2/24專題4-2等比數(shù)列性質(zhì)題型1等比數(shù)列定義判定題型9等比數(shù)列單調(diào)性題型2等比數(shù)列基本量計(jì)算題型10等比數(shù)列“平衡點(diǎn)”不等式（難點(diǎn)）題型3等差等比雙糾纏數(shù)列題型11不定比型題型4等比中項(xiàng)（?？键c(diǎn)）題型12等比數(shù)列函數(shù)性質(zhì)（難點(diǎn)）題型5構(gòu)造等比數(shù)列遞推求通項(xiàng)題型13等比數(shù)列插入數(shù)型題型6sn與an關(guān)系（重點(diǎn)）題型14等比數(shù)列壓軸第19題型（難點(diǎn)）題型7等比數(shù)列等距性（重點(diǎn)）題型8奇偶項(xiàng)和型2/24題型一、等比數(shù)列定義判定（共3小題）1．（25-26高二上·上?！て谥校?duì)于下列兩個(gè)命題真假的判斷的正確選項(xiàng)是（

）命題甲：存在某個(gè)等差數(shù)列同時(shí)含有三項(xiàng)．命題乙：存在某個(gè)等比數(shù)列同時(shí)含有三項(xiàng)．A．甲真乙假 B．甲假乙真C．甲乙都真 D．甲乙都假2．（24-25高二下·遼寧遼陽·期末）“為等比數(shù)列”是“為等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（24-25高三上·河北承德·期中）設(shè)是無窮數(shù)列，記，則“是等比數(shù)列”是“是等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件題型二、等比數(shù)列基本量計(jì)算（共3小題）4．（24-25高三上·湖北武漢·月考）已知遞減的等比數(shù)列滿足：，，，若，則數(shù)列的前12項(xiàng)和（

）A．9 B．12 C．18 D．275．（23-24高二下·浙江·期末）正項(xiàng)數(shù)列中，（為實(shí)數(shù)），若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2025·北京平谷·一模）在等比數(shù)列中，，記，則數(shù)列（

）A．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)題型三、等差等比雙糾纏數(shù)列（共3小題）7．（2025·河南·一模）數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，，，.若存在常數(shù)a，b，使得對(duì)任意的都有，則（

）A． B． C． D．8．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，，c是非零常數(shù)，若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．可能為公差不為0的等差數(shù)列B．可能為公比不為1的等比數(shù)列C．可能為公差不為0的等差數(shù)列D．可能為公比不為1的等比數(shù)列9．（23-24高三下·重慶·開學(xué)考試）已知為正實(shí)數(shù)，且這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則的值等于（

）A．6 B．8 C．10 D．12題型四、等比中項(xiàng)（共3小題）10．（24-25高三下·湖南長沙·月考）若，，，，構(gòu)成等差數(shù)列，公差，，且其中三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)，，則下列說法正確的是（

）A．k一定大于0 B．，，可能構(gòu)成等比數(shù)列C．若，，則為5的倍數(shù) D．11．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，則數(shù)列的前2025項(xiàng)和為（

）A． B． C．505 D．101312．（24-25高二下·安徽·開學(xué)考試）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，則（

）A．2024 B．2025 C． D．題型五、構(gòu)造等比數(shù)列遞推求通項(xiàng)（共3小題）13．（24-25高二下·四川廣安·月考）已知一個(gè)各項(xiàng)非零的數(shù)列滿足且且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．14．（24-25高二下·福建福州·月考）已知數(shù)列滿足，，等差數(shù)列滿足，，記集合，若集合的子集個(gè)數(shù)為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．15．（22-23高三上·河南·月考）已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．故選：C題型六、sn與an關(guān)系（（共3小題））16．（24-25高二上·江蘇蘇州·月考）已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則（

）A． B． C． D．17．（21-22高二下·重慶沙坪壩·期中）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若不等式對(duì)任意的恒成立，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．18．（2022·貴州貴陽·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和組成的數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．題型七、等比數(shù)列等距性（共3小題）19．（24-25高二下·江西撫州·期末）在等比數(shù)列中，是方程的兩根，則的值為（

）A．-4 B．-2或2 C．-2 D．220．（24-25高二上·云南文山·期末）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則等于（

