1/27專題06空間向量與立體幾何（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律一：空間向量線性運(yùn)算1.熟練掌握線性運(yùn)算及運(yùn)算律，能結(jié)合圖形完成向量運(yùn)算.2.靈活運(yùn)用共線/共面向量定理解決線面平行、四點(diǎn)共面等問題，奠定后續(xù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ).3.掌握線性運(yùn)算及運(yùn)算律；4.運(yùn)用共線/共面向量定理解決基礎(chǔ)問題.1.題型：期末以選擇、填空為主，偶在解答題中作為基礎(chǔ)步驟綜合考查.2.重點(diǎn)：期末核心考查共線/共面向量定理的簡單應(yīng)用，以及向量表達(dá)式化簡.3.難度：偏低，屬于基礎(chǔ)送分題，是期末必考點(diǎn)，考查頻率穩(wěn)定.二：空間向量基本定理1.理解定理內(nèi)涵，能判斷基底、完成向量基底分解.2.運(yùn)用推論解決四點(diǎn)共面問題，建立基底分解的解題思維.3.理解定理，能判斷基底并完成向量分解；4.運(yùn)用推論解決四點(diǎn)共面問題.1.題型：期末多以選擇、填空題形式考查，較少在解答題中單獨(dú)出現(xiàn).2.重點(diǎn)：期末考查核心是向量基底分解，偶爾涉及四點(diǎn)共面推論的應(yīng)用.3.難度：中等，側(cè)重基礎(chǔ)理解與簡單應(yīng)用三：空間向量坐標(biāo)運(yùn)算1.快速準(zhǔn)確建立坐標(biāo)系，熟練運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算公式.2.通過坐標(biāo)運(yùn)算解決向量問題，形成“幾何→代數(shù)→幾何”的解題鏈條.3.熟練建系及坐標(biāo)運(yùn)算公式；4.用坐標(biāo)運(yùn)算解決向量問題.1.題型：貫穿期末選擇、填空、解答題，是解答題中立體幾何問題的核心解題工具.2.重點(diǎn)：期末核心考查坐標(biāo)系建立、向量坐標(biāo)求解及基礎(chǔ)坐標(biāo)運(yùn)算的準(zhǔn)確性.3.難度：中等，是期末高頻考點(diǎn)，運(yùn)算量適中，側(cè)重基礎(chǔ)公式的應(yīng)用.四：空間向量研究線面關(guān)系1.熟練求解方向向量與法向量.2.運(yùn)用向量準(zhǔn)確判斷線線、線面、面面關(guān)系，求解各類空間角.3.熟練求方向向量、法向量；4.用向量判斷線面關(guān)系、求空間角.1.題型：期末解答題核心考點(diǎn)，選擇、填空題也會涉及，綜合度較高.2.重點(diǎn)：期末考查重點(diǎn)是法向量求解、線面垂直/平行的證明，以及異面直線夾角、線面角計(jì)算.3.難度：中等偏上，是期末立體幾何板塊的核心得分點(diǎn)，不涉及復(fù)雜探究性問題五：空間向量研究距離與夾角問題1.熟練運(yùn)用向量公式求解各類空間距離.2.準(zhǔn)確求解各類空間角，規(guī)避范圍與公式錯(cuò)誤.3.熟練用向量求空間距離；1.題型：期末選擇、填空、解答題均有考查，常與線面關(guān)系判斷綜合命題.2.重點(diǎn)：期末核心考查點(diǎn)到平面距離、二面角的基礎(chǔ)計(jì)算，難度低于高考.3.難度：中等偏上，側(cè)重基礎(chǔ)公式應(yīng)用與轉(zhuǎn)化思想，是期末拉開分差的關(guān)鍵考點(diǎn)之一.考點(diǎn)一：空間向量線性運(yùn)算1.核心概念：線性運(yùn)算（加法：三角形/平行四邊形法則；減法：三角形法則；數(shù)乘：，為實(shí)數(shù)）；共線向量定理（時(shí)，存在唯一，使）；共面向量定理（不共線時(shí)，與共面?存在唯一，使）.2.核心公式：運(yùn)算律（；；）；共線判定（）；共面判定（不共線)）.3.易錯(cuò)點(diǎn)：混淆“共線”與“共面”（共線向量一定共面，共面向量不一定共線）；忽略共線定理中的條件，直接用判定共線.4.?？冀Y(jié)論：四點(diǎn)共面且（為空間任一點(diǎn)）；直線且與不重合.考點(diǎn)二：空間向量基本定理1.核心概念：基底（不共面的三個(gè)向量，基向量非零）；定理（任一空間向量可唯一表示為）.2.核心公式：向量分解式（，唯一）；四點(diǎn)共面推論（且共面）.3.易錯(cuò)點(diǎn)：將共面向量作為基底（如正方體中同一面的三個(gè)邊向量不可作基底）；忽略分解系數(shù)的唯一性，多解或漏解.4.?？冀Y(jié)論：選基底優(yōu)先選“從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱向量”（如正方體中）；若且為基底，則唯一確定.考點(diǎn)三：空間向量坐標(biāo)運(yùn)算1.核心概念：空間直角坐標(biāo)系（以兩兩垂直且共點(diǎn)的直線為坐標(biāo)軸）；向量坐標(biāo)（，由起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)差求得）.2.核心公式：線性運(yùn)算（；）；數(shù)量積（）；模長（）；夾角（）；共線（）；垂直（）.3.易錯(cuò)點(diǎn)：建系錯(cuò)誤（坐標(biāo)軸不垂直，如將斜棱柱的側(cè)棱作為軸）；坐標(biāo)計(jì)算錯(cuò)（中點(diǎn)坐標(biāo)漏除2、對稱點(diǎn)坐標(biāo)符號搞反）；夾角公式漏絕對值（直接用求線線角）.4.常考結(jié)論：點(diǎn)關(guān)于面對稱點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)為；若，則（直接用坐標(biāo)判定）.考點(diǎn)四：空間向量研究線面關(guān)系1.核心概念：方向向量（與直線平行的非零向量，如直線的）；法向量（與平面垂直的非零向量，如平面的）；線面關(guān)系（平行、垂直、夾角：異面直線角、線面角、二面角）.2.核心公式：異面直線角（，）；線面角（，）；二面角（，，符號由圖形判斷）；線面平行（且直線不在平面內(nèi)）；線面垂直（）.3.易錯(cuò)點(diǎn)：法向量求解漏解（忽略相反向量，如與均為法向量）；線面角與法向量夾角混淆（誤用求線面角）；二面角符號判斷錯(cuò)（直接取，忽略鈍角）.4.?？冀Y(jié)論：正方體/長方體中，可直接取棱向量為方向向量，面的法向量可由棱向量叉乘快速求得；若直線的與平面的平行，則（期末高頻證明）.考點(diǎn)五：空間向量研究距離與夾角問題1.核心概念：空間距離（點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、平行直線間、平行平面間距離）；空間夾角（異面直線角、線面角、二面角，范圍不同公式有別）；核心公式（點(diǎn)到直線：；點(diǎn)到平面：；平行直線/平面間距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線/平面距離；夾角公式同考點(diǎn)四）.2.易錯(cuò)點(diǎn)：距離轉(zhuǎn)化錯(cuò)（平行平面間距離直接用兩法向量距離計(jì)算）；夾角范圍記錯(cuò)（異面直線角誤取，實(shí)際為）；點(diǎn)到平面距離公式漏絕對值（直接用）.3.?？冀Y(jié)論：若平面α∥β，則α內(nèi)任一點(diǎn)到β的距離都相等（期末簡化計(jì)算）；求異面直線距離時(shí)，若兩直線垂直，可直接用公垂線段長度（結(jié)合向量更簡便）.題型一向量線性運(yùn)算化簡與求值解｜題｜技｜巧解題關(guān)鍵：熟練掌握三角形法則、平行四邊形法則，利用幾何體棱的平行/相等關(guān)系轉(zhuǎn)化向量.答題模板：1.審題標(biāo)注：明確目標(biāo)向量，圈出已知向量及幾何體中棱的平行、相等關(guān)系（如、）；2.向量轉(zhuǎn)化：將目標(biāo)向量逐步拆分為已知向量的線性組合，利用幾何體結(jié)構(gòu)特征替換等價(jià)向量；3.運(yùn)算化簡：依據(jù)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算律（交換律、結(jié)合律、分配律）整理表達(dá)式；4.驗(yàn)證結(jié)果：檢查運(yùn)算過程中符號、系數(shù)是否正確，確?；喗Y(jié)果簡潔且符合題意.【典例1】（24-25高二下·云南·期末）如圖，在三棱錐中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，記，則（

