2/41專(zhuān)題05概率、隨機(jī)變量及其分布與統(tǒng)計(jì)（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律1.條件概率與事件的獨(dú)立性1.知識(shí)目標(biāo)：掌握條件概率與獨(dú)立事件的定義、公式，理清二者區(qū)別與聯(lián)系.2.能力目標(biāo)：能識(shí)別情境，計(jì)算條件概率，判斷獨(dú)立性并求解復(fù)雜事件概率.3.素養(yǎng)目標(biāo)：提升邏輯推理與數(shù)學(xué)建模能力.1.題型：選擇、填空為主，偶為解答題鋪墊.2.重點(diǎn)：條件概率計(jì)算、獨(dú)立性判斷與概率計(jì)算.3.易錯(cuò)點(diǎn)：混淆條件概率與積事件概率、誤判獨(dú)立性；趨勢(shì)：貼合實(shí)際，側(cè)重概念與公式應(yīng)用.2.隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系1.知識(shí)目標(biāo)：理解隨機(jī)變量本質(zhì)，掌握分類(lèi)與事件的對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.能力目標(biāo)：能定義變量、寫(xiě)出取值與對(duì)應(yīng)事件，為分布列鋪墊.3.素養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與邏輯轉(zhuǎn)化能力.1.題型：選擇、填空小題，或解答題鋪墊.2.重點(diǎn)：變量定義、取值確定、與事件的對(duì)應(yīng)關(guān)系.3.易錯(cuò)點(diǎn)：取值遺漏、事件與變量轉(zhuǎn)化不準(zhǔn)確；趨勢(shì)：結(jié)合實(shí)際，側(cè)重本質(zhì)理解.3.離散型隨機(jī)變量的分布列1.知識(shí)目標(biāo)：掌握分布列定義、性質(zhì)與求解步驟.2.能力目標(biāo)：能獨(dú)立求解分布列，驗(yàn)證性質(zhì)并計(jì)算事件概率.3.素養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)邏輯推理、運(yùn)算求解與數(shù)據(jù)分析能力1.題型：解答題為主，偶考選擇（求參數(shù)）.2.重點(diǎn)：分布列求解、性質(zhì)應(yīng)用、事件概率計(jì)算.3.易錯(cuò)點(diǎn)：取值遺漏、概率計(jì)算錯(cuò)誤、忽略性質(zhì)驗(yàn)證；趨勢(shì)：結(jié)合實(shí)際，強(qiáng)調(diào)步驟規(guī)范4.二項(xiàng)分布與超幾何分布1.知識(shí)目標(biāo)：掌握兩種分布的定義、公式與適用場(chǎng)景，明確核心差異.2.能力目標(biāo)：能判斷模型，計(jì)算概率、寫(xiě)分布列，解決實(shí)際問(wèn)題.3.素養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模與邏輯辨析能力.1.題型：解答題為主，常與期望、方差結(jié)合；偶考選擇（模型判斷）.2.重點(diǎn)：模型判斷、概率計(jì)算、分布列求解、分布區(qū)分.3.易錯(cuò)點(diǎn)：混淆適用場(chǎng)景、參數(shù)判斷失誤、組合數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤；趨勢(shì)：結(jié)合實(shí)際，強(qiáng)調(diào)模型識(shí)別.5.隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.知識(shí)目標(biāo)：理解期望、方差含義，掌握公式、性質(zhì)與常見(jiàn)分布特征.2.能力目標(biāo)：能計(jì)算期望、方差，運(yùn)用性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算，結(jié)合實(shí)際決策.3.素養(yǎng)目標(biāo)：提升數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力1.題型：選擇、填空、解答題均有，常與分布列結(jié)合.2.重點(diǎn)：期望、方差計(jì)算與性質(zhì)應(yīng)用、決策分析.3.易錯(cuò)點(diǎn)：公式記憶錯(cuò)誤、忽略性質(zhì)條件；趨勢(shì)：結(jié)合實(shí)際，側(cè)重分析與決策.6.正態(tài)分布1.知識(shí)目標(biāo)：理解正態(tài)分布定義與參數(shù)意義，掌握曲線(xiàn)性質(zhì)、3σ原則與計(jì)算思路.2.能力目標(biāo)：能分析曲線(xiàn)特征，用對(duì)稱(chēng)性與3σ原則計(jì)算概率、判斷異常值.3.素養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理能力.4.知識(shí)目標(biāo)：理解正態(tài)分布定義與參數(shù)意義，掌握曲線(xiàn)性質(zhì)、3σ原則與計(jì)算思路.5.能力目標(biāo)：能分析曲線(xiàn)特征，用對(duì)稱(chēng)性與3σ原則計(jì)算概率、判斷異常值.6.素養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理能力1.題型：選擇、填空為主，偶為解答題小題.2.重點(diǎn)：正態(tài)曲線(xiàn)性質(zhì)、3σ原則應(yīng)用、概率計(jì)算（對(duì)稱(chēng)性）.3.易錯(cuò)點(diǎn)：混淆與的意義、3σ原則概率記憶錯(cuò)誤；趨勢(shì)：結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)，側(cè)重性質(zhì)與原則應(yīng)用.7.一元線(xiàn)性回歸模型1.知識(shí)目標(biāo)：掌握一元線(xiàn)性回歸模型的定義、核心性質(zhì)與系數(shù)計(jì)算公式.2.能力目標(biāo)：能計(jì)算回歸系數(shù)與截距，寫(xiě)出回歸方程，利用方程進(jìn)行合理預(yù)測(cè).3.素養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模能力，體會(huì)樣本估計(jì)總體思想.1.題型：解答題為主，常結(jié)合散點(diǎn)圖、數(shù)據(jù)表格考查；偶考選擇（性質(zhì)判斷）.2.重點(diǎn)：回歸系數(shù)計(jì)算、回歸方程求解、預(yù)測(cè)應(yīng)用.3.易錯(cuò)點(diǎn)：系數(shù)計(jì)算公式記憶/計(jì)算錯(cuò)誤、忽略樣本中心點(diǎn)性質(zhì)；趨勢(shì)：結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)（如經(jīng)濟(jì)、環(huán)境、教育數(shù)據(jù)），側(cè)重模型構(gòu)建與預(yù)測(cè)應(yīng)用.8.獨(dú)立性檢驗(yàn)1.知識(shí)目標(biāo)：掌握2×2列聯(lián)表結(jié)構(gòu)、卡方統(tǒng)計(jì)量公式與獨(dú)立性判斷標(biāo)準(zhǔn).2.能力目標(biāo)：能解讀列聯(lián)表，計(jì)算卡方值，完成獨(dú)立性檢驗(yàn)并得出結(jié)論.3.素養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析與邏輯推理能力，體會(huì)統(tǒng)計(jì)推斷思想.1.題型：選擇、填空或解答題小題為主，偶爾單獨(dú)成解答題.2.重點(diǎn)：列聯(lián)表解讀、卡方值計(jì)算、獨(dú)立性判斷結(jié)論表述.3.易錯(cuò)點(diǎn)：卡方公式記憶錯(cuò)誤、數(shù)據(jù)代入失誤、臨界值對(duì)應(yīng)概率混淆；趨勢(shì)：結(jié)合實(shí)際調(diào)查情境（如飲食與健康、學(xué)習(xí)方法與成績(jī)等），側(cè)重檢驗(yàn)流程與結(jié)論應(yīng)用.考點(diǎn)一：條件概率與事件的獨(dú)立性1.核心概念條件概率：事件B發(fā)生的前提下，事件A發(fā)生的概率，刻畫(huà)兩事件的關(guān)聯(lián)程度.相互獨(dú)立事件：一個(gè)事件的發(fā)生與否不影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率，是兩事件無(wú)關(guān)聯(lián)的量化描述.2.核心公式條件概率：（）獨(dú)立事件判定：獨(dú)立事件“至少一個(gè)發(fā)生”：（A、B獨(dú)立）3.易錯(cuò)點(diǎn)①誤將等同于，忽略“B發(fā)生”的前提條件；②把互斥事件當(dāng)作獨(dú)立事件判斷，互斥是，獨(dú)立是概率滿(mǎn)足乘法關(guān)系，二者無(wú)必然聯(lián)系；③多事件獨(dú)立判斷時(shí)，遺漏“任意一個(gè)子集都滿(mǎn)足獨(dú)立關(guān)系”的條件.4.常考結(jié)論①若A、B獨(dú)立，則與B、A與、與均獨(dú)立；②若，則“A、B獨(dú)立”等價(jià)于；③放回抽樣中，各次抽取事件相互獨(dú)立，不放回抽樣中，除特殊總體外，一般不獨(dú)立.考點(diǎn)二：隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系1.核心概念隨機(jī)變量：將隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果對(duì)應(yīng)到一個(gè)實(shí)數(shù)的變量，用于量化隨機(jī)現(xiàn)象.離散型隨機(jī)變量：取值可以一一列舉的隨機(jī)變量（如“摸球的個(gè)數(shù)”“命中的環(huán)數(shù)”）.2.核心關(guān)聯(lián)隨機(jī)變量與事件的轉(zhuǎn)化：若X為隨機(jī)變量，“”“”等均對(duì)應(yīng)具體隨機(jī)事件，如X表示“射擊命中環(huán)數(shù)”，則“”對(duì)應(yīng)事件“命中9環(huán)或10環(huán)”.3.易錯(cuò)點(diǎn)①定義隨機(jī)變量時(shí)遺漏部分試驗(yàn)結(jié)果，導(dǎo)致取值不完整；②無(wú)法準(zhǔn)確將文字描述的事件轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量的取值表達(dá)式（如混淆“至少2個(gè)”與“大于2個(gè)”對(duì)應(yīng)的取值范圍）.4.?？冀Y(jié)論①隨機(jī)變量的取值必須覆蓋隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；②同一隨機(jī)試驗(yàn)可定義多個(gè)隨機(jī)變量，需根據(jù)問(wèn)題需求合理選擇.考點(diǎn)三：離散型隨機(jī)變量的分布列1.核心概念離散型隨機(jī)變量的分布列：列出離散型隨機(jī)變量的所有可能取值及對(duì)應(yīng)概率的表格，完整刻畫(huà)隨機(jī)變量的取值規(guī)律.2.核心公式與性質(zhì)分布列性質(zhì)：①（所有概率非負(fù)）；②（所有概率和為1）指定事件概率：（x取a到b之間的所有可能值）3.易錯(cuò)點(diǎn)①求解分布列時(shí)遺漏隨機(jī)變量的部分取值；②計(jì)算概率后未驗(yàn)證概率和是否為1，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤；③直接用古典概型計(jì)數(shù)時(shí)，忽略“等可能”前提條件.4.?？冀Y(jié)論①利用分布列性質(zhì)可快速求解未知參數(shù)（如已知部分概率，求剩余概率）；②分布列中所有概率之和必為1，可作為結(jié)果驗(yàn)證的核心依據(jù)；③若X為離散型隨機(jī)變量，則.考點(diǎn)四：二項(xiàng)分布1.核心概念二項(xiàng)分布：n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)X服從的分布，記為，其中n為試驗(yàn)次數(shù)，p為每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率（）.核心特征：①每次試驗(yàn)只有兩種對(duì)立結(jié)果（A發(fā)生或不發(fā)生）；②每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率p恒定；③各次試驗(yàn)相互獨(dú)立；④試驗(yàn)?zāi)康氖墙y(tǒng)計(jì)n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù).2.核心公式概率公式：（），其中為從n個(gè)元素中取k個(gè)的組合數(shù)，.數(shù)字特征公式：期望；方差；標(biāo)準(zhǔn)差.3.易錯(cuò)點(diǎn)①誤將非獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)判定為二項(xiàng)分布（如不放回抽樣且總體有限時(shí)，不滿(mǎn)足獨(dú)立性，不可用二項(xiàng)分布）；②混淆參數(shù)n和p的含義（將“發(fā)生次數(shù)”當(dāng)作n，或“概率”當(dāng)作p的補(bǔ)集）；③組合數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤（如遺漏，或誤將寫(xiě)成）；④忽略k的取值范圍（k需從0到n的整數(shù)，不可取小數(shù)或超出范圍的整數(shù)）.4.常考結(jié)論①若，則，且，；②當(dāng)n很大、p很小時(shí)（通常，），二項(xiàng)分布可近似為泊松分布；③多個(gè)相互獨(dú)立的二項(xiàng)分布變量之和仍為二項(xiàng)分布（若，，且獨(dú)立，則）.考點(diǎn)五：超幾何分布1.核心概念超幾何分布：從含有M個(gè)特殊元素（記為“成功”元素）的N個(gè)總體元素中，無(wú)放回地抽取n個(gè)元素，抽到的特殊元素個(gè)數(shù)X服從的分布，記為，其中N為總體容量，M為總體中特殊元素個(gè)數(shù)，n為抽取樣本量.核心特征：①抽樣方式為無(wú)放回；②總體容量N有限；③各次抽樣不獨(dú)立（前次抽樣結(jié)果影響后次概率）；④試驗(yàn)?zāi)康氖墙y(tǒng)計(jì)樣本中特殊元素的個(gè)數(shù).2.核心公式概率公式：（），其中為從M個(gè)特殊元素中取k個(gè)的組合數(shù)，為從個(gè)非特殊元素中取個(gè)的組合數(shù)，為從N個(gè)總體元素中取n個(gè)的組合數(shù).數(shù)字特征公式：期望；方差.3.易錯(cuò)點(diǎn)①混淆超幾何分布與二項(xiàng)分布的適用場(chǎng)景（將無(wú)放回抽樣誤判為二項(xiàng)分布，僅當(dāng)（通常）時(shí)，可近似為二項(xiàng)分布）；②參數(shù)N、M、n取值錯(cuò)誤（如將樣本量當(dāng)作N，或特殊元素個(gè)數(shù)當(dāng)作n）；③忽略k的取值上限（k最大為，不可超過(guò)M或n）；④組合數(shù)分子分母混淆（誤將寫(xiě)在分子，或遺漏）.4.?？冀Y(jié)論①超幾何分布的期望與二項(xiàng)分布期望形式一致（），當(dāng)時(shí)，，超幾何分布的方差趨近于二項(xiàng)分布的方差；②當(dāng)時(shí)，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布，簡(jiǎn)化概率計(jì)算；③若，則先隨k增大而增大，達(dá)到最大值后隨k增大而減小.考點(diǎn)六：隨機(jī)變量的數(shù)字特征（期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差）1.核心概念期望（均值）：隨機(jī)變量X取值的平均水平，反映X取值的中心位置，記為或.方差：隨機(jī)變量X取值偏離其期望的程度，衡量取值的離散性，記為或；方差越小，取值越穩(wěn)定.標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根，記為或，其單位與隨機(jī)變量X的單位一致，更直觀(guān)反映離散程度.2.核心公式離散型隨機(jī)變量通用公式：①期望（為X的可能取值，為對(duì)應(yīng)概率，）；②方差，也可簡(jiǎn)化為（其中）.性質(zhì)公式：①期望性質(zhì)：（c為常數(shù)）；（a、b為常數(shù)）；（無(wú)論X、Y是否獨(dú)立）；若X、Y獨(dú)立，則；②方差性質(zhì)：（c為常數(shù)）；（a、b為常數(shù)）；若X、Y獨(dú)立，則；，當(dāng)且僅當(dāng)X為常數(shù)時(shí).常見(jiàn)分布數(shù)字特征：①二項(xiàng)分布：，；②超幾何分布：，.3.易錯(cuò)點(diǎn)①方差公式記憶錯(cuò)誤（誤寫(xiě)成，遺漏平方項(xiàng)）；②誤用方差性質(zhì)（將算成，忽略常數(shù)項(xiàng)方差為0且系數(shù)需平方）；③混淆期望與方差的意義（用期望判斷穩(wěn)定性，用方差判斷平均水平）；④計(jì)算時(shí)誤寫(xiě)成，導(dǎo)致方差計(jì)算錯(cuò)誤；⑤忽略“X、Y獨(dú)立”前提，直接使用或.4.常考結(jié)論①若兩個(gè)隨機(jī)變量期望相同，方差越小，取值越穩(wěn)定，實(shí)際決策中更優(yōu)；②常數(shù)的期望等于其本身，方差為0；③若，則當(dāng)時(shí)，方差最大，最大值為；④對(duì)于任意隨機(jī)變量X，恒成立，可簡(jiǎn)化方差計(jì)算.考點(diǎn)七：正態(tài)分布1.核心概念正態(tài)分布：連續(xù)型隨機(jī)變量的常見(jiàn)分布，記為，其中為均值（期望），決定正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；為標(biāo)準(zhǔn)差（），決定曲線(xiàn)“胖瘦”（越小，曲線(xiàn)越瘦高，取值越集中；越大，曲線(xiàn)越矮胖，取值越分散）.正態(tài)曲線(xiàn)：刻畫(huà)正態(tài)分布的光滑曲線(xiàn)，滿(mǎn)足“中間高、兩邊低、關(guān)于對(duì)稱(chēng)”的特征，曲線(xiàn)與x軸圍成的面積為1（對(duì)應(yīng)概率和為1）.2.核心公式與性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性性質(zhì)：①；②（）；③.3σ原則：①；②；③.標(biāo)準(zhǔn)化變換：若，則令，可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（均值為0，方差為1）.3.易錯(cuò)點(diǎn)①混淆與的意義（誤將當(dāng)作對(duì)稱(chēng)軸，或當(dāng)作離散程度參數(shù)）；②3σ原則概率值記憶錯(cuò)誤（如將記為0.6827）；③誤將連續(xù)型隨機(jī)變量單點(diǎn)概率當(dāng)作非零值（連續(xù)型隨機(jī)變量單點(diǎn)概率為0，僅需計(jì)算區(qū)間概率）；④未利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算，導(dǎo)致區(qū)間概率求解復(fù)雜.4.?？冀Y(jié)論①非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布需先標(biāo)準(zhǔn)化為再計(jì)算概率；②落在外的事件為小概率事件（概率約0.0027），可視為異常值；③若、且獨(dú)立，則（線(xiàn)性組合仍為正態(tài)分布）；④正態(tài)曲線(xiàn)在處取得最大值.考點(diǎn)八：一元線(xiàn)性回歸模型1.核心概念一元線(xiàn)性回歸模型：描述自變量x與因變量y線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)模型，表達(dá)式為，其中為y的預(yù)測(cè)值，為回歸系數(shù)（斜率），表示x每變化1個(gè)單位時(shí)y的平均變化量；為截距，表示x=0時(shí)y的預(yù)測(cè)值.樣本中心點(diǎn)：，其中、，回歸直線(xiàn)必過(guò)樣本中心點(diǎn)（核心性質(zhì)）.線(xiàn)性相關(guān)方向：為正相關(guān)（x增大，y平均增大）；為負(fù)相關(guān)（x增大，y平均減?。?2.核心公式回歸系數(shù)與截距：①；②（利用樣本中心點(diǎn)性質(zhì)）.預(yù)測(cè)公式：已知時(shí)，y的預(yù)測(cè)值.3.易錯(cuò)點(diǎn)①回歸系數(shù)公式記憶錯(cuò)誤（混淆分子分母，或遺漏n）；②計(jì)算、出錯(cuò)，導(dǎo)致、偏差；③誤將回歸關(guān)系當(dāng)作因果關(guān)系（僅為統(tǒng)計(jì)相關(guān)，非因果）；④顛倒x與y的位置，導(dǎo)致回歸系數(shù)意義錯(cuò)誤；⑤用回歸方程外推超出樣本x取值范圍的預(yù)測(cè)值（可靠性低）.4.?？冀Y(jié)論①回歸直線(xiàn)必過(guò)樣本中心點(diǎn)，可用于驗(yàn)證回歸方程正確性；②的符號(hào)反映相關(guān)方向，絕對(duì)值越大（相同單位下）線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)；③所有樣本點(diǎn)都在回歸直線(xiàn)上時(shí)，為完全線(xiàn)性相關(guān)，預(yù)測(cè)值與實(shí)際值相等；④回歸方程僅適用于樣本x的取值范圍，外推需謹(jǐn)慎.考點(diǎn)九：獨(dú)立性檢驗(yàn)1.核心概念獨(dú)立性檢驗(yàn)：判斷兩個(gè)分類(lèi)變量（如“性別”與“是否喜歡運(yùn)動(dòng)”）之間是否存在關(guān)聯(lián)的統(tǒng)計(jì)方法，核心是通過(guò)卡方統(tǒng)計(jì)量衡量觀(guān)測(cè)值與期望值的差異程度.2×2列聯(lián)表：整理兩個(gè)分類(lèi)變量數(shù)據(jù)的表格（a、b、c、d為觀(guān)測(cè)頻數(shù)）：列聯(lián)表：整理兩個(gè)分類(lèi)變量數(shù)據(jù)的表格（、、、為觀(guān)測(cè)頻數(shù)）： ，其中n為總樣本量.卡方統(tǒng)計(jì)量（）：值越大，兩個(gè)變量存在關(guān)聯(lián)的可能性越大.2.核心公式卡方統(tǒng)計(jì)量：（n為總樣本量，a、b、c、d為列聯(lián)表觀(guān)測(cè)頻數(shù)）.判斷標(biāo)準(zhǔn)：①：有95%把握認(rèn)為兩變量有關(guān)聯(lián)（犯錯(cuò)誤概率≤0.05）；②：有99%把握認(rèn)為兩變量有關(guān)聯(lián)（犯錯(cuò)誤概率≤0.01）；③：無(wú)足夠把握認(rèn)為兩變量有關(guān)聯(lián).3.易錯(cuò)點(diǎn)①卡方公式記憶錯(cuò)誤（漏乘n，或誤將寫(xiě)成ad-bc）；②混淆列聯(lián)表中a、b、c、d、、、的位置；③誤將“關(guān)聯(lián)”當(dāng)作“因果關(guān)系”；④臨界值對(duì)應(yīng)概率記憶錯(cuò)誤（如將對(duì)應(yīng)0.05）；⑤樣本量過(guò)小（檢驗(yàn)可靠性低）.4.?？冀Y(jié)論①值越大，兩變量關(guān)聯(lián)可能性越大；②檢驗(yàn)前提是樣本具有隨機(jī)性和代表性；③變量獨(dú)立時(shí)，值趨近于0；④列聯(lián)表期望值，本質(zhì)是.題型一條件概率與事件的獨(dú)立性解｜題｜技｜巧1.選擇題（?？迹簵l件概率計(jì)算、獨(dú)立事件概率判斷）答題模板：步驟1：明確題型考點(diǎn)（判斷是條件概率還是獨(dú)立事件相關(guān)問(wèn)題）；步驟2：回憶對(duì)應(yīng)公式（條件概率：（）；獨(dú)立事件判定：，“至少一個(gè)發(fā)生”概率：）；步驟3：提取題干中已知概率數(shù)據(jù)（如、、等）；步驟4：代入公式計(jì)算，結(jié)合選項(xiàng)得出答案.2.填空題（常考：獨(dú)立事件“至少一個(gè)發(fā)生”概率計(jì)算）答題模板：步驟1：判斷事件獨(dú)立性（題干明確“獨(dú)立”或“相互獨(dú)立”）；步驟2：確定對(duì)立事件（“至少一個(gè)發(fā)生”的對(duì)立事件是“全部不發(fā)生”）；步驟3：計(jì)算單個(gè)事件不發(fā)生的概率（，）；步驟4：利用獨(dú)立事件概率性質(zhì)計(jì)算對(duì)立事件概率，再用對(duì)立事件概率得出結(jié)果.3.解答題（?？迹喝怕使健⒇惾~斯公式應(yīng)用）答題模板：步驟1：明確題型考點(diǎn)（判斷是全概率公式應(yīng)用還是貝葉斯公式應(yīng)用，全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率，貝葉斯公式用于求后驗(yàn)概率）；步驟2：梳理已知條件，確定樣本空間的劃分（設(shè)是樣本空間的一個(gè)劃分，滿(mǎn)足（），，且）；步驟3：代入對(duì)應(yīng)公式計(jì)算：（1）全概率公式：，依次代入和的值，計(jì)算求和結(jié)果；（2）貝葉斯公式：，先通過(guò)全概率公式求出，再代入和的值計(jì)算；【典例1】【多選題】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·期中）甲、乙兩個(gè)口袋各裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，把從甲、乙兩個(gè)口袋中各任取一個(gè)球放入對(duì)方口袋中稱(chēng)為一次操作，重復(fù)n次操作后，甲口袋中恰有0個(gè)紅球，1個(gè)紅球，2個(gè)紅球分別記為事件，，，則（

