專(zhuān)題04計(jì)數(shù)原理【清單01】排列和排列數(shù)1、定義：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列．從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示．2、排列數(shù)的公式：．特例：當(dāng)時(shí)，；規(guī)定：．3、排列數(shù)的性質(zhì)：①；②；③．【清單02】組合和組合數(shù)1、定義：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合．從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示．2、組合數(shù)公式及其推導(dǎo)求從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，可以按以下兩步來(lái)考慮：第一步，先求出從這個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)；第二步，求每一個(gè)組合中個(gè)元素的全排列數(shù)；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到；因此．這里，，且，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式．因?yàn)椋越M合數(shù)公式還可表示為：．特例：．注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問(wèn)題時(shí)，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問(wèn)題．公式常用于具體數(shù)字計(jì)算，常用于含字母算式的化簡(jiǎn)或證明．3、組合數(shù)的主要性質(zhì)：①；②．4、組合應(yīng)用題的常見(jiàn)題型：=1\*GB3①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型=2\*GB3②“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型【清單03】常見(jiàn)排列組合類(lèi)型及解法1、涂顏色問(wèn)題：如圖，在圓中，將圓分等份得到個(gè)區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對(duì)這個(gè)區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．2、定位、定元的排列問(wèn)題，一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱(chēng)為特殊元素，被限制的位置稱(chēng)為特殊位置．這一類(lèi)問(wèn)題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問(wèn)題，即先滿(mǎn)足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問(wèn)題，即先滿(mǎn)足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．3、解決相鄰問(wèn)題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個(gè)不同元素排成一排，其中某k個(gè)元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個(gè)元素“捆綁在一起”，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．4、解決不相鄰問(wèn)題的方法為“插空法”，其模型為將個(gè)不同元素排成一排，其中某個(gè)元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個(gè)元素排成一排，共有種排法；然后把個(gè)元素插入個(gè)空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．5.分組、分配問(wèn)題①整體均分問(wèn)題，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．②局部均分問(wèn)題，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，一個(gè)分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．③不等分問(wèn)題，只需先分組，后排列，分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．6.倍縮法部分不同元素在排列前后的順序固定不變（不一定相鄰）的排列問(wèn)題，稱(chēng)之為定序（排列）問(wèn)題．定序問(wèn)題可以用倍縮法.7.排數(shù)問(wèn)題對(duì)于有限制條件的數(shù)字排列問(wèn)題，先滿(mǎn)足特殊元素或特殊位置的要求，再考慮其他元素或位置，同時(shí)注意隱含條件：0不能在首位.【清單04】二項(xiàng)式展開(kāi)式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題1、二項(xiàng)式定理一般地，對(duì)于任意正整數(shù)，都有：，這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式．式中的做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第項(xiàng)：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，2、二項(xiàng)式的展開(kāi)式的特點(diǎn)：①項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；②二項(xiàng)式系數(shù)：第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次數(shù)從到，每一項(xiàng)中，，次數(shù)和均為；④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是，項(xiàng)的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）．3、兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開(kāi)式：①（）②4、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)：公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開(kāi)式的第項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；③與的次數(shù)之和為．【清單05】二項(xiàng)式展開(kāi)式中的最值問(wèn)題1、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)=1\*GB3①每一行兩端都是，即；其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即．=2\*GB3②對(duì)稱(chēng)性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即．=3\*GB3③二項(xiàng)式系數(shù)和令，則二項(xiàng)式系數(shù)的和為，變形式．=4\*GB3④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令，則，從而得到：．=5\*GB3⑤最大值：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)，的二項(xiàng)式系數(shù)，相等且最大．2、系數(shù)的最大項(xiàng)求展開(kāi)式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來(lái)．【清單06】二項(xiàng)式展開(kāi)式中系數(shù)和有關(guān)問(wèn)題若，則①常數(shù)項(xiàng)：令，得．②各項(xiàng)系數(shù)和：令，得．③奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和（i）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為．（可簡(jiǎn)記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）（ii）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為．（可簡(jiǎn)記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）若，同理可得．注意：常見(jiàn)的賦值為令，或，然后通過(guò)加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．【考點(diǎn)題型一】排列【例1】.（多選）身高各不相同的六位同學(xué)站成一排照相，則說(shuō)法正確的是（）A．A、C、D三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法B．A與同學(xué)不相鄰，共有種站法C．A、C、D三位同學(xué)必須站在一起，且A只能在C與D的中間，共有144種站法D．A不在排頭，B不在排尾，共有504種站法【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，將三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有種站法，故A正確；對(duì)于B，先排，共有種站法，A與同學(xué)插空站，有種站法，故共有種站法，故B正確；對(duì)于C，將三位同學(xué)捆綁在一起，且A只能在C與D的中間，有2種情況，捆綁后有種站法，故共有種站法，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)在排尾時(shí)，隨意站，則有種站法；當(dāng)不在排頭也不在排尾時(shí)，有種，有種，剩下同學(xué)隨意站有種，共有種，故A不在排頭，B不在排尾，共有種站法，故D正確；故選：ABD．【變式1-1】.五人站成一排，如果必須相鄰，那么排法種數(shù)為（