）A． B．C． D．【變式1】（24-25高二下·江蘇南京·期末）在三棱錐中，，，，且，，則等于（

）A． B．C． D．【變式2】（24-25高二下·甘肅白銀·期末）在四面體中，，，棱，的中點(diǎn)分別為，，若，則.題型二共線/共面向量定理應(yīng)用答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：牢記共線判定、四點(diǎn)共面判定且.答題模板：1.共線判斷模板：①提取兩條直線對應(yīng)的方向向量、；②假設(shè)（），列出橫、縱、豎坐標(biāo)對應(yīng)的等式；③求解，若存在唯一非零滿足所有等式，則兩直線共線（平行），否則不共線.2.共面判斷模板：①選取空間任意一點(diǎn)（優(yōu)先選幾何體頂點(diǎn)，簡化計(jì)算）；②寫出、、、的向量關(guān)系，整理為的形式；③計(jì)算系數(shù)和，若等于1，則、、、四點(diǎn)共面，否則不共面.【典例1】（24-25高二上·廣東廣州·月考）已知點(diǎn)D在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點(diǎn)，滿足，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高二下·福建漳州·期末）在三棱錐中，是平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（

）A． B．1 C．2 D．3【變式2】（24-25高二上·江蘇南通·期末）已知三點(diǎn)不共線，點(diǎn)在平面外，點(diǎn)滿足，則當(dāng)點(diǎn)共面時(shí)，實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．題型三基底的判斷與選擇答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：明確基底必備條件（三個(gè)向量不共面、非零），優(yōu)先選擇同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱向量作為基底.答題模板：1.基底判斷模板：①第一步驗(yàn)證向量非零：確認(rèn)三個(gè)向量均不為零向量；②第二步假設(shè)共面：假設(shè)三個(gè)向量、、共面，根據(jù)共面向量定理設(shè)；③第三步求解方程：列出坐標(biāo)等式組，若方程組無解，則向量不共面，可作為基底；若有解，則共面，不可作為基底。2.基底選擇模板：①優(yōu)先選同一頂點(diǎn)出發(fā)、兩兩垂直或夾角明確的三條棱向量（如正方體中、、）；②確保所選基底能便捷表示幾何體中其他所需向量，減少后續(xù)運(yùn)算量.【典例1】（24-25高二下·安徽亳州·期末）在三棱柱中，為的中點(diǎn)，則.【變式1】（24-25高二上·湖南邵陽·期末）平行六面體中，，，，則．【變式2】（24-25高二上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）在正四面體中，，則（用，，表示）．若，則．題型四向量的基底分解答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：利用幾何體中的平行、相等、垂直關(guān)系，通過線性運(yùn)算拆分目標(biāo)向量，結(jié)合定理唯一性確定系數(shù).答題模板：1.確定基底：明確選定的基底，標(biāo)注基底向量的方向和長度關(guān)系；2.拆分目標(biāo)向量：結(jié)合幾何體結(jié)構(gòu)，將目標(biāo)向量沿基底方向拆分，利用等關(guān)系轉(zhuǎn)化為基底相關(guān)向量；3.列等式：根據(jù)向量相等的定義，將目標(biāo)向量表示為的形式，對應(yīng)基底向量的系數(shù)；4.求解系數(shù)：通過幾何體中的長度、平行關(guān)系列方程，解出、、，最終寫出分解式.【典例1】（24-25高二上·遼寧大連·期中）如圖，在四面體OABC中，，，，點(diǎn)在OA上，且，點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，設(shè)，則.【變式1】（23-24高二下·福建寧德·期末）四棱錐的底面是平行四邊形，且，若則．【變式2】（23-24高二上·河北石家莊·期末）如圖所示，在平行六面體中，，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且，若，則.題型五坐標(biāo)運(yùn)算與向量性質(zhì)判斷答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：熟記坐標(biāo)運(yùn)算公式，求線線角時(shí)注意夾角公式取絕對值，垂直判定直接用數(shù)量積為0.答題模板：1.明確向量坐標(biāo)：寫出已知向量、的坐標(biāo)；2.執(zhí)行運(yùn)算：①線性運(yùn)算：，；②數(shù)量積：；③模長：；④線線角：（）.3.性質(zhì)判斷：①共線：、、（存在唯一）；②垂直：，即.【典例1】【多選題】（24-25高二上·福建三明·期末）設(shè)，向量，，，且，，則（

）．A． B． C． D．【變式1】【多選題】（24-25高二上·浙江杭州·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．A，B，C三點(diǎn)共線C． D．在上的投影向量為【變式2】【多選題】（24-25高二上·河南鄭州·期末）已知空間向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與共面B．C．在上的投影向量為D．與夾角的余弦值為題型六線線、線面、面面平行/垂直的證明答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：熟練求解方向向量、法向量；牢記判定關(guān)系（如線面垂直直線方向向量與平面法向量平行）.答題模板：1.準(zhǔn)備工作：建立空間直角坐標(biāo)系（若未建立），寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；2.求向量：①方向向量：取直線上兩點(diǎn)，計(jì)算兩點(diǎn)坐標(biāo)差得方向向量（如直線的方向向量）；②法向量：設(shè)平面法向量，取平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量、，列方程組，求解得法向量（取最簡整數(shù)比）；3.判定證明：①線線平行：（存在使）；線線垂直：；②線面平行：且直線上一點(diǎn)不在平面內(nèi)；線面垂直：（存在使）；③面面平行：（存在使）；面面垂直：；4.寫結(jié)論：結(jié)合判定條件，得出平行/垂直的最終結(jié)論.【典例1】（24-25高二上·浙江紹興·期末）如圖，在三棱柱中，底面，，，，為的中點(diǎn)，為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)試判斷是否存在，使得直線.若存在，求的長；若不存在，請說明理由.【變式1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，M為AD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，且.(1)若時(shí)，求證：；(2)若，E為上一動(dòng)點(diǎn)，且平面ABCD，求EP的最小值；(3)若，點(diǎn)O為三棱錐外接球的球心，求OP的取值范圍.【變式2】（24-25高二上·湖南·期末）在長方體中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，當(dāng)平面時(shí)，的值為.題型七空間角的計(jì)算答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：明確各角范圍，熟記夾角公式（異面直線角用方向向量夾角絕對值的余弦，線面角用方向向量與法向量夾角絕對值的正弦），準(zhǔn)確求解法向量.答題模板：1.異面直線角計(jì)算模板：①求方向向量：分別求出兩條異面直線的方向向量、；②代入公式：（）；③求角度：根據(jù)的值，結(jié)合特殊角三角函數(shù)值求出.2.線面角計(jì)算模板：①求向量：求出直線方向向量和平面法向量；②代入公式：（）；③求角度：根據(jù)的值求出（注意區(qū)分線面角與法向量夾角，避免用錯(cuò)公式）.【典例1】（24-25高一下·海南·期末）如圖，已知三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，且，，M、N、P、D分別是、、、的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線平面所成角的正弦值.【變式1】（24-25高二下·廣東深圳·期末）如圖，正三棱柱的所有棱長都為，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【變式2】（24-25高二下·福建寧德·期末）如圖，直四棱柱的底面是正方形，，，分別為線段，上的點(diǎn)，且滿足.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.題型八點(diǎn)到平面距離的計(jì)算答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：熟記點(diǎn)到平面距離公式（為平面內(nèi)點(diǎn)，為法向量），平行平面間距離轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)任一點(diǎn)到另一平面的距離.答題模板：1.點(diǎn)到平面距離模板：①確定向量：選取平面內(nèi)任意一點(diǎn)，目標(biāo)點(diǎn)為，求出；求平面的法向量；②代入公式：（絕對值保證距離非負(fù)）；③計(jì)算結(jié)果：代入坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積和模長，得出距離值.2.平行關(guān)系距離轉(zhuǎn)化模板：①平行直線間距離：轉(zhuǎn)化為其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離（同點(diǎn)到直線距離方法）；②平行平面間距離：轉(zhuǎn)化為其中一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離（同點(diǎn)到平面距離方法），無需額外求法向量.【典例1】（24-25高二上·上?！て谀┤鐖D，在四棱臺中，底面是菱形，棱平面，，，，則點(diǎn)到平面的距離為.【變式1】（24-25高二上·天津和平·期末）正方體的棱長為分別為的中點(diǎn)，為底面的中心，則點(diǎn)到平面的距離為.【變式2】（24-25高二上·上海寶山·期中）平面經(jīng)過點(diǎn)，且的法向量，則到平面的距離為．題型九二面角與距離綜合計(jì)算答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：先準(zhǔn)確求解兩個(gè)平面的法向量，判斷二面角大?。ㄤJ角/鈍角），再結(jié)合距離公式計(jì)算，注意運(yùn)算準(zhǔn)確性.答題模板：1.求二面角：①建立坐標(biāo)系，寫出兩個(gè)平面內(nèi)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；②分別求出兩個(gè)平面的法向量、；③計(jì)算法向量夾角余弦值：；④判斷二面角類型：根據(jù)幾何體圖形，判斷二面角為銳角或鈍角，二面角與相等或互補(bǔ)，得出的大小.2.求距離：①若求點(diǎn)到平面距離，按題型9模板計(jì)算；②若求異面直線距離，先找公垂線方向向量（可由兩直線方向向量叉乘得到），再取兩直線上各一點(diǎn)構(gòu)造向量，投影到公垂線方向向量上求模長。3.綜合總結(jié)：整理二面角大小和距離結(jié)果，規(guī)范書寫答題步驟.【典例1】（25-26高二上·北京·期中）如圖，四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，，底面ABCD.

