1/27專題06空間向量與立體幾何（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律一：空間向量線性運(yùn)算1.熟練掌握線性運(yùn)算及運(yùn)算律，能結(jié)合圖形完成向量運(yùn)算.2.靈活運(yùn)用共線/共面向量定理解決線面平行、四點(diǎn)共面等問(wèn)題，奠定后續(xù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ).3.掌握線性運(yùn)算及運(yùn)算律；4.運(yùn)用共線/共面向量定理解決基礎(chǔ)問(wèn)題.1.題型：期末以選擇、填空為主，偶在解答題中作為基礎(chǔ)步驟綜合考查.2.重點(diǎn)：期末核心考查共線/共面向量定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，以及向量表達(dá)式化簡(jiǎn).3.難度：偏低，屬于基礎(chǔ)送分題，是期末必考點(diǎn)，考查頻率穩(wěn)定.二：空間向量基本定理1.理解定理內(nèi)涵，能判斷基底、完成向量基底分解.2.運(yùn)用推論解決四點(diǎn)共面問(wèn)題，建立基底分解的解題思維.3.理解定理，能判斷基底并完成向量分解；4.運(yùn)用推論解決四點(diǎn)共面問(wèn)題.1.題型：期末多以選擇、填空題形式考查，較少在解答題中單獨(dú)出現(xiàn).2.重點(diǎn)：期末考查核心是向量基底分解，偶爾涉及四點(diǎn)共面推論的應(yīng)用.3.難度：中等，側(cè)重基礎(chǔ)理解與簡(jiǎn)單應(yīng)用三：空間向量坐標(biāo)運(yùn)算1.快速準(zhǔn)確建立坐標(biāo)系，熟練運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算公式.2.通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算解決向量問(wèn)題，形成“幾何→代數(shù)→幾何”的解題鏈條.3.熟練建系及坐標(biāo)運(yùn)算公式；4.用坐標(biāo)運(yùn)算解決向量問(wèn)題.1.題型：貫穿期末選擇、填空、解答題，是解答題中立體幾何問(wèn)題的核心解題工具.2.重點(diǎn)：期末核心考查坐標(biāo)系建立、向量坐標(biāo)求解及基礎(chǔ)坐標(biāo)運(yùn)算的準(zhǔn)確性.3.難度：中等，是期末高頻考點(diǎn)，運(yùn)算量適中，側(cè)重基礎(chǔ)公式的應(yīng)用.四：空間向量研究線面關(guān)系1.熟練求解方向向量與法向量.2.運(yùn)用向量準(zhǔn)確判斷線線、線面、面面關(guān)系，求解各類空間角.3.熟練求方向向量、法向量；4.用向量判斷線面關(guān)系、求空間角.1.題型：期末解答題核心考點(diǎn)，選擇、填空題也會(huì)涉及，綜合度較高.2.重點(diǎn)：期末考查重點(diǎn)是法向量求解、線面垂直/平行的證明，以及異面直線夾角、線面角計(jì)算.3.難度：中等偏上，是期末立體幾何板塊的核心得分點(diǎn)，不涉及復(fù)雜探究性問(wèn)題五：空間向量研究距離與夾角問(wèn)題1.熟練運(yùn)用向量公式求解各類空間距離.2.準(zhǔn)確求解各類空間角，規(guī)避范圍與公式錯(cuò)誤.3.熟練用向量求空間距離；1.題型：期末選擇、填空、解答題均有考查，常與線面關(guān)系判斷綜合命題.2.重點(diǎn)：期末核心考查點(diǎn)到平面距離、二面角的基礎(chǔ)計(jì)算，難度低于高考.3.難度：中等偏上，側(cè)重基礎(chǔ)公式應(yīng)用與轉(zhuǎn)化思想，是期末拉開(kāi)分差的關(guān)鍵考點(diǎn)之一.考點(diǎn)一：空間向量線性運(yùn)算1.核心概念：線性運(yùn)算（加法：三角形/平行四邊形法則；減法：三角形法則；數(shù)乘：，為實(shí)數(shù)）；共線向量定理（時(shí)，存在唯一，使）；共面向量定理（不共線時(shí)，與共面?存在唯一，使）.2.核心公式：運(yùn)算律（；；）；共線判定（）；共面判定（不共線)）.3.易錯(cuò)點(diǎn)：混淆“共線”與“共面”（共線向量一定共面，共面向量不一定共線）；忽略共線定理中的條件，直接用判定共線.4.?？冀Y(jié)論：四點(diǎn)共面且（為空間任一點(diǎn)）；直線且與不重合.