）A．48 B．24 C．20 D．16【答案】A【詳解】由相鄰問(wèn)題捆綁法可得,故選：A【變式1-2】.將1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)填入如圖所示的3行2列表格中，則表格內(nèi)每一行數(shù)字之和均相等的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】要使表格內(nèi)每一行數(shù)字之和均相等，根據(jù)，先將6個(gè)數(shù)字分為3組，分別為，，；將三組全排列，安排在表格的三行中，每一行有種順序，則可組成不同表格的個(gè)數(shù)為；將1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)填入表格中的所有情況,故概率為故選：C．【變式1-3】.福廈高鐵全線(xiàn)共設(shè)8個(gè)客運(yùn)站：福州南、福清西、莆田、泉港、泉州東、泉州南、廈門(mén)北、漳州，則鐵路部門(mén)應(yīng)為福廈高鐵線(xiàn)上的這8個(gè)站間準(zhǔn)備不同的火車(chē)票的種數(shù)為（

）A．28 B．56 C．64 D．112【答案】B【詳解】火車(chē)票是要分出發(fā)站與到達(dá)站，是有順序的，故不同的火車(chē)票的種數(shù)為：，故選：B【變式1-4】.3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分別求不同排列方法的數(shù)目.(1)學(xué)生甲不在最左邊；(2)3名男生必須排在一起.【答案】(1)4320(2)720【詳解】（1）先排最左邊，除去甲外有種排法，余下的6個(gè)位置全排列有種排法，則符合條件的排法共有種.（2）將男生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列，有種排法，與其他元素進(jìn)行全排列，有種排法，則符合條件的排法共有種.【考點(diǎn)題型二】組合【例2】.霹靂舞是一種動(dòng)感和節(jié)奏感非常強(qiáng)烈、動(dòng)作非常炫酷的舞蹈，年青人對(duì)這種舞蹈如癡如醉．2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)（第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)）首次把霹靂舞列入比賽項(xiàng)目，中國(guó)小將劉清漪勇獲女子銅牌，藉此之際，某中學(xué)組建了霹靂舞隊(duì)，計(jì)劃從3名男隊(duì)員，5名女隊(duì)員中選派4名隊(duì)員外出參加培訓(xùn)，求下列情形下有幾種選派方法．(1)男隊(duì)員2名，女隊(duì)員2名；(2)至少有1名男隊(duì)員．【答案】(1)30(2)65【詳解】（1）從3名男隊(duì)員，5名女隊(duì)員中分別選出男女隊(duì)員各2名，不同選法數(shù)為（種）.（2）從8名隊(duì)員中任選4名隊(duì)員有種，其中沒(méi)有男隊(duì)員的選法數(shù)是種，所以至少有1名男隊(duì)員的不同選法數(shù)是（種）.【變式2-1】.下列四個(gè)問(wèn)題屬于組合問(wèn)題的是（