(1)證明：；(2)若，求二面角的余弦值；(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)到平面的距離.【變式1】（24-25高二下·廣東深圳·期末）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面，，分別為棱，的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【變式2】（24-25高二下·四川涼山·期末）如圖，在圓錐中，為底面圓的內(nèi)接四邊形，對角線過圓心，圓錐母線長為，，.(1)若，平面與平面的交線為，證明：；(2)若，求平面與平面所成角的正弦值.題型十動(dòng)態(tài)問題中的向量應(yīng)用（含動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線/平面）答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：1.用參數(shù)（如、）表示動(dòng)態(tài)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)態(tài)向量；2.將幾何條件（平行、垂直、角度范圍）轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的代數(shù)方程/不等式；3.借助函數(shù)值域或不等式求解參數(shù)范圍.答題模板：1.參數(shù)化建模：①建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（含參數(shù)，如，用表示其中1-2個(gè)變量）；②寫出動(dòng)態(tài)直線的方向向量或動(dòng)態(tài)平面的法向量（含參數(shù)）.2.轉(zhuǎn)化條件：①根據(jù)題意列出幾何條件（如線面垂直則方向向量與法向量共線、角度則余弦值）；②將向量關(guān)系代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的方程或不等式.3.求解參數(shù)：①解代數(shù)方程/不等式，確定參數(shù)的取值范圍；②若求最值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性或基本不等式計(jì)算極值.4.驗(yàn)證結(jié)論：結(jié)合動(dòng)態(tài)場景驗(yàn)證參數(shù)范圍的合理性，確保幾何意義與代數(shù)結(jié)果一致.【典例1】【多選題】（25-26高二上·浙江杭州·期中）棱長為2的正方體中，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若是棱的中點(diǎn)，則平面B．存在點(diǎn)使C．若與平面所成的角記為，則D．點(diǎn)到直線的距離最小值為【變式1】【多選題】（24-25高二上·貴州畢節(jié)·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．三棱錐的體積是C．的最小值為D．不存在點(diǎn)使直線與直線夾角的余弦值為【變式2】【多選題】（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知正方體棱長為2，點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則（）A．三棱錐體積為定值B．二面角為定值C．直線與平面所成角的正弦值取值范圍為D．的最小值為題型十一空間角與距離的最值問題答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：1.將角或距離表示為關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)（如線段長度、角度參數(shù)）；2.利用向量公式轉(zhuǎn)化函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合變量的取值范圍求最值；3.區(qū)分“角的最值”與“三角函數(shù)值的最值”（如異面直線角最小對應(yīng)余弦值最大）.答題模板：1.變量設(shè)定：①建立坐標(biāo)系，設(shè)影響角/距離的變量（如線段上動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)，）；②寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)（含變量）.2.函數(shù)轉(zhuǎn)化：①代入空間角或距離公式，將所求量表示為關(guān)于變量的函數(shù)（如、）；②化簡函數(shù)表達(dá)式，明確變量的取值范圍（由幾何體邊界確定）.3.求最值：①利用一次函數(shù)單調(diào)性、二次函數(shù)頂點(diǎn)式或基本不等式求函數(shù)最值；②結(jié)合角的范圍（如二面角）轉(zhuǎn)化函數(shù)最值，得到幾何量的最值（如最小則最大）.4.確定最值條件：找到取得最值時(shí)的變量值，明確對應(yīng)的幾何位置（如動(dòng)點(diǎn)的具體坐標(biāo)）【典例1】（24-25高一下·黑龍江·期末）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，點(diǎn)在底面的投影恰為的重心．(1)求證：；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．①求四棱錐的體積；②求平面與平面夾角的余弦值的最大值．【變式1】（24-25高二下·云南麗江·期末）如圖，在直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)若且，求平面與平面所成銳二面角余弦值的取值范圍．【變式2】（24-25高一下·浙江寧波·期末）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，．(1)求四棱錐的體積的最大值：(2)在（1）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值；(3)若，求平面與平面夾角的余弦值的最大值．題型十二折疊問題中的空間向量求解答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：1.區(qū)分折疊前后的“不變量”（長度不變、共面關(guān)系不變）與“變量”（空間位置關(guān)系變化）；2.折疊后以“不變的垂直關(guān)系”為依據(jù)建立坐標(biāo)系；3.注意折疊后平面與平面的交線，以此為橋梁關(guān)聯(lián)前后坐標(biāo).答題模板：1.分析折疊前后的關(guān)系：①標(biāo)注平面圖形中的垂直關(guān)系、線段長度（不變量）；②確定折疊后幾何體的結(jié)構(gòu)，明確交線（如折痕為交線）.2.建系與坐標(biāo)求解：①以折疊后仍垂直的兩條線段為坐標(biāo)軸，折痕上的頂點(diǎn)為原點(diǎn)；②利用不變的線段長度，寫出折疊后各頂點(diǎn)的坐標(biāo)（注意折疊后空間位置的變化，避免坐標(biāo)符號錯(cuò)誤）.3.向量運(yùn)算：①計(jì)算方向向量與法向量，驗(yàn)證折疊后的垂直/平行關(guān)系；②代入空間角或距離公式計(jì)算所求量.4.驗(yàn)證合理性：結(jié)合折疊的動(dòng)態(tài)過程，驗(yàn)證所求角或距離是否符合空間幾何體的實(shí)際位置關(guān)系.【典例1】（25-26高二上·安徽蕪湖·期中）如圖，在平面四邊形中為等腰直角三角形，為正三角形，，將沿翻折至，其中為動(dòng)點(diǎn).(1)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上：①當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求球的表面積；②求球的表面積的最小值；(2)求二面角的余弦值的最小值.【變式1】（25-26高二上·江西宜春·月考）如圖1，在平面四邊形中，，，，，將沿翻折到的位置，使得平面平面，如圖2所示.(1)求證：平面；(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為，求平面與平面所成的二面角的余弦值.【變式2】（25-26高三上·湖北襄陽·月考）如圖，在中，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，將沿翻折至，得到四棱錐為棱上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）．(1)若為棱的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，直線與平面所成角的正弦值為，求.題型十三向量法解決探索性問題（存在性問題）答｜題｜模｜板解題關(guān)鍵：1.假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)或直線，用參數(shù)表示其坐標(biāo)或方向向量；2.將幾何條件轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)方程；3.若方程有解則存在，無解則不存在.答題模板：1.假設(shè)與參數(shù)化：①假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)（或直線），設(shè)的坐標(biāo)為（含參數(shù)，如在某線段上則用表示為，）；②寫出相關(guān)直線的方向向量或平面的法向量.2.條件轉(zhuǎn)化：①將題目條件（如平面則垂直平面內(nèi)兩條相交直線）轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系（如且）；②代入坐標(biāo)得到關(guān)于參數(shù)的方程組.3.求解驗(yàn)證：①解方程組，判斷是否存在符合條件的參數(shù)（如）；②若存在，求出參數(shù)值并確定點(diǎn)/直線的位置；若不存在，說明方程無解的原因.4.總結(jié)結(jié)論：明確寫出“存在”或“不存在”，并補(bǔ)充對應(yīng)的幾何位置（如存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)位于線段中點(diǎn)）.【典例1】（25-26高三上·北京昌平·月考）如圖，四邊形、均為直角梯形，，，，且．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線和平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【變式1】（25-26高二上·江蘇無錫·期中）如圖，平行六面體的所有棱長均為1，，，平面平面，點(diǎn)，滿足，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成的角的正弦值；(3)是否存在點(diǎn)在線段上，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【變式2】（25-26高二上·河北秦皇島·期中）如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，且，，，為中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時(shí)間：30分鐘）一、單選題1．（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知為空間的一組基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一組基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（21-22高一下·重慶沙坪壩·期末）如圖，在斜三棱柱中，為的中點(diǎn)，為靠近的三等分點(diǎn)，設(shè)，則用表示為（）A． B．C． D．3．（25-26高二上·湖北孝感·期中）設(shè)空間向量.若不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則（