考點(diǎn)二：空間向量基本定理1.核心概念：基底（不共面的三個(gè)向量，基向量非零）；定理（任一空間向量可唯一表示為）.2.核心公式：向量分解式（，唯一）；四點(diǎn)共面推論（且共面）.3.易錯(cuò)點(diǎn)：將共面向量作為基底（如正方體中同一面的三個(gè)邊向量不可作基底）；忽略分解系數(shù)的唯一性，多解或漏解.4.常考結(jié)論：選基底優(yōu)先選“從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱向量”（如正方體中）；若且為基底，則唯一確定.考點(diǎn)三：空間向量坐標(biāo)運(yùn)算1.核心概念：空間直角坐標(biāo)系（以兩兩垂直且共點(diǎn)的直線為坐標(biāo)軸）；向量坐標(biāo)（，由起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)差求得）.2.核心公式：線性運(yùn)算（；）；數(shù)量積（）；模長(zhǎng)（）；夾角（）；共線（）；垂直（）.3.易錯(cuò)點(diǎn)：建系錯(cuò)誤（坐標(biāo)軸不垂直，如將斜棱柱的側(cè)棱作為軸）；坐標(biāo)計(jì)算錯(cuò)（中點(diǎn)坐標(biāo)漏除2、對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)符號(hào)搞反）；夾角公式漏絕對(duì)值（直接用求線線角）.4.常考結(jié)論：點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為；若，則（直接用坐標(biāo)判定）.考點(diǎn)四：空間向量研究線面關(guān)系1.核心概念：方向向量（與直線平行的非零向量，如直線的）；法向量（與平面垂直的非零向量，如平面的）；線面關(guān)系（平行、垂直、夾角：異面直線角、線面角、二面角）.2.核心公式：異面直線角（，）；線面角（，）；二面角（，，符號(hào)由圖形判斷）；線面平行（且直線不在平面內(nèi)）；線面垂直（）.3.易錯(cuò)點(diǎn)：法向量求解漏解（忽略相反向量，如與均為法向量）；線面角與法向量夾角混淆（誤用求線面角）；二面角符號(hào)判斷錯(cuò)（直接取，忽略鈍角）.4.?？冀Y(jié)論：正方體/長(zhǎng)方體中，可直接取棱向量為方向向量，面的法向量可由棱向量叉乘快速求得；若直線的與平面的平行，則（期末高頻證明）.考點(diǎn)五：空間向量研究距離與夾角問(wèn)題1.核心概念：空間距離（點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、平行直線間、平行平面間距離）；空間夾角（異面直線角、線面角、二面角，范圍不同公式有別）；核心公式（點(diǎn)到直線：；點(diǎn)到平面：；平行直線/平面間距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線/平面距離；夾角公式同考點(diǎn)四）.2.易錯(cuò)點(diǎn)：距離轉(zhuǎn)化錯(cuò)（平行平面間距離直接用兩法向量距離計(jì)算）；夾角范圍記錯(cuò)（異面直線角誤取，實(shí)際為）；點(diǎn)到平面距離公式漏絕對(duì)值（直接用）.3.常考結(jié)論：若平面α∥β，則α內(nèi)任一點(diǎn)到β的距離都相等（期末簡(jiǎn)化計(jì)算）；求異面直線距離時(shí)，若兩直線垂直，可直接用公垂線段長(zhǎng)度（結(jié)合向量更簡(jiǎn)便）.題型一向量線性運(yùn)算化簡(jiǎn)與求值解｜題｜技｜巧解題關(guān)鍵：熟練掌握三角形法則、平行四邊形法則，利用幾何體棱的平行/相等關(guān)系轉(zhuǎn)化向量.答題模板：1.審題標(biāo)注：明確目標(biāo)向量，圈出已知向量及幾何體中棱的平行、相等關(guān)系（如、）；2.向量轉(zhuǎn)化：將目標(biāo)向量逐步拆分為已知向量的線性組合，利用幾何體結(jié)構(gòu)特征替換等價(jià)向量；3.運(yùn)算化簡(jiǎn)：依據(jù)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算律（交換律、結(jié)合律、分配律）整理表達(dá)式；4.驗(yàn)證結(jié)果：檢查運(yùn)算過(guò)程中符號(hào)、系數(shù)是否正確，確?；?jiǎn)結(jié)果簡(jiǎn)潔且符合題意.【典例1】（24-25高二下·云南·期末）如圖，在三棱錐中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，記，則（