）A．從4名志愿者中選出2人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作B．從0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)不同的數(shù)字，組成一個(gè)三位數(shù)C．從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)參加某大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式D．從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)和學(xué)習(xí)委員【答案】C【詳解】A.從4名志愿者中選出2人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作，順序不同，結(jié)果不同，與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題.B.從0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)不同的數(shù)字，組成一個(gè)三位數(shù)，順序不同，結(jié)果不同，與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題.C.從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)參加某大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式，與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題.D.從全班同學(xué)中選出3名同學(xué)分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)和學(xué)習(xí)委員，順序不同，結(jié)果不同，與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題.故選：C.【變式2-2】.新課程改革后，普通高校招生方案規(guī)定：每位考生從物理、化學(xué)、生物、地理、政治、歷史六門(mén)學(xué)科中隨機(jī)選三門(mén)參加考試，某省規(guī)定物理或歷史至少選一門(mén)，那么該省每位考生的選法共有種（用數(shù)字作答）；【答案】16【詳解】若物理或歷史只選一門(mén)，則有種，若物理和歷史都被選中，則有種，所以共有16種選法，故答案為：16．【變式2-3】.（多選）某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門(mén)課程中選三門(mén)作為選考科目，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若任意選擇三門(mén)課程，選法總數(shù)為B．若物理和化學(xué)至少選一門(mén)，選法總數(shù)為C．若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為D．若物理和化學(xué)至少選一門(mén)，且物理和歷史不同時(shí)選，選法總數(shù)為【答案】ABD【詳解】對(duì)于A：若任意選擇三門(mén)課程，選法總數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若物理和化學(xué)選一門(mén)，有種方法，其余兩門(mén)從剩余的五門(mén)中選，有種選法；若物理和化學(xué)選兩門(mén)，有種選法，剩下一門(mén)從剩余的五門(mén)中選，有種選法，所以總數(shù)為，而，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為，故C正確；對(duì)于D：有3種情況：①選物理，不選化學(xué)，有種選法；②選化學(xué)，不選物理，有種選法；③物理與化學(xué)都選，有種選法.故總數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：ABD【變式2-4】.高二年級(jí)將10個(gè)優(yōu)秀團(tuán)員的名額分配給3個(gè)班級(jí)，一共有種分法.【答案】66【詳解】本題相當(dāng)于10個(gè)名額和2個(gè)虛名額分配給3個(gè)班級(jí)，利用隔板法解決，從12個(gè)位置中選2個(gè)位置放隔板，共有種分配方法.故答案為：66【變式2-5】.從含有3件次品的8件新產(chǎn)品中，任意抽取4件進(jìn)行檢驗(yàn)，抽出的4件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，8件新產(chǎn)品中有3件次品，件正品，先從3件次品中取出2件次品，有種抽法，再?gòu)募分腥〕?