第二章對稱圖形—圓（壓軸卷）（滿分120分，考試時間120分鐘，共28題）注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上；2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效；3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效；4.測試范圍：對稱圖形—圓全章內(nèi)容；5.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）選擇題（8小題，每小題3分，共30分）1．（24-25八年級下·江蘇鹽城·階段練習）下列說法中，正確的是（）A．在同圓或等圓中，弦相等則所對的弧相等； B．優(yōu)弧一定比劣弧長；C．弧長相等的弧則所對的圓心角相等； D．在同圓或等圓中，圓心角相等則所對的弦相等．【答案】D【分析】本題考查圓心角，弧，弦之間的關系，解題的關鍵是掌握圓心角，弧，弦之間的關系．根據(jù)圓心角，弧，弦之間的關系一一判斷即可．【詳解】解：A.在同圓或等圓中，弦所對的弧有優(yōu)弧或劣弧，故弦相等則所對的弧相等錯誤．B.優(yōu)弧一定比劣弧長，錯誤，條件是同圓或等圓中；C.弧長相等則所對的圓心角相等，錯誤，條件是同圓或等圓中；D.在同圓或等圓中，圓心角相等則所對的弦相等，故正確；故選：D．2．（24-25九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）若的直徑為，點到圓心的距離為，那么點與的位置關系是（）A．點在圓外 B．點在圓上C．點在圓內(nèi) D．不能確定【答案】B【分析】本題考查的是點與圓的位置關系，熟知點與圓的三種位置關系是解題的關鍵．先求出的半徑，再根據(jù)點與圓的位置關系求解即可．【詳解】解：的直徑為，的半徑為，點到圓心的距離為，點在上．故選：B．3．（24-25九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，點，，在上，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，圓心角、弧、弦的關系，根據(jù)題意作出輔助線，構造出三角形是解題的關鍵．連接，先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再由圓周角定理求出的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，進而可得出結論．【詳解】解：連接，，，，，，即原圖中的度數(shù)是．故選：B．4．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習）如圖，為的直徑，點C、D在圓上，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．由圓周角定理得出、，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可解答．【詳解】解：∵為的直徑，∴，∵∴，∴．故選：A．5．（24-25九年級下·貴州銅仁·階段練習）中國扇文化有著深厚的文化底蘊，是民族文化的一個組成部分，與竹文化、道教文化有著密切關系．中國歷來有“制扇王國”之稱．如圖1，是一把打開的扇子，轉化為數(shù)學模型如圖2所示，它是以O為圓心．、長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了求扇形面積，根據(jù)扇形面積公式，求出大扇形和小扇形的面積，最后根據(jù)即可求解．解題的關鍵是掌握扇形面積公式．【詳解】解：根據(jù)題意可得：∵，，，∴，，∴，故選：C．6．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）如圖，在以點為圓心的半圓中，是直徑，，連接，交于點，連接交于點，若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，連接，證明是等腰直角三角形，得到，勾股定理得到，即可得出結論．【詳解】解：連接，如下圖，∵，∴，∵，∴，∴，∵是直徑，∴，∴，即為等腰直角三角形，∴，∴，∴．故選：D．7．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習）如圖，，與的兩邊都相切且半徑為1，Q為上一動點，以Q為圓心，長為半徑的交兩邊于E、F兩點，連接，則線段長度的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，找到線段長度的最大值的條件成為解題的關鍵．如圖：連接，由圓周角定理可得，如圖：過Q作，由垂徑定理可得、，則可得；再根據(jù)勾股定理可得，則，即當最大時，取最大值；如圖：設與的兩邊都相切于G、H，連接，再根據(jù)切線的性質(zhì)證明可得，則，進而得到當三點共線時，的最大值為，進而確定線段長度的最大值即可．