）A．211 B．210 C．11 D．921．（24-25高二上·江蘇蘇州·月考）已知公比不為的等比數(shù)列中，存在，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型八、奇偶項(xiàng)和型（共3小題）22．（22-23高二上·河南周口階段練習(xí)）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為255，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為-126，末項(xiàng)是192，則首項(xiàng)A．1 B．2 C．3 D．423．（23-24高二上·重慶·期中）已知等比數(shù)列有項(xiàng)，，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則（

）A．2 B．3 C．4 D．524．（22-23高三河北階段練習(xí)）一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍，又它的首項(xiàng)為1，且中間兩項(xiàng)的和為24，則此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A．6 B．8 C．10 D．12題型九、等比數(shù)列單調(diào)性（共3小題）25．（22-23高二下·北京房山·期末）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，且，則“為遞減數(shù)列”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件26．（2024高二·全國·專題練習(xí)）等比數(shù)列滿足，公比為2，數(shù)列滿足，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．為遞增數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．中最小項(xiàng)的值為1 D．27．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知是等比數(shù)列，公比為，若存在無窮多個(gè)不同的滿足，則下列選項(xiàng)之中，不可能成立的為（

）A． B． C． D．題型十、等比數(shù)列“平衡點(diǎn)”不等式（共3小題）28．（22-23高二下·遼寧·期末）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列選項(xiàng)不正確的是（

）A．為遞減數(shù)列 B．C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．29．（22-23高三·全國·中職高考）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)的積為，并且滿足條件：，，．給出下列結(jié)論：①；②；③；④使成立的最小的自然數(shù)n等于199．其中正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④30．（24-25高二上·上海·期末）在等比數(shù)列中，公比為q，其前n項(xiàng)積為，并且滿足，，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然數(shù)n等于4046題型十一、不定比值型（（共3小題））31．（24-25高二下·山西·期中）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．32．（24-25高二上·廣西貴港·期末）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．7 B．49 C． D．4333．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．8 C．9 D．16題型十二、等比數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)（（共3小題））34．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·月考）已知首項(xiàng)為1的等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，若恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．35．（23-24高三上·四川·月考）已知數(shù)列滿足，且，若使不等式成立的有且只有三項(xiàng)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．36．（24-25高二下·上海嘉定·期末）對(duì)任意正整數(shù)n有，且為嚴(yán)格增數(shù)列的的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．無窮多題型十三、等比數(shù)列插入數(shù)型（共3小題）37．（25-26高二上·福建漳州·期中）無窮數(shù)列滿足：對(duì)于，，其中p為常數(shù)，則稱數(shù)列為P數(shù)列．若一個(gè)公比為的等比數(shù)列為“P數(shù)列”，則；若，，是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，…，則數(shù)列前30項(xiàng)的和38．（23-24全國階段練習(xí)）已知等比數(shù)列中，，在與兩項(xiàng)之間依次插入個(gè)正整數(shù)，得到數(shù)列，即．則數(shù)列的前項(xiàng)之和(用數(shù)字作答)．39．（24-25全國階段練習(xí)）在和之間插入個(gè)正數(shù)，使成等比數(shù)列，則.題型十四、等比數(shù)列壓軸第19題型（（共3大題））40．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且.若整數(shù)能被正整數(shù)整除，則稱為的一個(gè)正約數(shù).設(shè)的正約數(shù)個(gè)數(shù)為，將這個(gè)正約數(shù)從小到大排成一排，分別為，...，.(1)證明：是等比數(shù)列.(2)求的值.(3)在和之間插入個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列.當(dāng)時(shí)，求的值.41．（24-25高二下·四川綿陽·月考）正項(xiàng)數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足（，）.①試確定實(shí)數(shù)的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；②在①的結(jié)論下，若對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)2，得到一個(gè)數(shù)列．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù).42．（24-25高二上·重慶沙坪壩·期末）已知首項(xiàng)不為0的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)用含的代數(shù)式表示t，并求t的最大值；(2)若且為正項(xiàng)數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若為等比數(shù)列，試求出所有滿足條件的常數(shù)t的值．