件正品，有種抽法，所以抽出的4件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法種數(shù)為.故選：.【考點(diǎn)題型三】排列組合【例3】.寒假有來(lái)自不同大學(xué)的3名男生和2名女生來(lái)母校開(kāi)展大學(xué)宣講活動(dòng)．(1)若要將這5名同學(xué)分配到三個(gè)班進(jìn)行宣講，每班至少一名同學(xué)，有多少種不同的分配方案？(2)宣講完畢，這五位同學(xué)和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同學(xué)中間，有多少種不同的排法？(3)若這五位同學(xué)中甲、乙、丙三位同學(xué)身高互不相等，則這五位同學(xué)和班主任合影留念時(shí)甲、乙、丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？(4)隨后這五位同學(xué)合影留念時(shí)，同學(xué)甲不站在最左端，同學(xué)乙不站在最右端，有多少種不同的排法？（寫(xiě)出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】(1)150(2)48(3)120(4)【詳解】（1）將5名同學(xué)分為3，1，1或2，2，1三組，然后分配到三個(gè)班，所以分配方案有種．（2）先甲乙同學(xué)之間排列，再把班主任和甲乙同學(xué)看作一個(gè)整體，與其他3名同學(xué)排列，則不同的排法種．（3）先將6人全排列有種，考慮到甲、乙、丙三人排列有種，所以甲、乙、丙三人按高低從左到右排列時(shí)，不同的排法有種．（4）先將五位同學(xué)全排列，去掉同學(xué)甲站在最左端的情形，再去掉同學(xué)乙站在最右端的情形，再加上重復(fù)去掉的同學(xué)甲站在最左端且同學(xué)乙站在最右端的情形，所以不同的排法種數(shù)有．【變式3-1】.2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開(kāi)帷幕某校足球社的6名學(xué)生準(zhǔn)備分成三組前往村超球隊(duì)所在的平地村?口寨村?忠誠(chéng)村3個(gè)村寨進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)村各有一組來(lái)調(diào)研，每個(gè)組至多3名學(xué)生，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．900 B．600 C．450 D．150【答案】C【詳解】由題意可知6個(gè)人分成三組且每組最多3名學(xué)生，所以可以分成1，2，3或2，2，2兩類(lèi)，當(dāng)6人分成1，2，3三組，有種分法，當(dāng)6人分成2，2，2三組，有種分法，所以不同的安排方法種數(shù)為種，故選：C【變式3-2】.年月我校組織年校慶活動(dòng)，有甲、乙、丙名志愿者負(fù)責(zé)、、、等個(gè)任務(wù)．每人至少負(fù)責(zé)一個(gè)任務(wù)，每個(gè)任務(wù)都有人負(fù)責(zé)，且甲不負(fù)責(zé)任務(wù)的分配方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【詳解】因任務(wù)有個(gè)，人只有三個(gè)，結(jié)合題意可知有人負(fù)責(zé)兩個(gè)任務(wù).若甲負(fù)責(zé)兩個(gè)任務(wù)，因甲不負(fù)責(zé)任務(wù)，則有種分配方法，剩下的任務(wù)有種分配方法，則此時(shí)的分配方法共有種；若甲負(fù)責(zé)個(gè)任務(wù)，因甲不負(fù)責(zé)任務(wù)，則有種分配方法，剩下的任務(wù)有種分配方法，則此時(shí)的分配方法共有種；綜上，滿(mǎn)足題意的分配方法共有種.故選：C.【變式3-3】.在打結(jié)計(jì)時(shí)賽中，現(xiàn)有5根繩子，共有10個(gè)繩頭，每個(gè)繩頭只打一次結(jié)，且每個(gè)結(jié)僅含兩個(gè)繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束．則這5根繩子恰好能?chē)梢粋€(gè)圈的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】10個(gè)繩頭，每個(gè)繩頭只打一次結(jié)，且每個(gè)結(jié)僅含兩個(gè)繩頭，所有的打結(jié)方式有：種.其中恰好能?chē)梢粋€(gè)圈的打結(jié)方式有：種.所以5根繩子恰好能?chē)梢粋€(gè)圈的概率為：.故選：D【變式3-4】.（多選）有甲、乙、丙等6名同學(xué)，以下說(shuō)法正確的是：（