【詳解】解：如圖：連接，∵在中，，∴，如圖：過Q作，∴，，∴，∴，∵，∴，解得：，∴，∴當最大時，取最大值；如圖：設與的兩邊都相切于G、H，連接，∵與的兩邊都相切且半徑為1，∴，，∵，∴，∴，∴，∴當三點共線時，的最大值為．∴取最大值為．故選D．8．（24-25九年級下·浙江杭州·階段練習）如圖，是等邊三角形，為的外接圓，點D在劣弧上，連結并在上取點E，使得，連結．若，，則的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)是等邊三角形，以及圓周角定理得出，從而證明是等邊三角形，求出，再證明，證出，過點作，算出，，連接，過點作，得出，再用勾股定理即可解答；【詳解】∵是等邊三角形，，，，∴是等邊三角形，，，，∴，，過點作，則，，，連接，過點作，則，，，解得：．故選：B．【點睛】該題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)判定，特殊直角三角形，圓周角定理，勾股定理等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點．第II卷（非選擇題）二、填空題（8小題，每小題3分，共24分）9．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·期中）在平面直角坐標系中，點，以A為圓心，4為半徑作圓，則與y軸的位置關系是．【答案】相交【分析】本題考查直線與圓的位置關系．求出圓心到y(tǒng)軸的距離，再根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關系得出答案．【詳解】解：如圖，作軸于點C，作軸于點B，∵點，∴，，∵的半徑為4，∴與y軸相交，故答案為：相交．10．（2025·江蘇南京·三模）如圖，內(nèi)接于，若，，則的半徑是．【答案】【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．先結合，，得所在的直線是的垂直平分線，則三點共線，運用垂徑定理和勾股定理列式計算，即可作答．【詳解】解：過點作，連接∵，，∴所在的直線是的垂直平分線，∴三點共線，∴，在中，，設的半徑是，則，在中，，∴，解得，故答案為：．11．（2025·江蘇宿遷·中考真題）如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了圓與正多邊形，正多邊形的內(nèi)角問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識點，熟練掌握相關計算公式是解題的關鍵．先根據(jù)正五邊形的內(nèi)角公式求出，再由等邊對等角結合三角形內(nèi)角和定理求出，最后由即可求解．【詳解】解：∵正五邊形內(nèi)接于，∴，，∴，∴，故答案為：．12．（2025·吉林·模擬預測）如圖，內(nèi)接于圓，為圓的直徑，過點的切線交的延長線于點．若，則的度數(shù)是【答案】/29度【分析】本題主要考查圓的切線性質(zhì)及圓周角定理．連接，由切線的性質(zhì)可得，再利用余角的性質(zhì)可得，然后根據(jù)圓周角定理即可求得．【詳解】解：如圖，連接，∵過點的切線交的延長線于點，∴，∴，∴，∴．故答案為：．13．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習）在中，，，以C為圓心，r為半徑作．若與邊只有一個交點，則r的取值范圍是【答案】或【分析】本題主要考查的是直線與圓的位置關系，掌握垂線段最短、直線與圓相切以及直線與圓的位置關系是解題的關鍵．作于，由勾股定理求出，由三角形的面積求出，得出以為圓心，為半徑所作圓，則此時圓與斜邊相切，只有一個交點；由，可得以為圓心，為半徑所作的圓與斜邊只有一個公共點．【詳解】解：作于，如圖所示：∵，，∴，∵的面積，∴，即圓心到的距離，∴以為圓心，為半徑所作的圓，則此時圓與斜邊相切，只有一個交點；∵，∴以為圓心，為半徑所作的圓與斜邊只有一個公共點，綜上分析可知：若與邊只有一個交點，則r的取值范圍是或．故答案為：或．14．（24-25九年級下·江蘇淮安·階段練習）已知是的直徑，點C、D在上，已知C與點A、B不重合，弧弧，直線交直線于E，若，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】本題考查垂徑定理的推論，三角形形的外角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，分為弧是劣弧或弧是優(yōu)弧，作射線交于點F，即可得到，進而求出的度數(shù)，利用三角形的外角解答即可．