）A． B．C． D．【變式1】（24-25高二下·江蘇南京·期末）在三棱錐中，，，，且，，則等于（

）A． B．C． D．【變式2】（24-25高二下·甘肅白銀·期末）在四面體中，，，棱，的中點(diǎn)分別為，，若，則.題型二共線/共面向量定理應(yīng)用答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：牢記共線判定、四點(diǎn)共面判定且.答題模板：1.共線判斷模板：①提取兩條直線對(duì)應(yīng)的方向向量、；②假設(shè)（），列出橫、縱、豎坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的等式；③求解，若存在唯一非零滿足所有等式，則兩直線共線（平行），否則不共線.2.共面判斷模板：①選取空間任意一點(diǎn)（優(yōu)先選幾何體頂點(diǎn)，簡(jiǎn)化計(jì)算）；②寫(xiě)出、、、的向量關(guān)系，整理為的形式；③計(jì)算系數(shù)和，若等于1，則、、、四點(diǎn)共面，否則不共面.【典例1】（24-25高二上·廣東廣州·月考）已知點(diǎn)D在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點(diǎn)，滿足，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高二下·福建漳州·期末）在三棱錐中，是平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（

）A． B．1 C．2 D．3【變式2】（24-25高二上·江蘇南通·期末）已知三點(diǎn)不共線，點(diǎn)在平面外，點(diǎn)滿足，則當(dāng)點(diǎn)共面時(shí)，實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．題型三基底的判斷與選擇答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：明確基底必備條件（三個(gè)向量不共面、非零），優(yōu)先選擇同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱向量作為基底.答題模板：1.基底判斷模板：①第一步驗(yàn)證向量非零：確認(rèn)三個(gè)向量均不為零向量；②第二步假設(shè)共面：假設(shè)三個(gè)向量、、共面，根據(jù)共面向量定理設(shè)；③第三步求解方程：列出坐標(biāo)等式組，若方程組無(wú)解，則向量不共面，可作為基底；若有解，則共面，不可作為基底。2.基底選擇模板：①優(yōu)先選同一頂點(diǎn)出發(fā)、兩兩垂直或夾角明確的三條棱向量（如正方體中、、）；②確保所選基底能便捷表示幾何體中其他所需向量，減少后續(xù)運(yùn)算量.【典例1】（24-25高二下·安徽亳州·期末）在三棱柱中，為的中點(diǎn)，則.【變式1】（24-25高二上·湖南邵陽(yáng)·期末）平行六面體中，，，，則．【變式2】（24-25高二上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）在正四面體中，，則（用，，表示）．若，則．題型四向量的基底分解答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：利用幾何體中的平行、相等、垂直關(guān)系，通過(guò)線性運(yùn)算拆分目標(biāo)向量，結(jié)合定理唯一性確定系數(shù).答題模板：1.確定基底：明確選定的基底，標(biāo)注基底向量的方向和長(zhǎng)度關(guān)系；2.拆分目標(biāo)向量：結(jié)合幾何體結(jié)構(gòu)，將目標(biāo)向量沿基底方向拆分，利用等關(guān)系轉(zhuǎn)化為基底相關(guān)向量；3.列等式：根據(jù)向量相等的定義，將目標(biāo)向量表示為的形式，對(duì)應(yīng)基底向量的系數(shù)；4.求解系數(shù)：通過(guò)幾何體中的長(zhǎng)度、平行關(guān)系列方程，解出、、，最終寫(xiě)出分解式.