）A． B．C． D．【典例2】（25-26高三上·四川瀘州·開(kāi)學(xué)考試）有兩枚硬幣A，B．假設(shè)拋硬幣時(shí)所得的結(jié)果只能為正面向上的一種，拋硬幣A正面向上的概率為，拋硬幣B正面向上的概率為p.現(xiàn)在先從兩枚硬幣中隨機(jī)選中一枚，然后拋擲若干次.(1)若，求拋一次硬幣，正面向上的概率.(2)若，在已知拋了一次硬幣，正面向上的條件下，求再拋一次硬幣得正面向上的概率.(3)如果當(dāng)連續(xù)拋硬幣k次（，）全為正面向上的前提下，可以做出論斷“選中的是B硬幣”，犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)，則k的最小值為多少？[提示：用表示不小于x的最小整數(shù).）【變式1】【多選題】（2025高三上·江蘇南通·專(zhuān)題練習(xí)）隨機(jī)事件A，B滿(mǎn)足其中和分別指事件A和B的概率，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．C．事件A與B不獨(dú)立 D．【變式2】【多選題】（24-25高二下·湖北黃岡·月考）甲、乙兩個(gè)口袋各裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，把從甲、乙兩個(gè)口袋中各任取一個(gè)球放入對(duì)方口袋中稱(chēng)為一次操作，重復(fù)次操作后，甲口袋中恰有0個(gè)紅球，1個(gè)紅球，2個(gè)紅球分別記為事件，，，則（