【詳解】解：如圖，當弧是劣弧時，連接交于點F，∵弧弧，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；如圖，當弧是優(yōu)弧時，連接并延長交于點，∵∵弧弧，∴，∵，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴；故答案為：或．15．（24-25九年級上·江蘇徐州·期末）在中直徑，，點D是弦上動點，連接，則最小值．【答案】3【分析】作，于點M，于點N，連接，則，，由垂線段最短知，，求出的長度即可．【詳解】解：如圖，作，于點M，于點N，連接，，，，又，，，由垂線段最短知，，，直徑，．，，，又，，，，最小值為3，故答案為：3．【點睛】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，垂線段的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓的基本知識，勾股定理等，將轉化成是解題的關鍵．16．（24-25九年級上·江蘇常州·期中）如圖，，半徑為3的與的兩邊相切，點P是上任意一點，過點P向的兩邊作垂線，垂足分別是E、F．設，則p的取值范圍是．【答案】【分析】利用切線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)求得，再求得，分兩種情況討論，畫出圖形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：設與兩邊的切點分別為、，連接、，延長交于點，由切線的性質(zhì)可得，，，和是等腰直角三角形，，，，，，如圖，延長交于點，同理可得，是等腰直角三角形，，，，當與相切時，有最值，連接，、都是切點，，，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，的最大值為；如圖，同理可證，，四邊形是正方形，的最值為；綜上，的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，估算無理數(shù)的大小等知識，證明，并且當與相切時，有最大或最小值是解題的關鍵．三、解答題（11小題，共82分）17．（2025九年級下·浙江·專題練習）如圖，中，，以為直徑的交邊于，于．求證：是的切線．【答案】見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)，能綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解答本題的關鍵．連接，由等邊對等角可得，可知，由，進而可推出，即可證明結論．【詳解】證明：連接，，，，，，，，，為的切線．18．（24-25九年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，是的弦，是的直徑，過點的切線交的延長線于點，若，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)等，連接，可得，得到，又由等腰三角形的性質(zhì)可得，即可由三角形外角性質(zhì)得，最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：連接，如圖，∵為的切線，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．19．（24-25九年級上·江蘇揚州·階段練習）如圖，在同一平面直角坐標系中有5個點：、、、、．(1)的外接圓圓心點的坐標______，圖中點與的位置關系是______；(2)的外接圓的半徑______，的內(nèi)切圓的半徑______．【答案】(1)，在圓上(2)，【分析】（1）分別找出與的垂直平分線，交于點，即為圓心，畫出圓，如圖所示，即可得到圓心坐標及判斷點與的位置關系；（2）先由直角三角形外接圓的圓心為斜邊中點，求出的長即可得到圓的半徑；再由等面積法即可求出內(nèi)切圓半徑．【詳解】（1）解：畫出的外接圓，如圖所示：的外接圓圓心點的坐標為；點與的位置關系是點在上；故答案為：，在圓上；（2）解：如圖所示：；的外接圓的半徑為，設的內(nèi)切圓的半徑為，圓心為，則根據(jù)內(nèi)切圓定義，由等面積法可得，，解得；故答案為：，．【點睛】本題屬于圓的綜合題，涉及三角形外接圓作法、寫出平面直角坐標系中點的坐標、點與圓的位置關系、勾股定理、三角形內(nèi)切圓定義、等面積法求內(nèi)切圓半徑、分母有理化等知識，先在平面直角坐標系中描出各點，熟記三角形外接圓、內(nèi)切圓定義及性質(zhì)，數(shù)形結合是解決本題的關鍵．20．（25-26九年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，已知．