）A．若6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為480種B．若6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，則不同的站法種數(shù)為504種C．6名同學(xué)平均分成三組到A、B、C三個(gè)實(shí)驗(yàn)室參觀（每個(gè)實(shí)驗(yàn)室都有人），則有210種不同的安排方法D．6名同學(xué)分成三組參加不同的活動(dòng)，甲、乙、丙在一起，則不同的分組方法有6種【答案】AD【詳解】A選項(xiàng)，6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，先將除甲、乙外的4人進(jìn)行全排列，有種排法，再將甲、乙兩人插空，有種排法，則共有種不同的排法，A正確；B選項(xiàng)，6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，可用倍縮法進(jìn)行求解，即種不同的站法，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，6名同學(xué)平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個(gè)工廠都有人），則有種不同的安排方法，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，6名同學(xué)分成三組參加不同的活動(dòng)，甲、乙、丙在一起，若還有一位同學(xué)與他們一組，共有種分法；若三組同學(xué)分為3人一組，2人一組和1人一組，先將除甲、乙、丙外的剩余3人分為兩組，有種分法；共有6種分組方法，D正確．故選：AD．【變式3-5】.由0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字．(1)能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？(2)能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？(3)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有多少個(gè)？【答案】(1)96(2)60(3)65【詳解】（1）先排數(shù)字0，0只能占除最高位外的其余四個(gè)數(shù)位，有種排法，再排四個(gè)非0數(shù)字有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，所以能組成96個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；（2）當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，則可以組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，當(dāng)個(gè)位數(shù)字為2或4時(shí)，則可以組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，即可以組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)；（3）計(jì)算比21034大的五位數(shù)的個(gè)數(shù)分兩類(lèi)：萬(wàn)位比2大的五位數(shù)個(gè)數(shù)是，萬(wàn)位是2的五位數(shù)中，千位比1大的有個(gè)，千位是1，百位比0大的有個(gè)，千位是1，百位是0，十位比3大的有1個(gè)，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得，所以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有65個(gè).【變式3-6】.按要求列出式子，再計(jì)算結(jié)果，用數(shù)字作答.(1)在5件產(chǎn)品中，有3件正品，2件次品，從這5件產(chǎn)品中任意抽取3件.（ⅰ）抽出的3件中恰有1件正品的抽法有多少種？（ⅱ）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？(2)現(xiàn)有，，等5人排成一排照相，按下列要求各有多少種不同的排法.（?。┤?，之間恰有一人，有多少種不同的排法？（ⅱ）不站左端，且不站右端，有多少種不同的排法？【答案】(1)（ⅰ）3；（ⅱ）9(2)（ⅰ）36；（ⅱ）78【詳解】（1）（?。┏槌龅?件中恰有1件次品是指1件正品，2件次品，則有種不同的抽法；（ⅱ）解法一：抽出的3件中至少有1件次品的抽法有兩種情況：只有1件次品的抽法和2件次品的抽法，由（?。┑糜?件次品的抽法為種不同的抽法，只1件次品的抽法為種不同的抽法，共有種不同的抽法；解法二：抽出的3件中至少有1件次品的抽法數(shù)，是在5件產(chǎn)品中任意抽出3件的抽法數(shù)，減去抽出的3件產(chǎn)品全是正品的抽法數(shù)，所以共有種不同的抽法；（2）（?。、某人、B看作一個(gè)整體，進(jìn)行捆綁，再將另外兩人一起排列，所以一共有36種排法；（ⅱ）解法一：因?yàn)?個(gè)人全排列有排法，且A站左端有種排法，B站右端有種排法，A站左端且B站右端有種排法，所以A不站左端，且B不站右端有種排法；解法二：依題意可得：整件事可分為B站左端，和B不站左端．若B站左端，則其他4人全排列，有種排法；若B不站左端，則其他3人中選出1人站在左端，有種選法，又由于B不站左端，也不站右端，有種排法，剩下3人有有種排法，所以B不站左端有排法；所以A不站左端，且B不站右端有排法.【考點(diǎn)題型四】不二項(xiàng)式特定項(xiàng)及特定項(xiàng)系數(shù)【例4】.已知在的二項(xiàng)展開(kāi)式中.(1)若，求展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)；(2)若展開(kāi)式含有常數(shù)項(xiàng)，求最小的正整數(shù)的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.（2）展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)展開(kāi)式含有常數(shù)項(xiàng)，所以最小的正整數(shù)的值為.【變式4-1】.的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B． C．28 D．56【答案】A【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，所以，所以，所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選：A.【變式4-2】.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．120 B．80 C．60 D．40【答案】D【詳解】展開(kāi)式通項(xiàng)為：，令，即，當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為；所以的系數(shù)為，故選：D【變式4-3】.在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B． C．16 D．144【答案】C【詳解】，其展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，，所以所求項(xiàng)的系數(shù)為，故選：C．【變式4-4】.在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)是10，則（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【詳解】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式可知含項(xiàng)即從5個(gè)因式中取4個(gè)，1個(gè)常數(shù)項(xiàng)即可寫(xiě)出含的項(xiàng)；所以含的項(xiàng)是，可得；即可得.故選：C【考點(diǎn)題型五】二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)【例5】.已知.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，因?yàn)?，所以；?）令，則，令，則，可得，因此.【變式5-1】.的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為32，則展開(kāi)式中含的項(xiàng)是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】令，則有，解得，對(duì)有，則有，故展開(kāi)式中含的項(xiàng)是.故選：A.【變式5-2】.（多選）已知的展開(kāi)式的第2項(xiàng)與第3項(xiàng)系數(shù)的和為3，則（