專題4-2等比數(shù)列性質(zhì)題型1等比數(shù)列定義判定題型9等比數(shù)列單調(diào)性題型2等比數(shù)列基本量計(jì)算題型10等比數(shù)列“平衡點(diǎn)”不等式（難點(diǎn)）題型3等差等比雙糾纏數(shù)列題型11不定比型題型4等比中項(xiàng)（常考點(diǎn)）題型12等比數(shù)列函數(shù)性質(zhì)（難點(diǎn)）題型5構(gòu)造等比數(shù)列遞推求通項(xiàng)題型13等比數(shù)列插入數(shù)型題型6sn與an關(guān)系（重點(diǎn)）題型14等比數(shù)列壓軸第19題型（難點(diǎn)）題型7等比數(shù)列等距性（重點(diǎn)）題型8奇偶項(xiàng)和型2/24題型一、等比數(shù)列定義判定（共3小題）1．（25-26高二上·上?！て谥校?duì)于下列兩個(gè)命題真假的判斷的正確選項(xiàng)是（

）命題甲：存在某個(gè)等差數(shù)列同時(shí)含有三項(xiàng)．命題乙：存在某個(gè)等比數(shù)列同時(shí)含有三項(xiàng)．A．甲真乙假 B．甲假乙真C．甲乙都真 D．甲乙都假【答案】D【分析】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于命題甲：假設(shè)存在等差數(shù)列，設(shè)這三項(xiàng)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)分別為，公差為，則兩式相除得：，又為無理數(shù)，右邊，所以假設(shè)不成立，故命題甲為假命題；對(duì)于命題乙：假設(shè)存在等比數(shù)列，設(shè)這三項(xiàng)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)分別為，公比為，則，，不妨設(shè)，則，可得，，兩邊分別取以為底的對(duì)數(shù)，得，，若，則，矛盾；若，則，兩式相除得：，即，因?yàn)闉榛ゲ幌嗟鹊恼麛?shù)，所以為有理數(shù)，而為無理數(shù)，有理數(shù)不可能等于無理數(shù)，產(chǎn)生矛盾。所以假設(shè)不成立，故命題乙是假命題；故選：D2．（24-25高二下·遼寧遼陽·期末）“為等比數(shù)列”是“為等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由等比數(shù)列定義逐一分析充分性和必要性即可得解.【詳解】若為等比數(shù)列，則，所以，即一定是等比數(shù)列，故必要性成立；若為等比數(shù)列，則，所以，即不一定是等比數(shù)列，故充分性不成立．故“為等比數(shù)列”是“為等比數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B3．（24-25高三上·河北承德·期中）設(shè)是無窮數(shù)列，記，則“是等比數(shù)列”是“是等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】分別從非充分性和非必要性兩方面分析.【詳解】非充分性：若的項(xiàng)為1，1，1，1，…，則的項(xiàng)為0，0，0，0，…．此時(shí)是等比數(shù)列，但不是等比數(shù)列．非必要性：若的項(xiàng)為1，1，1，1，…，則．此時(shí)是等比數(shù)列，但是公差為1的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列．所以“是等比數(shù)列”是“是等比數(shù)列”的既不充分也不必要條件．故選：D．題型二、等比數(shù)列基本量計(jì)算（共3小題）4．（24-25高三上·湖北武漢·月考）已知遞減的等比數(shù)列滿足：，，，若，則數(shù)列的前12項(xiàng)和（

）A．9 B．12 C．18 D．27【答案】C【分析】根據(jù)條件求出等比數(shù)列的公比，由此計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)即可計(jì)算數(shù)列的前12項(xiàng)和.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，，∵，，∴，解得或，∵等比數(shù)列是遞減數(shù)列，∴.∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴.故選：C.5．（23-24高二下·浙江·期末）正項(xiàng)數(shù)列中，（為實(shí)數(shù)），若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)遞推公式，求出，然后化簡(jiǎn)，令，得到關(guān)于的一個(gè)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求其取值即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以且為等比?shù)列，公比為，因?yàn)?，所以，所以，所以令，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，化簡(jiǎn)可得，令，因?yàn)椋?，所以，所以，所以的取值范圍是．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，再利用換元法求出目標(biāo)式子的取值范圍.6．（2025·北京平谷·一模）在等比數(shù)列中，，記，則數(shù)列（

