n+1)+B)=p(a兩邊同時(shí)除以qn+1，得an+1q知識點(diǎn)05倒數(shù)法求通項(xiàng)公式an?1化成1an?知識點(diǎn)06遞推式求周期性數(shù)列同函數(shù)的周期性一致，數(shù)列也具有周期性。以下舉出幾個(gè)常見周期數(shù)列的特征。an+1=Aan+Ban+1+aa分段式數(shù)列以上幾種數(shù)列，當(dāng)覺得可能為周期數(shù)列時(shí)，可計(jì)算出幾項(xiàng)來驗(yàn)證一下周期性。知識點(diǎn)07裂項(xiàng)相消法求和對通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)變換，使得裂項(xiàng)后產(chǎn)生可以連續(xù)相互抵消的項(xiàng)．抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，但是前后所剩項(xiàng)數(shù)一定相同．下面給出一些常見的裂項(xiàng)模型。模型1：等差型（1）（2）（3）（4）對等差型的分式，例14n2?1，先對分母進(jìn)行因式分解(2n?1)(2n+1)，把目標(biāo)分解成12模型2：根式型（1）（2）（3）利用分母有有理化的方法。模型3：指數(shù)型（1）（2）方法類似等差型。知識點(diǎn)08錯(cuò)位相減法求和等比數(shù)列的求和方法即錯(cuò)位相減法。若有差數(shù)列an,等比數(shù)列bn，對數(shù)列找出等比數(shù)列bn的公比q(q≠1,0)然后用Sn?qS知識點(diǎn)09倒序相加法求和等差數(shù)列的求和方法即倒序相加法。若數(shù)列整個(gè)順序顛倒后，同原數(shù)列放一起，每個(gè)相同序號的兩項(xiàng)的和相等，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．知識點(diǎn)10分組求和若數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．題型一由an與Sn解｜題｜技｜巧根據(jù)Sn消Sn求得a消an求得S如果題目給出的是某個(gè)有規(guī)律的數(shù)列連加時(shí)，要聯(lián)想到是S【典例1】（24-25高二上?江蘇南京?期末）已知數(shù)列滿足，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．【典例2】（24-25高二上?廣東深圳?期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，，則（

）A． B． C． D．【變式1】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，求數(shù)列的通項(xiàng)．【變式2】（多選）（24-25高二上?廣東深圳?期末）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，，則（

）A．為常數(shù)列 B．為單調(diào)遞增數(shù)列C． D．的前n項(xiàng)和恒小于1題型二累加法求通項(xiàng)公式解｜題｜技｜巧根據(jù)an+1?a【典例1】（24-25高二上?安徽淮南?期末）已知數(shù)列，，對于任意正整數(shù)n，都滿足，則．【典例2】（24-25高二上?浙江杭州?期末）已知數(shù)列滿足，，則的最大值為（

）A．420 B．380 C．342 D．6【變式1】（24-25高二上?廣東廣州?期末）已知數(shù)列中，則數(shù)列通項(xiàng)公式．【變式2】（24-25高二上?江蘇連云港?期末）已知數(shù)列滿足，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．題型三累乘法求通項(xiàng)公式解｜題｜技｜巧根據(jù)an+1an=f(n)對左右兩邊進(jìn)行累【典例1】（24-25高二上?浙江溫州?期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，對于恒成立，則的最小值為（

）A． B．0 C．1 D．4【典例2】（多選）（24-25高二上?江蘇南通?期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且則（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為【變式1】（24-25高二上?浙江衢州?期末）已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足，，則（

）A．2 B． C．2024 D．【變式2】（24-25高二上?江蘇淮安?期末）數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．題型四構(gòu)造法求通項(xiàng)公式解｜題｜技｜巧構(gòu)造法求通項(xiàng)公式均可以用待定系數(shù)法，構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列，通過待定系數(shù)來拆分f(n)項(xiàng)。【典例1】（24-25高二上?廣西貴港?期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且的等差中項(xiàng)為），則（

）A．4 B．8 C．10 D．12【典例2】（25-26高二上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）已知數(shù)列中，，且，則（