）A． B． C． D．4．（25-26高二上·河北張家口·期中）設(shè)，向量，且，，則（

）A． B． C．4 D．3二、多選題5．（23-24高二上·廣東深圳·期中）已知空間中三點(diǎn)，則（

）A．向量與向量垂直B．平面的一個(gè)法向量為C．與的夾角余弦值為D．三、填空題6．（25-26高二上·天津河?xùn)|·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，若，四點(diǎn)共面，則．7．（25-26高二上·云南·月考）如圖，在棱長均為1的平行六面體中，，則.

8．（24-25高二上·安徽黃山·期末）已知正方體的邊長為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為.9．（24-25高二下·甘肅白銀·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，且平面的一個(gè)法向量，則直線與平面所成角的正弦值為.10．（24-25高二下·河南南陽·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，，平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為.期末重難突破練（測試時(shí)間：60分鐘）一、單選題1．（24-25高二上·河南周口·月考）在正三棱錐中，，點(diǎn)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高一下·吉林松原·期末）鄭國渠是秦王嬴政命鄭國修建的著名水利工程，先人用智慧和勤勞修筑了一道道堅(jiān)固的堤壩.如圖是一道堤壩的示意圖，堤壩斜面與底面的交線記為，點(diǎn)分別在堤壩斜面與地面上，過點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為，若，二面角的大小為，則（

）A．3 B． C． D．63．（24-25高二上·福建南平·期末）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為底面的重心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面分別交，，于點(diǎn)，，，若，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題4．（24-25高一下·廣東云浮·期末）已知正四面體的每條棱長均為為正四面體的外接球的直徑，點(diǎn)在正四面體的表面上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．正四面體外接球的表面積為B．正四面體內(nèi)切球的體積為C．的最大值為D．的最小值為5．（24-25高一下·浙江寧波·期末）在長方體中，，空間中的點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（

）A．若，則點(diǎn)在平面上B．若，且，則與面所成角最小值的正切值為C．若，則的最小值為D．若，且在長方體表面上，則的軌跡長度為6．（2025·湖南·三模）如圖，兩個(gè)邊長均為1的正方形與正方形所在的平面互相垂直.點(diǎn)，分別是對角線，上的動(dòng)點(diǎn)，且，的長度相等，記，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（

）

A．B．的最小值是C．三棱錐與三棱錐的體積相等D．若點(diǎn)，，，，，在同一個(gè)球的球面上，則該球的體積是三、解答題7．（25-26高二上·福建福州·期中）如圖（1），在直角梯形中，，，過的中點(diǎn)作交于點(diǎn)，，現(xiàn)將四邊形沿著翻折至位置，使得，如圖（2）所示．(1)證明：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由．8．（23-24高二上·天津北辰·期中）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD內(nèi)過B作，交AD于O，連PO.

(1)求證：平面ABCD；(2)求面APB與面PBC所成角的正弦值；(3)在線段PA上存在一點(diǎn)M，使直線BM與平面PAD所成的角的正弦值為，求PM的長.9．（24-25高一下·重慶·期末）已知梯形中，，如圖1.將沿折起到，得到三棱錐，如圖2，分別為棱?的中點(diǎn).(1)若，求證：平面平面；(2)若，求二面角的正弦值；(3)是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.10．（24-25高二下·福建泉州·期末）如圖，在四棱臺中，．底面ABCD為菱形，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．，連接AC、BD，設(shè)交點(diǎn)為O，連接．(1)求證：；(2)若，且二面角大小為60°，求三棱錐外接球的表面積．期末綜合拓展練（測試時(shí)間：6-分鐘）1．（25-26高二上·遼寧朝陽·期中）球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科.如圖1，球O的半徑為R，A，B，C為球面上三點(diǎn)，曲面ABC（陰影部分）叫做球面三角形.若設(shè)二面角C-OA-B，A-OB-C，B-OC-A分別為，，，則球面三角形ABC的面積為.

(1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC兩兩垂直，求球面三角形ABC的面積；(2)將圖1中四面體OABC截出得到圖2，若平面三角形ABC為直角三角形，，延長AO與球O交于點(diǎn)D，連接BD，CD.（ⅰ）證明：；（ⅱ）若直線DA，DC與平面ABC所成的角分別為，，且，，S為AC的中點(diǎn)，T為BC的中點(diǎn)，設(shè)平面OBC與平面EST的夾角為，求的最小值.2．（24-25高一下·山西運(yùn)城·期末）離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo).設(shè)為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面.如圖，在三棱錐中.(1)求三棱錐在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；(2)若平面，三棱錐在頂點(diǎn)處的離散曲率為，求點(diǎn)到平面的距離；(3)在（2）的前提下，又知點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角的余弦值為，求的長度.3．（24-25高二下·云南昭通·期末）空間直角坐標(biāo)系中，任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的一個(gè)方向向量唯一確定，其標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為.若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，整理成一般式方程為.若直線與平面相交，則可以通過聯(lián)立直線和平面的方程求出交點(diǎn)坐標(biāo).若兩個(gè)平面相交，則交線的方向向量可由兩個(gè)平面的法向量確定.已知直線的方向式方程為，平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，平面的一般式方程為(1)求直線與平面所成角的余弦值；(2)求與所成角的正弦值；(3)已知三棱柱的頂點(diǎn)，平面的方程為，直線的方程為，平面的方程為.求點(diǎn)坐標(biāo)及直線與直線所成角的余弦值.4．（24-25高一下·黑龍江哈爾濱·月考）在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，已知向量，點(diǎn)．若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程為，一般式方程可表示為．(1)若直線l的方向向量為，平面α的一般式方程為，求直線l與平面α所成角的正弦值；(2)若平面β經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，平面γ的一般式方程為，直線l為平面β和平面γ的交線，求平面β的一般式方程，并求直線l的單位方向向量（寫出一個(gè)即可）；(3)已知集合，，記集合Q中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為．（?。┤?，求幾何體的體積和的表面積．（ⅱ）若，求幾何體的體積關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．5．（2025·全國·模擬預(yù)測）如圖，矩形中為中點(diǎn)，將沿著折疊至.(1)證明：平面；(2)設(shè)平面平面，點(diǎn)，過作一截面，與棱分別交于點(diǎn)，且平面，記四棱錐的體積為，四棱錐的體積為，若直線與平面所成角的正弦值為，求.6．（24-25高三下·甘肅白銀·月考）空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：①多面體頂點(diǎn)的曲率等于減去多面體在該點(diǎn)處所有面角之和；②多面體的總曲率等于多面體所有頂點(diǎn)的曲率之和，多面體各頂點(diǎn)的平均曲率等于它的總曲率與頂點(diǎn)數(shù)之商，其中多面體的面的內(nèi)角叫作多面體的面角，角度用弧度制．例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為．(1)如圖1，已知四棱錐的底面ABCD為菱形，，O為BD的中點(diǎn)，且平面ABCD，．①求該四棱錐在頂點(diǎn)P處的曲率的余弦值；②求二面角的平面角的正弦值；(2)瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他對簡單多面體進(jìn)行研究后，提出了著名的歐拉定理：簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E與面數(shù)F滿足．請運(yùn)用歐拉定理解決下列問題：碳60（）具有超導(dǎo)特性、抗化學(xué)腐蝕性、耐高壓以及強(qiáng)磁性，是一種應(yīng)用廣泛的材料．它的分子結(jié)構(gòu)十分穩(wěn)定，形似足球，也叫足球烯，如圖2所示．已知碳60（）的分子結(jié)構(gòu)是一個(gè)由60個(gè)C原子構(gòu)成的分子，這個(gè)多面體有60個(gè)頂點(diǎn)，試求碳60（）各頂點(diǎn)的平均曲率．