）A． B．C． D．【變式3】（24-25高二下·湖北省直轄縣級(jí)單位·期末）已知一批產(chǎn)品是由甲、乙、丙三名工人生產(chǎn)的，三人生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的，.已知三人生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為.(1)現(xiàn)從這批產(chǎn)品中按等比例分層抽樣抽出10件產(chǎn)品，再?gòu)倪@10件產(chǎn)品中不放回地任取兩件進(jìn)行檢測(cè)，記事件“第一次取出的產(chǎn)品是乙生產(chǎn)的”，“第二次抽出的產(chǎn)品是甲生產(chǎn)的產(chǎn)品”，分別求；(2)現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品，已知它是次品，求這件產(chǎn)品是由丙生產(chǎn)的概率.題型二隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系答｜題｜模｜板1.填空題（?？迹弘S機(jī)變量與事件的轉(zhuǎn)化、對(duì)立事件概率關(guān)系）答題模板：步驟1：明確隨機(jī)變量的定義（厘清隨機(jī)變量所表示的實(shí)際意義，如“紅球個(gè)數(shù)”“次品個(gè)數(shù)”）；步驟2：實(shí)現(xiàn)隨機(jī)變量與事件的轉(zhuǎn)化（將“”“”“”等轉(zhuǎn)化為具體文字描述的事件，如“”對(duì)應(yīng)“至少1個(gè)紅球”）；步驟3：判斷概率關(guān)系（利用對(duì)立事件性質(zhì)：，）；步驟3：判斷概率關(guān)系（利用對(duì)立事件性質(zhì)：，）；步驟4：規(guī)范書(shū)寫(xiě)轉(zhuǎn)化后的事件及概率關(guān)系.【典例1】（24-25高二下·河北邢臺(tái)·月考）下列是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．種子含水量的測(cè)量誤差B．某品牌電視機(jī)的使用壽命C．某網(wǎng)頁(yè)在24小時(shí)內(nèi)被瀏覽的次數(shù)D．測(cè)量某一零件的長(zhǎng)度產(chǎn)生的測(cè)量誤差【典例2】（24-25高二下·河南鄭州·期末）某人進(jìn)行投籃訓(xùn)練，最多投籃4次，命中一次就停止投籃，記投籃次數(shù)為，則表示的試驗(yàn)結(jié)果是（

）A．第2次投籃命中 B．第3次投籃未命中C．前3次投籃均未命中 D．前2次投籃均未命中，第3次投籃命中【變式1】【多選題】（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．某座大橋一天經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)B．某無(wú)線(xiàn)電尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)C．一天之內(nèi)的溫度D．一位射擊手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，用表示該射擊手在一次射擊中的得分【變式2】【多選題】（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）將一個(gè)骰子擲兩次，能作為隨機(jī)變量的是（

）A．兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和 B．兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)C．第一次與第二次擲出的點(diǎn)數(shù)之差 D．兩次擲出的點(diǎn)數(shù)【變式3】（24-25高二·全國(guó)·課堂例題）下面給出三個(gè)隨機(jī)變量：①某地110報(bào)警臺(tái)1分鐘內(nèi)接到的求救電話(huà)的次數(shù)；②某森林樹(shù)木的高度在（單位：）這一范圍內(nèi)變化，測(cè)得某一樹(shù)木的高度；③某人射擊2次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)之和．其中離散型隨機(jī)變量有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)題型三離散型隨機(jī)變量的分布列答｜題｜模｜板1.解答題（常考：分布列性質(zhì)應(yīng)用、指定事件概率計(jì)算）答題模板：步驟1：利用分布列性質(zhì)求未知參數(shù)（若分布列含未知量，根據(jù)“所有概率和為1”列方程求解，注意驗(yàn)證概率非負(fù)）；步驟2：計(jì)算指定區(qū)間的概率（若求，累加對(duì)應(yīng)的概率；若求或，優(yōu)先用對(duì)立事件或計(jì)算，簡(jiǎn)化運(yùn)算）；步驟2：計(jì)算指定區(qū)間的概率（若求，累加對(duì)應(yīng)的概率；若求或，優(yōu)先用對(duì)立事件或計(jì)算，簡(jiǎn)化運(yùn)算）；步驟3：規(guī)范書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程，明確各步驟依據(jù)（如“由分布列性質(zhì)可知”“根據(jù)對(duì)立事件概率公式”）.【典例1】（25-26高三上·山西大同·月考）已知隨機(jī)變量，均服從兩點(diǎn)分布，且，，若，則（