【典例1】（24-25高二上·遼寧大連·期中）如圖，在四面體OABC中，，，，點(diǎn)在OA上，且，點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，設(shè)，則.【變式1】（23-24高二下·福建寧德·期末）四棱錐的底面是平行四邊形，且，若則．【變式2】（23-24高二上·河北石家莊·期末）如圖所示，在平行六面體中，，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且，若，則.題型五坐標(biāo)運(yùn)算與向量性質(zhì)判斷答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：熟記坐標(biāo)運(yùn)算公式，求線線角時(shí)注意夾角公式取絕對(duì)值，垂直判定直接用數(shù)量積為0.答題模板：1.明確向量坐標(biāo)：寫(xiě)出已知向量、的坐標(biāo)；2.執(zhí)行運(yùn)算：①線性運(yùn)算：，；②數(shù)量積：；③模長(zhǎng)：；④線線角：（）.3.性質(zhì)判斷：①共線：、、（存在唯一）；②垂直：，即.【典例1】【多選題】（24-25高二上·福建三明·期末）設(shè)，向量，，，且，，則（

）．A． B． C． D．【變式1】【多選題】（24-25高二上·浙江杭州·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．A，B，C三點(diǎn)共線C． D．在上的投影向量為【變式2】【多選題】（24-25高二上·河南鄭州·期末）已知空間向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與共面B．C．在上的投影向量為D．與夾角的余弦值為題型六線線、線面、面面平行/垂直的證明答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：熟練求解方向向量、法向量；牢記判定關(guān)系（如線面垂直直線方向向量與平面法向量平行）.答題模板：1.準(zhǔn)備工作：建立空間直角坐標(biāo)系（若未建立），寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；2.求向量：①方向向量：取直線上兩點(diǎn)，計(jì)算兩點(diǎn)坐標(biāo)差得方向向量（如直線的方向向量）；②法向量：設(shè)平面法向量，取平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量、，列方程組，求解得法向量（取最簡(jiǎn)整數(shù)比）；3.判定證明：①線線平行：（存在使）；線線垂直：；②線面平行：且直線上一點(diǎn)不在平面內(nèi)；線面垂直：（存在使）；③面面平行：（存在使）；面面垂直：；4.寫(xiě)結(jié)論：結(jié)合判定條件，得出平行/垂直的最終結(jié)論.【典例1】（24-25高二上·浙江紹興·期末）如圖，在三棱柱中，底面，，，，為的中點(diǎn)，為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)試判斷是否存在，使得直線.若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，M為AD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，且.(1)若時(shí)，求證：；(2)若，E為上一動(dòng)點(diǎn)，且平面ABCD，求EP的最小值；(3)若，點(diǎn)O為三棱錐外接球的球心，求OP的取值范圍.【變式2】（24-25高二上·湖南·期末）在長(zhǎng)方體中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，當(dāng)平面時(shí)，的值為.題型七空間角的計(jì)算答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：明確各角范圍，熟記夾角公式（異面直線角用方向向量夾角絕對(duì)值的余弦，線面角用方向向量與法向量夾角絕對(duì)值的正弦），準(zhǔn)確求解法向量.答題模板：1.異面直線角計(jì)算模板：①求方向向量：分別求出兩條異面直線的方向向量、；②代入公式：（）；③求角度：根據(jù)的值，結(jié)合特殊角三角函數(shù)值求出.2.