專題06概率與統(tǒng)計(jì)（12個(gè)考點(diǎn)清單+11類題型解讀）知識點(diǎn)01：條件概率（1）一般地，設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．知識點(diǎn)02：條件概率性質(zhì)應(yīng)用（1）由條件概率的定義，對任意兩個(gè)事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（2）如果和是兩個(gè)互斥事件，則；知識點(diǎn)03：全概率公式及其應(yīng)用一般地,設(shè),,是一組兩兩互斥的事件,,且，,則對任意的事件,有,我們稱此公式為全概率公式.知識點(diǎn)04：貝葉斯公式及其應(yīng)用（1）設(shè),,是一組兩兩互斥的事件,,且，，則對任意的事件,，有，.知識點(diǎn)05：離散型隨機(jī)變量分布列均值，方差知識點(diǎn)06：均值和方差的性質(zhì)①若與都是隨機(jī)變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.②若與相互獨(dú)立，則.③若與都是隨機(jī)變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.知識點(diǎn)07：二項(xiàng)分布1.定義一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開式各對應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．2.二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．3.二項(xiàng)分布的期望、方差若，則，．知識點(diǎn)08：超幾何分布1.定義在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．01……2.超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)（1）適用范圍：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布．（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．知識點(diǎn)09：正態(tài)分布一、正態(tài)曲線1.定義：我們把函數(shù)，（其中是樣本均值，是樣本標(biāo)準(zhǔn)差）的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．2.正態(tài)曲線的性質(zhì)（1）曲線位于軸上方，與軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；（3）曲線在處達(dá)到峰值（最大值）；（4）曲線與軸之間的面積為1；（5）當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示：（6）當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：甲乙二、正態(tài)分布1.定義隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過點(diǎn)和點(diǎn)的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．一般地，如果對于任何實(shí)數(shù)，，隨機(jī)變量滿足，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．2.原則若，則對于任意的實(shí)數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍的概率越大特別地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，并簡稱之為原則．知識點(diǎn)10：線性回歸模型1.線性回歸線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法．對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為其中，，，（，）稱為樣本點(diǎn)的中心．2.殘差分析對于預(yù)報(bào)變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值等于殘差，稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差，即有．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．（1）殘差圖通過殘差分析，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適．（2）通過殘差平方和分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；反之，不合適．（3）相關(guān)指數(shù)用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：．越接近于，說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．題型六】線性回歸模型知識點(diǎn)11：非線性回歸模型解答非線性擬合問題，要先根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，通過換元將陌生的非線性回歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程．求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原后即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測，注意計(jì)算要細(xì)心，避免計(jì)算錯(cuò)誤．1.建立非線性回歸模型的基本步驟：（1）確定研究對象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量；（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；（3）由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型等）；（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；（5）按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；（6）消去新元，得到非線性回歸方程；（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．知識點(diǎn)12：獨(dú)立性檢驗(yàn)1.分類變量和列聯(lián)表（1）分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．（2）列聯(lián)表：①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表．一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為總計(jì)總計(jì)從列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系．2.等高條形圖（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系．3.獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）定義：利用獨(dú)立性假設(shè)、隨機(jī)變量來確定是否有一定把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)．（2）公式：，其中為樣本容量．（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體步驟如下：①計(jì)算隨機(jī)變量的觀測值，查下表確定臨界值：0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②如果，就推斷“與有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下不能推斷“與有關(guān)系”．題型一：條件概率 7題型二：全概率公式 10題型三：貝葉斯公式 13題型四：離散型隨機(jī)變量的均值與方差 16題型五：獨(dú)立事件的乘法公式 20題型六：二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 27題型七：超幾何分布 31題型八：正態(tài)分布 38題型九：線性回歸方程 43題型十：非線性回歸方程 48題型十一：獨(dú)立性檢驗(yàn) 52【題型一：條件概率】一、單選題1．（23-24高二下·天津?yàn)I海新·期末）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，設(shè)事件A=“有4名航天員在天和核心艙”，事件B=“甲乙二人在天和核心艙”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件概率公式、古典概型概率公式求解即可.【詳解】由條件概率公式、古典概型概率公式可知，所求為.故選：B.2．（23-24高二下·上?！て谀⒁幻队矌胚B續(xù)拋擲三次，每次得到正面或反面的概率均為，且三次拋擲的結(jié)果互相獨(dú)立．記事件為“至少兩次結(jié)果為正面”，事件為“第三次結(jié)果為正面”，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，先計(jì)算，再利用條件概率的公式，即可求得結(jié)論.【詳解】由題意，，，則.故選：C3．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件概率公式計(jì)算，注意在時(shí)，．【詳解】因?yàn)?，所以，，，，，，故選：C．4．（2024·山西太原·二模）某校高二年級學(xué)生中有60%的學(xué)生喜歡打籃球，40%的學(xué)生喜歡打排球，80%的學(xué)生喜歡打籃球或排球．在該校高二年級的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生，若該學(xué)生喜歡打籃球，則他也喜歡打排球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)在該校高二年級的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生，若該學(xué)生喜歡打籃球?yàn)槭录嗀,在該校高二年級的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生，則他也喜歡打排球?yàn)槭录﨎,,.故選：A.5．（23-24高二下·安徽馬鞍山·期末）假設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)以及條件概率公式即可判斷ABC；舉例判斷D.【詳解】對于A，由于，則，A正確；對于B，由于，，而，不一定相等，故不一定成立，B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)相互獨(dú)立時(shí)，，而，則，C錯(cuò)誤；對于D，不妨舉例拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)A：向上點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，B：向上點(diǎn)數(shù)不小于4，則，，則，D錯(cuò)誤，故選：A6．（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）在某次流感疫情爆發(fā)期間，A，B，C三個(gè)地區(qū)均爆發(fā)了流感，經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)A，B，C地區(qū)分別有的人患過流感，且A，B，C三個(gè)地區(qū)的人數(shù)的比為．現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中隨機(jī)選取一人，則此人患過流感的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】記事件D：選取的這個(gè)人患了流感，記事件E：此人來自A地區(qū)，記事件F：此人來自B地區(qū)，記事件G：此人來自C地區(qū)，則，且彼此互斥，然后根據(jù)條件依次得到、、、、、的值，然后根據(jù)全概率公式公式求解即可.【詳解】記事件D：選取的這個(gè)人患了流感，記事件E：此人來自A地區(qū)，記事件F：此人來自B地區(qū)，記事件G：此人來自C地區(qū)，則，且彼此互斥，由題意可得，，，，，，由全概率公式可得.故選：A.【題型二：全概率公式】一、單選題1．（23-24高二下·湖北·期末）隨著我國鐵路的發(fā)展，列車的正點(diǎn)率有了顯著的提高．據(jù)統(tǒng)計(jì)，途經(jīng)某車站的只有和諧號和復(fù)興號列車，且和諧號列車的列次為復(fù)興號列車的列次的3倍，和諧號列車的正點(diǎn)率為0.98，復(fù)興號列車的正點(diǎn)率為0.99，則一列車能正點(diǎn)到達(dá)該車站的概率為（

）A．0.9825 B．0.9833 C．0.9867 D．0.9875【答案】A【分析】利用全概率公式可得答案.【詳解】依題意，設(shè)到達(dá)該車站列車為和諧號列車的概率為，為復(fù)興號列車的概率為，則一列車能正點(diǎn)到達(dá)該車站的概率為.故選：A.2．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知某羽毛球小組共有20名運(yùn)動(dòng)員，其中一級運(yùn)動(dòng)員4人，二級運(yùn)動(dòng)員6人，三級運(yùn)動(dòng)員10人.現(xiàn)在舉行一場羽毛球選拔賽，若一級、二級、三級運(yùn)動(dòng)員能夠晉級的概率分別為0.9，0.6，0.2，則這20名運(yùn)動(dòng)員中任選一名運(yùn)動(dòng)員能夠晉級的概率為（