）A． B． C． D．【典例2】（25-26高二上·廣東佛山·月考）甲、乙是兩名射擊運(yùn)動(dòng)員，根據(jù)歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，甲一次射擊命中10、9、8環(huán)的概率分別為、、，乙一次射擊命中10、9環(huán)的概率分別為、．一輪射擊中，甲、乙各射擊一次．甲、乙射擊相互獨(dú)立，每次射擊也互不影響．(1)在一輪射擊中，求甲命中的環(huán)數(shù)不高于乙命中的環(huán)數(shù)的概率；(2)記一輪射擊中，甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和為，求的值，和X對(duì)應(yīng)的概率；【變式1】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）人工智能（ArtificialIntelligence），英文縮寫(xiě)為AI，是新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的重要驅(qū)動(dòng)力量，是研究?開(kāi)發(fā)用于模擬?延伸和擴(kuò)展人的智能的理論?方法?技術(shù)及應(yīng)用系統(tǒng)的一門(mén)新的技術(shù)科學(xué).如今利用“人工智能”的場(chǎng)景屢見(jiàn)不鮮，從幫助記憶單詞?解答難題?到人機(jī)比賽，它的身影無(wú)處不在.小明和智能機(jī)器人進(jìn)行一場(chǎng)“網(wǎng)球”比賽，規(guī)則為：比賽采用三局兩勝制（率先獲得兩局比賽勝利者獲得最終的勝利，且比賽結(jié)束），已知小明第一局獲勝的概率為.從第二局開(kāi)始，如果上一局獲勝，則本局獲勝的概率為；如果上一局失敗，則本局獲勝的概率為，每局比賽均沒(méi)有平局.(1)求小明以獲得比賽勝利的概率；(2)在小明以獲得比賽勝利的條件下，求在第二局比賽中小明獲勝的概率；(3)記整場(chǎng)比賽小明的獲勝局?jǐn)?shù)為，求的分布列.【變式2】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）一個(gè)不透明的口袋中裝有3個(gè)紅球?3個(gè)黃球和2個(gè)白球，這些球除顏色外其他完全相同，現(xiàn)從這個(gè)口袋中一次性地摸出3個(gè)球.(1)求摸出的白球個(gè)數(shù)比黃球個(gè)數(shù)多的概率；(2)記摸出的球的顏色種類(lèi)為，求的分布列.【變式3】（25-26高三上·廣東深圳·開(kāi)學(xué)考試）已知隨機(jī)變量均服從兩點(diǎn)分布，且，若，則（

）A． B． C． D．題型四二項(xiàng)分布答｜題｜模｜板1.解答題（常考：二項(xiàng)分布分布列求解、指定事件概率計(jì)算、期望與方差計(jì)算）答題模板：步驟1：判斷分布類(lèi)型（明確試驗(yàn)滿(mǎn)足“n次獨(dú)立重復(fù)、每次兩結(jié)果、概率恒定”，確定，標(biāo)注n、p的值）；步驟2：求分布列（根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式（），依次計(jì)算k取不同值時(shí)的概率，整理成表格形式）；步驟2：求分布列（根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式（），依次計(jì)算k取不同值時(shí)的概率，整理成表格形式）；步驟3：計(jì)算指定事件概率（如“不少于k次”即累加到的概率，可結(jié)合對(duì)立事件簡(jiǎn)化計(jì)算）；步驟4：求期望與方差（直接代入二項(xiàng)分布專(zhuān)用公式：，，，無(wú)需重復(fù)推導(dǎo)）；步驟5：規(guī)范書(shū)寫(xiě)，標(biāo)注分布類(lèi)型、公式依據(jù)及計(jì)算過(guò)程.【典例1】（25-26高二上·遼寧·期末）某企業(yè)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級(jí)，升級(jí)后的設(shè)備控制系統(tǒng)由個(gè)相同的元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨(dú)立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于個(gè)元件正常工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正常運(yùn)行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率，表示控制系統(tǒng)由5個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率）.(1)若，當(dāng)時(shí)，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求；(2)已知設(shè)備升級(jí)前，單位時(shí)間的產(chǎn)量為件，每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為元，設(shè)備升級(jí)后，在正常運(yùn)行狀態(tài)下，單位時(shí)間的產(chǎn)量是原來(lái)的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件高端產(chǎn)品的利潤(rùn)是2元.記設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)為（單位：元）.（i）請(qǐng)用表示；（ii）設(shè)備升級(jí)后，已知該企業(yè)現(xiàn)有控制系統(tǒng)中有5個(gè)元件，若增加2個(gè)元件，則單位時(shí)間內(nèi)的利潤(rùn)是否提高.【典例2】（25-26高三上·貴州貴陽(yáng)·期中）2025年9月，全國(guó)“城超”足球比賽在貴陽(yáng)舉辦，比賽期間還開(kāi)展文旅會(huì)客廳、特色市集等活動(dòng).其旨為響應(yīng)國(guó)家全民健身戰(zhàn)略，契合城市發(fā)展，展現(xiàn)貴陽(yáng)魅力，實(shí)現(xiàn)“體育+文旅”多元共贏.為了增進(jìn)省外觀(guān)眾對(duì)貴州文化的了解，從參加配套文旅活動(dòng)的省外觀(guān)眾中，隨機(jī)抽取150人，開(kāi)展貴州文旅知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)，該活動(dòng)共有，，三道試題，全部答完后，至少答對(duì)2道試題，則可獲得獎(jiǎng)勵(lì)總決賽門(mén)票一張.假設(shè)每人答對(duì)這3道試題的概率分別為，，，且每人答對(duì)各道試題與否互不影響.(1)求觀(guān)眾甲通過(guò)文旅知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)獲得總決賽門(mén)票的概率；(2)設(shè)通過(guò)文旅知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)獲得總決賽門(mén)票有個(gè)人的概率為，求取得最大值時(shí)的值.【變式1】（25-26高三上·寧夏固原·開(kāi)學(xué)考試）甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，據(jù)以往的訓(xùn)練數(shù)據(jù)可知，甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，各次投籃互不影響．現(xiàn)甲、乙兩人開(kāi)展多輪次的定點(diǎn)投籃活動(dòng)，每輪次各投2個(gè)球，每投進(jìn)一個(gè)球記1分，不投進(jìn)記分．(1)求甲在一個(gè)輪次投籃結(jié)束后的得分不大于0的概率；(2)記甲、乙每輪次投籃得分之和為X．①求；②若，則稱(chēng)該輪次為一個(gè)“成功輪次”．在連續(xù)輪次的投籃活動(dòng)中，記“成功輪次”的數(shù)量為Y，當(dāng)n為何值時(shí)，的值最大？【變式2】（25-26高三上·云南·期中）有一個(gè)翻牌游戲，規(guī)則如下：每一輪翻牌兩次，每次翻出花色牌的概率為，且每次翻牌相互獨(dú)立.若參與者在一輪翻牌游戲中，翻出的花色牌數(shù)不少于1，則獲得一份精美禮品（多次參與可獲得多份精美禮品）.(1)若甲參與一輪翻牌游戲，求甲獲得一份精美禮品的概率；(2)若乙參與三輪翻牌游戲，設(shè)乙獲得的精美禮品數(shù)量為，求的分布列與期望.【變式3】（24-25高二下·福建泉州·期末）如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為．若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)經(jīng)過(guò)5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于的位置，則．

題型五超幾何分布答｜題｜模｜板1.填空題（?？迹撼瑤缀畏植寂袛?、指定概率計(jì)算）答題模板：步驟1：判斷分布類(lèi)型（明確試驗(yàn)為“無(wú)放回抽樣、總體有限”，確定，標(biāo)注N（總體容量）、M（特殊元素個(gè)數(shù)）、n（抽樣個(gè)數(shù)））；步驟2：計(jì)算指定概率（代入超幾何分布概率公式，注意k的取值范圍為）；步驟2：計(jì)算指定概率（代入超幾何分布概率公式，注意k的取值范圍為）；步驟3：規(guī)范書(shū)寫(xiě)分布類(lèi)型（含參數(shù)）及概率結(jié)果.2.解答題（常考：超幾何分布取值范圍、概率計(jì)算、期望求解）答題模板：步驟1：確定隨機(jī)變量取值（根據(jù)和，列出X的所有可能取值）；步驟1：確定隨機(jī)變量取值（根據(jù)和，列出X的所有可能取值）；步驟2：計(jì)算指定概率（代入超幾何概率公式，準(zhǔn)確計(jì)算組合數(shù)，可簡(jiǎn)化分式后再運(yùn)算）；步驟3：求期望（代入超幾何分布期望公式，直接計(jì)算，無(wú)需重復(fù)推導(dǎo)）；步驟4：規(guī)范書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程，明確分布判斷依據(jù)和公式應(yīng)用.【典例1】（25-26高三上·山東濰坊·月考）某地區(qū)從高一年級(jí)的物理測(cè)試中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的物理成績(jī)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)估計(jì)該地區(qū)本次物理測(cè)試的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；(2)該地區(qū)某學(xué)校建議此次物理測(cè)試成績(jī)?cè)诒镜貐^(qū)前60%的學(xué)生選科報(bào)物理方向，試估計(jì)報(bào)物理方向的學(xué)生本次成績(jī)不低于多少分？（結(jié)果保留整數(shù)）(3)從成績(jī)位于區(qū)間和的答卷中，采用分層抽樣隨機(jī)抽取7份，再?gòu)倪@7份中隨機(jī)抽取3份，設(shè)成績(jī)?cè)诘拇鹁矸輸?shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【典例2】（24-25高二下·福建福州·期末）“英才計(jì)劃”最早開(kāi)始于2013年，由中國(guó)科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對(duì)象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)科夏令營(yíng)活動(dòng)．(1)若參加數(shù)學(xué)學(xué)科夏令營(yíng)的7名中學(xué)生中恰有3人來(lái)自中學(xué)，從這7名中學(xué)生中選取3名中學(xué)生，求選取的中學(xué)生中來(lái)自中學(xué)的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)在夏令營(yíng)活動(dòng)中，物理學(xué)科舉行了一次學(xué)科知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競(jìng)答中，每人分別答兩題，若小組答對(duì)題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利．已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對(duì)每道題的概率分別為，．假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，且互不影響．（i）求甲、乙兩位同學(xué)所在組每輪答題中取勝的概率；（ii）當(dāng)時(shí)，求的最大值．【變式1】（22-23高三上·海南·月考）全國(guó)中學(xué)生生物學(xué)競(jìng)賽隆重舉行．為做好考試的評(píng)價(jià)工作，將本次成績(jī)轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)這50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)赱70，80)，[80，90)，[90，100]的三組中抽取了11人，再?gòu)倪@11人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中成績(jī)?cè)赱80，90)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；【變式2】（24-25高一下·上海·期末）圖為某平臺(tái)向100名觀(guān)眾征集某電影的評(píng)分結(jié)果的頻率分布直方圖．(1)求的值；(2)估計(jì)這100名觀(guān)眾評(píng)分的平均數(shù)；(3)從評(píng)分在和的觀(guān)眾中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪(fǎng)談，求被抽到的3人中評(píng)分在的人數(shù)的分布、期望和方差．【變式3】【多選題】（24-25高二下·河南商丘·月考）袋中有8個(gè)大小相同的球，其中3個(gè)黑球、5個(gè)白球.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，記這4個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，則（