）A．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得，設(shè)，分析可得，進(jìn)而求解判斷即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，則，解得，，則，則，設(shè)，則，所以，則時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，則，則為最大項(xiàng)，此時(shí)為正數(shù)項(xiàng)，且在正數(shù)項(xiàng)中最大；再由,，，因此為最小項(xiàng).故選：C.題型三、等差等比雙糾纏數(shù)列（共3小題）7．（2025·河南·一模）數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，，，.若存在常數(shù)a，b，使得對(duì)任意的都有，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知列方程求基本量，進(jìn)而得到，，再由題設(shè)條件得求參數(shù)，即可得.【詳解】由題意得，解得，，所以，，由，即對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，所以，解得，，所以.故選：C8．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，，c是非零常數(shù)，若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．可能為公差不為0的等差數(shù)列B．可能為公比不為1的等比數(shù)列C．可能為公差不為0的等差數(shù)列D．可能為公比不為1的等比數(shù)列【答案】B【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義與性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列，若為公比為1的等比數(shù)列，則此時(shí)為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：不妨設(shè)，，則，，當(dāng)能成立時(shí)，不是等比數(shù)列；當(dāng)不能成立時(shí)，，則，因?yàn)?，若要使比值是常?shù)，則，此時(shí)，不合題意；所以不可能為公比不為1等比數(shù)列，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，同樣符合要求，此時(shí)，由選項(xiàng)A的分析知，可能為公差不為0的等差數(shù)列，即可能為公差不為0的等差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，滿足為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，此時(shí)，為公比不為1的等比數(shù)列，D選項(xiàng)正確.故選：B.9．（23-24高三下·重慶·開學(xué)考試）已知為正實(shí)數(shù)，且這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則的值等于（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】根據(jù)題意分析可知僅有或構(gòu)成等比數(shù)列，且或構(gòu)成等差數(shù)列，或或構(gòu)成等差數(shù)列，結(jié)合等差、等比中項(xiàng)列式求解即可.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，且可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，可知僅有或構(gòu)成等比數(shù)列，可得，又因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，則有：若或構(gòu)成等差數(shù)列，可得，即，解得或（舍去），可得；若或構(gòu)成等差數(shù)列，可得，即，解得或（舍去），可得；綜上所述：.故選：C.題型四、等比中項(xiàng)（共3小題）10．（24-25高三下·湖南長沙·月考）若，，，，構(gòu)成等差數(shù)列，公差，，且其中三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)，，則下列說法正確的是（

）A．k一定大于0 B．，，可能構(gòu)成等比數(shù)列C．若，，則為5的倍數(shù) D．【答案】C【分析】特殊值法判斷A，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算求解結(jié)合已知判斷B，應(yīng)用等差數(shù)列求和公式計(jì)算判斷C，D.【詳解】A.取，則，，為等比數(shù)列，，故A錯(cuò)誤.B.，與公差，矛盾，故B錯(cuò)誤.C.為5的倍數(shù)，故C正確.D.，故D錯(cuò)誤.故選：C.11．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，則數(shù)列的前2025項(xiàng)和為（

）A． B． C．505 D．1013【答案】D【分析】根據(jù)成等比數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而得到，，進(jìn)而求和即可.【詳解】設(shè)首項(xiàng)為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與成等比數(shù)列矛盾，故排除，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)令，而其前2025項(xiàng)和為，.故選：D12．（24-25高二下·安徽·開學(xué)考試）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，則（