）A．0.42 B．0.46 C．0.58 D．0.62【答案】B【分析】由全概率公式即可求解.【詳解】設(shè)事件B為“選出的運(yùn)動(dòng)員能晉級”，為“選出的運(yùn)動(dòng)員是一級運(yùn)動(dòng)員”，為“選出的運(yùn)動(dòng)員是二級運(yùn)動(dòng)員”，為“選出的運(yùn)動(dòng)員是三級運(yùn)動(dòng)員”，則，，，又根據(jù)題意可得，，，由全概率公式可得：，任選一名運(yùn)動(dòng)員能夠晉級的概率為0.46.故選：B.3．（24-25高二上·四川眉山·階段練習(xí)）在5張彩票中有2張有獎(jiǎng)，甲、乙兩人先后從中各任取一張，則乙中獎(jiǎng)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式列式計(jì)算即得.【詳解】記甲中獎(jiǎng)的事件為，乙中獎(jiǎng)的事件為，則，，，所以.故選：B4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某醫(yī)院針對某種疾病研制了新的特效藥，可有效減輕癥狀，縮短病程．現(xiàn)將該藥品投入臨床試驗(yàn)，若不使用新藥，病人3天可痊愈的概率為0.3，若使用新藥，則3天痊愈的概率為0.9，假設(shè)臨床病人有0.7的概率選擇新藥，若某病人3天痊愈，則該病人未使用新藥的概率為（

）A．0.3 B．0.21 C．0.125 D．0.09【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式及條件概率公式計(jì)算即得.【詳解】記事件使用新藥，則不使用新藥，病人3天病愈，依題意，，所以.故選：C5．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）無人酒店是利用人工智能與物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，為客人提供自助入住等服務(wù)的新型酒店，勝在科技感與新奇感．去某地旅游的游客有無人酒店和常規(guī)酒店兩種選擇，某游客去該地旅游，第一天隨機(jī)選擇一種酒店入住，如果第一天入住無人酒店，那么第二天還入住無人酒店的概率為0.8，如果第一天入住常規(guī)酒店，那么第二天入住無人酒店的概率為0.6，則該游客第二天入住無人酒店的概率為（

）A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5【答案】B【分析】由題意記事件第一天入住無人酒店，第二天入住無人酒店，第一天入住常規(guī)酒店，得到和，再由全概率公式求解即可；【詳解】記事件第一天入住無人酒店，第二天入住無人酒店，第一天入住常規(guī)酒店，根據(jù)題意可知，，則由全概率公式可得．故選：B.【題型三：貝葉斯公式】一、單選題1．（23-24高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）根據(jù)曲靖一中食堂人臉識別支付系統(tǒng)后臺數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，高三年級小孔同學(xué)一周只去食堂一樓和二樓吃飯．周一去食堂一樓和二樓的概率分別為和，若他周一去了食堂一樓，那么周二去食堂二樓的概率為，若他周一去了食堂二樓，那么周二去食堂一樓的概率為，現(xiàn)已知小孔同學(xué)周二去了食堂二樓，則周一去食堂一樓的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用貝葉斯概率公式求解即可.【詳解】記小孔同學(xué)周一去食堂一樓為事件A，周二去食堂一樓為事件B，則本題所求．故選：A．2．（23-24高二下·廣東廣州·期末）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為，第2，3臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的.如果取到的零件是次品，則它是第3臺車床加工的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全概率公式找出，再由貝葉斯公式求解.【詳解】記取到“第1，2，3臺車床加工的零件”分別為事件,“取到次品”為事件，故,,由全概率公式可得：,由貝葉斯公式：,故選:B.3．（23-24高二下·福建龍巖·階段練習(xí)）某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：到家時(shí)間5:35到5:395:40到5:445:45到5:495:50到5:54遲于5:54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽車到家的概率0.300.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車回家，結(jié)果他是5:47到家的，則他乘地鐵回家的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用全概率、貝葉斯公式求乘地鐵回家的概率即可.【詳解】若表示乘地鐵，表示乘汽車，則，若表示5:45到5:49到家，則，所以，所以.故選：C4．（23-24高二下·廣東廣州·期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同學(xué)，其中參加數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)的學(xué)生分別有10人和8人，現(xiàn)從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取一名同學(xué)，若抽到的是參加數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)的學(xué)生，則他來自高三（1）班的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)事件后根據(jù)題干得到，，，，由全概率公式求得，由乘法公式得到，由條件概率公式得到.【詳解】設(shè)事件為“抽到的學(xué)生來自高三（1）班”，事件為“抽到的學(xué)生來自高三（2）班”，事件為“抽到的學(xué)生參加數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)”，則，，，，由全概率公式得，由乘法公式得，由條件概率公式得，故選：B.5．（23-24高二下·福建廈門·期中）現(xiàn)有編號為1，2，3的三個(gè)口袋，其中1號口袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號球，一個(gè)2號球和一個(gè)3號球；2號口袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號球，一個(gè)3號球；3號口袋內(nèi)裝有三個(gè)1號球，兩個(gè)2號球；第一次先從1號口袋內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號的口袋中，第二次從該口袋中任取一個(gè)球，下列說法不正確的是（

）A．在第一次抽到3號球的條件下，第二次抽到1號球的概率是B．第二次取到1號球的概率C．如果第二次取到1號球，則它來自1號口袋的概率最大D．如果將5個(gè)不同小球放入這3個(gè)口袋內(nèi)，每個(gè)口袋至少放1個(gè)，則不同的分配方法有150種【答案】B【分析】對于A選項(xiàng)利用條件概率公式求解；對于B選項(xiàng)利用全概率公式求解，對于C選項(xiàng)利用貝葉斯公式求解，對于D選項(xiàng)，不同元素的分配問題，先分類再分配即可求解.【詳解】對于A選項(xiàng)，記事件分別表示第一次、第二次取到號球,，則第一次抽到號球的條件下，第二次抽到號球的概率，故A正確；對于B選項(xiàng)，記事件分別表示第一次、第二次取到號球,,依題意兩兩互斥,其和為,并且，，，，應(yīng)用全概率公式,有，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，依題設(shè)知,第二次的球取自口袋的編號與第一次取的球上的號數(shù)相同,則，，，故在第二次取到1號球的條件下,它取自編號為的口袋的概率最大，故C正確；對于D選項(xiàng)，先將5個(gè)不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份，再放入三個(gè)不同的口袋，則不同的分配方法有，故D正確.故選：B.【題型四：離散型隨機(jī)變量的均值與方差】一、單選題1．（23-24高二下·新疆·期中）已知X服從兩點(diǎn)分布，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的特征計(jì)算即可.【詳解】由題意得，則．故選：.2．（23-24高二下·江蘇南通·期中）已知，若，則（

）A． B．4 C． D．9【答案】B【分析】由題意，由期望的性質(zhì)可知，求解即可.【詳解】由已知服從二項(xiàng)分布，，.故選：B.3．（23-24高二下·湖北武漢·期末）2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領(lǐng)銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機(jī)抽取兩人，則女生人數(shù)的期望為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)抽取的女生人數(shù)為，則可能取值為0，1，2，然后求出相應(yīng)的概率，從而可求出期望.【詳解】設(shè)抽取的女生人數(shù)為，則可能取值為0，1，2，，，，所以.故選：C4．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布如表，離散型隨機(jī)變量Y滿足，則（

）X0123Pa5aA． B． C． D．【答案】A【分析】由概率分布列的性質(zhì)求出，然后得到離散型隨機(jī)變量Y的概率分布列，求即可.【詳解】由題意可知：，所以解得，所以離散型隨機(jī)變量Y的概率分布列為：Y-1135P所以.故選：A.5．（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知X的分布列為01且，，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)分布列的性質(zhì)求的值，可求出，，進(jìn)而可求.【詳解】由可得，所以，，所以.故選：D6．（23-24高二下·全國·期末）離散型隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，代替，分布列如下：則（