）A．隨機(jī)變量服從超幾何分布B．C．D．記這4個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)為，則題型六隨機(jī)變量的數(shù)字特征（期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差）答｜題｜模｜板1.選擇題（?？迹弘x散型隨機(jī)變量期望、方差計(jì)算）答題模板：步驟1：提取分布列數(shù)據(jù)（明確隨機(jī)變量的所有可能取值及對(duì)應(yīng)概率）；步驟1：提取分布列數(shù)據(jù)（明確隨機(jī)變量的所有可能取值及對(duì)應(yīng)概率）；步驟2：計(jì)算期望（代入通用公式，依次計(jì)算并求和）；步驟2：計(jì)算期望（代入通用公式，依次計(jì)算并求和）；步驟3：計(jì)算方差（代入通用公式，或簡(jiǎn)化公式，優(yōu)先選簡(jiǎn)化公式減少運(yùn)算量）；步驟3：計(jì)算方差（代入通用公式，或簡(jiǎn)化公式，優(yōu)先選簡(jiǎn)化公式減少運(yùn)算量）；步驟4：對(duì)比選項(xiàng)，得出答案.2.解答題（?？迹豪闷谕?、方差性質(zhì)計(jì)算）答題模板：步驟1：明確已知分布類(lèi)型（如二項(xiàng)分布），求原隨機(jī)變量的期望和方差和方差（直接用對(duì)應(yīng)分布的專(zhuān)用公式）；步驟2：回憶期望、方差性質(zhì)（，，常數(shù)的期望為自身、方差為0）；步驟2：回憶期望、方差性質(zhì)（，，常數(shù)的期望為自身、方差為0）；步驟3：代入性質(zhì)公式計(jì)算目標(biāo)隨機(jī)變量（如）的和；步驟3：代入性質(zhì)公式計(jì)算目標(biāo)隨機(jī)變量（如）的和；步驟4：規(guī)范書(shū)寫(xiě)，標(biāo)注公式依據(jù)（如“由期望性質(zhì)可知”“由二項(xiàng)分布期望公式可得”）.【典例1】（2026高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）某學(xué)校擬建立一座教學(xué)樓，采取競(jìng)標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過(guò)層層篩選，甲、乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo)．現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請(qǐng)專(zhuān)家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案：兩家公司從6個(gè)招標(biāo)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題，已知這6個(gè)招標(biāo)問(wèn)題中，甲公司能正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為，甲、乙兩家公司對(duì)每題的回答都是相互獨(dú)立，互不影響的．分別求甲、乙兩家公司答對(duì)題數(shù)的分布列，請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大？【典例2】【多選題】（25-26高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】（23-24高三上·北京海淀·期末）甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，共比賽10場(chǎng)，規(guī)定每場(chǎng)比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計(jì)如下：場(chǎng)次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911(1)從上述10場(chǎng)比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，求甲獲勝的概率；(2)在上述10場(chǎng)比賽中，從甲得分不低于10分的場(chǎng)次中隨機(jī)選擇兩場(chǎng)，設(shè)X表示乙得分大于丙得分的場(chǎng)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每場(chǎng)比賽獲勝者唯一，且各場(chǎng)相互獨(dú)立，用上述10場(chǎng)比賽中每人獲勝的頻率估計(jì)其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來(lái)將進(jìn)行6場(chǎng)投籃比賽，設(shè)為甲獲勝的場(chǎng)數(shù)，為乙獲勝的場(chǎng)數(shù)，為丙獲勝的場(chǎng)數(shù)，直接寫(xiě)出方差，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【變式2】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）變量的分布列如下：01其中，若，則的值是．【變式3】【多選題】（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（多選）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝制度，規(guī)定每局比賽都沒(méi)有平局（必須分出勝負(fù)），且每一局甲贏的概率都是，隨機(jī)變量表示最終的比賽局?jǐn)?shù)，若，則下列結(jié)論可能正確的是（

）A． B． C． D．題型七正態(tài)分布答｜題｜模｜板1.選擇題（常考：正態(tài)分布對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用、概率計(jì)算）答題模板：步驟1：明確正態(tài)分布參數(shù)（由，確定對(duì)稱(chēng)軸，記?。?；步驟1：明確正態(tài)分布參數(shù)（由，確定對(duì)稱(chēng)軸，記?。?；步驟2：利用對(duì)稱(chēng)性轉(zhuǎn)化區(qū)間（如，）；步驟2：利用對(duì)稱(chēng)性轉(zhuǎn)化區(qū)間（如，）；步驟3：結(jié)合已知概率計(jì)算目標(biāo)概率（如）；步驟3：結(jié)合已知概率計(jì)算目標(biāo)概率（如）；步驟4：對(duì)比選項(xiàng)，得出答案.2.解答題（常考：正態(tài)分布參數(shù)識(shí)別、3σ原則應(yīng)用、概率計(jì)算）答題模板：步驟1：識(shí)別和（由直接得出，）；步驟1：識(shí)別和（由直接得出，）；步驟2：應(yīng)用3σ原則（明確、等區(qū)間，直接套用已知概率值：，）；步驟2：應(yīng)用3σ原則（明確、等區(qū)間，直接套用已知概率值：，）；步驟3：計(jì)算特殊區(qū)間概率（如“超過(guò)”，利用對(duì)稱(chēng)性和3σ原則，）；步驟3：計(jì)算特殊區(qū)間概率（如“超過(guò)”，利用對(duì)稱(chēng)性和3σ原則，）；步驟4：規(guī)范書(shū)寫(xiě)，標(biāo)注參數(shù)含義和3σ原則依據(jù).【典例1】（2026高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大B．越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C．越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．越小，該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等【典例2】（25-26高三上·湖南·期中）已知隨機(jī)變量，設(shè)函數(shù).若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1】（25-26高三上·湖北黃岡·期中）已知隨機(jī)變量，，且，若，則（

）A．0.09 B．0.82 C．0.91 D．0.21【變式2】（25-26高三上·湖南長(zhǎng)沙·月考）某高中學(xué)校計(jì)劃通過(guò)體質(zhì)測(cè)試，了解學(xué)生體質(zhì)健康水平．規(guī)定按照成績(jī)由高到低，前的學(xué)生測(cè)試成績(jī)記為“優(yōu)秀”．為了了解本次體質(zhì)測(cè)試情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（單位：分，得分取正整數(shù)，）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將成績(jī)進(jìn)行整理后，分為六組（如圖）：(1)求的值并估計(jì)記為“優(yōu)秀”的最低分?jǐn)?shù)；(2)如果用按比例分層抽樣的方法從樣本成績(jī)?yōu)楹偷膶W(xué)生中共抽取8人，再?gòu)?人中選4人，記4人中成績(jī)不合格（成績(jī)低于60分）的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列與期望；(3)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，高中生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得．體質(zhì)監(jiān)測(cè)中心計(jì)劃從全市抽取名高中生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)試，記這名高中生的體質(zhì)測(cè)試成績(jī)恰好落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若，則．【變式3】【多選題】（2025·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）已知某精密儀器測(cè)量金屬薄片的誤差服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取10個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)，設(shè)為這10個(gè)數(shù)據(jù)誤差在之外的個(gè)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（已知若隨機(jī)變量，則）（

）A． B．C． D．題型八一元線(xiàn)性回歸模型答｜題｜模｜板1.解答題（常考：樣本中心點(diǎn)計(jì)算、回歸直線(xiàn)方程求解、預(yù)測(cè)應(yīng)用）答題模板：步驟1：計(jì)算樣本中心點(diǎn)（代入均值公式：，，準(zhǔn)確計(jì)算求和結(jié)果）；步驟1：計(jì)算樣本中心點(diǎn)（代入均值公式：，，準(zhǔn)確計(jì)算求和結(jié)果）；步驟2：求解回歸系數(shù)和截距（代入回歸系數(shù)公式，或簡(jiǎn)化公式；再由計(jì)算截距）；步驟2：求解回歸系數(shù)和截距（代入回歸系數(shù)公式，或簡(jiǎn)化公式；再由計(jì)算截距）；步驟3：寫(xiě)出回歸直線(xiàn)方程（規(guī)范表示為）；步驟3：寫(xiě)出回歸直線(xiàn)方程（規(guī)范表示為）；步驟4：進(jìn)行預(yù)測(cè)（將目標(biāo)代入回歸方程，計(jì)算，并說(shuō)明預(yù)測(cè)意義）；步驟5：規(guī)范書(shū)寫(xiě)，標(biāo)注公式依據(jù)，保留適當(dāng)計(jì)算精度.【典例1】（2026高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)某農(nóng)業(yè)大學(xué)植物研究所相關(guān)人員為了解仙人掌的植株高度(單位：)，與其根莖長(zhǎng)度(單位：)之間是否存在線(xiàn)性相關(guān)的關(guān)系，通過(guò)采樣和數(shù)據(jù)記錄得到如下數(shù)據(jù)：樣本編號(hào)1234根莖長(zhǎng)度10121416植株高度6286112132參考數(shù)據(jù)：，，.(1)由上表數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)，并說(shuō)明是否可用線(xiàn)性回歸模型擬合與的關(guān)系(若，則可用線(xiàn)性回歸模型擬合，計(jì)算結(jié)果精確到0.001)；(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式，相關(guān)系數(shù)r的公式分別為，【典例2】【多選題】（25-26高三上·福建福州·月考）某社會(huì)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了某市四所大學(xué)年畢業(yè)生人數(shù)及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)如表：A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)D大學(xué)畢業(yè)生人數(shù)x（千人）345m自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)y（千人）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得到自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)關(guān)于畢業(yè)生人數(shù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A．y與x正相關(guān)B．C．當(dāng)時(shí)，殘差為D．樣本的相關(guān)系數(shù)r為負(fù)數(shù)【變式1】（2025·廣西來(lái)賓·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)代物流成為繼勞動(dòng)力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤(rùn)的重要因素.某企業(yè)去年前八個(gè)月的物流成本（單位：萬(wàn)元）和企業(yè)利潤(rùn)的數(shù)據(jù)（單位：萬(wàn)元）如下表所示：月份12345678物流成本8383.58086.58984.57986.5利潤(rùn)114116106122132114132殘差0.20.61.8-3-1-4.6根據(jù)最小二乘法公式求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.(1)求的值，并利用已知的經(jīng)驗(yàn)回歸方程求出8月份對(duì)應(yīng)的殘差值；(2)請(qǐng)先求出線(xiàn)性回歸模型的決定系數(shù)（精確到0.0001），若根據(jù)非線(xiàn)性模型求得解釋變量（物流成本）對(duì)于響應(yīng)變量（利潤(rùn)）的決定系數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明以上兩種模型哪種模型擬合效果更好.參考公式及數(shù)據(jù)：，，.【變式2】（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）有一種速度叫中國(guó)速度，有一種驕傲叫中國(guó)高鐵.高鐵可以說(shuō)是中國(guó)的一張行走的名片.截至2020年，中國(guó)高鐵運(yùn)營(yíng)里程已經(jīng)達(dá)到3.9萬(wàn)千米.2013年至2020年中國(guó)高鐵每年的運(yùn)營(yíng)里程統(tǒng)計(jì)如下表，它反映了中國(guó)高鐵的飛速發(fā)展.年份20132014201520162017201820192020年份代碼x12345678運(yùn)營(yíng)里程y/萬(wàn)千米1.31.61.92.22.52.93.53.9根據(jù)以上數(shù)據(jù)，回答下面的問(wèn)題.(1)甲同學(xué)用曲線(xiàn)來(lái)擬合，并算出相關(guān)系數(shù)；乙同學(xué)用曲線(xiàn)來(lái)擬合，并算出轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性回歸方程所對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù).請(qǐng)判斷哪一個(gè)更適合作為y關(guān)于x的回歸方程類(lèi)型，并說(shuō)明理由.(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程.（系數(shù)精確到0.1）(3)請(qǐng)你利用得到的模型，預(yù)測(cè)2030年中國(guó)高鐵的運(yùn)營(yíng)里程將達(dá)到多少萬(wàn)千米.參考公式：用最小二乘法求線(xiàn)性回歸方程的系數(shù)，公式為；參考數(shù)據(jù)：，令，.【變式3】【多選題】（24-25高二下·山東棗莊·期末）某地新開(kāi)了一條夜市街，每晚最多能接納10萬(wàn)人.主辦公司計(jì)劃通過(guò)廣告宣傳提高客流量.通過(guò)調(diào)研，發(fā)現(xiàn)投入的廣告費(fèi)x與每晚客流量y存在如下關(guān)系：x/萬(wàn)元12345y/千人568.1914.5附，，，，令，，，.現(xiàn)用曲線(xiàn)擬合變量x與y的相關(guān)關(guān)系，并利用一元線(xiàn)性回歸模型求參數(shù)，的最小二乘估計(jì)，依所求回歸方程C為預(yù)測(cè)依據(jù)，則（