）A．2024 B．2025 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知及等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再由即可求值.【詳解】由題意得，，則，，，，.故選：D題型五、構(gòu)造等比數(shù)列遞推求通項(xiàng)（共3小題）13．（24-25高二下·四川廣安·月考）已知一個(gè)各項(xiàng)非零的數(shù)列滿足且且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，遞推關(guān)系可化為，證明，證明數(shù)列為等比數(shù)列，由此可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再分別在，，條件下判斷函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論.【詳解】由條件可得：且，，所以，設(shè)，則，所以若，則,，與矛盾，所以，故，所以數(shù)列為以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，故，若，則，數(shù)列為遞增數(shù)列，且，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，與已知矛盾；若，則，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，且，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，故，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，令，可得，所以當(dāng)，且時(shí)，，當(dāng)，且時(shí)，，與條件矛盾，所以的取值范圍是，故選：A.14．（24-25高二下·福建福州·月考）已知數(shù)列滿足，，等差數(shù)列滿足，，記集合，若集合的子集個(gè)數(shù)為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合條件可求出，作差可知的單調(diào)性，根據(jù)集合的子集個(gè)數(shù)為，可直接得到的取值范圍．【詳解】因?yàn)?，可得，且，可知?shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，則，所以，因?yàn)榈炔顢?shù)列滿足，，則數(shù)列的公差為，所以，因?yàn)榧系淖蛹瘋€(gè)數(shù)為，則集合中有個(gè)元素，又因?yàn)?，可知?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即，且，所以滿足條件時(shí)．故選：A.15．（22-23高三上·河南·月考）已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)所給式子化簡(jiǎn)、變形，構(gòu)造新數(shù)列，通過等比數(shù)列的定義求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用累加法求出，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，由遞推知，，所以，則，有，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，所以則，所以.故選：C題型六、sn與an關(guān)系（（共3小題））16．（24-25高二上·江蘇蘇州·月考）已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)確定也是等比數(shù)列即可求解.【詳解】由，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，所以，可得：，，易知構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.故選：A.17．（21-22高二下·重慶沙坪壩·期中）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若不等式對(duì)任意的恒成立，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)作差求出，即可得到，再分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，分別求出的取值范圍，即可求出、的取值范圍，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，即，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，所以，則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，所以，因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的恒成立，所以，，所以，則，即的最小值為.故選：B18．（2022·貴州貴陽·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和組成的數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由得，即，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得答案.【詳解】，，因?yàn)椋?，可得，而，所以時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，所以.故選：A.題型七、等比數(shù)列等距性（共3小題）19．（24-25高二下·江西撫州·期末）在等比數(shù)列中，是方程的兩根，則的值為（

）A．-4 B．-2或2 C．-2 D．2【答案】C【分析】設(shè)公比為，由韋達(dá)定理得，，并判斷同為負(fù)數(shù)，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，從而得到答案.【詳解】為等比數(shù)列，設(shè)公比為，由韋達(dá)定理得，，又，故符號(hào)相同，同為負(fù)數(shù)，，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，，故.故選：C20．（24-25高二上·云南文山·期末）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則等于（