）1234560.210.200.100.10A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65【答案】B【分析】根據(jù)概率之和為1得到方程組，求出，得到答案.【詳解】由題意得，解得，，解得，故.故選：B7．（23-24高二下·甘肅·期末）隨機(jī)變量的概率分布列為，其中是常數(shù)，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．35【答案】A【分析】運(yùn)用概率分布列的性質(zhì)求出參數(shù)，結(jié)合方差公式和結(jié)論即可解題.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以，所以，故．故選：A．8．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）已知兩個(gè)盒子中分別裝有形狀、大小、質(zhì)量均相同的小球．其中，盒中有3個(gè)紅球，1個(gè)白球；盒中有1個(gè)紅球，3個(gè)白球，現(xiàn)從兩個(gè)盒子中同時(shí)各取走一個(gè)小球，一共取三次，此時(shí)記盒中的紅球個(gè)數(shù)為盒中的紅球個(gè)數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】得到與的所有可能取值及其對應(yīng)概率后即可得其分布列，借助分布列即可得其期望與方差.【詳解】由已知，，，則的分布列為：01可得，；由已知，，，則的分布列為：01可得，；所以.故選：A.【題型五：獨(dú)立事件的乘法公式】一、單選題1．（24-25高二上·吉林·階段練習(xí)）某乒乓球隊(duì)在長春訓(xùn)練基地進(jìn)行封閉式集訓(xùn)，甲、乙兩位隊(duì)員進(jìn)行對抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏2個(gè)球者獲勝，通過分析甲、乙過去對抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．則該局打4個(gè)球甲贏的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于連勝兩局者贏，則可寫出四局的結(jié)果，計(jì)算即可.【詳解】由于連勝兩局者贏，甲先發(fā)球可分為：該局：第一個(gè)球甲贏、第二個(gè)球乙贏、第三個(gè)球甲贏、第四個(gè)球甲贏，則概率為；故選：C.2．（24-25高二上·湖北鄂州·期中）“五道方”是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進(jìn)行“五道方”比賽，約定連勝兩場者贏得比賽.若每場比賽，甲勝的概率為，乙勝的概率為，則比賽6場后甲贏得比賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解.【詳解】因?yàn)榧s定連勝兩場者贏得比賽，所以比賽6場后甲贏得比賽的情況為：第一場甲勝，第二場乙勝，第三場甲勝，第四場乙勝，第五場甲勝，第六場甲勝，所以所求概率為.故選：C.3．（24-25高二上·吉林長春·期中）2024年斯諾克武漢公開賽前夕，肖國棟與斯佳輝兩人進(jìn)行了熱身賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，熱身進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時(shí)停止，設(shè)肖國棟在每局中獲勝的概率為，斯佳輝在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意得到的可能取值，再根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式和加法概率公式求出對應(yīng)的概率即可.【詳解】依題意知，的所有可能值為2，4，6，設(shè)每兩局比賽為一輪，可以得到該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為如果該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，那么肖國棟與斯佳輝在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響，從而有故選：D.4．（24-25高二上·山東淄博·階段練習(xí)）對于一個(gè)古典概型的樣本空間和事件，若，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．事件A與事件互斥 B．C．事件與事件相互獨(dú)立 D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件計(jì)算，判斷B選項(xiàng)，再根據(jù)判斷C選項(xiàng)，通過計(jì)算D選項(xiàng)，通過判斷A選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，，所以，又，則，所以，B正確；因?yàn)?，所以事件與事件相互獨(dú)立，C正確；所以，D正確；因?yàn)?，所以事件與事件不是互斥事件，A錯(cuò)誤.故選：A5．（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）金秋十月，某校舉行運(yùn)動(dòng)會，甲、乙兩名同學(xué)均從跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和200米跑這四個(gè)項(xiàng)目中選擇兩個(gè)項(xiàng)目參加.設(shè)事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目恰有一個(gè)相同”，事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目完全不同”，事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇100米跑項(xiàng)目”，則（

）A．A與C是對立事件 B．C與D相互獨(dú)立C．A與D相互獨(dú)立 D．B與D不互斥【答案】C【分析】列舉出甲、乙兩名同學(xué)選擇兩個(gè)項(xiàng)目參加的所有情況，計(jì)算每個(gè)事件的概率，可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由相互獨(dú)立的定義可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；由互斥事件的概念可知選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】設(shè)跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和200米跑分別為1，2，3，4，則甲、乙兩名同學(xué)均從跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和200米跑中選擇兩個(gè)項(xiàng)目參加的情況有：（1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213），（1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314），（2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224），（1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36種，其中A有24種情況，B有6種情況，C有6種情況，D有9種情況，則，，，.由可得A與C不是對立事件，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.，C與D不相互獨(dú)立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.，A與D相互獨(dú)立，選項(xiàng)C正確.由B與D不可能同時(shí)發(fā)生可知B與D互斥，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.二、解答題6．（23-24高二下·江蘇南通·期中）為普及安全知識，某單位舉辦了一場安全知識競賽，經(jīng)過初賽、復(fù)賽，有甲、乙兩個(gè)代表隊(duì)（每隊(duì)三人）進(jìn)入決賽，決賽規(guī)則如下：共進(jìn)行三輪比賽，每輪比賽中每人各答一題，每答對一題得10分，答錯(cuò)不得分.假設(shè)甲隊(duì)每人答題正確的概率均為，乙隊(duì)三人答題正確的概率分別.(1)若決賽中三輪總得分大于70分就能獲得特別獎(jiǎng)，求乙隊(duì)獲得特別獎(jiǎng)的概率;(2)因兩隊(duì)在決賽中得分相同，現(xiàn)進(jìn)行附加賽.規(guī)則如下：甲，乙兩隊(duì)抽簽決定誰先答題，每隊(duì)每人各答題一次為一輪，有兩人及以上答對就算成功答題，并繼續(xù)下一輪答題，否則換另一隊(duì)答題，連續(xù)兩輪成功答題的隊(duì)伍獲勝，比賽結(jié)束.求附加賽中甲隊(duì)恰好在第5輪結(jié)束時(shí)獲勝的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）由獨(dú)立乘法、互斥加法公式先求出、，進(jìn)一步即可求解；（2）分別求出甲、乙兩隊(duì)成功答題的概率，分甲先答第一輪、乙先答第一輪兩種情形討論即可求解.【詳解】（1）設(shè)乙隊(duì)每輪得分為，，，三輪積分超過70分，.（2）其中甲隊(duì)成功答題的概率為，其中乙隊(duì)成功答題的概率為，若甲先答第一輪：甲（勝）甲（負(fù)）乙（負(fù)）甲（勝）甲（勝）