(1)利用直尺和圓規(guī)作出的內(nèi)切圓；(2)若的周長為，面積為，求它的內(nèi)切圓的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查作圖—復雜作圖、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）先分別作和的平分線，相交于點，再過點作于點，以點為圓心，的長為半徑畫圓，即可得的內(nèi)切圓．（2）設的內(nèi)切圓分別與相切于點，連接，由已知條件可得，由此可得的長，即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，先分別作和的平分線，相交于點，再過點作于點，以點為圓心，的長為半徑畫圓，則即為所求．（2）解：設的內(nèi)切圓分別與，相切于點，，連接，，，的周長為，．的面積為，，，，它的內(nèi)切圓的半徑為．21．（24-25九年級上·浙江杭州·期末）如圖，，交于點C，D，是半徑，且于點F．(1)求證：．(2)若，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)5【分析】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等,掌握定理及性質(zhì)，能用勾股定理求解是解題的關鍵．（1）由垂徑定理得，由等腰三角形的性質(zhì)得，即可求證；（2）由勾股定理得，即可求解；【詳解】（1）證明：∵，是半徑，∴，∴∴（2）解：設的半徑是，如圖，連接，∵由垂徑定理得：，∵∴∴∴的半徑是5.22．（24-25九年級上·江蘇蘇州·期末）如圖，是的直徑，C為上一點（C不與點A，B重合）連接，，過點C作，垂足為點．將沿翻折，點D落在點E處得，交于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，，求陰影部分面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查翻折的性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)和垂徑定理，熟記梯形和扇形的面積公式是解題的關鍵．（1）連接OC，求得，推出，再由平行線的性質(zhì)求出，即可得證；（2）連接，過點O作于點G，求出、、、、、的長，再根據(jù)計算即可得解．【詳解】（1）證明：連接OC，∵，∴，∵沿翻折得到，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴是的切線；（2）解：如圖，連接，過點O作于點G，∵，∴，，∵，∴，，∵，∴，∵，，，∴，，∴，∴，，∴．23．（2025·江蘇泰州·三模）如圖，點是的內(nèi)心，點是的外心．(1)請僅用沒有刻度的直尺在上一個點，使得．(2)試判斷點是圖中哪三個點構成的三角形的外心，并說明理由．（如需畫草圖，請使用圖2）【答案】(1)見解析(2)點是圖中的外心，理由見解析【分析】本題考查了三角形外心與內(nèi)心，弧與弦的關系，圓周角定理．熟記三角形外心與內(nèi)心的性質(zhì)是解題的關鍵．（1）連接，并延長交于點，連接，由三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得平分，平分，得到，根據(jù)圓周角定理可得，推出，進而求出，即可得到；（2）如圖，連接，由（1）知，圓周角定理可得，推出，進而得到點在以點D為圓心，為半徑的圓上，即是的外心．【詳解】（1）解：如圖所示，點D為所求：∵點是的外心，∴是的外接圓，∵點是的內(nèi)心，∴平分，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：點是圖中的外心，理由如下：如圖，連接，由（1）知，∴，即，∴，∴點在以點D為圓心，為半徑的圓上，即是的外心．24．（24-25九年級上·江蘇連云港·階段練習）數(shù)學小組在學完“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”這個結論后進行了如下的探究活動：(1)如圖1，點A、B、C在上，點D在外，線段與交于點E、F，試猜想_____（請?zhí)睢?gt;”、“<”或“=”），并證明你的猜想；(2)如圖2，點A、B、C在上，點D在內(nèi)，此時（1）中猜想的結論還成立嗎？若成立，請予以證明；若不成立，請寫出你的結論并予以證明；(3)如圖3，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，，求的長度．【答案】(1)＜；證明見解析(2)不成立；；證明見解析(3)【分析】（1）四邊形為圓O的內(nèi)接四邊形，則，在中，，即可求解；（2）延長交圓O于點E，則，在中，，即可求解；（3）延長交于E，求得，在和中，利用直角三角形的性質(zhì)結合勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：連接，∵四邊形為圓O的內(nèi)接四邊形，∴，在中，，∴，故答案為：；（2）解：（1）的結論不成立，，理由：延長交圓O于點E，連接，則，在中，，∴，即；（3）解：延長交于E，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，在中，，，∴，∴．