）A．B．展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為C．展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為256D．展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng)【答案】ACD【詳解】解：因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，（），所以，即，解得（舍去），故A正確；所以（），當(dāng)，即時(shí)為常數(shù)項(xiàng),故D正確；所以展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為，故B錯(cuò)誤；所以展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為，故C正確.故選：ACD.【變式5-3】.（多選）關(guān)于二項(xiàng)式的展開(kāi)式，下列說(shuō)法正確的是（

）A．展開(kāi)式的所有系數(shù)和為1 B．展開(kāi)式的第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大C．展開(kāi)式中不含項(xiàng) D．展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為240【答案】ABD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：令，可得二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)橹笖?shù)為偶數(shù)，即，所以展開(kāi)式的第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，故B正確；展開(kāi)式通項(xiàng)為，對(duì)于C選項(xiàng)：令，解得，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：令，可得，故展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，故D正確.故選：ABD.【變式5-4】.（多選）已知，則（

）A．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為1 B．展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為0C．展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第1012項(xiàng) D．【答案】AD【詳解】A選項(xiàng)，中，令得，，常數(shù)項(xiàng)為1，A正確；B選項(xiàng)，中，令得，，展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，展開(kāi)式共有2025項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，中，令得，，又，故，D正確.故選：AD【變式5-5】.已知.(1)求(2)求(3)【答案】(1)；(2)1093；(3)．【詳解】（1）在中，取得，取得①，所以.（2）取得②，①+②得，所以.（3）令則，取，得.【考點(diǎn)題型六】楊輝三角【例6】.楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、教育家，楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要研究成果.楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，圖1為楊輝三角的部分內(nèi)容，圖2為楊輝三角的改寫(xiě)形式(1)求圖2中第11行的各數(shù)之和；(2)從圖2第2行開(kāi)始，取每一行的第3個(gè)數(shù)一直取到第100行的第3個(gè)數(shù)，求取出的所有數(shù)之和；(3)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個(gè)相鄰的數(shù)之比為3:8:14？若存在，試求出這三個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)2048；(2)166650；(3)存在，這三個(gè)數(shù)為.【詳解】（1）第11行的各數(shù)之和為；（2）楊輝三角中第2行到第100行，各行第3個(gè)數(shù)之和為；（3）存在，理由如下：設(shè)在第行存在三個(gè)相鄰的數(shù)，其中，且，，之比為3:8:14，故，化簡(jiǎn)得，即，解得，所以這三個(gè)數(shù)為.【變式6-1】.將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成，得到如圖所示的萊布尼茨三角形.萊布尼茨三角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，如從第0行開(kāi)始每一個(gè)數(shù)均等于其“腳下”兩個(gè)數(shù)之和，如果（為正整數(shù)），則下列結(jié)論中正確的是（