）A．211 B．210 C．11 D．9【答案】C【分析】設(shè)出等比數(shù)列的公比，利用等式求得，根據(jù)等比中項(xiàng)，可得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，即，故.故選：C.21．（24-25高二上·江蘇蘇州·月考）已知公比不為的等比數(shù)列中，存在，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由乘“1”法和均值不等式得到不能取等號(hào)，然后設(shè)，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性以及和求的結(jié)果；【詳解】由題意，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以，因?yàn)椋缘忍?hào)取不到，設(shè)，則，設(shè)函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由以上可得不成立，則2兩側(cè)滿足條件的數(shù)值有，此時(shí)，以及，此時(shí)，，，因?yàn)?，所以的最小值為，所以的最小值為，故選：B.題型八、奇偶項(xiàng)和型（共3小題）22．（22-23高二上·河南周口階段練習(xí)）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為255，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為-126，末項(xiàng)是192，則首項(xiàng)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】試題分析：設(shè)等比數(shù)列有項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，設(shè)公比為，得到奇數(shù)項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為，所以，即，可得：，解得．所以所有奇數(shù)項(xiàng)和，末項(xiàng)是，，即：，解得．是共有項(xiàng)，，解得．故選C．考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)．【思路點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì)的能力，以及會(huì)應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式；根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到奇數(shù)項(xiàng)為，求出公比，代入數(shù)據(jù)求出項(xiàng)數(shù)，然后求解首項(xiàng)．23．（23-24高二上·重慶·期中）已知等比數(shù)列有項(xiàng)，，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到奇數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為，得到等比數(shù)列的公比q的值，然后用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求出n即可．【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列有項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，設(shè)公比為，得到奇數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為，整體代入得，所以前項(xiàng)的和為，解得.故選：B24．（22-23高三河北階段練習(xí)）一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍，又它的首項(xiàng)為1，且中間兩項(xiàng)的和為24，則此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】設(shè)等比數(shù)列項(xiàng)數(shù)為2n項(xiàng),先根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)相的和求得數(shù)列的公比,可得通項(xiàng)公式，進(jìn)而根據(jù)中間兩項(xiàng)的和為24求得n.【詳解】設(shè)等比數(shù)列項(xiàng)數(shù)為2n項(xiàng),所有奇數(shù)項(xiàng)之和為,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為,則,又它的首項(xiàng)為1，所以通項(xiàng)為，中間兩項(xiàng)的和為，解得，所以項(xiàng)數(shù)為8，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)相的和求得數(shù)列的公比.題型九、等比數(shù)列單調(diào)性（共3小題）25．（22-23高二下·北京房山·期末）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，且，則“為遞減數(shù)列”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得，根據(jù)充分性、必要性定義判斷題設(shè)條件間的推出關(guān)系，即可得答案.【詳解】由題意得，且，∴.若為遞減數(shù)列，則，故，充分性成立.若，則，故，為遞減數(shù)列，必要性成立.所以“為遞減數(shù)列”是“”的充分必要條件.故選：C.26．（2024高二·全國·專題練習(xí)）等比數(shù)列滿足，公比為2，數(shù)列滿足，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．為遞增數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．中最小項(xiàng)的值為1 D．【答案】C【分析】A選項(xiàng)，計(jì)算出且，故A正確；B選項(xiàng)，計(jì)算出且公比大于1，B正確；C選項(xiàng)，在B選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到最小值；D選項(xiàng)，計(jì)算出，從而得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故.【詳解】A選項(xiàng)，由題意可知，，且公比，故為遞增數(shù)列，A正確；B選項(xiàng)，，，則為遞增數(shù)列，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，故D正確．故選：C．27．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知是等比數(shù)列，公比為，若存在無窮多個(gè)不同的滿足，則下列選項(xiàng)之中，不可能成立的為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分類討論，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)和性質(zhì)分析判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，則有：①當(dāng)，則為非零常數(shù)列，故符合題意，A可能成立；②當(dāng)，則為單調(diào)數(shù)列，故恒不成立，即且不合題意；當(dāng)時(shí)，可得，則有：①當(dāng)，若為偶數(shù)時(shí)，則；若為奇數(shù)時(shí)，則；故符合題意，B可能成立；②當(dāng)，若為偶數(shù)時(shí)，則，且，即；若為奇數(shù)時(shí)，則，且，即；故符合題意，D可能成立；③當(dāng)，若，可得，，則，可得，則，這與等比數(shù)列相矛盾，故和均不合題意，C不可能成立.故選：C.題型十、等比數(shù)列“平衡點(diǎn)”不等式（共3小題）28．（22-23高二下·遼寧·期末）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列選項(xiàng)不正確的是（