【點睛】本題考查了圓的有關知識，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓內(nèi)接四邊形的對角互補等知識，理解準圓內(nèi)接四邊形的定義是本題的關鍵，添加恰當輔助線是本題的難點．25．（2024·山東濟寧·二模）【初步感知】如圖1，點A，B，P均在上，若，則銳角的大小為度；【深入探究】如圖2，小明遇到這樣一個問題：是等邊三角形的外接圓，點P在上（點P不與點A，C重合），連接．求證：；小明發(fā)現(xiàn)，延長至點E，使，連接，通過證明．可推得是等邊三角形，進而得證．請根據(jù)小明的分析思路完成證明過程．【啟發(fā)應用】如圖3，是的外接圓，，點P在上，且點P與點B在的兩側，連接，若，則的值為．【答案】【初步感知】45；【深入探究】見解析；【啟發(fā)應用】【分析】本題主要考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構造出全等三角形是解本題的關鍵．初步感知：根據(jù)圓周角定理即可得出答案；深入探究：先構造出，得出，進而得出是等邊三角形，即可得出結論；啟發(fā)應用：先構造出，進而判斷出，進而得出是等腰直角三角形，即可得出結論．【詳解】解：初步感知：∵，∴，故答案為：45；深入探究：證明：如圖，延長至點E，使，連接，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，∴為等邊三角形，∴；啟發(fā)應用：如圖，延長至點G，使，連接．∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．26．（2025·江蘇揚州·中考真題）材料的疏水性揚州寶應是荷藕之鄉(xiāng)．“微風忽起吹蓮葉，青玉盤中瀉水銀”，蓮葉上的水滴來回滾動，不易滲入蓮葉內(nèi)部，這說明蓮葉具有較強的疏水性．疏水性是指材料與水相互排斥的一種性質(zhì)．【概念理解】材料疏水性的強弱通常用接觸角的大小來描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，經(jīng)過球心的縱截面如圖1所示，接觸角是過固、液、氣三相接觸點（點或點）所作的氣?液界線的切線與固?液界線的夾角，圖1中的就是水滴的一個接觸角．（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圖2中水滴的一個接觸角，并用三個大寫字母表示接觸角；（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）（2）材料的疏水性隨著接觸角的變大而______（選填“變強”“不變”“變?nèi)酢保緦嵺`探索】實踐中，可以通過測量水滴經(jīng)過球心的高度和底面圓的半徑，求出的度數(shù)，進而求出接觸角的度數(shù)（如圖3）．（3）請?zhí)剿鲌D3中接觸角與之間的數(shù)量關系（用等式表示），并說明理由．【創(chuàng)新思考】（4）材料的疏水性除了用接觸角以及圖3中與相關的量描述外，還可以用什么量來描述，請你提出一個合理的設想，并說明疏水性隨著此量的變化而如何變化．【答案】（1）圖見解析（2）變強（3），理由見解析（4）見解析（答案不唯一）【分析】本題考查尺規(guī)作圖—復雜作圖，切線的判定和性質(zhì)，熟練掌握新定義，切線的判定和性質(zhì)，是解題的關鍵．（1）圓弧上取一點，交界面與圓弧的交點為，連接，分別作的中垂線，交于點，則點為圓弧的圓心，連接，過點作，則為圓的切線，即為所求；（2）根據(jù)題意，可知，接觸角越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強，進行作答即可；（3）連接，等邊對等角，得到，切線的性質(zhì)，結合等角的余角相等，得到，進而得到即可；（4）可以根據(jù)，進行判斷，根據(jù)越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強進行作答即可．【詳解】解：（1）①圓弧上取一點，交界面與圓弧的交點為，連接；②分別作的中垂線，交于點，則點為圓弧的圓心；③連接，過點作，則為圓的切線，故即為所求；（2）由題意和圖，可知，接觸角越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強，故材料的疏水性隨著接觸角的變大而變強；故答案為：變強；（3），理由如下：連接，則：，∴，∵為切線，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（4）∵水滴弧的長度為：，∴，∴可以根據(jù)的大小，進行判斷，越大，水滴越趨近于球形，疏水性越