5/5專題02圓與方程【清單01】圓的方程1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中為圓心，為半徑.知識(shí)點(diǎn)詮釋：(1)如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，這時(shí)，圓的方程就是.有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在x軸上：；圓與y軸相切時(shí)：；圓與x軸相切時(shí)：；與坐標(biāo)軸相切時(shí)：；過(guò)原點(diǎn)：(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點(diǎn).(3)標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確指出了圓心和半徑.由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，確定一個(gè)圓的方程，只需要a、b、r這三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用定義法和待定系數(shù)法.2、圓的一般方程當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.為圓心，為半徑.知識(shí)點(diǎn)詮釋：由方程得(1)當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解.它表示一個(gè)點(diǎn).(2)當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．(3)當(dāng)時(shí)，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓.【清單02】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)、若點(diǎn)(2)、若點(diǎn)(3)、若點(diǎn)2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：(1)、點(diǎn)P在圓外；(2)、點(diǎn)P在圓上；(3)、點(diǎn)P在圓內(nèi)．【清單03】直線與圓的位置關(guān)系1、幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）圓心到直線的距離，則：2、代數(shù)方法（幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題即交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根個(gè)數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)幾何觀點(diǎn)【清單04】圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形幾何特征代數(shù)特征公切線條數(shù)43210【清單05】有關(guān)圓的一些常用技巧與方法1、有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題的兩種求法設(shè)直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為AB，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則弦長(zhǎng)公式：.若斜率為的直線與圓交于兩點(diǎn)，則（其中），特別地，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)斜率不存在時(shí)，.2、圓的切線方程常用結(jié)論（1）過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為．（2）過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為（3）過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為【題型一】圓的方程【例1】．（25-26高二上·貴州遵義·月考）設(shè)點(diǎn)，，則以線段為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【變式1-1】．（25-26高三上·黑龍江·月考）已知圓C的圓心在直線上，且圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【變式1-2】．（25-26高二上·內(nèi)蒙古包頭·期中）的三個(gè)頂點(diǎn)分別是、、(1)求邊上的高所在直線的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)求的外接圓方程；

【題型二】與圓有關(guān)的軌跡方程【例2】．（25-26高二上·內(nèi)蒙古包頭·期中）（1）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定點(diǎn)的距離之比為,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）已知圓，線段的一端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)．求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【變式2-1】．（25-26高二上·甘肅蘭州·期中）已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)若線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【變式2-2】．（25-26高二上·廣東東莞·月考）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線上．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程．

【題型三】與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【例3】．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求下列各式的取值范圍．(1)；(2)；(3)；(4)．【變式3-1】．（24-25高二上·貴州·期中）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．12【變式3-2】．（21-22高三上·北京·月考）平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)變化時(shí)，的最大值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2

【題型四】直線與圓的位置關(guān)系的判斷【例4】．（25-26高二上·廣東廣州·期中）已知圓.(1)過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求的方程；(2)已知直線，判斷直線與圓的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓所截得的弦長(zhǎng).【變式4-1】．（25-26高二上·吉林長(zhǎng)春·期中）已知點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上均有可能【變式4-2】．（23-24高二上·天津?qū)幒印て谀┤糁本€與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為.

【題型五】圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題【例5】．（25-26高二上·廣東惠州·月考）已知圓．(1)直線，求被圓截得的弦長(zhǎng)；(2)求過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線的方程（結(jié)果化為一般式）．【變式5-1】．（25-26高二上·廣東廣州·期中）已知圓的半徑為3，圓心和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓被直線截得的弦長(zhǎng)等于（

）A． B． C．4 D．【變式5-2】．（25-26高二上·廣西南寧·期中）已知圓：和圓：，若位于第一象限的點(diǎn)在兩圓的公共弦上，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．

【題型六】圓的切線問(wèn)題【例6】．（23-24高二上·四川遂寧·期中）已知圓的圓心在直線上，且與直線和軸都相切，則圓的方程為.【變式6-1】．（24-25高二上·江蘇常州·期中）若光線通過(guò)點(diǎn)，經(jīng)軸反射，其反射光線通過(guò)點(diǎn)且與圓相切，則【變式6-2】．（25-26高二上·山東臨沂·期中）若直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．2 C．4 D．【題型七】圓與圓的位置關(guān)系【例7】．（25-26高二上·廣東湛江·期中）已知圓，圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，圓.(1)求圓與圓的公共弦所在的直線方程和圓的方程；(2)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，分別為圓與圓的切線(為切點(diǎn))且，求點(diǎn)的軌跡方程．

【變式7-1】．（25-26高二上·天津?yàn)I海新·月考）已知兩圓和相交于、兩點(diǎn)，則相交弦所在的直線方程為（

）A． B． C． D．【變式7-2】．（25-26高二上·陜西商洛·期中）圓：與圓：的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)含 B．外切 C．內(nèi)切 D．相交【題型八】直線與圓的綜合應(yīng)用【例8】．（25-26高二上·天津津南·月考）已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，其外接圓為圓．(1)求圓的方程；(2)若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為6，求直線的方程；(3)對(duì)于線段上的任意一點(diǎn)，若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)，，使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求圓的半徑的取值范圍．

【變式8-1】．（25-26高二上·天津靜?！て谥校┮阎獔A經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在上，圓.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)判斷圓與圓的位置關(guān)系并說(shuō)明理由，若相交，求兩圓公共弦所在直線方程和公共弦長(zhǎng).

【題型一】容易忽略圓的一般方程的充要條件而致錯(cuò)【例1】．（2025·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測(cè)）“關(guān)于x，y的方程表示的曲線是圓”是“”的（

）條