線面角計(jì)算模板：①求向量：求出直線方向向量和平面法向量；②代入公式：（）；③求角度：根據(jù)的值求出（注意區(qū)分線面角與法向量夾角，避免用錯(cuò)公式）.【典例1】（24-25高一下·海南·期末）如圖，已知三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，且，，M、N、P、D分別是、、、的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線平面所成角的正弦值.【變式1】（24-25高二下·廣東深圳·期末）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【變式2】（24-25高二下·福建寧德·期末）如圖，直四棱柱的底面是正方形，，，分別為線段，上的點(diǎn)，且滿足.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.題型八點(diǎn)到平面距離的計(jì)算答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：熟記點(diǎn)到平面距離公式（為平面內(nèi)點(diǎn)，為法向量），平行平面間距離轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)任一點(diǎn)到另一平面的距離.答題模板：1.點(diǎn)到平面距離模板：①確定向量：選取平面內(nèi)任意一點(diǎn)，目標(biāo)點(diǎn)為，求出；求平面的法向量；②代入公式：（絕對(duì)值保證距離非負(fù)）；③計(jì)算結(jié)果：代入坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積和模長(zhǎng)，得出距離值.2.平行關(guān)系距離轉(zhuǎn)化模板：①平行直線間距離：轉(zhuǎn)化為其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離（同點(diǎn)到直線距離方法）；②平行平面間距離：轉(zhuǎn)化為其中一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離（同點(diǎn)到平面距離方法），無(wú)需額外求法向量.【典例1】（24-25高二上·上?！て谀┤鐖D，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，棱平面，，，，則點(diǎn)到平面的距離為.【變式1】（24-25高二上·天津和平·期末）正方體的棱長(zhǎng)為分別為的中點(diǎn)，為底面的中心，則點(diǎn)到平面的距離為.【變式2】（24-25高二上·上海寶山·期中）平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且的法向量，則到平面的距離為．題型九二面角與距離綜合計(jì)算答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：先準(zhǔn)確求解兩個(gè)平面的法向量，判斷二面角大?。ㄤJ角/鈍角），再結(jié)合距離公式計(jì)算，注意運(yùn)算準(zhǔn)確性.答題模板：1.求二面角：①建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出兩個(gè)平面內(nèi)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；②分別求出兩個(gè)平面的法向量、；③計(jì)算法向量夾角余弦值：；④判斷二面角類型：根據(jù)幾何體圖形，判斷二面角為銳角或鈍角，二面角與相等或互補(bǔ)，得出的大小.2.求距離：①若求點(diǎn)到平面距離，按題型9模板計(jì)算；②若求異面直線距離，先找公垂線方向向量（可由兩直線方向向量叉乘得到），再取兩直線上各一點(diǎn)構(gòu)造向量，投影到公垂線方向向量上求模長(zhǎng)。3.綜合總結(jié)：整理二面角大小和距離結(jié)果，規(guī)范書(shū)寫(xiě)答題步驟.【典例1】（25-26高二上·北京·期中）如圖，四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，，底面ABCD.