）A．曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．C．若投入廣告費(fèi)9萬(wàn)元，則每晚客流量會(huì)超過(guò)夜市接納能力D．廣告費(fèi)每增加1萬(wàn)元，每晚客流量增加3000人題型九獨(dú)立性檢驗(yàn)答｜題｜模｜板1.解答題（?？迹嚎ǚ浇y(tǒng)計(jì)量計(jì)算、獨(dú)立性判斷）答題模板：步驟1：整理2×2列聯(lián)表數(shù)據(jù)（明確a、b、c、d的取值，a為第一行第一列數(shù)據(jù)，b為第一行第二列，c為第二行第一列，d為第二行第二列，計(jì)算總樣本量n）；步驟2：計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量（代入公式，分步計(jì)算分子和分母各因式，再求比值）；步驟2：計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量（代入公式，分步計(jì)算分子和分母各因式，再求比值）；步驟3：進(jìn)行獨(dú)立性判斷（對(duì)比計(jì)算結(jié)果與臨界值，如“若，則有95%的把握認(rèn)為兩變量有關(guān)聯(lián)；否則無(wú)足夠把握”）；步驟4：規(guī)范書(shū)寫(xiě)，標(biāo)注列聯(lián)表數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系、公式依據(jù)，明確判斷結(jié)論.【典例1】（25-26高三上·河北·期中）某公司想了解員工對(duì)薪資的滿(mǎn)意度情況，對(duì)該公司的100名員工進(jìn)行薪資滿(mǎn)意度調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表所示：入職年限對(duì)薪資滿(mǎn)意度情況合計(jì)滿(mǎn)意不滿(mǎn)意入職年限不少于2年202040入職年限少于2年402060合計(jì)6040100(1)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該公司員工對(duì)薪資的滿(mǎn)意度是否與入職年限有關(guān)；(2)從樣本中對(duì)薪資滿(mǎn)意的員工中隨機(jī)抽取2人，求這2人的入職年限都少于2年的概率.附0.10.050.012.7063.8416.635【典例2】（25-26高三上·湖北武漢·月考）某種疾病分為甲、乙兩種類(lèi)型，為研究該疾病的類(lèi)型與患者性別是否有關(guān)，隨機(jī)抽取了名患者進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別疾病類(lèi)型合計(jì)甲型病乙型病男女合計(jì)(1)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，得出了“所患疾病的類(lèi)型與性別有關(guān)”的結(jié)論，求的最小值；(2)現(xiàn)對(duì)部分人群接種預(yù)防甲型疾病的疫苗，要求每人至多安排2個(gè)周期接種疫苗，每人每周期必須接種3次，每次接種后，產(chǎn)生抗體的概率為0.8．如果一個(gè)周期內(nèi)至少2次產(chǎn)生抗體，那么該周期結(jié)束后終止接種，否則進(jìn)入第二個(gè)周期．已知每人每周期接種費(fèi)用為30元，試估計(jì)1000人接種疫苗總費(fèi)用的期望．附，0.010.0050.0016.6357.87910.828【變式1】（25-26高三上·河南鄭州·期中）已知某市組建了一支300人的志愿者隊(duì)伍，并由其中200人組成“志愿模范隊(duì)”．經(jīng)過(guò)一年的實(shí)踐，全隊(duì)共有200人的周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)，其中有150人來(lái)自“志愿模范隊(duì)”，如下表所示．是“志愿模范隊(duì)”成員不是“志愿模范隊(duì)”成員總計(jì)周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)150200周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)2小時(shí)總計(jì)200300(1)請(qǐng)完成2×2列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答：根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“是“志愿模范隊(duì)”成員”與“周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)”有關(guān)系？(2)由于該市志愿者工作成效優(yōu)異，現(xiàn)向全省推廣該市經(jīng)驗(yàn)，在全省每個(gè)市縣都成立志愿者隊(duì)伍，請(qǐng)以該市志愿者隊(duì)伍的樣本頻率作為概率的值，在全省的志愿者隊(duì)伍中任選3人，記周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)且不是“志愿模范隊(duì)”成員的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附錄：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【變式2】【多選題】（2026高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）針對(duì)時(shí)下的“抖音熱”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（

）附表：附：A．人 B．人 C．人 D．人【變式3】（24-25高二下·上?！て谀┽槍?duì)“中學(xué)生追星問(wèn)題”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查．在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取（是正整數(shù)）個(gè)學(xué)生，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的，若根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷中學(xué)生追星與性別有關(guān)，則男生至少有人．參考數(shù)據(jù)及公式如下：0.0500.0100.0013.8416.63510.828參考公式：，其中．期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：30分鐘）1．（24-25高二下·湖南衡陽(yáng)·期末）一個(gè)體育隊(duì)有4名女運(yùn)動(dòng)員和3名男運(yùn)動(dòng)員，現(xiàn)從隊(duì)伍抽樣尿檢，每次從中抽選1個(gè)運(yùn)動(dòng)員，抽出的運(yùn)動(dòng)員不再檢查，則在第1次抽到女運(yùn)動(dòng)員的條件下，第2次抽到男運(yùn)動(dòng)員的概率為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·四川綿陽(yáng)·期末）現(xiàn)有3箱酸奶，里面都裝有水果味和原味兩種口味，第一箱內(nèi)裝有10袋，其中有2袋是水果味；第二箱內(nèi)裝有15袋，其中有3袋是水果味；第三箱內(nèi)裝有20袋，其中有5袋是水果味．現(xiàn)從三箱中任意選擇一箱，然后從該箱中隨機(jī)取1袋酸奶．取出的酸奶是水果味的概率為．3．（24-25高二下·甘肅臨夏·期末）已知事件滿(mǎn)足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若互斥，則B．若，則C．若與相互獨(dú)立，則D．若，則與相互獨(dú)立4．（22-23高二下·河南周口·期中）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)；②一個(gè)沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置；③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警電話(huà)次數(shù)；④某同學(xué)上學(xué)路上離開(kāi)家的距離．其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．【多選題】（24-25高二下·廣東江門(mén)·期末）已知離數(shù)型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：X012P下列說(shuō)法正確的是（）A． B． C． D．6．（24-25高二下·廣東廣州·期末）如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)O處出發(fā)，每隔1秒等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)5次，則質(zhì)點(diǎn)位于的位置的概率為（

）

A． B． C． D．7．（24-25高二下·廣東肇慶·期末）某同學(xué)參加招聘考試，筆試部分有三個(gè)題目，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)他答對(duì)每一題的概率均為，至少答對(duì)兩題才能進(jìn)入面試，則該同學(xué)能進(jìn)入面試的概率為（

）A． B． C． D．8．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下，若，則＝（

）X－10a2PbA． B．1 C． D．9．（24-25高二下·四川綿陽(yáng)·期末）一批產(chǎn)品根據(jù)質(zhì)量指標(biāo)分為正品和次品，且次品率為，隨機(jī)抽取1件，定義則隨機(jī)變量的方差（

）A． B． C． D．10．（24-25高二下·廣東江門(mén)·期末）從2016年1月1日起全國(guó)統(tǒng)一實(shí)施全面兩孩政策，為了解適齡民眾對(duì)放開(kāi)生二孩政策的態(tài)度，某市選取80后作為調(diào)查對(duì)象，隨機(jī)調(diào)查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.(1)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記打算生二胎的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若以這10人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該市的總體數(shù)據(jù)，且以頻率作為概率，從該市80后中隨機(jī)抽取3人，記打算生二胎的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，方差.11．【多選題】（24-25高二下·江蘇南京·期末）下列命題中，真命題有（）A．?dāng)?shù)據(jù)6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位數(shù)是8.5B．若隨機(jī)變量，則C．已知兩個(gè)變量具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線(xiàn)方程為；若，則；D．若，則12．（24-25高二下·吉林·期末）某廠(chǎng)進(jìn)行技術(shù)改造后，生產(chǎn)產(chǎn)品過(guò)程中記錄的時(shí)間x（單位：天）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（單位：噸）的幾組數(shù)據(jù)，如下表所示.若y與x線(xiàn)性相關(guān)，且線(xiàn)性回歸方程為，則下列說(shuō)法不正確的是（