）A．為遞減數(shù)列 B．C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求得的范圍，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且，，所以，即數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，則，不滿足，舍去，所以，即數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，A說法正確；由可得，，所以，即，B說法錯(cuò)誤；因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞減，且，，所以是數(shù)列中的最大項(xiàng)，C說法正確；由等比中項(xiàng)可知，D說法正確；故選：B29．（22-23高三·全國·中職高考）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)的積為，并且滿足條件：，，．給出下列結(jié)論：①；②；③；④使成立的最小的自然數(shù)n等于199．其中正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷①；利用等比數(shù)列的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)判斷②；利用下標(biāo)和定理判斷③；利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷④，從而得出結(jié)論．【詳解】對(duì)于①：，，，，．又，，且，，故①正確；對(duì)于②：，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：，故③正確；對(duì)于④：，，故④正確．故選：D．30．（24-25高二上·上?！て谀┰诘缺葦?shù)列中，公比為q，其前n項(xiàng)積為，并且滿足，，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然數(shù)n等于4046【答案】C【分析】分析條件可得數(shù)列為遞減數(shù)列，選項(xiàng)A正確；根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得選項(xiàng)B正確；根據(jù)可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)，可得選項(xiàng)D正確.【詳解】∵，∴，∴．∵，∴，即一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，∵，∴數(shù)列為遞減數(shù)列，故，即，選項(xiàng)A正確.，選項(xiàng)B正確.，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.，，選項(xiàng)D正確.故選：C．題型十一、不定比值型（（共3小題））31．（24-25高二下·山西·期中）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以也為等比數(shù)列，則有，設(shè)，則，所以，故.故選：D.32．（24-25高二上·廣西貴港·期末）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．7 B．49 C． D．43【答案】C【分析】由等比數(shù)列的片段和性質(zhì)有，并設(shè)，結(jié)合已知求、，即可求值.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，所?故選：C33．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．8 C．9 D．16【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)，將分別用表示，代入即可求解.【詳解】因?yàn)樗裕瑒t，由等比數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，即，，即，所以.故選：B.題型十二、等比數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)（（共3小題））34．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·月考）已知首項(xiàng)為1的等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，若恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)題意得到，根據(jù)題意得到，再利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，又因?yàn)榈氖醉?xiàng)為1，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以，解得或（舍去），所以.若恒成立，所以.設(shè)，令，解得，所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù).而當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值為，所以.故選：B35．（23-24高三上·四川·月考）已知數(shù)列滿足，且，若使不等式成立的有且只有三項(xiàng)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，得到，并根據(jù)單調(diào)性得到，求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，所以，顯然也適合，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)單調(diào)遞增；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)單調(diào)遞增，要想使不等式成立的有且只有三項(xiàng)，只需有，即，解得，即的取值范圍為．故選：D．【點(diǎn)睛】數(shù)列中的奇偶項(xiàng)問題考查方向大致有：①等差，等比數(shù)列中的奇偶項(xiàng)求和問題；②數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和或積問題；③含有的問題；④通項(xiàng)公式分奇偶項(xiàng)有不同表達(dá)式問題；含三角函數(shù)問題，需要分奇偶討論，尋找奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系，分組求和，期間可能會(huì)涉及錯(cuò)位相減求和或裂項(xiàng)相消法求和36．（24-25高二下·上海嘉定·期末）對(duì)任意正整數(shù)n有，且為嚴(yán)格增數(shù)列的的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．無窮多【答案】B【分析】構(gòu)造數(shù)列可得為等比數(shù)列，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式，結(jié)合，恒成立，求解的值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以為等比?shù)列，首項(xiàng)為，公比為，所以，即，因?yàn)闉閲?yán)格遞增數(shù)列，所以，恒成立，即，恒成立，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，且當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，因?yàn)殡S的增大而減小，所以，故，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，因?yàn)殡S的增大而增大，所以，故，所以，故，所以滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B.題型十三、等比數(shù)列插入數(shù)型（共3小題）37．（25-26高二上·福建漳州·期中）無窮數(shù)列滿足：對(duì)于，，其中p為常數(shù)，則稱數(shù)列為P數(shù)列．若一個(gè)公比為的等比數(shù)列為“P數(shù)列”，則；若，，是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，…，則數(shù)列前30項(xiàng)的和【答案】1622【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出“數(shù)列”的式子，變形后得，與無關(guān)，即可求解；（2）由題意確定數(shù)列中前30項(xiàng)含有的前7項(xiàng)和數(shù)列的前23項(xiàng)，結(jié)合等差和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解．【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，則，，則，因?yàn)榕c無關(guān)，所以，即；由題意可知，，而，所以，是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，而新數(shù)列中項(xiàng)（含）前共有項(xiàng)，令，結(jié)合，解得：，故數(shù)列中前30項(xiàng)含有的前7項(xiàng)和數(shù)列的前23項(xiàng)，所以數(shù)列中前30項(xiàng)的和.故答案為：；1622．38．（23-24全國階段練習(xí)）已知等比數(shù)列中，，在與兩項(xiàng)之間依次插入個(gè)正整數(shù)，得到數(shù)列，即．則數(shù)列的前項(xiàng)之和(用數(shù)字作答)．【答案】2007050【分析】在數(shù)列中，到項(xiàng)共有項(xiàng)，即為，因此判斷出共含有的項(xiàng)數(shù)，進(jìn)而即可得出．【詳解】在數(shù)列中，到項(xiàng)共有項(xiàng)，即為．則．設(shè)等比數(shù)的公比為，由，，得，解得，因此故答案為：2007050．【點(diǎn)睛】熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及由已知判斷出共含有an的項(xiàng)數(shù)是解題的關(guān)鍵．39．（24-25全國階段練習(xí)）在和之