(1)證明：；(2)若，求二面角的余弦值；(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)到平面的距離.【變式1】（24-25高二下·廣東深圳·期末）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面，，分別為棱，的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【變式2】（24-25高二下·四川涼山·期末）如圖，在圓錐中，為底面圓的內(nèi)接四邊形，對(duì)角線過(guò)圓心，圓錐母線長(zhǎng)為，，.(1)若，平面與平面的交線為，證明：；(2)若，求平面與平面所成角的正弦值.題型十動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的向量應(yīng)用（含動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線/平面）答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：1.用參數(shù)（如、）表示動(dòng)態(tài)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)態(tài)向量；2.將幾何條件（平行、垂直、角度范圍）轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的代數(shù)方程/不等式；3.借助函數(shù)值域或不等式求解參數(shù)范圍.答題模板：1.參數(shù)化建模：①建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（含參數(shù)，如，用表示其中1-2個(gè)變量）；②寫(xiě)出動(dòng)態(tài)直線的方向向量或動(dòng)態(tài)平面的法向量（含參數(shù)）.2.轉(zhuǎn)化條件：①根據(jù)題意列出幾何條件（如線面垂直則方向向量與法向量共線、角度則余弦值）；②將向量關(guān)系代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的方程或不等式.3.求解參數(shù)：①解代數(shù)方程/不等式，確定參數(shù)的取值范圍；②若求最值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性或基本不等式計(jì)算極值.4.驗(yàn)證結(jié)論：結(jié)合動(dòng)態(tài)場(chǎng)景驗(yàn)證參數(shù)范圍的合理性，確保幾何意義與代數(shù)結(jié)果一致.【典例1】【多選題】（25-26高二上·浙江杭州·期中）棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若是棱的中點(diǎn)，則平面B．存在點(diǎn)使C．若與平面所成的角記為，則D．點(diǎn)到直線的距離最小值為【變式1】【多選題】（24-25高二上·貴州畢節(jié)·期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．三棱錐的體積是C．的最小值為D．不存在點(diǎn)使直線與直線夾角的余弦值為【變式2】【多選題】（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知正方體棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則（）A．三棱錐體積為定值B．二面角為定值C．直線與平面所成角的正弦值取值范圍為D．的最小值為題型十一空間角與距離的最值問(wèn)題答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：1.將角或距離表示為關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)（如線段長(zhǎng)度、角度參數(shù)）；2.利用向量公式轉(zhuǎn)化函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合變量的取值范圍求最值；3.區(qū)分“角的最值”與“三角函數(shù)值的最值”（如異面直線角最小對(duì)應(yīng)余弦值最大）.答題模板：1.變量設(shè)定：①建立坐標(biāo)系，設(shè)影響角/距離的變量（如線段上動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)，）；②寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)（含變量）.2.函數(shù)轉(zhuǎn)化：①代入空間角或距離公式，將所求量表示為關(guān)于變量的函數(shù)（如、）；②化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，明確變量的取值范圍（由幾何體邊界確定）.3.求最值：①利用一次函數(shù)單調(diào)性、二次函數(shù)頂點(diǎn)式或基本不等式求函數(shù)最值；②結(jié)合角的范圍（如二面角）轉(zhuǎn)化函數(shù)最值，得到幾何量的最值（如最小則最大）.4.確定最值條件：找到取得最值時(shí)的變量值，明確對(duì)應(yīng)的幾何位置（如動(dòng)點(diǎn)的具體坐標(biāo)）【典例1】（24-25高一下·黑龍江·期末）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)在底面的投影恰為的重心．(1)求證：；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．①求四棱錐的體積；②求平面與平面夾角的余弦值的最大值．【變式1】（24-25高二下·云南麗江·期末）如圖，在直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)若且，求平面與平面所成銳二面角余弦值的取值范圍．【變式2】（24-25高一下·浙江寧波·期末）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，．(1)求四棱錐的體積的最大值：(2)在（1）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值；(3)若，求平面與平面夾角的余弦值的最大值．題型十二折疊問(wèn)題中的空間向量求解答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：1.區(qū)分折疊前后的“不變量”（長(zhǎng)度不變、共面關(guān)系不變）與“變量”（空間位置關(guān)系變化）；2.