）A． B． C． D．【變式1】（25-26高二上?福建莆田?月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．?dāng)?shù)列的前20項(xiàng)的和為250【變式2】（25-26高三上?河南新鄉(xiāng)?期中）在數(shù)列中，，，則.題型五倒數(shù)法求通項(xiàng)公式解｜題｜技｜巧先能識別出遞推式符合倒數(shù)成等差數(shù)列，直接除以an+1an【典例1】（24-25高二上?福建福州?期末）已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．【典例2】24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中）已知數(shù)列滿足，，若成立，則的最大值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【變式1】（25-26高二上?浙江寧波?期中）已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．的前項(xiàng)和D．的前項(xiàng)和【變式2】（24-25高二下?河南南陽?期中）已知數(shù)列中，，且，則．題型六由遞推關(guān)系求周期數(shù)列解｜題｜技｜巧周期數(shù)列的樣式可以參考前面給出的幾種形態(tài)，當(dāng)符合要求時(shí)，具體的數(shù)列周期可自行計(jì)算出。【典例1】（24-25高二上·福建南平·期末）已知數(shù)列滿足：，若，則（）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·河北邢臺·期末）已知數(shù)列滿足.若，則（

）A．3 B． C． D．【變式1】（多選）（25-26高三上·山西·月考）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)之積為，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高二上·廣西貴港·期末）若數(shù)列滿足，則.題型七錯(cuò)位相減法求和解｜題｜技｜巧等比數(shù)列的求和方法即錯(cuò)位相減法。若有差數(shù)列an、等比數(shù)列bn【典例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對任意的，恒成立，求的取值范圍.【典例2】（24-25高二上·廣東清遠(yuǎn)·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【變式1】（24-25高二上·甘肅甘南·期末）已知數(shù)列中，，.(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．【變式2】（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型八分組求和法求和解｜題｜技｜巧一般分段數(shù)列、奇偶數(shù)列、絕對值數(shù)列會用到分組求和，根據(jù)規(guī)律把數(shù)列先分組，再按照其余的求和方法分別對其求和即可?！镜淅?】（24-25高二上·浙江金華·期末）已知數(shù)列滿足，且，該數(shù)列前20項(xiàng)和．【典例2】（24-25高二上·安徽·期末）在遞增的等比數(shù)列中，，且是和的等差中項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式1】（24-25高二上·安徽六安·期末）已知數(shù)列滿足，.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【變式2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知首項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．題型九倒序相加法求和解｜題｜技｜巧等差數(shù)列的求和可以用到倒序相加法，通常也會跟函數(shù)聯(lián)合在一起，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)，再來使用倒序相加的方法來求和?！镜淅?】（2025高二?全國?專題練習(xí)）設(shè)，，求的值．【典例2】（24-25高二下?陜西西安?月考）若等差數(shù)列滿足，則（

）A．2025 B． C． D．【變式1】（24-25高二下?黑龍江哈爾濱?月考）若等差數(shù)列滿足，則（

）A．2025 B． C． D．【變式2】（24-25高二下?廣東佛山?月考）已知，若等比數(shù)列滿足，則（

）A． B．1013 C．2025 D．2026題型十裂項(xiàng)相消法求和解｜題｜技｜巧難點(diǎn)在對通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)的方法上，對常見的幾種裂項(xiàng)方式熟練掌握，等差分式、分母有理化、指數(shù)型這三種考察的比較多?！镜淅?】（24-25高二上·貴州畢節(jié)·期末）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【典例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知數(shù)列滿足，且，，，設(shè)．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式1】（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)是否存在正整數(shù)m，n，（）使得成等差數(shù)列？若存在，求出，m，n的值；若不存在，請說明理由．【變式2】（24-25高二上·江蘇蘇州·期末）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且且.(1)證明：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時(shí)間：10分鐘）1．（24-25高二上?浙江杭州?期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.2．（24-25高二上?江蘇?期末）在數(shù)列中，，則等于（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上?江蘇連云港?期末）已知數(shù)列中，，則.4．（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2026高三?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．期末重難突破練（測試時(shí)間：10分鐘）1．（2026高三?全國?專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，則．2．（24-25高二上·河南洛陽·期末）任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過8個(gè)步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），，當(dāng)時(shí)，（

）A．92 B．106 C．113 D．1203．（多選）（24-25高二上?江蘇?期末）數(shù)列滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·江蘇南京·期末）已知無窮數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，若對于任意，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值集合為（）A． B．C． D．5．（多選）（24-25高三上?浙江寧波?期末）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為．則（

）A．函數(shù)的對稱中心為B．函數(shù)為奇函數(shù)C．不等式的解集為D．若，，則的最小值為期末綜合拓展練（測試時(shí)間：15分鐘）1．（24-25高二上·江蘇蘇州·期末）已知數(shù)列和，數(shù)列的前n項(xiàng)和，（），數(shù)列滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若對一切恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為且(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前