，甲（負(fù)）乙（勝）乙（負(fù)）甲（勝）甲（勝），若乙先答第一輪：乙（負(fù)）甲（負(fù)）乙（負(fù)）甲（勝）甲（勝），，甲隊(duì)恰好在第5輪結(jié)束獲勝的概率為.7．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)某電子元件制造廠有甲、乙、丙、丁4條生產(chǎn)線，現(xiàn)有40個(gè)該廠生產(chǎn)的電子元件，其中由甲、乙、丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)的電子元件分別為5個(gè)、10個(gè)、10個(gè)、15個(gè)，且甲、乙、丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)該電子元件的次品率依次為．(1)若將這40個(gè)電子元件按生產(chǎn)線生產(chǎn)的分成4箱，現(xiàn)從中任取1箱，再從中任取1個(gè)電子元件，求取到的電子元件是次品的概率．(2)若將這40個(gè)電子元件裝入同一個(gè)箱子中，再從這40個(gè)電子元件中任取1個(gè)電子元件，取到的電子元件是次品，求該電子元件是乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）借助相互獨(dú)立事件的概率乘法公式與全概率公式計(jì)算即可得；（2）借助全概率公式與條件概率公式計(jì)算即可得.【詳解】（1）記“電子元件分別由甲、乙、丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)”為事件、、、，“取到的電子元件是次品”為事件，由題意得，又，所以；（2）由題意，得，又，所以，所以，故若取到的電子元件是次品，則該電子元件是乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率為．8．（24-25高二上·四川成都·期中）中國乒乓球隊(duì)是中國體育軍團(tuán)的王牌之師，屢次在國際大賽上爭金奪銀，被體育迷們習(xí)慣地稱為“夢之隊(duì)”.2024年巴黎奧運(yùn)會，中國乒乓球隊(duì)包攬全部五枚金牌.其中團(tuán)體賽由四場單打和一場雙打比賽組成，采用五場三勝制.每個(gè)隊(duì)由三名運(yùn)動(dòng)員組成，當(dāng)一個(gè)隊(duì)贏得三場比賽時(shí)，比賽結(jié)束.2024年8月10日，中國隊(duì)對戰(zhàn)瑞典隊(duì)，最終以取得團(tuán)體賽冠軍，賽前某乒乓球愛好者對賽事情況進(jìn)行分析，根據(jù)以往戰(zhàn)績，中國隊(duì)在每場比賽中獲勝的概率均為.(1)求中國隊(duì)以的比分獲勝的概率；(2)求中國隊(duì)在已輸一場的情況下獲勝的概率；(3)求至多進(jìn)行四場比賽的概率.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用獨(dú)立事件的乘法公式進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)事件“中國隊(duì)在已輸一場的情況下獲勝”，則有兩類情況：①設(shè)事件“中國隊(duì)從第二場開始連勝三場”，②設(shè)事件“中國隊(duì)在二到四場中勝兩場，再勝第五場”，分別求出兩種情況的概率，再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率.（3）設(shè)中國隊(duì)進(jìn)行三場、四場比賽獲勝分別為事件、，瑞典隊(duì)進(jìn)行三場、四場比賽獲勝分別為事件、，至多進(jìn)行四場比賽為事件，分別求出、、、的概率，再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率.【詳解】（1）設(shè)事件“中國隊(duì)以的比分獲勝”，中國隊(duì)在每一場中獲勝的概率均為，，中國隊(duì)以的比分獲勝的概率為；（2）設(shè)事件“中國隊(duì)在已輸一場的情況下獲勝”，則有兩類情況：①設(shè)事件“中國隊(duì)從第二場開始連勝三場”，，②設(shè)事件“中國隊(duì)在二到四場中勝兩場，再勝第五場”，，與是互斥事件，，中國隊(duì)在已輸一場的情況下獲勝的概率為；（3）設(shè)中國隊(duì)進(jìn)行三場、四場比賽獲勝分別為事件、，瑞典隊(duì)進(jìn)行三場、四場比賽獲勝分別為事件、，至多進(jìn)行四場比賽為事件，，，，，，，，是互斥事件，，至多進(jìn)行四場比賽的概率為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于理解互斥事件的加法公式和獨(dú)立事件的乘法公式.【題型六：二項(xiàng)分布及其應(yīng)用】一、單選題1．（23-24高二下·天津西青·期末）某人每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為，此人連續(xù)射擊三次，至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二項(xiàng)分布計(jì)算公式可求得結(jié)果為.【詳解】記“至少有兩次擊中目標(biāo)”為事件，連續(xù)射擊三次擊中目標(biāo)的次數(shù)為，由每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為，則未擊中目標(biāo)的概率均為；則.故選：D2．（23-24高二下·江蘇淮安·期末）已知隨機(jī)變量，若，則（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式列式求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，且，整理可得，解得或.故選：D.二、填空題3．（23-24高二下·江蘇南通·期末）設(shè)隨機(jī)變量，且，則；若，則的方差為．【答案】/【分析】(1)用二項(xiàng)分布的概率公式可解；(2)用二項(xiàng)分布的方差結(jié)論即可解決.【詳解】(1),則，則，解得(2)，由(1)得，則．，則故答案為：；．三、解答題4．（23-24高二下·安徽合肥·期中）某大學(xué)為豐富學(xué)生課余生活，舉辦趣味知識競賽，分為“個(gè)人賽”和“對抗賽”，競賽規(guī)則如下：①個(gè)人賽規(guī)則：每位學(xué)生需要從“歷史類、數(shù)學(xué)類、生活類”問題中隨機(jī)選1道試題作答，其中“歷史類”有8道，“數(shù)學(xué)類”有6道，“生活類”有4道，若答對將獲得一份獎(jiǎng)品.②對抗賽規(guī)則：兩位學(xué)生進(jìn)行答題比賽，每輪只有1道題目，比賽時(shí)兩位參賽者同時(shí)回答這一個(gè)問題，若一人答對且另一人答錯(cuò)，則答對者獲得1分，答錯(cuò)者得分；若兩人都答對或都答錯(cuò)，則兩人均得0分，對抗賽共設(shè)3輪，每輪獲得1分的學(xué)生會獲得一份獎(jiǎng)品，且兩位參賽者答對與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響.(1)學(xué)生甲參加個(gè)人賽，若學(xué)生甲答對“歷史類”“數(shù)學(xué)類”“生活類”的概率分別為，，，求學(xué)生甲答對所選試題的概率；(2)學(xué)生乙和學(xué)生丙參加對抗賽，若每道題學(xué)生乙和學(xué)生丙答對的概率分別為，，求三輪結(jié)束學(xué)生乙僅獲得一份獎(jiǎng)品的概率.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意可知分三類求解：選題為歷史類并且答對，選題為數(shù)學(xué)類且答對，選題為生活類且答對，由條件概率和全概率計(jì)算即可；（2）可先求出乙同學(xué)每輪獲得1分的概率，然后由二項(xiàng)分布概率模型計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)學(xué)生甲選1道“歷史類”試題為事件A，選1道“數(shù)學(xué)類”試題為事件B，選1道“生活類”試題為事件C，答對試題為事件D，則，，，，，，所以：，故學(xué)生甲答對所選試題的概率為.（2）由題可知每一輪中學(xué)生乙得1分的概率為，在3輪比賽后，學(xué)生乙得1分的概率為，故三輪結(jié)束學(xué)生乙僅獲得一份獎(jiǎng)品的概率為：.5．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）隨著生活水平的提高，家用小轎車進(jìn)入千家萬戶，在給出行帶來方便的同時(shí)也給交通造成擁堵．交通部門為了解決某十字路口的擁堵問題，安裝了紅綠燈．通過測試后發(fā)現(xiàn)，私家車在此路口遇到紅燈的概率為．(1)若遇到紅燈的概率為，求不同時(shí)刻的5輛私家車在該路口有3輛車遇到紅燈的概率；(2)當(dāng)私家車遇到紅燈的方差達(dá)到最大時(shí)，求5輛私家車遇到紅燈的車輛數(shù)的分布列與期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）由獨(dú)立重復(fù)事假概率計(jì)算公式即可求解；（2）由題意確定私家車遇到紅燈的概率是，由二項(xiàng)分布即可求解.【詳解】（1）由題設(shè)，路口遇到紅燈私家車數(shù)量，則．（2）由題設(shè)，路口遇到紅燈私家車數(shù)量，一輛私家車遇到紅燈的方差為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)方差達(dá)到最大，此時(shí)私家車遇到紅燈的概率是．由題可得，的可能取值為，則，，．所以其分布列為：012345．6．（23-24高二下·天津·階段練習(xí)）我國是全球制造業(yè)大國，制造業(yè)增加值自2010年起連續(xù)12年位居世界第一，主要產(chǎn)品產(chǎn)量穩(wěn)居世界前列．為深入推進(jìn)傳統(tǒng)制造業(yè)改造提升，全面提高傳統(tǒng)制造業(yè)核心競爭力，某設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)對現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行技術(shù)攻堅(jiān)突破．設(shè)備生產(chǎn)的零件的直徑為X（單位：nm）．(1)現(xiàn)有舊設(shè)備生產(chǎn)的零件共7個(gè)，其中直徑大于10nm的有4個(gè)．現(xiàn)從這7個(gè)零件中隨機(jī)抽取3個(gè)．記ξ表示取出的零件中直徑大于10nm的零件的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．(2)技術(shù)攻堅(jiān)突破后設(shè)備生產(chǎn)的零件的合格率為，每個(gè)零件是否合格相互獨(dú)立．現(xiàn)任取6個(gè)零件進(jìn)行檢測，若合格的零件數(shù)η超過半數(shù)，則可認(rèn)為技術(shù)攻堅(jiān)成功．求技術(shù)攻堅(jiān)成功的概率及η的方差；【答案】(1)分布列見解答，；(2)，；【分析】（1）由題意可知的可能取值為0，1，2，3，利用超幾何分布的概率公式求出相應(yīng)的概率，得到的分布列，再結(jié)合期望公式求解；（2）由題意可知，服從二項(xiàng)分布，再利用二項(xiàng)分布的概率公式和方差公式求解；【詳解】（1）由題意，可知可取0，1，2，3．則有；；；．所以的分布列為：0123因此的數(shù)學(xué)期望；（2）由題意，可取的值為0，1，2，3，4，5，6．則有；；．技術(shù)攻堅(jiān)成功的概率．，的方差；【題型七：超幾何分布】一、單選題1．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知甲參加青年志愿者的選拔，選拔以現(xiàn)場答題的方式進(jìn)行．已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試，設(shè)甲答對的試題數(shù)為X，則的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知：隨機(jī)抽出3道題有2題答對，1題打錯(cuò)，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：表示答對2題，即隨機(jī)抽出3道題有2題答對，1題打錯(cuò)，所以.故選：D.2．（23-24高二下·浙江寧波·期末）袋子中有n個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中4個(gè)為紅球，其余均為黃球，