折疊后以“不變的垂直關(guān)系”為依據(jù)建立坐標(biāo)系；3.注意折疊后平面與平面的交線，以此為橋梁關(guān)聯(lián)前后坐標(biāo).答題模板：1.分析折疊前后的關(guān)系：①標(biāo)注平面圖形中的垂直關(guān)系、線段長(zhǎng)度（不變量）；②確定折疊后幾何體的結(jié)構(gòu)，明確交線（如折痕為交線）.2.建系與坐標(biāo)求解：①以折疊后仍垂直的兩條線段為坐標(biāo)軸，折痕上的頂點(diǎn)為原點(diǎn)；②利用不變的線段長(zhǎng)度，寫(xiě)出折疊后各頂點(diǎn)的坐標(biāo)（注意折疊后空間位置的變化，避免坐標(biāo)符號(hào)錯(cuò)誤）.3.向量運(yùn)算：①計(jì)算方向向量與法向量，驗(yàn)證折疊后的垂直/平行關(guān)系；②代入空間角或距離公式計(jì)算所求量.4.驗(yàn)證合理性：結(jié)合折疊的動(dòng)態(tài)過(guò)程，驗(yàn)證所求角或距離是否符合空間幾何體的實(shí)際位置關(guān)系.【典例1】（25-26高二上·安徽蕪湖·期中）如圖，在平面四邊形中為等腰直角三角形，為正三角形，，將沿翻折至，其中為動(dòng)點(diǎn).(1)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上：①當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求球的表面積；②求球的表面積的最小值；(2)求二面角的余弦值的最小值.【變式1】（25-26高二上·江西宜春·月考）如圖1，在平面四邊形中，，，，，將沿翻折到的位置，使得平面平面，如圖2所示.(1)求證：平面；(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為，求平面與平面所成的二面角的余弦值.【變式2】（25-26高三上·湖北襄陽(yáng)·月考）如圖，在中，為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，將沿翻折至，得到四棱錐為棱上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）．(1)若為棱的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，直線與平面所成角的正弦值為，求.題型十三向量法解決探索性問(wèn)題（存在性問(wèn)題）答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：1.假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)或直線，用參數(shù)表示其坐標(biāo)或方向向量；2.將幾何條件轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)方程；3.若方程有解則存在，無(wú)解則不存在.答題模板：1.假設(shè)與參數(shù)化：①假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)（或直線），設(shè)的坐標(biāo)為（含參數(shù)，如在某線段上則用表示為，）；②寫(xiě)出相關(guān)直線的方向向量或平面的法向量.2.條件轉(zhuǎn)化：①將題目條件（如平面則垂直平面內(nèi)兩條相交直線）轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系（如且）；②代入坐標(biāo)得到關(guān)于參數(shù)的方程組.3.求解驗(yàn)證：①解方程組，判斷是否存在符合條件的參數(shù)（如）；②若存在，求出參數(shù)值并確定點(diǎn)/直線的位置；若不存在，說(shuō)明方程無(wú)解的原因.4.總結(jié)結(jié)論：明確寫(xiě)出“存在”或“不存在”，并補(bǔ)充對(duì)應(yīng)的幾何位置（如存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)位于線段中點(diǎn)）.【典例1】（25-26高三上·北京昌平·月考）如圖，四邊形、均為直角梯形，，，，且．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線和平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【變式1】（25-26高二上·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，平行六面體的所有棱長(zhǎng)均為1，，，平面平面，點(diǎn)，滿足，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成的角的正弦值；(3)是否存在點(diǎn)在線段上，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式2】（25-26高二上·河北秦皇島·期中）如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，且，，，為中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：30分鐘）一、單選題1．（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知為空間的一組基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一組基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（21-22高一下·重慶沙坪壩·期末）如圖，在斜三棱柱中，為的中點(diǎn)，為靠近的三等分點(diǎn)，設(shè)，則用表示為（）A． B．C． D．3．（25-26高二上·湖北孝感·期中）設(shè)空間向量.若不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則（

）A． B． C． D．4．（25-26高二上·河北張家口·期中）設(shè)，向量，且，，則（

）A． B． C．4 D．3二、多選題5．（23-24高二上·廣東深圳·期中）已知空間中三點(diǎn)，則（

）A．向量與向量垂直B．平面的一個(gè)法向量為C．與的夾角余弦值為D．三、填空題6．（25-26高二上·天津河?xùn)|·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，若，四點(diǎn)共面，則．7．（25-26高二上·云南·月考）如圖，在棱長(zhǎng)均為1的平行六面體中，，則.