）時(shí)間x12345生產(chǎn)能耗y/噸54.543.52.5A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x負(fù)相關(guān) B．線(xiàn)性回歸方程中C．當(dāng)時(shí)，殘差為- D．可以預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)能耗約為2.2噸13．（24-25高二下·湖北孝感·期末）為研究某新藥的療效，給100名患者服用此藥，跟蹤調(diào)查后得如表所示的數(shù)據(jù):單位:名性別療效合計(jì)無(wú)效有效男性患者153550女性患者64450合計(jì)2179100α0.1000.0500.0102.7063.8416.635設(shè):服用此藥的效果與患者的性別無(wú)關(guān)，（小數(shù)點(diǎn)后保留3位有效數(shù)字），從而得出結(jié)論:服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，這種判斷出錯(cuò)的概率不大于.14．（24-25高二下·江西·期末）某飲品店統(tǒng)計(jì)了一天營(yíng)業(yè)時(shí)間（單位：小時(shí)）與飲品銷(xiāo)量（單位：杯）的數(shù)據(jù)如下表：營(yíng)業(yè)時(shí)間12345飲品銷(xiāo)量1736567799已知與線(xiàn)性相關(guān)．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求飲品銷(xiāo)量關(guān)于營(yíng)業(yè)時(shí)間的回歸直線(xiàn)方程；(2)若平均一杯飲品的純利潤(rùn)為5元，某日該飲品店計(jì)劃早上9點(diǎn)開(kāi)始營(yíng)業(yè)，晚上9點(diǎn)結(jié)束營(yíng)業(yè)，中間不休息，試預(yù)測(cè)當(dāng)日飲品的總利潤(rùn)能否超過(guò)1000元？參考公式：回歸直線(xiàn)方程中，，．期末重難突破練（測(cè)試時(shí)間：100分鐘）一、單選題1．（24-25高二下·山東威海·期末）已知隨機(jī)事件A，B滿(mǎn)足，，，則（

）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.82．（24-25高二下·云南曲靖·期末）某社區(qū)開(kāi)展防疫值班工作，甲乙丙三人輪流參與，規(guī)則如下：①第1天安排甲值班；②第2天從乙丙兩人中隨機(jī)選1人值班；③第天，從前一天未值班的2人中隨機(jī)選1人值班，則第天甲值班的概率為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·廣東廣州·期末）已知連續(xù)型隨機(jī)變量，記函數(shù)，則的圖象（

）A．關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)二、多選題4．（24-25高二下·重慶沙坪壩·期末）擲2次質(zhì)地均勻的骰子，記事件為“兩次擲出的數(shù)字相同”，事件為“兩次擲出的數(shù)字不同”，事件為“兩次擲出的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件為“兩次擲出的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．和互斥 B．和獨(dú)立 C． D．5．（24-25高二下·福建漳州·期末）甲箱中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有3個(gè)白球和2個(gè)黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，以，分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以B表示從乙箱中取出的是白球，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．6．（24-25高二下·福建福州·期末）一口袋中有除顏色外完全相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中無(wú)放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，記事件：第一次取出的是紅球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個(gè)紅球，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．事件，為對(duì)立事件 B．C．事件B，C為獨(dú)立事件 D．7．（24-25高二下·山西·期末）如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)0出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，設(shè)經(jīng)過(guò)6次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于的位置，記其概率為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題8．（24-25高二下·福建漳州·期末）一個(gè)書(shū)包中有標(biāo)號(hào)為“”的張卡片．一個(gè)人每次從中拿出一張卡片，并且不放回；如果他拿出一張與已拿出的卡片中有相同標(biāo)號(hào)的卡片，則他將兩張卡片都扔掉；如果他手中有3張單張卡片或者書(shū)包中卡片全部被拿走，則操作結(jié)束，記書(shū)包中卡片全部被拿走的概率為，則；．9．（24-25高一下·江西宜春·期末）某校元旦晚會(huì)設(shè)計(jì)了一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲，主持人從編號(hào)為四個(gè)外觀(guān)相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入獎(jiǎng)品，再將四個(gè)箱子關(guān)閉，即主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子．當(dāng)抽獎(jiǎng)人選擇某個(gè)箱子后，在箱子打開(kāi)之前，主持人會(huì)隨機(jī)打開(kāi)一個(gè)沒(méi)有獎(jiǎng)品的箱子，并問(wèn)抽獎(jiǎng)人是否愿意更改選擇以便增加中獎(jiǎng)概率．已知甲先選擇了號(hào)箱子，則在主持人打開(kāi)號(hào)箱子的情況下，獎(jiǎng)品在號(hào)箱子的概率為.10．（24-25高三上·河北唐山·期末）某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每次投籃次數(shù)為n，，，每次投籃的命中率都為p，隨機(jī)變量表示投籃命中的次數(shù)，服從二項(xiàng)分布，記，當(dāng)時(shí)，可認(rèn)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知該同學(xué)每次投籃的命中率均為0.5，每次投籃命中得2分，不中得0分．若，則該同學(xué)投中次數(shù)的期望為次；若保證該同學(xué)n次投籃總得分在區(qū)間的概率不低于0.8，則n的最小值為．附：，則，．11．（21-22高二下·上海黃浦·期末）針對(duì)“中學(xué)生追星問(wèn)題”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)“作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認(rèn)為中學(xué)生追星與性別有關(guān)，則女生至少有人．參考數(shù)據(jù)及公式如下：0.0500.0100.0013.8416.63510.828，．四、解答題12．（23-24高三上·福建泉州·期末）一個(gè)袋子中有10個(gè)大小相同的球，其中紅球7個(gè)，黑球3個(gè)．每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回．(1)求第2次摸到紅球的概率；(2)設(shè)第1，2，3次都摸到紅球的概率為，第1次摸到紅球的概率為，在第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率為，在第1，2次都摸到紅球的條件下，第3次摸到紅球的概率為，求，，，；(3)對(duì)于事件，試根據(jù)（2）寫(xiě)出，，，的等量關(guān)系式，并加以證明．13．（24-25高二下·貴州安順·期末）甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，假設(shè)各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，且每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽分出勝負(fù)時(shí)結(jié)束．(1)若，比賽采用三局兩勝制，求乙獲勝的概率；(2)若比賽有兩種賽制，五局三勝制和三局兩勝制，且，試分析哪種賽制下甲獲勝的概率更大，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)，已知甲、乙進(jìn)行了局比賽且甲勝了8局，試給出的估計(jì)值（表示局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，以使得最大的的值作為的估計(jì)值）．14．（24-25高二下·江西·期末）盛夏來(lái)臨，某棋牌室舉辦為期一周的“消夏”圍棋活動(dòng)，分為趣味賽和積分賽（每局比賽必須決出勝負(fù)），規(guī)則如下：前2天舉辦趣味賽，每天僅首局比賽可獲得積分，獲勝得1分，失敗得0分；積分賽在后5天進(jìn)行，每天只有前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得2分，次局獲勝得1分，失敗得0分．小張這一周中每天至少參加兩局圍棋比賽，已知她每天第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為，，且各局比賽相互獨(dú)立．(1)已知趣味賽兩天積分不為0的參賽選手可獲得精美禮品一份，．（i）求小張?jiān)谌の顿愔蝎@得精美禮品的概率；（ii）在小張獲得精美禮品的條件下，求小張2天趣味賽僅積1分的概率；(2)設(shè)小張?jiān)诤?天的積分賽中，恰有2天每天積分不低于1分的概率為，求的最大值．15．（24-25高二下·福建泉州·期末）隨著中美關(guān)稅戰(zhàn)的不斷升級(jí)，某企業(yè)大大加強(qiáng)科技研發(fā)投入的力度，為確定下一年對(duì)某產(chǎn)品進(jìn)行科技升級(jí)的研發(fā)費(fèi)用，需了解該產(chǎn)品年研發(fā)費(fèi)用（單位：千萬(wàn)元）對(duì)年銷(xiāo)售量（單位：千萬(wàn)件）的影響.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，對(duì)收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理，得到散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值如30.5151546.5表中，.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適合作為年銷(xiāo)售量關(guān)于年研發(fā)費(fèi)用的回歸方程模型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程，并估計(jì)年研發(fā)費(fèi)用為27千萬(wàn)元時(shí)年銷(xiāo)售量的值；(3)科技升級(jí)后，該產(chǎn)品的效率大幅提高，經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得大致服從正態(tài)分布.企業(yè)對(duì)科技升級(jí)團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：若不超過(guò)50%，不予獎(jiǎng)勵(lì)；若超過(guò)50%，但不超過(guò)53%，每件產(chǎn)品獎(jiǎng)勵(lì)2元；若超過(guò)53%，每件產(chǎn)品獎(jiǎng)勵(lì)4元.記為每件產(chǎn)品獲得的獎(jiǎng)勵(lì)，求（精確到0.01）.附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.②若隨機(jī)變量，則，.③.期末綜合拓展練（測(cè)試時(shí)間：100分鐘）一、單選題1．（24-25高二下·安徽·期末）為測(cè)試一種新藥的有效性，研究人員對(duì)某種動(dòng)物種群進(jìn)行試驗(yàn)，從該試驗(yàn)種群中隨機(jī)抽查了100只，得到如下數(shù)據(jù)（單位：只）：發(fā)病未發(fā)病合計(jì)使用藥物104050未使用藥物302050合計(jì)4060100從該動(dòng)物種群中任取1只，記事件表示此動(dòng)物發(fā)病，事件表示此動(dòng)物使用藥物，定義的優(yōu)勢(shì)，在發(fā)生的條件下的優(yōu)勢(shì)，則（

）A．可化簡(jiǎn)為，估計(jì)其值為 B．可化簡(jiǎn)為，估計(jì)其值為C．可化簡(jiǎn)為，估計(jì)其值為 D．可化簡(jiǎn)為，估計(jì)其值為2．（2025·黑龍江大慶·三模）某商店店慶，每個(gè)在店內(nèi)消費(fèi)到一定額度的顧客都可以參與抽獎(jiǎng)活動(dòng).組織方準(zhǔn)備了個(gè)盲盒，其中有個(gè)盲盒內(nèi)有獎(jiǎng)品.抽獎(jiǎng)規(guī)則為：抽獎(jiǎng)?wù)邚倪@個(gè)盲盒中隨機(jī)抽取1個(gè)盲盒，兌獎(jiǎng)后組織方會(huì)再補(bǔ)回一個(gè)相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽獎(jiǎng)?wù)叱楠?jiǎng).抽獎(jiǎng)?wù)呒紫饶闷鹆艘粋€(gè)盲盒，在猶豫是否打開(kāi)時(shí)，組織方拿走了一個(gè)沒(méi)有獎(jiǎng)品的盲盒，最終甲選擇了另外一個(gè)盲盒打開(kāi)，記甲中獎(jiǎng)的概率為.抽獎(jiǎng)?wù)咭以谶x盲盒時(shí)不小心碰掉了一個(gè)盲盒，并且發(fā)現(xiàn)摔裂的盲盒內(nèi)沒(méi)有獎(jiǎng)品，隨后乙從剩下的盲盒中選定一個(gè)盲盒打開(kāi)，記乙中獎(jiǎng)的概率為，則（