）第0行

第1行

第2行

第3行

……

……A．當(dāng)時(shí)中間的兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取得最大值B．當(dāng)時(shí)中間一項(xiàng)為C．第6行第5個(gè)數(shù)是D．【答案】C【詳解】對(duì)于A，由萊布尼茨三角形知，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取到最小值，為奇數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，這一行有2025個(gè)數(shù)，最中間為第1013個(gè)數(shù)，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，第6行有7個(gè)數(shù)，第5個(gè)數(shù)是，C正確；對(duì)于D，由于從第0行開(kāi)始每一個(gè)數(shù)均等于其“腳下”兩個(gè)數(shù)之和，故，D錯(cuò)誤，故選：C【變式6-2】.在楊輝三角中，每一個(gè)數(shù)值是它上面兩個(gè)數(shù)值之和，這個(gè)三角形開(kāi)頭幾行如圖，則第9行從左到右第3個(gè)數(shù)是；若第行從左到右第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)的比值為，則.【答案】3627【詳解】依題意，，解得．故答案為：；.課后檢測(cè)練習(xí)1．某學(xué)習(xí)小組有男、女生共8人，現(xiàn)從男生中選2人，女生中選1人分別去做3種不同的工作，共有90種不同的選法，則男、女生人數(shù)分別為（

）A．3，5 B．2，5 C．5，3 D．6，2【答案】A【詳解】設(shè)男生人數(shù)為，則女生人數(shù)為，由題意可知，即，即，解得，所以男、女生人數(shù)為.故選:A.2.已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為48，則實(shí)數(shù)＝（

）A．2 B．1 C． D．?2【答案】B【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為．的展開(kāi)式中，的系數(shù)為，解得．故選：B．3.高三某班畢業(yè)活動(dòng)中，有5名同學(xué)已站成一排照相，這時(shí)有兩位老師需要插入進(jìn)來(lái).若同學(xué)順序不變，則不同的插入方式有（

）A．21種 B．27種 C．30種 D．42種【答案】D【詳解】5位同學(xué)已經(jīng)排好，第一位老師站進(jìn)去有6種選擇，當(dāng)?shù)谝晃焕蠋熣竞煤?，第二位老師站進(jìn)去有7種選擇，所以2位老師與同學(xué)們站成一排的站法共有6×7＝42（種）.故選：D4.國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM）是由國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟（IMU）主辦的國(guó)際數(shù)學(xué)界規(guī)模最大也是最重要的會(huì)議，每四年舉行一次，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的奧林匹克盛會(huì).2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi)，其會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，由一個(gè)正方形和四個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成（如圖）.現(xiàn)給圖中5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，且每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色.若有5種不同的顏色可供使用，則不同的涂色方案有（

）A．120種 B．360種 C．420種 D．540種【答案】C【詳解】要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則涂5塊區(qū)域至少需要種顏色，若塊區(qū)域只用種顏色涂色，則顏色的選法有種，相對(duì)的直角三角形必同色，此時(shí)不同的涂色方案有種；若塊區(qū)域只用種顏色涂色，則顏色的選法有種，其中一對(duì)相對(duì)的直角三角形必同色，余下的兩個(gè)直角三角形不同色，此時(shí)不同的涂色方案有種；若塊區(qū)域只用種顏色涂色，則每塊直角三角形都不同色，此時(shí)不同的涂色方案有種；綜上，不同的涂色方案有：種.故選：C.5．現(xiàn)有包含兩本書(shū)的六本不同的書(shū)，分給甲?乙?丙三個(gè)人，要求每人至少一本，其中兩本書(shū)被分給甲的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】第一類(lèi)，將六本書(shū)分成三組，然后分給三人共有種，其中滿(mǎn)足條件的分法：先將兩本分給甲，然后將4本書(shū)分成兩組分給乙、丙，共有種；第二類(lèi)，將六本書(shū)分成三組，然后分給三人共有種，其中滿(mǎn)足條件的分法：先從4本書(shū)中取2本連同分給甲，剩下的分給乙、丙，共有種；第三類(lèi)，將六本書(shū)分成三組，然后分給三人共有種，其中滿(mǎn)足條件的分法：1）甲得2本：將分給甲，然后將剩余4本分成兩組分給乙、丙，共有種；2）甲得3本：先從4本書(shū)中取1本連同分給甲，再將剩余3本分成兩組分給乙、丙，共有.綜上，將六本不同的書(shū)，分給甲?乙?丙三個(gè)人，共有種，滿(mǎn)足條件的分法有種.所以，兩本書(shū)被分給甲的概率為.故選：C6．如圖是2024年法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)和殘奧會(huì)吉祥物“弗里熱”，其中殘奧會(huì)的吉祥物有一個(gè)“腿”被設(shè)計(jì)成了假肢，現(xiàn)將4個(gè)奧運(yùn)會(huì)吉祥物和2個(gè)殘奧會(huì)吉祥物排成一排，則不同的排法有（