8．（24-25高二上·安徽黃山·期末）已知正方體的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為.9．（24-25高二下·甘肅白銀·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，且平面的一個(gè)法向量，則直線與平面所成角的正弦值為.10．（24-25高二下·河南南陽(yáng)·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，，平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為.期末重難突破練（測(cè)試時(shí)間：60分鐘）一、單選題1．（24-25高二上·河南周口·月考）在正三棱錐中，，點(diǎn)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高一下·吉林松原·期末）鄭國(guó)渠是秦王嬴政命鄭國(guó)修建的著名水利工程，先人用智慧和勤勞修筑了一道道堅(jiān)固的堤壩.如圖是一道堤壩的示意圖，堤壩斜面與底面的交線記為，點(diǎn)分別在堤壩斜面與地面上，過(guò)點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為，若，二面角的大小為，則（

）A．3 B． C． D．63．（24-25高二上·福建南平·期末）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為底面的重心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面分別交，，于點(diǎn)，，，若，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題4．（24-25高一下·廣東云浮·期末）已知正四面體的每條棱長(zhǎng)均為為正四面體的外接球的直徑，點(diǎn)在正四面體的表面上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．正四面體外接球的表面積為B．正四面體內(nèi)切球的體積為C．的最大值為D．的最小值為5．（24-25高一下·浙江寧波·期末）在長(zhǎng)方體中，，空間中的點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則點(diǎn)在平面上B．若，且，則與面所成角最小值的正切值為C．若，則的最小值為D．若，且在長(zhǎng)方體表面上，則的軌跡長(zhǎng)度為6．（2025·湖南·三模）如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)均為1的正方形與正方形所在的平面互相垂直.點(diǎn)，分別是對(duì)角線，上的動(dòng)點(diǎn)，且，的長(zhǎng)度相等，記，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（

）

A．B．的最小值是C．三棱錐與三棱錐的體積相等D．若點(diǎn)，，，，，在同一個(gè)球的球面上，則該球的體積是三、解答題7．（25-26高二上·福建福州·期中）如圖（1），在直角梯形中，，，過(guò)的中點(diǎn)作交于點(diǎn)，，現(xiàn)將四邊形沿著翻折至位置，使得，如圖（2）所示．(1)證明：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（23-24高二上·天津北辰·期中）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD內(nèi)過(guò)B作，交AD于O，連PO.

(1)求證：平面ABCD；(2)求面APB與面PBC所成角的正弦值；(3)在線段PA上存在一點(diǎn)M，使直線BM與平面PAD所成的角的正弦值為，求PM的長(zhǎng).9．（24-25高一下·重慶·期末）已知梯形中，，如圖1.將沿折起到，得到三棱錐，如圖2，分別為棱?的中點(diǎn).(1)若，求證：平面平面；(2)若，求二面角的正弦值；(3)是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.10．（24-25高二下·福建泉州·期末）如圖，在四棱臺(tái)中，．底面ABCD為菱形，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．，連接AC、BD，設(shè)交點(diǎn)為O，連接．(1)求證：；(2)若，且二面角大小為60°，求三棱錐外接球的表面積．期末綜合拓展練（測(cè)試時(shí)間：6-分鐘）1．（25-26高二上·遼寧朝陽(yáng)·期中）球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門(mén)學(xué)科.如圖1，球O的半徑為R，A，B，C為球面上三點(diǎn)，曲面ABC（陰影部分）叫做球面三角形.若設(shè)二面角C-OA-B，A-OB-C，B-OC-A分別為，，，則球面三角形ABC的面積為.

(1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC兩兩垂直，求球面三角形ABC的面積；(2)將圖1中四面體OABC截出得到圖2，若平面三角形ABC為直角三角形，，延長(zhǎng)AO與球O交于點(diǎn)D，連接BD，CD.（ⅰ）證明：；（ⅱ）若直線DA，DC與平面ABC所成的角分別為，，且，，S為AC的中點(diǎn)，T為BC的中點(diǎn)，設(shè)平面OBC與平面EST的夾角為，求的最小值.2．（24-25高一下·山西運(yùn)城·期末）離散曲率是刻畫(huà)空間彎曲性的重要指標(biāo).設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，平面和平面為多面