）A． B． C． D．無(wú)法確定與的大小關(guān)系3．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知，則，，.今有一批數(shù)量龐大的零件.假設(shè)這批零件的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)引單位：毫米）服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取N個(gè)，這N個(gè)零件中恰有K個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)ξ位于區(qū)間.若，試以使得最大的N值作為N的估計(jì)值，則N為（

）A．45 B．53 C．54 D．90二、多選題4．（24-25高二下·吉林長(zhǎng)春·期末）某比賽共進(jìn)行局，每局比賽沒(méi)有平局，2n局比賽結(jié)束后贏得n局以上的一方獲勝.甲、乙進(jìn)行該比賽，已知甲每局比賽獲勝的概率為p，每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，記甲在該比賽中獲勝的概率為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則當(dāng)時(shí)，最大C．若，則當(dāng)時(shí)，最小 D．若，則當(dāng)時(shí)，最大5．（23-24高二下·山東菏澤·期末）假設(shè)變量與變量的對(duì)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)為，兩個(gè)變量滿(mǎn)足一元線(xiàn)性回歸模型要利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)求參數(shù)的最小二乘估計(jì)，即求使取最小值時(shí)的的值，若某汽車(chē)品牌從2020~2024年的年銷(xiāo)量為（萬(wàn)輛），其中年份對(duì)應(yīng)的代碼為，如表，年份代碼12345銷(xiāo)量（萬(wàn)輛）49141825根據(jù)散點(diǎn)圖和相關(guān)系數(shù)判斷，它們之間具有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，可以用線(xiàn)性回歸模型描述令變量，且變量與變量滿(mǎn)足一元線(xiàn)性回歸模型則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．2025年的年銷(xiāo)售量約為34.4萬(wàn)輛三、填空題6．（2024·遼寧·三模）一個(gè)書(shū)包中有標(biāo)號(hào)為“”的張卡片.一個(gè)人每次從中拿出一張卡片，并且不放回；如果他拿出一張與已拿出的卡片中有相同標(biāo)號(hào)的卡片，則他將兩張卡片都扔掉；如果他手中有3張單張卡片或者書(shū)包中卡片全部被拿走，則操作結(jié)束.記書(shū)包中卡片全部被拿走的概率為，則..四、解答題7．（24-25高二下·山東泰安·期末）為備戰(zhàn)全國(guó)機(jī)器人大賽，某高校機(jī)器人甲隊(duì)和乙隊(duì)進(jìn)行練習(xí)賽，比賽規(guī)則為：①每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，沒(méi)有平局；②總共進(jìn)行奇數(shù)局比賽；③全部比完后，分?jǐn)?shù)高者獲勝.假設(shè)每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是，各局比賽之間的結(jié)果互不影響.(1)當(dāng)時(shí)，若兩隊(duì)共進(jìn)行3局比賽，設(shè)甲隊(duì)得分減去乙隊(duì)得分的差為X，現(xiàn)在規(guī)定：若，則甲隊(duì)可額外獲得一次特殊訓(xùn)練機(jī)會(huì)，求甲隊(duì)獲得一次特殊訓(xùn)練機(jī)會(huì)的概率；(2)若兩人共進(jìn)行局比賽，當(dāng)且時(shí)，記事件表示“在前局比賽中甲贏了局”，事件B表示“甲最終獲勝”，求，的值；(3)若甲隊(duì)在進(jìn)行局比賽時(shí)獲勝的概率記為，在進(jìn)行局比賽時(shí)獲勝的概率記為，在進(jìn)行局比賽時(shí)獲勝的概率記為，已知，試判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.8．（24-25高二下·浙江金華·期末）某實(shí)驗(yàn)室對(duì)某二進(jìn)制數(shù)碼串傳輸進(jìn)行測(cè)試，初始二進(jìn)制數(shù)碼串是長(zhǎng)度為的且全部由0組成的數(shù)碼串.傳輸過(guò)程中，每位數(shù)碼以概率傳輸記為0，以概率傳輸記為1，其中，每位數(shù)碼的傳輸相互獨(dú)立，并設(shè)事件為“傳輸結(jié)果各位數(shù)字之和為偶數(shù)”的事件.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)證明：對(duì)任意的正整數(shù)，有；(3)在傳輸結(jié)果中任取一位數(shù)碼，記“取到1”的事件為，問(wèn)：是否存在最大值？若存在，求出使取到最大值的正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.9．（24-25高二下·內(nèi)蒙古包頭·期末）為緩解學(xué)生的壓力，某中學(xué)組織學(xué)生開(kāi)展了一項(xiàng)有趣的比賽．甲，乙兩人參加比賽，比賽規(guī)則為：共進(jìn)行奇數(shù)局比賽，全部比完后，所贏局?jǐn)?shù)多者獲勝．假設(shè)每局比賽甲贏的概率都是，各局比賽之間的結(jié)果互不影響且沒(méi)有平局．(1)若兩人共進(jìn)行5局比賽且，設(shè)兩人所贏局?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值為X．求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若兩人共進(jìn)行局比賽且，記事件表示“在前局比賽中甲贏了局”．事件B表示“甲最終獲勝”，請(qǐng)寫(xiě)出，，，的值（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）；(3)若兩人共進(jìn)行了局比賽，甲獲勝的概率記為．證明：當(dāng)時(shí)，．10．（23-24高二下·江蘇·期末）《中華人民共和國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十四個(gè)五年規(guī)劃和2023年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要》指出：要加強(qiáng)原創(chuàng)性、引領(lǐng)性科技攻關(guān)，堅(jiān)決打贏關(guān)鍵核心技術(shù)攻堅(jiān)戰(zhàn).某企業(yè)集中科研骨干力量，攻克系列關(guān)鍵技術(shù)，已成功實(shí)現(xiàn)離子注入機(jī)全譜系產(chǎn)品國(guó)產(chǎn)化，工藝段覆蓋至，為我國(guó)芯片制造產(chǎn)業(yè)鏈補(bǔ)上重要一環(huán).該企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片制造工藝進(jìn)行改進(jìn).(1)該款芯片生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.已知該款芯片在改進(jìn)生產(chǎn)工藝前，前三道工序的次品率分別為.①求改進(jìn)生產(chǎn)工藝前，該款芯片的次品率；②在第四道工序中，部分芯片由智能檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行篩選，其中部分次品芯片會(huì)被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進(jìn)入流水線(xiàn)由工人進(jìn)行抽樣檢驗(yàn).記表示事件“某芯片經(jīng)過(guò)智能檢測(cè)系統(tǒng)篩選”，表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”，求證：；(2)改進(jìn)生產(chǎn)工藝后，該款芯片的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取個(gè)，這個(gè)芯片中恰有個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間.①若，以使得的最大值作為的估計(jì)值，求；②記這個(gè)芯片的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為，其中個(gè)芯片的質(zhì)量指標(biāo)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，剩余芯片的質(zhì)量指標(biāo)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，試寫(xiě)出的計(jì)算式.參考數(shù)據(jù)：.

專(zhuān)題05概率【清單01】隨機(jī)事件的條件概率（一）定義一般地，設(shè)，為兩個(gè)事件，且，稱(chēng)為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．（二）性質(zhì)（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．（3）如果與互斥，則．注意：（1）如果知道事件發(fā)生會(huì)影響事件發(fā)生的概率，那么；（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當(dāng)于發(fā)生，要求，相當(dāng)于把看作新的基本事件空間計(jì)算發(fā)生的概率，即．【清單02】相互獨(dú)立與條件概率的關(guān)系（一）相互獨(dú)立事件的概念及性質(zhì)（1）相互獨(dú)立事件的概念對(duì)于兩個(gè)事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設(shè)，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，，從而．由此我們可得：設(shè)，為兩個(gè)事件，若，則稱(chēng)事件與事件相互獨(dú)立．（2）概率的乘法公式由條件概率的定義，對(duì)于任意兩個(gè)事件與，若，則．我們稱(chēng)上式為概率的乘法公式．（3）相互獨(dú)立事件的性質(zhì)如果事件，互相獨(dú)立，那么與，與，與也都相互獨(dú)立．（4）兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性的推廣兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性可以推廣到個(gè)事件的相互獨(dú)立性，即若事件，，…，相互獨(dú)立，則這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率．（二）事件的獨(dú)立性（1）事件與相互獨(dú)立的充要條件是．（2）當(dāng)時(shí)，與獨(dú)立的充要條件是．（3）如果，與獨(dú)立，則成立．【清單03】基全概率公式（一）全概率公式（1）；（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿(mǎn)足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意事件，都有，且．注意：全概率公式是用來(lái)計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問(wèn)題．（二）貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時(shí)，有（2）定理若樣本空間中的事件滿(mǎn)足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意概率非零的事件，都有，且注意：貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉(zhuǎn)關(guān)系，即，，之間的內(nèi)在聯(lián)系．【清單04】離散型隨機(jī)變量及其分布列1、隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示．在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母，，，，…表示．2、離散型隨機(jī)變量對(duì)于所有取值可以一一列出來(lái)的隨機(jī)變量，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列的表示一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，取每一個(gè)值的概率，以表格的形式表示如下：我們將上表稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為的分布列．有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，也用等式，表示的分布列．4、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：（1），；（2）．【清單05】離散型隨機(jī)變量均值和方差1、均值若離散型隨機(jī)變量的分布列為稱(chēng)為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．2、均值的性質(zhì)（1）（為常數(shù)）．（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（3）．（4）如果相互獨(dú)立，則．3、方差若離散型隨機(jī)變量的分布列為則稱(chēng)為隨機(jī)變量的方差，并稱(chēng)其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．4、方差的性質(zhì)（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（2）方差公式的變形：．【清單06】二項(xiàng)分布1、定義一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開(kāi)式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱(chēng)這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱(chēng)為成功概率．注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．2、二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．3、二項(xiàng)分布的期望、方差若，則，．【清單07】超幾何分布1、定義在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱(chēng)分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱(chēng)隨機(jī)變量服從超幾何分布．01……2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)（1）適用范圍：①考察對(duì)象分兩類(lèi)；②已知各類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類(lèi)個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布．（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．【清單08】正態(tài)分布1、定義隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的兩條軸的垂線(xiàn)，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，，隨機(jī)變量滿(mǎn)足，則稱(chēng)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．2、原則若，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對(duì)于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說(shuō)明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周?chē)母怕试酱筇貏e地，有；