）A．6種 B．12種 C．15種 D．60種【答案】C【詳解】從一排的6個(gè)位置選2個(gè)擺放殘奧會(huì)吉祥物即可（剩下的4個(gè)位置放奧運(yùn)會(huì)吉祥物），.故選:C.7．如圖，洛書(shū)古稱(chēng)龜書(shū)，是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源.在古代傳說(shuō)中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖像，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽(yáng)數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù).若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中隨機(jī)選取2個(gè)數(shù)，則選取的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的方法數(shù)有（

）種.A．6 B．10 C．16 D．36【答案】C【詳解】根據(jù)題意，四個(gè)陰數(shù)即4個(gè)偶數(shù)：2?4?6?8，五個(gè)陽(yáng)數(shù)即5即奇數(shù)：，從中任選2個(gè)，使選出的2個(gè)數(shù)和為偶數(shù)，有2種情況，①選出的2個(gè)數(shù)是2個(gè)偶數(shù)，有種選法，②選出的2個(gè)數(shù)是2個(gè)奇數(shù)，有種選法，一共有種選法.故選：C.8．（多選）從0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)字中取出4個(gè)數(shù)字，則（

）A．可以組成300個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)B．可以組成144個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)C．可以組成160個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且比3400大的四位數(shù)D．可以組成21個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且能被25整除的四位數(shù)【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，首位不能排0，有種排法，后面三位從剩下的5個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)進(jìn)行排列，所以共有種排法，即可以組成300個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，故A正確；對(duì)于B，個(gè)位從1，3，5選擇一個(gè)，有種選法；千位數(shù)字不可選0，從剩下的4個(gè)中選一個(gè)，有種選法；在剩下的4個(gè)數(shù)字中選出2個(gè)，安排在百位、十位數(shù)字，有種選法，則有個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)，故B正確；對(duì)于C，比3400大的四位數(shù)分三類(lèi)：第一類(lèi)千位比3大的數(shù)，其它三位任意排，有個(gè)，第二類(lèi)千位是3，百位比4大的數(shù)只有5，其它兩位任意排，有個(gè)，第三類(lèi)千位是3，百位是4的數(shù)，其它兩位任意排，有個(gè)，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得比3400大的四位數(shù)共有種，故C不正確；對(duì)于D，能被25整除的四位數(shù)分兩類(lèi)：第一類(lèi)：形如□□25，共有個(gè)；第二類(lèi)：形如□□50，共有個(gè)，所以能被25整除的四位數(shù)共有個(gè)，故D正確．故選：ABD9．（多選）傳承紅色文化，宣揚(yáng)愛(ài)國(guó)精神，湖洋中學(xué)國(guó)旗隊(duì)在高一年級(jí)招收新成員，現(xiàn)有小明、小紅、小華等7名同學(xué)加入方陣參加訓(xùn)練，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．7名同學(xué)站成一排，小明、小紅、小華必須按從左到右的順序站位，則不同的站法種數(shù)為840B．7名同學(xué)站成一排，小明、小紅兩人相鄰，則不同的排法種數(shù)為720C．7名同學(xué)站成一排，小明、小紅兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為480D．7名同學(xué)分成三組（每組至少有兩人），進(jìn)行三種不同的訓(xùn)練，則有630種不同的訓(xùn)練方法